Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen

Transcriptie

1 Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen

2 Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van het experiment...5 Deel Deel Theorie...7 Verwerking...8 Bijlage...9 2

3 Inleiding Deze lesbrief is geschreven ter aanvulling op de theorie uit het boek Getal en Ruimte havo wiskunde A deel 2, hoofdstuk 6. Dat hoofdstuk gaat over kansrekenen en bouwt verder op de theorie van hoofdstuk 1: de telproblemen. Het is verstandig om je voorkennis op dat gebied weer even op te frissen. In de eerste paragraaf wordt hier kort bij stil gestaan. Daarna ga je aan de slag met een eenvoudig kansexperiment, waar steeds enkele vragen bij moeten worden beantwoord. Aan het eind zul je de koppeling met de theorie maken en ga je met je groepje een klein verslag samenstellen. Doel van het experiment Door het uitvoeren van dit experiment zul je meer inzicht in kansexperimenten en het berekenen van kansen krijgen. Je zult meer begrip en inlevingsvermogen krijgen in wat kansen voorstellen. Daarnaast komen zaken als toeval, de wet van de grote aantallen en het verschil tussen theoretische en empirische kansen (empirisch betekent zoiets als uit onderzoek gebleken ) aan bod. Al met al zal het berekenen van kansen een veel tastbaarder begrip worden en zul je zo beter in staat zijn om de opdrachten uit het boek te begrijpen. Niet te vergeten: de resultaten zullen daarmee natuurlijk ook verbeteren! Organisatie van het experiment De experimenten zullen in groepjes worden uitgevoerd. Dit heeft als reden dat jullie zo kunnen samenwerken, van elkaar kunnen leren en dat niet iedereen heel vaak hetzelfde experiment hoeft te doen. De groepjes mogen uit maximaal 4 leerlingen bestaan en zullen door de docenten worden ingedeeld. Iedere leerling zal straks een reeks opdrachten aan de hand van een experiment gaan uitvoeren. Deze zullen als een verslagje gebundeld en ingeleverd worden. De docenten zullen dit beoordelen en als deze beoordeling positief is, kan dat tot maximaal 0,5 bonus opleveren bij de toets in de volgende toetsweek. Ook zullen zij in de daaropvolgende lessen enkele leerlingen voor de klas vragen iets te vertellen over hun experiment. Iedere leerling dient dus volledig op de hoogte te zijn van de inhoud van de experimenten en de daarbij horende opdrachten. Als er in de les tijd over is, dan kun je de opdrachten uit het boek gebruiken om de theorie en praktijk bij elkaar te laten komen. De studiewijzer blijft de leidraad richting de toetsweek en de opdrachten die je niet in de les afkrijgt, zullen thuis gemaakt moeten worden. 3

4 Voorkennis Allereerst ga je wat voorkennis opfrissen. Deze voorkennis gaat over telproblemen, de basis voor de kansrekening. Als je meer over dit onderwerp wil weten, kun je hoofdstuk 1 nog eens bestuderen. Maak deze opdracht individueel! Opdracht 1 Stel je besluit met 6 vrienden thuis een film te gaan kijken. Er zijn dan 2 taken te verdelen, te weten: iemand moet vragen of het bij diegene thuis mag, een ander moet de film huren. a) Op hoeveel manieren kunnen deze taken worden verdeeld? b) Op hoeveel manieren kan dit, als de 2 taken ook door dezelfde persoon mogen worden uitgevoerd? Tijdens de film krijgen jullie zin in wat lekkers. Twee van jullie worden aangewezen om naar de supermarkt te gaan om wat snacks te kopen. c) Hoeveel verschillende tweetallen zijn zo te vormen? d) Als iedereen in je groepje de opdrachten af heeft, kun je de antwoorden van deze opdracht al eens vergelijken. Bij elke vraag zou er een andere aanpak gekozen moeten zijn. Ga dit na! 4

5 Uitvoeren van het experiment Voor dit experiment heb je nodig: - 3 dobbelstenen - een beker - een dienblad om op te dobbelen Deel 1 We beginnen dit experiment met twee dobbelstenen, leg de derde dobbelsteen dus even aan de kant. Gooi de dobbelstenen met behulp van de beker op het dienblad. De beker dient voor een zo willekeurig mogelijke worp en het dienblad zorgt ervoor dat de dobbelstenen niet alle kanten op rollen. 1. Doe de dobbelstenen in de beker en hussel ze even goed. 2. Een van jullie gooit de dobbelstenen op het dienblad. 3. Een ander houdt op een turflijstje gedurende het gehele experiment bij welke uitkomsten gegooid worden (zie bijlage). 4. Per groepslid wordt dit 5 keer uitgevoerd. Opdracht 2 a) Hoeveel keer hebben jullie in totaal met de dobbelstenen gegooid? b) Hoeveel keer hebben jullie meer dan 8 ogen gegooid? c) In hoeveel procent van de gevallen hebben jullie meer dan 8 ogen gegooid? d) Beredeneer hoeveel mogelijkheden je hebt om meer dan 8 ogen te gooien. e) Wat zou je in theorie verwachten bij het antwoord van vraag b? f) Wat zou je in theorie verwachten bij het antwoord van vraag c? 5. Voer het experiment per persoon nog eens 10 keer uit. g) Kloppen de uitkomsten van vraag b en c nu beter met je verwachting? Hoe komt dit denk je? Wat zou je moeten doen om nog beter in de buurt te komen? Probeer uit te leggen waarom. 5

6 Deel 2 Voeg nu de derde dobbelsteen toe aan het experiment. 1. Doe de dobbelstenen in de beker en hussel ze even goed. 2. Een van jullie gooit de dobbelstenen op het dienblad. 3. Een ander houdt op een turflijstje gedurende het gehele experiment bij welke uitkomsten gegooid worden (zie bijlage). 4. Per groepslid wordt dit 5 keer uitgevoerd. Opdracht 3 a) Hoeveel keer hebben jullie in totaal met de dobbelstenen gegooid? b) Hoeveel keer hebben jullie meer dan 14 ogen gegooid? c) In hoeveel procent van de gevallen hebben jullie dus meer dan 14 ogen gegooid? d) Beredeneer hoeveel mogelijkheden je hebt om meer dan 14 ogen te gooien. e) Wat zou je in theorie verwachten bij het antwoord van vraag b? f) Wat zou je in theorie verwachten bij het antwoord van vraag c? 5. Voer het experiment per persoon nog eens 10 keer uit. g) Kloppen de uitkomsten van vraag b en c nu beter met je verwachting? Hoe komt dit denk je? Wat zou je moeten doen om nog beter in de buurt te komen? Probeer uit te leggen waarom. 6

7 Theorie Nu is het langzamerhand tijd voor wat theorie over kansen. Een kans kun je berekenen met behulp van de volgende formule (de kansdefinitie van Laplace): P(Gebeurtenis) = aantal _ mogelijkheden _voor _ de _ gevraagde _ gebeurtenis totaal _ aantal _ mogelijke _ gebeurtenissen De uitkomst hiervan is altijd een getal dat minimaal 0 en maximaal 1 kan zijn. Meestal drukken we kansen uit in een decimaal getal (afgerond op 3 decimalen), maar soms worden ook breuken gebruikt. Er bestaat verschil tussen kansen die we door middel van experimenteren kunnen berekenen (empirische kansen) en kansen die je door middel van een theoretisch model kunt berekenen (theoretische kansen). Bij het beantwoorden van de vragen horend bij de voorgaande experimenten heb je met beide gevallen te maken gehad. Zo heb je bij de vragen 2d en 3d het antwoord gebaseerd op je experiment. In feite kun je de percentage dus vertalen naar empirische kansen. Bij de vragen 2e en 3e heb je een verwachting moeten uitspreken die je (waarschijnlijk) gebaseerd hebt op een theoretisch model. Deze percentages kun je dus vertalen naar theoretische kansen. Opdracht 4 a) Bereken bij beide experimenten de theoretische kans (bij deel 1 de theoretische kans op twee blauwe knikkers en bij deel 2 de kans op twee knikkers van dezelfde kleur). b) Hoe komt het, denk je, dat je deze kansen niet precies waar kunt maken bij het uitvoeren van het experiment? Kijk ook naar wat je bij de vragen 2f en 3f hebt geantwoord. Zoals je wellicht weet, wordt het spel yahtzee met 5 dobbelstenen gespeeld. Een van de worpen waarmee je veel punten kunt verdienen is de full house. Je hebt dan twee dobbelstenen met gelijke ogen en de andere drie met andere gelijke ogen, bijvoorbeeld twee keer een 5 en drie keer een 6. c) Bereken de kans dat je met 5 dobbelstenen een full house gooit. Figuur 1: een voorbeeld van een "full house" 7

8 Verwerking Om het praktische deel af te sluiten ga je de opdrachten die je gemaakt hebt verwerken in een klein verslag. Bouw het verslag op volgens onderstaande indeling: 1. Titelpagina 2. Inhoudsopgave 3. Inleiding (waar gaat dit verslag over) 4. Uitwerking van de opdrachten 1 t/m 4 5. Samenvatting van de theorie van paragraaf Een eigen voorbeeld van een kansexperiment (denk maar aan bepaalde spelletjes die je wel eens gespeeld hebt, tv-spellen of gokspellen) 7. Reflectie (omschrijf kort hoe goed je de theorie nu begrepen hebt en wat je van deze manier van werken vindt en geef aan wat je nog aan tips of verbeteringen ziet) Je dient per groep één verslag in te leveren op de datum die door de docenten wordt gesteld. Daarnaast zullen er in de daarop volgende lessen enkele leerlingen naar voren gevraagd worden om iets te vertellen over de experimenten. Zorg dus dat je actief betrokken bent, zodat je voldoende weet om vragen over dit onderwerp zelfstandig te beantwoorden. Zoals eerder vermeld kun je met dit verslag maximaal 0,5 bonus verdienen voor de toets in toetweek 3. Daarnaast dien je opdrachten die in de studiewijzer vermeld staan bij te houden. Natuurlijk dient dit ter voorbereiding om de toets in april. Je docent zal dit dan ook in de gaten blijven houden. Heel veel succes en plezier! 8

9 Bijlage Turflijst voor deel 1 NB: Zet kleine streepjes, zodat je genoeg ruimte hebt. Turflijst Totaal 2 ogen 3 ogen 4 ogen 5 ogen 6 ogen 7 ogen 8 ogen 9 ogen 10 ogen 11 ogen 12 ogen Totaal 9

10 Turflijst voor deel 2 NB: Zet kleine streepjes, zodat je genoeg ruimte hebt. Turflijst Totaal 3 ogen 4 ogen 5 ogen 6 ogen 7 ogen 8 ogen 9 ogen 10 ogen 11 ogen 12 ogen 13 ogen 14 ogen 15 ogen 16 ogen 17 ogen 18 ogen Totaal 10