a. Identificeer de uitkomsten in de gebeurtenissen A, B, A B, A B, en A c.

Transcriptie

1 Opgaven hoofdstuk 3 I Learning the Mechanics 3.1 De uitkomstenruimte van een experiment bevat vijf uitkomsten met kansen zoals in de tabel staan gegeven. Bereken de kans op elk van de volgende gebeurtenissen: 3.2 Er wordt een paar eerlijke dobbelstenen geworpen. Definieer de volgende gebeurtenissen: A: {je gooit een zeven} (d.w.z. de som van het aantal stippen op de bovenliggende vlakken van de beide dobbelstenen is gelijk aan zeven) B: {ten minste één van beide dobbelstenen laat een vier zien} a. Identificeer de uitkomsten in de gebeurtenissen A, B, A B, A B, en A c. b. Bepaal P(A), P(B),P(A B), P(A B), en P(A c ) door de kansen van de bijbehorende uitkomsten bij elkaar op te tellen. c. Bepaal P(A B) door de somregel te gebruiken. Vergelijk je antwoord met dat voor dezelfde gebeurtenis in b. d. Zijn A en B disjunct? Waarom? 3.3 De uitkomsten van twee variabelen zijn (laag, midden, hoog), respectievelijk (aan, uit). Er wordt een experiment uitgevoerd waarin de uitkomsten van elk van beide variabelen worden waargenomen. De kansen die bij elk van de zes mogelijke uitkomstparen horen worden in de tabel gegeven.

2 Beschouw de volgende gebeurtenissen: a. Bepaal P(A) b. Bepaal P(B) c. Bepaal P(C) d. Bepaal P(D) e. Bepaal P(A c ) f. Bepaal P(A B) g. Bepaal P(A C) h. Beschouw de paren gebeurtenissen (A en B, A en C, A en D, B en C, B en D, C en D). Geef aan welke paren gebeurtenissen disjunct zijn, en waarom. 3.4 Er worden drie eerlijke munten geworpen en de volgende gebeurtenissen worden gedefinieerd: A: {waarneming van ten minste éénmaal kruis} B: {waarneming van precies tweemaal kruis} C: {waarneming van precies tweemaal munt} D: {waarneming van hoogstens éénmaal kruis} a. Tel de kansen van de desbetreffende uitkomsten bij elkaar op om de volgende kansen te bepalen: P(A), P(B), P(C), P(D), P(A B), P(A D), P(B C), en P(B D). b. Gebruik de antwoorden in a om P(B A), P(A D), en P(C B) te berekenen. 3.5 Een uitkomstenruimte bevat zes uitkomsten en de gebeurtenissen A, B en C zoals in het Venndiagram is aangegeven. De kansen op de uitkomsten zijn P(1) = 0,20, P(2) = 0,05, P(3) = 0,30, P(4) = 0,10, P(5) = 0,10, P(6) = 0,25.

3 a. Zijn er disjuncte paren gebeurtenissen, en zo ja welke zijn dit? Waarom? b. Zijn er onafhankelijke paren gebeurtenissen, en zo ja welke zijn dit? Waarom? c. Bepaal P(A B) door de kansen van de uitkomsten bij elkaar op te tellen en vervolgens door de somregel te gebruiken. Ga na dat de antwoorden met elkaar overeenkomen. Doe hetzelfde voor P(A C). 3.6 Stel dat je een steekproef van n = 3 elementen wilt nemen uit een totaal van N = 600 elementen a. Tel het aantal verschillende steekproeven met behulp van combinatieregels (zie paragraaf 3.1). b. Als de steekproeven aselect worden genomen, wat is dan de kans dat een bepaalde steekproef wordt gekozen? c. Laat zien hoe je met de random-getallentabel, Tabel I in Appendix B, een aselecte steekproef van 3 elementen uit een populatie van 600 elementen kunt nemen. Voer de steekproefprocedure 20 maal uit. Vind je hierbij twee steekproeven die dezelfde drie elementen bevatten? Verwachtte je zo n herhaling van steekproeven, gezien je antwoord in b? 3.7 Stel dat een populatie N = elementen bevat. Gebruik een computer of Tabel I in Appendix B om een aselecte steekproef van n = 10 elementen uit deze populatie te nemen. Leg uit hoe je je steekproef hebt gekozen. 3.8 Twee gebeurtenissen, A en B zijn onafhankelijk, met P(A) = 0,3 en P(B) = 0,1. a. Zijn A en B disjunct? Waarom? b. Bepaal P(A B) en P(B A). c. Bepaal P(A B). 3.9

4 Er moet een aselecte steekproef van vijf studenten worden genomen uit een groep van 50 MBA-studenten om aan een wedstrijd mee te doen. a. Op hoeveel verschillende manieren kan de steekproef worden genomen? b. Laat zien hoe de random-getallentabel, Tabel I in Appendix B, gebruikt kan worden om de steekproef van studenten te kiezen. II Applying the Concepts 3.10 Van de zes auto s die afgelopen maandag tussen 8 10 uur s morgens in een bepaalde fabriek zijn geproduceerd, blijken er bij testen drie een kneus te zijn. Niettemin werden drie van deze auto s naar dealer A gestuurd en de andere drie naar dealer B. Dealer A kreeg alle kneuzen. Hoe groot is de kans dat dit gebeurt als de drie auto s die naar A zijn gestuurd aselect uit de zes geproduceerde auto s zijn gekozen? 3.11 De American Journal of Public Health (juli 1995) heeft een onderzoek gepubliceerd naar ongewilde koolmonoxide (CO) vergiftiging van inwoners van Colorado. Over een periode van zes jaar werden in totaal 981 gevallen van CO-vergiftiging gemeld. Elk geval werd geclassificeerd als fataal of niet fataal, en naar de bron van de vergiftiging. In de tabel staat het aantal gevallen voor elke categorie. Veronderstel dat één van de 981 gevallen van ongewilde CO-vergiftiging aselect wordt gekozen. a. Noem alle uitkomsten voor dit experiment. b. Hoe wordt de verzameling van alle uitkomsten genoemd? c. Noem A de gebeurtenis dat CO-vergiftiging wordt veroorzaakt door brand. Bepaal P(A). d. Noem B de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging fataal is. Bepaal P(B). e. Noem C de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging door een auto-uitlaat is veroorzaakt. Bepaal P(C). f. Noem D de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging door een auto-uitlaat is veroorzaakt en fataal is. Bepaal P(D). g. Noem E de gebeurtenis dat de CO-vergiftiging door brand is veroorzaakt, maar niet fataal is. Bepaal P(E).

5 Bron: Cook, M.C., Simon, P.A., en Hoffman, R.E. Unintentional carbon monoxide poisoning in Colorado, 1986 through American Journal of Public Health, Vol. 85, No. 7, juli 1995, p. 989 (tabel 1). American Public Health Association Schaalverkleining bij bedrijven in Japan heeft gezorgd voor een significante toename in de vraag naar tijdelijk en parttime werk. In de tabel wordt de verdeling (in procent) gegeven van niet-reguliere medewerkers in Japan (naar leeftijd) (overgenomen uit de Monthly Labor Review, okt. 1995). De definitie van de kolomkoppen wordt onder in de tabel gegeven. Stel dat een niet-reguliere medewerker aselect uit deze populatie moet worden gekozen. Definieer de volgende gebeurtenissen: A: {de medewerker is 40 jaar of ouder} B: {de medewerker is teenager en part-time} C: {de medewerker is jonger dan 40 en arubaito of uitzendkracht} D: {de medewerker is part-time} a. Bepaal de kans op elk van bovenstaande gebeurtenissen b. Bepaal P(A D) en P(A D). c. Beschrijf in woorden de volgende gebeurtenissen: A c, B c en D c. d. Bepaal de kans op elk van de gebeurtenissen in c. Parttime: werken minder uren per dag of dagen per week dan reguliere medewerkers; arubaito: iemand met een nevenbetrekking die op school zit of ergens anders een vaste baan heeft; temporary: in dienst met een contract met een duur langer dan een

6 maand maar korter dan een jaar; day: in dienst met een contract met een duur korter dan een maand, dispatched: via een uitzendbureau Automotive News geeft maandelijks een overzicht van voorraden van binnenlandse en buitenlandse autofabrikanten. In de tabel worden de voorraden voor de Grote Drie Amerikaanse autofabrikanten gegeven voor november Bron: Automotive News, 14 december 1998, p. 38. Stel dat aselect een voertuig uit deze populatie moet worden gekozen en de fabrikant en het soort voertuig wordt waargenomen. a. Geef de uitkomsten voor dit experiment. b. Bepaal de kans dat het voertuig een personenauto is; bepaal de kans op een vrachtauto; bepaald de kans op een Ford. c. Bepaal de kans dat het voertuig een Daimler-Chrysler of een Ford is; bepaal de kans op een Daimler-Chrysler en een Ford. d. Bepaal de kans dat het voertuig een personenauto is en door General Motors is gemaakt; bepaal de kans dat het voertuig een vrachtauto is en door General Motors is gemaakt Go is een van de oudste en populairste strategische bordspelen ter wereld, vooral in Japan en Korea. Dit spel voor twee spelers wordt gespeeld op een vlak oppervlak met 19 verticale en 19 horizontale lijnen. Het doel is terrein te beheersen door stukken, die

7 stenen worden genoemd, op lege plekken op het bord te plaatsen. De spelers plaatsen om beurten een steen. De speler met de zwarte stenen begint voor de speler met de witte stenen. [Opmerking: De universiteit van Virginia verlangt van MBAstudenten dat ze Go leren om te leren begrijpen hoe Japanners zakendoen.] Chance (zomer 1995) publiceerde een artikel waarin werd onderzocht wat het voordeel was van het als eerste spelen (d.w.z. van het spelen met de zwarte stenen) in Go. De resultaten van 577 recente spellen die door professionele Go-spelers werden gespeeld werden geanalyseerd. a. In de 577 spellen won de speler met de zwarte stenen 319 keer en de speler met de witte stenen 258 keer. Gebruik deze informatie om te bepalen hoe groot de winstkans is als je bij Go als eerste speelt. b. Professionele spelers worden in niveaus geclassificeerd. Groep C omvat spelers van topniveau, gevolgd door groep B (spelers van middelniveau) en groep C (spelers van laag niveau). In de tabel staat het aantal spellen dat door de speler met de zwarte stenen is gewonnen, met het niveau van de zwarte speler en dat van zijn tegenstander. Bepaal de kans om te winnen als je als eerste speelt, voor elke combinatie van spelerniveaus. c. Wat is de kans dat zwart wint als de speler met de zwarte stenen van een hoger niveau is dan de speler met de witte stenen? d. Wat is de kans dat zwart wint als beide spelers van hetzelfde niveau zijn? 3.15 Channel One is een educatieve televisiezender die beschikbaar is voor alle middelbare scholen in de Verenigde Staten. Scholen die deelnemen hebben tv-toestellen in elke klas om de uitzendingen van Channel One te kunnen ontvangen. Volgens Educational Technology (mei-juni 1995) is 40% van alle middelbare scholen in Amerika geabonneerd op het Channel One Communication Network (CCN). Van deze scholen gebruikt slechts 5% nooit de CCN-uitzendingen, terwijl 20% vaker dan vijf keer per week de CNN uitzendingen gebruikt. a. Bepaal de kans dat een willekeurig gekozen middelbare school in Amerika geabonneerd is op CCN maar nooit gebruik maakt van de CCN-uitzendingen. b. Bepaal de kans dat een willekeurig gekozen middelbare school in Amerika geabonneerd is op CCN en vaker dan vijf keer per week gebruik maakt van de CCN uitzendingen Om de effectiviteit van hun reclamecampagnes te testen, maken bedrijven vaak gebruik van telefonische interviews met klanten, waarbij ze random-cijfer telefoonnummers gebruiken. Hierbij creëert een random-getallengenerator automatisch een steekproef van telefoonnummers die gebeld moeten worden. a. Leg uit hoe de random-getallentabel (Tabel 1 van appendix B, of een computer) gebruikt kan worden om een steekproef van telefoonnummers van 10 cijfers te genereren

8 b. Gebruik de procedure die je in a hebt beschreven om een steekproef van 10 telefoonnummers van 10 cijfers te genereren. c. Gebruik de procedure die je in a hebt beschreven om vijf telefoonnummers van 7 cijfers te genereren waarvan de eerste drie cijfers 020 zijn Een onderneming voor R&D (Research & Development) heeft een enquête gehouden onder alle medewerkers van het bedrijf ouder dan 60 jaar. De resultaten staan in de tabel vermeld. Uit deze groep wordt willekeurig een medewerker gekozen. a. Hoe groot is de kans dat de gekozen medewerker tot het technisch personeel behoort? b. Als de gekozen medewerker meer dan 20 jaar bij het bedrijf werkt, hoe groot is dan de kans dat deze van plan is om met 68 jaar met pensioen te gaan? c. Als de gekozen medewerker tot het technisch personeel behoort, hoe groot is dan de kans dat deze minder dan 20 jaar bij het bedrijf werkt? d. Hoe groot is de kans dat de gekozen medewerker langer dan 20 jaar bij het bedrijf werkt, tot het niet-technisch personeel behoort, en van plan is om op 65-jarige leeftijd met pensioen te gaan? e. Beschouw de gebeurtenissen A: {is van plan met 68 jaar met pensioen te gaan} en B: {behoort tot het technisch personeel}. Zijn de gebeurtenissen A en B onafhankelijk? Leg uit waarom. f. Beschouw de gebeurtenis D: {is van plan met 68 jaar met pensioen te gaan en behoort tot het technisch personeel}. Beschrijf het complement van gebeurtenis D. g. Beschouw gebeurtenis E: {behoort tot het niet-technisch personeel}. Zijn de gebeurtenissen B en E disjunct? Leg uit waarom Gebruik je intuïtieve begrip van onafhankelijkheid om een oordeel te geven over de vraag of elk van de volgende scenario s een onafhankelijke gebeurtenis vertegenwoordigt. a. De resultaten van opeenvolgende worpen van een munt b. De meningen van aselect gekozen personen in een verkiezingsenquête c. De resultaten van een hoofdklasse honkbalspeler in twee opeenvolgende keren dat hij aan slag is.

9 d. De hoeveelheid winst of verlies bij investeringen in verschillende aandelen als deze op dezelfde dag worden gekocht en een maand later op dezelfde dag worden verkocht e. De hoeveelheid winst of verlies bij investeringen in verschillende aandelen die in verschillende tijdperioden worden gekocht en verkocht, met een tussentijd van vijf jaar f. De prijzen die door twee verschillende ontwikkelingsbedrijven worden geboden naar aanleiding van een bouwvoorstel 3.19 Een bepaald sprinklersysteem voor flatgebouwen, kantoren en hotels heeft twee verschillende activeringsmodules voor elke sprinklerkop. De ene heeft een betrouwbaarheid van 0,91 (d.w.z. de kans dat deze de sprinkler activeert als dat nodig is, is gelijk aan 0,91). Het andere type, dat onafhankelijk van het eerste type werkt, heeft een betrouwbaarheid van 0,87. Stel dat er brand ontstaat bij een bepaalde sprinklerkop. a. Hoe groot is de kans dat de sprinklerkop geactiveerd wordt? b. Hoe groot is de kans dat de sprinklerkop niet wordt geactiveerd? c. Hoe groot is de kans dat beide activeringsmodules naar behoren werken? d. Hoe groot is de kans dat alleen de module met betrouwbaarheid 0,91 naar behoren werkt? 3.20 De kans dat een verkoper van Avon bij het eerste bezoek aan een potentiële klant schoonheidsproducten verkoopt is gelijk aan 0,4. Als de verkoper er de eerste keer niet in slaagt om iets te verkopen, dan is de kans op verkoop bij een tweede bezoek gelijk aan 0,65. De verkoper bezoekt een potentiële klant nooit meer dan twee keer. Hoe groot is de kans dat de verkoper iets aan een bepaalde klant verkoopt? 3.21 De eerste afbeelding hieronder is een schematische voorstelling van een systeem dat uit drie onderdelen bestaat. Het systeem werkt alleen goed als alle drie de onderdelen goed werken. We zeggen dat de drie onderdelen in serie werken. De onderdelen kunnen mechanisch of elektrisch zijn; het kunnen werkstations in een montageproces zijn; of het kunnen de functies van drie verschillende afdelingen in een organisatie zijn. De kans op mislukken van elk onderdeel wordt in de tabel gegeven. Veronderstel dat de onderdelen onafhankelijk van elkaar werken.

10 Onderdeel Kans op falen 1 0,12 2 0, a. Bereken de kans dat het systeem naar behoren werkt. b. Wat is de kans dat ten minste één van de onderdelen niet zal werken en daardoor het systeem niet zal werken? 3.22 De tweede afbeelding hieronder is een schema van een systeem dat uit twee deelsystemen bestaat, waarvan men zegt dat ze parallel werken. Elk deelsysteem bevat twee onderdelen die in serie werken (zie opgave 3.83). Het systeem functioneert naar behoren zolang ten minste één van de deelsystemen naar behoren werkt. De kans op falen voor elk onderdeel in het systeem is gelijk aan 0,1. Veronderstel dat de onderdelen onafhankelijk van elkaar werken. a. Bepaal de kans dat het systeem naar behoren werkt. b. Bepaal de kans dat er precies één deelsysteem niet werkt. c. Bepaal de kans dat het systeem niet werkt. d. Hoeveel deelsystemen zoals de twee die hier worden getoond zijn er nodig om te garanderen dat het systeem ten minste 99% van de tijd naar behoren werkt? 3.23 Een kleine brouwerij heeft twee flessenvulmachines. Machine A produceert 75% van de flessen en machine B 25%. Eén op elke 20 flessen die door A zijn gevuld wordt om een of andere reden afgekeurd, terwijl één op elke 30 flessen van B wordt afgekeurd. Welk percentage flessen wordt afgekeurd? Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen fles door machine A is gevuld, als gegeven is dat deze fles is goedgekeurd?