uitwerkingen OefenTentamen kansrekening 2007

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "uitwerkingen OefenTentamen kansrekening 2007"

Rosa van der Pol
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedaestlaan Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht uitweringen OefenTentamen ansreening 2007 Uitwering van Ogave Ogave Veronderstel dat α de ans is dat van een tweeling beide inderen jongens zijn, en dat β de ans is dat ze allebei meisje zijn. Veronderstel verder, dat als een tweeling uit een jongen en een meisje bestaat, de ans dat het eerst geboren ind een meisje is, 2 is. (a Wat is de ans dat de tweeling van hetzeldfde geslacht is? Uitwering (a We schrijven A voor de gebeurtenis dat een tweeling uit twee jongens bestaat, B voor de gebeurtenis dat een tweeling uit twee meisjes bestaat, en C voor de gebeurtenis dat het eerstgeboren ind een meisje is. Omdat A B, geldt dat P (A B P (A + P (B α + β. (b Toon aan dat de ans dat het eerste geboren ind van een tweeling een jongen is, gelij is aan +α β. 2 Uitwering (b P (C c P (C c AP (A + P (C c BP (B + P (C c (A B c P ((A B c. Nu is P ((A B c +α β en we vinden dat P (C c α+0 β + +α β ( α β. 2 2 (c Als het eerst geboren ind een jongen is, wat is dan de ans dat het tweede ind eveneens een jongen is? Uitwering (c P (A C c P (A Cc P (C c P (A P (C c 2α. α β Uitwering van Ogave 2 Ogave 2 Er word herhaaldelij geworen met een dobbelsteen. Laat X het aantal woren tot een met voor het eerste een bovenomt, en Y het aantal woren tot een met voor het eerste een 5 bovenomt. (a Zijn X and Y onafhanelij? Uitwering (a X en Y zijn niet onafhanelij. Er geldt bijvoorbeeld dat P (X, Y 0 P (X P (Y. (b Beaal E (X + Y. Uitwering (b Mer o dat X en Y geometrisch verdeeld zijn met arameter, dat wil zeggen dat P (X P (Y ( 5, for {, 2, 3,...}. Toelichting: om bij de de wor voor het eerst zes te hebben moet je de eerste woren geen zes gooien en bij de de wor wel. Nu geldt wegens de lineariteit van de verwachting en het feit dat X en Y dezelfde verdeling hebben dat E(X + Y E(X + E(Y 2E(X

2 2 ( 5 2 ( (c Beaal P (X n, Y m voor alle n, m. Uitwering (c Als n m, P (X n, Y m 0, je unt niet tegelij voor het eerst vijf en voor het eerst zes gooien. Als n < m, treedt X n, Y m o als bij de eerste n woren,2,3 of 4 wordt gegooid, bij de nde wor, van de n + ste tot en met de m ste,2,3,4, of en bij de n ( 5 mde wor 5. We vinden P (X n, Y m ( 2 3 O dezelfde manier vinden we dat P (X n, Y m ( 2 n > m. n m, als n < m. m 3 ( 5 m n, als (d Beaal E (X Y. Uitwering (d We meren eerst o dat P (X Y 0 en dat voor x 2, Vervolgens bereenen we P (X x Y E(X Y P (X x, Y P (Y 2 ( 5 x 2 ( ( 5 x ( 5 x 5 x2 ( x x 2. x 2 ( 5 x ( 5 2 Uitweringen van Ogave 3 Ogaven 3 De stochastische variabelen X en Y zijn onafhanelij en geometrisch verdeeld met arameter : P (X P (Y ( ;, 2,... Het minimum van X en Y geven we aan met Z, dus Z min{x, Y }. (a Laat zien dat Z geometrisch verdeeld is met arameter (2. (b Laat zien dat de conditionele verdeling van X gegeven Z gegeven wordt door X Z (n { 2, n, 2 ( n, n >. 2

3 (c Beaal de conditionele verwachting van X gegeven Z. Uitwering P (Z P (min(x, Y P ((X Y > (X > Y (X Y P (X Y > + P (X > Y + P (X Y P (X P (Y > + P (X > P (Y + P (X P (Y ( ( + ( ( + (( 2 ( 2 2 (2( + (2 ( (2, dus Z is geometrisch verdeeld met arameter (2. (b Stel dat n >, Beschouw nu P (X n Z P (X n Z P (Z P (X n Y P (Z P (X n P (Y P (Z ( n ( (2 ( (2 P (X Z (c Met behul van (b vinden we dat E (X Z ( n+ 2 (2 ( ( n. P (X Z P (Z P (X Y P (Z P (X P (Y P (Z ( ( (2 ( n+ n ( n (m + + ( m+ 2 m0 3

4 2 + 2 ( (m + ( m m0 + 2 ( ( m m ( ( 2 + (2 + (2 + (2. Uitwering van Ogave 4 Ogave 4 Laat X, X 2,... een rij van onafhanelije stochasten zijn, met genererende functie G Xi 4 (s+s2 +s 4 +s 5, voor i, 2,... Laat N een Binomiaal verdeelde stochast zijn met arameters m en (d.w.z. P (N n ( m n n ( m n voor n 0,,..., m. Veronderstel verder dat N onafhanelij van X, X 2,... is. Laat Y X +X X N. (a Laat zien dat voor n 0,, 2,..., m en alle s, E ( s Y N n 4 n (s + s2 + s 4 + s 5 n Uitwering (a Volgens de definitie van Y, E ( s Y N n E ( s X +X X N N n E ( s X +X X n N n E ( s X +X X n waar de laatste regel volgt uit de onafhanelijheid van de X i s en N. Vervolgens geldt dat E ( s X +X X n E ( s X s X 2... s Xn E ( s X E ( s X 2... E ( s Xn, wegens de onafhanelijheid van de X i s. Volgens de definitie van een genererende functie is E ( s X i GXi (s. Dus is E ( s Y N n G X (sg X2 (s... G Xn (s ( n 4 (s + s2 + s 4 + s 5. (b Beaal (met behul van onderdeel (a P (Y 5 N 3 Uitwering (b Volgens de definitie van de genererende functie is G Y Nn (s E ( s Y N n i P (Y i N n s i. 4

5 Dus zien we dat ( 3 4 (s + s2 + s 4 + s 5 P (Y i N 3 s i. i Er volgt dat P (Y 5 N 3 de coëfficient van s 5 in ( 3 4 (s + s2 + s 4 + s 5. We reenen dit uit: ( 3 4 (s + s2 + s 4 + s (s3 + 3s 4 + 3s en vinden dat P (Y 5 N (c Laat zien (m.b.v. (a dat de genererende functie van Y gegeven wordt door ( m G Y (s 4 (s + s2 + s 4 + s 5 + Uitwering (c We weten, G Y (s E ( s Y E ( s Y N n P (N n n0 ( n ( m 4 (s + s2 + s 4 + s 5 n ( ( m n 4 (s + s2 + s 4 + s 5 n0 n0 ( 4 (s + s2 + s 4 + s 5 + waar de laaste som volgt uit de binomium van Newton. m, n ( m n n ( m n (d Beaal de verwachting E (Y en variantie σ 2 (Y van Y. Uitwering (d M.b.v. de genererende functie van Y, vinden we dat E (Y G y( 3m σ 2 (Y G Y ( + G Y ( G Y ( m 9m2. 5

Vergelijkbare documenten

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders. Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4,