Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 6 Donderdag 30 September 1 / 25

2 1 Kansrekening Indeling: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 25

3 Vraag: Afghanistan Vb. In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een eenheid van 7 soldaten samengesteld die naar Afghanistan zal worden uitgezonden. Behalve voor de staf en de leden is de samenstelling van de eenheid geheim. Er lekt uit dat de eenheid tenminste 6 mannen bevat. Wat is dan de kans dat het overige lid een vrouw is? 3 / 25

4 Vraag: James Bond Vb. Twee geheim agenten worden door de tegenpartij tot het volgende gedwongen. Voor hen staat een tafel met 4 martini s en 12 likeuren. Agent 006 moet 2 likeuren kiezen en 1 daarvan opdrinken. Vervolgens moet agent 007 óf de andere door 006 gekozen likeur óf 1 martini opdrinken. Er wordt hen gezegd dat 4 van de likeuren vergiftigd zijn en 1 van de martini s. Agent 006 kiest een likeur, drinkt, en valt dood neer. Wat moet agent 007 doen: een likeur of een martini kiezen? 4 / 25

5 Voorwaardelijke kansen 5 / 25

6 Voorwaardelijke kansen Vraag: Wat is de kans op gebeurtenis A gegeven dat gebeurtenis E (evidence) heeft plaatsgevonden? Intuïtie: De nieuwe uitkomstenruimte is E en de nieuwe kans is #(A E) #E. A E S 6 / 25

7 Voorwaardelijke kansen Def. Gegeven een discrete stochast X en gebeurtenissen A en E, is de voorwaardelijke (conditional) kans op A gegeven E: P(A E) P(A E) def. P(E) Dus P(A E)P(E) = P(A E). Voor continue stochasten bestaat de notie van voorwaardelijke kans ook, maar die zal niet behandeld worden. 7 / 25

8 Voorwaardelijke kansen Vb. Een munt wordt drie maal geworpen. Wat is de kans op 2 maal K gegeven dat er de eerste maal K geworpen is. X is het aantal malen K, Y is de waarde van de eerste worp. kkk kkm mmm mmk kmk kmm mkm mkk P(X = 2 Y = K) = P(X = 2 Y = K) P(Y = K) = `2 (0.5) 3 1 = Vergelijk: de kans op 2 maal K is P(X = 2) = `3 1 (0.5) 3 = Vergelijk: De kans op 1 maal K bij het twee maal werpen van een munt is `2 1 (0.5) 2 = / 25

9 Voorwaardelijke kansen Vb. In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een eenheid van 7 soldaten samengesteld die naar Afghanistan zal worden uitgezonden. Behalve voor de staf en de leden is de samenstelling van de eenheid geheim. Er lekt echter uit dat de eenheid tenminste 6 mannen bevat. Wat is de kans dat het overige lid een vrouw is? (Y is het aantal mannen in de eenheid en X het aantal vrouwen.) P(X = 1 Y 6) P(X = 1 Y 6) = = P(Y 6) = = = Vergelijk: de kans dat de eenheid precies 1 vrouw bevat is P(X = 1) = = = / 25

10 Voorwaardelijke kansen Vb. De buren hebben 80 cd s die willekeurig worden afgespeeld, 20 van Beethoven, 12 met strijkkwartetten, waarvan 2 met strijkkwartetten van Beethoven. Ik hoor muziek bij de buren, een strijkkwartet, noem deze gebeurtenis K. Wat is de kans dat het een strijkkwartet van Beethoven (B) is? Vergelijk: P(B) = = P(B K) = P(B K) P(K) = = / 25

11 Antwoord op een vraag: James Bond Vb. Twee geheim agenten worden door de tegenpartij tot het volgende gedwongen. Voor hen staat een tafel met 4 martini s en 12 likeuren. Agent 006 moet 2 likeuren kiezen en 1 daarvan opdrinken. Vervolgens moet agent 007 óf de andere door 006 gekozen likeur óf 1 martini opdrinken. Er wordt hen verteld dat 4 likeuren vergiftigd zijn en 1 martini. Agent 006 kiest 2 likeuren, drinkt 1 daarvan, en valt dood neer. Wat moet agent 007 doen: de andere likeur óf een martini kiezen? Stel dat l 1,..., l 12 de likeuren zijn en dat L = {l 1, l 2, l 3, l 4 } de verzameling van vergiftigde likeuren is. Y is de likeur die 006 kiest, en X die die voor 007 overblijft. De kans dat X vergiftigd is gegeven dat Y dat is, is: P(X L Y L) P(X L Y L) = = P(Y L) = = Als 007 de martini kiest is de kans dat die vergiftigd is 0.25, kleiner dan de kans dat de likeur vergiftigd is. Daarom drinkt James Bond altijd martini s. 11 / 25

12 Oplossing van een vraag: rechtszaak Vb. In Californië vond de zaak People vs Collins (1968) plaats: een portomonee wordt gestolen en een getuige zegt een blonde vrouw met staart te hebben zien vluchten in een gele auto bestuurd door een zwarte man met baard. Een aantal dagen later wordt er een paar dat aan deze beschrijving voldoet gearresteerd. Een wiskundige berekende dat de kans dat een willekeurig gekozen paar aan deze omschrijving voldoet is. Het opgepakte paar werd veroordeeld. De Hoge Raad vond dat er nauwkeuriger gerekend moest worden. Op grond van de getuigenverklaringen bestaat er een paar met de beschreven eigenschappen. Wat is de kans dat er, gegeven het bestaan van zo een paar, nog zo een paar bestaat? Stel dat de populatie uit n stellen bestaat en laat p de kans zijn dat een willeurige paar uit de populatie aan de beschrijving voldoet. A i : het i e paar voldoet aan de beschrijving. O: precies 1 paar voldoet aan de beschrijving. A (B): tenminste 1 (2) paren voldoen aan de beschrijving. Merk op: A = B O, en O en B zijn disjunct. P(A) = 1 (1 p) n P(O) = np(1 p) n 1. Omdat B A: P(B) = P(A) P(O) = 1 (1 p) n np(1 p) n 1. P(B A) P(B A) = P(A) = P(B) P(A) n 1 (1 p) np(1 p) n 1 = 1 (1 p) n. De beroving vond plaats in een dicht bevolkt gebied: met n = en p = geldt P(B A) = Het opgepakte paar werd vrijgesproken. 12 / 25

13 Antwoord op een vraag: kinderen De kans om een meisje te krijgen is De familie de Bruin heeft vier kinderen. Meneer de Bruin zegt: wij hebben gelukkig niet allemaal jongens. Wat is de kans dat ik precies drie meisjes heb? De volgende dag ga jij bij hen op bezoek, en meneer de Bruin doet de deur open met een dochter aan de hand. Hij zegt: dit is mijn jongste kind, Marianne. Wat is de kans dat ik precies drie meisjes heb? Geef jij beide keren hetzelfde antwoord? X is het aantal meisjes, A is de gebeurtenis dat het jongste kind een meisje is. Gevraagd wordt naar de kansen P(X = 3 X 1) = P(X = 3 A) = Jij geeft niet hetzelfde antwoord. `4 P(X = 3) P(X 1) = 3 (0.49) 3 (0.51) 1 (0.51) 4 = P(X = 3 A) P(A) (0.49)`3 = 2 (0.49) 2 (0.51) = / 25

14 Voorwaardelijke kansen: eigenschappen Veel eigenschappen die we eerder zagen gelden ook voor voorwaardelijke kansen. St. Voor alle gebeurtenissen A en B geldt P(A B) + P(A B) = 1. St. Als A 1,..., A n onderling disjunct zijn, dan geldt n[ nx P( A i B) = P(A i B). i=1 i=1 St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt nx P(A) = P(A B i ). i=1 In het bijzonder: P(A B) + P(A B). 14 / 25

15 Onafhankelijkheid 15 / 25

16 Onafhankelijkheid Def. Twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk (independent) als P(A B) = P(A) en P(B A) = P(B). 16 / 25

17 Onafhankelijkheid Vb. Een dobbelsteen en een munt worden geworpen. De gebeurtenis dat er 6 gegooid wordt is onafhankelijk van de gebeurtenis dat er K gegooid wordt: k1 k2 k3 k4 k5 k6 m1 m2 m3 m4 m5 m6 P(X = 6 Y = K) = P(Y = K X = 6) = P(X = 6 Y = K) P(Y = K) P(X = 6 Y = K) P(X = 6) = = = 1 = P(X = 6). 6 = 1 = P(Y = K) / 25

18 Onafhankelijkheid St. A en B zijn onafhankelijk dan en slechts dan als P(A B) = P(A)P(B). Bew. Per definitie geldt Daaruit volgt dat P(A B) = P(A B). P(B) P(A B) = P(A B)P(B). Als A en B onafhankelijk zijn geldt P(A B) = P(A). Dit geeft P(A B) = P(A)P(B). Omgekeerd, als P(A B) = P(A)P(B), dan volgt dat P(A B) = P(A B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A). En op dezelfde wijze volgt dat P(B A) = P(B). Dus A en B zijn onafhankelijk. 18 / 25

19 Onafhankelijkheid Def. De n gebeurtenissen A 1,..., A n zijn onderling onafhankelijk (mutually independent) als voor elke deelverzameling {A i1, A i2,..., A im } van {A 1,..., A n} geldt: P(A i1 A i2 A im ) = P(A i1 )P(A i2 )... P(A im ). 19 / 25

20 Onafhankelijkheid Vb. Iemand beweert dat miljonair zijn onafhankelijk is van stemgedrag (in termen van links/rechts stemmen). Er wordt bekend dat 56% van de mensen op een rechtse partij stemt, dat 2% miljonair is, en dat 1% van de mensen miljonair is en rechts stemt. Is de uitspraak waar? = Ja, de uitspraak is waar. De twee kenmerken zijn niet onafhankelijk. 20 / 25

21 Onafhankelijkheid Vb. Stel dat er 3 karakteristieken (zoals blauwe ogen of bloedtype C) zijn die wel of niet in een DNA monster kunnen voorkomen. A i is de gebeurtenis dat karateristiek i voorkomt in het monster. Vastgesteld is dat het percentage mensen met karateristiek A 1, A 2, A 3 respectievelijk 10%, 20% en 5% is. Aannemende dat de karateristieken onafhankelijk zijn is de kans dat in een DNA monster van een persoon alle drie voorkomen = Bij het vaststellen van zekere kenmerken in het DNA van een verdachte wordt vaak onder de aanname van onafhankelijkheid gewerkt. Dit is controversieel, want het is vaak onbekend of kenmerken afhankelijk zijn. Stel bijvoorbeeld dat A 2 en A 3 wel afhankelijk zijn, maar onafhankelijk van A 1, en dat de kans op A 3 gegeven A is. Er geldt dat P(A 2 A 3 ) = P(A 3 A 2 )P(A 2 ) = = Met deze gegevens is de kans dat de karateristieken alle drie voorkomen = Veel groter. 21 / 25

22 Stelling van Bayes 22 / 25

23 Stelling van Bayes St. Als H 1,..., H n een partitie van de uitkomstenruimte is en E een gebeurtenis, dan geldt voor elke i n: P(E H i )P(H i ) P(H i E) = P n j=1 P(E H j )P(H j ). Bew. Merk op dat voor elke j n geldt: P(E H j ) = P(E H j ) P(H j ) P(E H j ) = P(E H j )P(H j ). Omdat H 1,..., H n een partitie van de uitkomstenruimte is geldt Daarom P(E) = nx P(E H j ) = j=1 P(H i E) = P(E H i ) P(E) nx P(E H j )P(H j ). j=1 = P(E H i )P(H i ) P n j=1 P(E H j ) = P(E H i )P(H i ) P n j=1 P(E H j )P(H j ). 23 / 25

24 Stelling van Bayes Vb. De kans dat een boek dat gedrukt wordt bij een uitgeverij een bladzijde mist is De kans dat een illegale kopie een bladzijde mist is De kans dat een op internet gekocht boek illegaal is, is Wat is de kans dat een gekocht boek dat een bladzijde mist een illegale kopie is? X is 1(0) als het boek wel(niet) een bladzijde mist. Y is 0(1) als het boek (il)legaal is. De kans dat een boek dat een bladzijde mist illegaal is: P(Y = 1 X = 1) = P(X=1 Y =1)P(Y =1) P(X =1 Y =1)P(Y =1)+P(X =1 Y =0)P(Y =0) = = De kans dat een boek dat geen bladzijde mist illegaal is: P(Y = 1 X = 0) = P(X=0 Y =1)P(Y =1) P(X =0 Y =1)P(Y =1)+P(X =0 Y =0)P(Y =0) = = / 25

25 Finis 25 / 25