Twee vertellingen over 7r

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Twee vertellingen over 7r"

Transcriptie

1 Twee vertellingen ver 7r J. P. HOGENDJK Tekst van een vrdracht, gehuden p de jaarlijkse studiedag van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren,T ktber 1979 te Utrecht. Dames en Heren, De 'twee vertellingen ver n ', waarver deze vrdracht gaat, zijn echt gebeurd; ze spelen zich af in de bleitijd van de slam. De hfdpersnen van beide vertellingen zijn slamitische meetkundigen : de eerste is Al-Kuhi, die in de tiende eeuw leefde, wat hij met z deed hud ik ng even geheim. De tweede vertelling gaat ver Al-Kashi ( + 140). Hij heeft ninlídecimalen benaderd, zijn resultaat n : 6, is tt in de laatste decimaal crrect. Er zijn een aantal redenen waarm ik deze twee vertellingen ver z heb uitgekzen als nderwerp vr vandaag. Allereerst is n een getal dat je vaak tegenkmt in de dagelijkse praktijk van het nderwijs, en als zdanig dacht ik dat z wel paste in het thema van vandaag. Verder ligt het nderwerp in de sfeer van de geschiedenis van de wiskunde, p verzek van de rganisatren. Tensltte hp ik dat ik met deze twee vertellingen de meesten van u iets zal vertellen dat hen ng niet bekend is; deze vertellingen zijn k leuk mdat ze niet helemaal znderverband zijn met wat vandaag in verschillende werkgrepen hier gebeurt, vral in de werkgrepen ver merkwaardige prducten, kleine redeneringen en blikwisseling. De indeling van de lezing is verder als vlgt. Eerst zal ik een krte inleiding geven ver de wetenschap en de wiskunde in de slam. Dan zal ik iets meten vertellen ver het werk van Archimedes. Hierp vlgen de verhalen veral-kuhi en Al-Kashi. Z'n 10 jaar na de dd van Mhammed, we leven dan in het jaar 750 na Chr., is Bagdad de hfdstad van het lslamitische rijk. De kaliefen beginnen nu van Bagdad een centrum van wetenschap te maken, drdat zlj zveel mgelijk handschriften met wetenschappelijke werken in het Grieks, het Oud-Syrisch en het Sanskrit naar Bagdad laten kmen, en daar laten vertalen. En vanaf dat mment ntstaat er een slamitische wetenschap met een eigen karakter, een slamitische wetenschappelijke traditie die bijvrbeeld in Perzië tt ver in de l9e eeuw levend is gebleven. Met wetenschappen bedel ik hier dan vral geneeskunde, filsíïe, wiskunde, natuurwetenschappen en aardwetenschappen. De taal van de wetenschappen blijft tt in de 5e eeuw het Arabisch, alhewel lang niet alle geleerden die binnen deze traditie werkten Arabieren waren. Het meren- 95

2 deel was Mslim van andere natinaliteit (bijv. Perzen), en er waren k Christelijke en Jdse geleerden, die binnen de slamitische wetenschappelijke traditie gewerkt hebben. k wil en kan hier geen verzicht geven van de ntwikkeling van die wetenschappen, f zelfs alleen van de wiskunde f de meetkunde; bvendien zu ik u dan meten plagen met een hele lijst van Arabische namen, die u misschien wat vreemd in het gehr zuden liggen. k zal mij beperken tt de namen Al-Kuhi en Al-Kashi. De slam heeft het bestuderen van de wetenschappen bijna altijd aangemedigd: Gd wil namelijk, dat de mens studeert. Vandaar dat de wetenschappen vaak in een spiritueel kader geplaatst wrden, dit zullen we straks k zien in het werk van Al-Kuhi. De wiskunde staat binnen de wetenschappen hg in aanzien, niet alleen mdat ze tegepast kn wrden, maar k mwille van zichzelf. Want veel wiskundigen dachten, dat getallen en meetkundige hguren deel uitmaakten van een nvergankelijke, nstffelijke wereld, die dichter bij Gd is dan nze stffelijke aarde. De wiskunde werd vral van de 9e tt de 15e eeuw beefend. Er zijn ng heel veel wiskundige teksten uit deze peride ver, in biblitheken ver de hele wereld. Hiervan is maar een klein deel nderzcht, en vral p het gebied van de meetkunde hebben we ng helemaal geen verzicht van wat er gepresteerd is. Daarm is het beeld van de slamitische meetkunde, dat in samenvattende beken ver de geschiedenis van de wiskunde gegeven wrdt, bijna altijd erg karikaturaal. De geleerden hebben veel meer gedaan dan in deze beken vermeld staat. Sms vind je zelfs de pvatting dat de geleerden van de slam 'ns' (wij westerlingen) weliswaar een dienst bewezen hebben, drdat ze de ude Griekse werken ver meetkunde vertaald en bewaard hebben * zdat ze weer in het Latijn vertaald knden wrden en wij er kennis van knden nemen - maar dat die geleerden verder niets anders knden dan het schrijven van drge en nvruchtbare cmmentaren. Dat is niet waar, en dat hp ik u nder andere met deze vrdracht te laten zien. Want de slamitische meetkundigen waren wel degelijk in staat tt creatieve prestaties. Hiervan wrdt de laatste jaren steeds meer bekend, en z is k het werk van Al-Kuhi en Al-Kashi bekend gewrden. Hierbij met ik aantekenen dat het werk van Al-Kuhi ver 7r ng niet vertaald en uitgegeven is. Over dit werk bestaan samenvattende artikelen, maar wie de finesses wil weten met ng steeds het manuscript erbij halen. lkzalnu een samenvatting geven van een deel van het werk van Archimedes. Allereerst is in dit verband belangrijk de manier waarp Archimedes n benadert. Zijn idee is u waarschijnlijk wel bekend: benader de cirkelmtrek met mtrekken van regelmatige in- en mgeschreven veelheken die je kunt uitrekenen (zie Íig. 1). k ver enkele afkrtingen in: r: straalvandecirkel l,: mtrek van de ingeschreven regelmatige n-hek,: mtrek van de mgeschreven regelmatige n-hek z^: zljde van de ingeschreven regelmatige n-hek Z^: zrjde van de mgeschreven regelmatige n-hek 96

3 Figuur Archimedes det in feite het vlgende. Hij begint met de ingeschreven regelmatige zeshek en de mgeschreven regelmatige twaalfhek. Het is bekend dat z6,z' r r!/ 15 'zes Archimedes spreekt niet ver qutiënten maar ver verhudingen; ik heb dit gemakshalve in mdernere terminlgie vertaald. ta Dan benadert hij uita u, n : rrrr 6, 1,4, 4S;Z-J! uit4vr n - 1,4, 48. Hij met bij deze vergangen wrteltrekken; hij geeft bij de vergang pfu""n 7r afschatting van de wrtel naar beneden, bij de vergan g p"*, een afschatting van de wrtel naar bven Z geeft hij een exact bewijs van zijn eindresultaat: "10 7l lg r 'n.ry. :]{'cirtelmeting', prp. ) Het is eigenlijk anachrnistisch hier het symbl n te gebruiken. Dit symbl werd pas in 1706 vr het eerst gebruikt, Archimedes spreekt ver de verhuding van diameter en mtrek van de cirkel. Ter intrductie van het werk van Al-Kuhi met ik u iets vertellen ver de verlevering van het werk van Archimedes ver ppervlakten, inhuden en zwaartepunten van figuren. Hiervan is slechts een gedeelte in het Arabisch vertaald, zdat de slamitische geleerden niet alle resultaten van Archimedes kenden. Wel vertaald in het Arabisch zijn de twee beken ver de bl en de cylinder van Archimedes, en zijn 'Cirkelmeting' ; hierdr waren zijn stellingen ver mtrek en ppervlakte van de cirkel, ppervlakte en inhud van de bl en het blsegment, en mantelppervlakte van de kegel binnen de slam bekend. Men wist echter niet dat Archimedes k de ppervlakte van de ellips, de inhud 97

4 van de rtatielichamen van de ellips, een parablsegment en een hyperblsegment, en de zwaartepunten van een parablsegment, zijn rtatielichaam en een blsegment bepaald had. Verder heeft Archimedes de ppervlakte van het parablsegment bepaald! maar k de beken waarin hij dit resultaat bewijst zijn niet vertaald in het Arabisch. Archimedes nemt echter zijn stelling ver de ppervlakte van het parablsegment in het vrwrd van zijn eerste bek ver de bl en de cylinder. Omdat dit bek wel in het Arabisch vertaald was, wisten de slamitische geleerden dat Archimedes de ppervlakte van het parablsegment bepaald had, al wisten ze niet he. Maar het duurde niet lang ttdat zij zelf k een bewijs vnden * p een andere manier. Spedig daarna werden de stellingen ver de inhud van het rtatielichaam van het parablsegment en de ppervlakte van de ellips herntdekt en bewezen. 4 \ Figuur Als ik zeg dat Archimedes f een slamitische meetkundige de ppervlakte f inhud van een figuur bepaalt, dan bedel ik niet dat hij een frmule geeft, maar dat hij bewijst dat de ppervlakte f inhud van de figuur gelijk is aan bijvrbeeld de ppervlakte van een bepaalde driehek, f de inhud van een bepaalde cylinder. Z bewljzen Archimedes en zijn slamitische cllega's dat de ppervlakte van een parablsegment gehjk is aan vier derde maal de ppervlakte van de driehek met dezelfde basis en tp als het segment (ftg. ). Nu kmen we aan in de tiende eeuw, bij Al-Kuhi, die het werk heeft vrtgezet waarmee zijn vrgangers in de negende eeuw begnnen waren. Maar laat ik u eerst iets ver het leven van Al-Kuhi vertellen. Al-Kuhi had in zijn jeugd niet z'n serieuze instelling, hij hrde bij een grepje 98

5 kmedianten f acrbaten, die p de markten ptraden. Maar daarna, z gaat een bigraaf verder, 'greep hem de zrg m de eeuwigheid', en hij wijdde zich aan de studie van de wetenschap. Hij werd een zeer vraanstaand meetkundige, in de tweede plaats k astrnm. Onder zijn leiding werd een bservatrium gebuwd in de tuin van het kninklijk paleis te Bagdad; hier werden, alweer nder zijn leiding, astrnmische waarnemingen gedaan. Al-Kuhi had veel leerlingen, een knap uiterlijk en is hgbejaard gewrden. Er zijn een aantal van zijn uitspraken bewaard gebleven, nder andere: 'Dr verheven, zuivere intentie wrdt de mens datgene gegeven wat hij vraagt; niet dr hard werken.' Tch heeft Al-Kuhi zelf hard gewerkt, er zijn ngeveer 40 meetkundige werken van hem bewaard gebleven, en hij met er ng meer geschreven hebben. Van de bewaarde werken zijn p dit mment zeven ged nderzcht. van de resterende is vaak niet meer dan de titel bekend. Al-Kuhi heeft.a. de stelling die de inhud van het rtatielichaam van een ellips geeft, herntdekt, en k resultaten van Archimedes ver zwaartepunten van het parablsegment, zijn rtatielichaam, en de halve bl. Dit heeft hrj nafhankelijk van Archimedes gedaan, hij schrijft dat hem geen resultaten van anderen p dit gebied bekend waren. We weten niet he Al-Kuhi zijn stellingen afgeleid heeft, want zijn grte leerbek in zes delen ver de therie van de zwaartepunten is verlren gegaan. Maar gelukkig nemt Al-Kuhi enkele van zijn resultaten in een bewaard gebleven crrespndentie met een vriend (wiens naam ik niet zal nemen m uw geheugen niet met Arabischenamen p de pref te stellen). En nu kmen we bij n terecht, want de vriend vraagt in zijn eerste brief (k geef veral vrije weergaven) : 'k heb gehrd dat jij bewezen hebt, dat mtrek en diameter van de cirkel zich verhuden als twee gehele getallen.' De vriend vraagt hierver pheldering. Al-Kuhi zegtinzijn antwrd het vlgende: Beschuw eens een halve bl, een mwentelingslichaam van een parablsegment, en een kegel, die alle drie in één en dezelfde cylinder ingeschreven zijn, als in Íïg.. s het nu niet verbazingwekkend dat de inhuden van de halve bl, het rtatielichaam van het parablsegment en de kegel gelijk zijn aan respectievelijk Figuur 99

6 twee derde, de helft en één derdè van de inhud van de cylinder? Dit wij st erp, dat Gd de dingen tch p wnderbaarlijke wijze gerdend heeft! Maar ik heb een ng miere vlgrde gevnden in de zwaartepunten van smmige figuren! Beschuw hierte een halve cirkel ABT met diameter lb. middelpunt M; MT AB,entegelijkertijd de gelijkbenige drieh ek ABTenhet parabisegment ABT vande parabl met tp T, as TM,die dr A en B gaat. Als we deze drie figuren m TM draaien, ntstaan drie nióuwe: uit de halve cirkel een halve bl, uit het parablsegment een rtatielichaam en uit de driehek een kegel. z.ie fig. 4. Figuur 4 we duiden het zwaartepunt van elk van deze zes figuren aan met z. Nu vind je de vlgende wnderbaarlijke rdening (die Al-Kuhi in een tabel geeft) in de verhudingen ZM : T M ZM:TM vlakke figuren mwentelingslichamen driehek l: kegel :4 parablsegment :5 m\ry.lichaam parablsegment :6 halve cirkel :7 halve bl :8 Dan gaat Al-Kuhi met zijn resultaat vr de halve cirkel aan het werk (fig. 5, ntaties dezelfde als in Íïg. 4). We weten : ZM: TM : :7. Kies nu A' p MA zdat ) M A' : ;, en trek een nieuwe halve cirkel A' B' T'met middelpunt M, als in de figuur. 400

7 1/' 'Li Figuur, A' M B' B Nu past Al-Kuhi twee stellingen te (die hij vr willekeurige cirkelsectren en cirkelbgen frmuleert). l. Omdat Zhetzwaartepunt is van de halve cirkel ÁTB.isZk zwaartepunt van de bg A'T'B'.. Omdat Zhet zwaartepunt van de bg Á'T'B'is, geldt, dat de lengte van de bg A'B'zich verhudt tt de lengte van de rechte A' B' als A' M tt MZ. Het bewijs van deze twee stellingen was te vinden in zijn grte zesdelige werk ver zwaartepunten, we kunnen het dus helaas niet meer nalezen. De twee stellingen zijn echter wel waar, en ik geef u graag de pgave mee een bewijs ervr te cnstrueren. Hierbij mag u dan geen mderne hulpmiddelen zals symblische ntaties en integralen gebruiken, u met een bewijs vinden zals Al-Kuhi het k gegeven zu kunnen hebben. k verwacht dat uw bewndering vr Al-Kuhi dr deze elening zeer zal tenemen. De tepassing van de twee stellingen leidt tt het vlgende resultaat: n bga'b' A'M TM 7 14 dus z :ï ::j. tar-rcuhileidt dit p iets mslachtiger manier met gebruik van verhudingen af) Een drm is werkelijkheid gewrden! Er is alleen een kleine meilijkheid: Al-Kuhi kent de Cirkelmeting van Archimedes, en dus k diens resultaat,#.,.+.nu is :jwel kleiner aan l], maar :f is niet grter un 1fr. Al-Kuhi heeft een slimme plssing van dit prbleem bedacht: ae lf is een verschrijving in het handschrift, er heeft rsprnkelijk # gestaan. Wanneer de getallen lfr.n,# t" het Arabisch in wrden wrden uitgeschreven, lijken ze inderdaad veel p elkaar: 401

8 .10 7l r!: 9l 'h ir* t J>l cl. 'ljê-l ej.ts t at)ti th ë**-; t r*l i,r 'l11l áj.r,s t &)tt Alleen de twee wrden irs* (70) en ir* (90) zijn verschillend, en het verschil wrdt ng kleiner wanneer men bedenktdat de puntjes bven en nderde wrden vaak werden weggelaten in handschriften. k met hierbij pmerken, dat Al-Kuhi misschien een versie van de Cirkelmeting van Archimedes kende. waarin het bewijs van de Archimedische benadering van z ntbrak. kzalde verdere argumenten van Al-Kuhi laten rusten, en zelf enig cmmentaar p de redenering geven. Tt uw geruststelling kan ik zeggen dat Al-Kuhi's redenering inderdaad een fut bevat, de verhud ing Z M : T M : : 7 vr de halve cirkel is njuist. Alle andere waarden vr ZM: TM in de tabel klppen wel, en in de tweede brief van Al-Kuhi aan zijn vriend kmt de aap uit de muw: Al-Kuhi heeft zijn resultaten vr de vijf andere gevallen meetkundig bewezen, maar zijn resultaat vr de halve cirkel ng niet. Al-Kuhi wijt dit echter uitsluitend aan zijn eigen nkunde. De verhuding ZM: TM met immers wel :7 zijn, wegens het bestaan van de wnderbaarlijke rdening - het zu tch heel vreemd zijn, wanneer die verhuding niet :7 was. Daar met u niet m lachen, want Al-Kuhi bedelde dit heel serieus. Het juiste resultaat vr de halve cirkel is ZM: TM : 4:n, maar dit is feitelijk k wat Al-Kuhi afleidt dr zijn twee stellingen uit zijn leerbek ver zwaartepunten te te passen! We kunnen zijn redenering zelfs als vlgt weergeven: Hij leidt af ZM: TM :!-:n. wegens filsfische redenen met gelden ZM:TM : : 7, cnclusie: z : 8. 9' De redenering van Al-Kuhi is dus minder fut dan p het eerste gezicht zu wrden vermed. We kunnen verder het vlgende zeggen; wat Al-Kuhi ng wilde den - het bepalen van het zwàartepunt van de halve cirkel - had hij in feite al gedaan. Dat zag hij zelf niet, hiervr had hij het prbleem van een heel andere kant meten bezien - iets dat wij tegenwrdig wel een blikwisseling nemen. Het lijkt mij dat een dergelijke blikwisseling erg meilijk geweest zu zijn vr Al-Kuhi: daarvr had hij zijn gelf in de wnderbaarlijke rdening van de zwaartepunten meten pgeven. Van het vervlg van het verhaal weten we weinig; we weten niet, he de cllega's van Al-Kuhi p deze vndst gereageerd hebben, en f de blikwisseling later tch is pgetreden.er zrjn slechts een paar kritieken bewaard gebleven van mensen, die de wiskunde van Al-Kuhi niet helemaal begrepen. Z hren we dat nder de sterrenkundigen de mening heerste, dat mtrek en diameter van de cirkel zich niet als twee gehele getallen knden verhuden, mdat een rechte lijn en een cirkel twee lijnstukken 'van verschillende srt'waren. (Hierp antwrdde Al-Kuhi dat Archimedes tch bewezen had dat de ppervlakken van een bl en een kegel tch k een ratinale verhuding knden hebben, twee ppervlakken die tch veel meer van elkaar verschilden dat twee eenvudige delen van het platte vlak; een cirkel en het vierkant van de straal) 40

9 U heeft nu een njuiste berekening gezien van een slamitische geleerde. De geleerden in de slam hebben k juiste berekeningen van z uitgeverd, en ik wil het laatste gedeelte van mijn vrdracht besteden aan z'n juiste berekening, namelijk de berekening van de l5e-eeuwse rekenmeesteral-kashi. Al-Kashi hrde tt een grep van 60 à 70 wiskundigen en sterrenkundigen die in de jaren 140^140 in Samarkand werkten. Samarkand ligt tegênwrdig in de Svjet-Unie, niet ver van de Afghaanse grens. De wis- en sterrenkunde kwamen in deze peride in Samarkand tt grte blei, nder andere mdat de plaatselijke kning een ged wis- en sterrenkundige was. Vrdat ik Al-Kashi's berekening van z kan bespreken met ik laten zien he het heelal er in die peride uitzag in de gen van de astrnmen. n het begin van zijn brief ver de cirkelmtrek zegt A -Kashi (ik geef steeds vrije aarde p km (in tegenwrdige lengtematen uitgedrukt). Om de aarde draaiden zn, maan en planeten, daarbuiten was de sfeer van de vaste sterren, die eenmaal in 4 uur m de aarde draaide. Men schatte de diameter van deze buitenste sfeer p aarddiameters, dit is 70 miljen km. Zie Íïg. 6. n het begin van zijn brief ver de cirkelmtrek zegt Al-Kashi (ik geef steeds vrije weergaves): Archimedes heeft bewezen dat de verhuding van mtrek en diameter grter is dan f.n kleiner Oan 1. Het verschil van deze twee waarden i, e - 7l --'- -7' '- 497' als we de mtrek van een cirkel met diameter 70 miljen km willen uitrekenen, geeft dit een nnauwkeurigheid van * km. Later heeft men n nauwkeuriger benaderd, maar tch z, dat de nzekerheid in de mtrek van dezecirkel ng steeds km is. Als we ppervlak ten f inhuden wi llen berekenen, kan de nnauwkeurigheid ng veel grter wrden. Figuur ó 40

10 Kennelijk is het de bedeling van Al-Kashi geweest, nz ged te benaderen, dat deze benadering vr altijd nauwkeurig geneg zu zijn, want nu maakt hij bekend, wat hij van plan is: hij wil een benadering van n berekenen met een z grte precisie, dat men de mtrek van een cirkel met diameter aarddiameters met een nnauwkeurigheid van hgstens een haarbreedte kan bepalen. De haarbreedte is een ged gedefinieerde lengtemaat van ngeveer 0,5 mm, de cirkel die Al-Kashi hier beschuwt heeft een straal van ruim 4 miljard kilmeter, ngeveer de afstand van de planeet Plut tt de zn. kzelf vind het pvallend dat deze cirkel in de wereld van Al-Kashi helemaal niet bestaan kan (de diameter van de sfeer van de vaste sterren was immers slechts 0000 aarddiameters), dit verhindert Al-Kashi blijkbaar niet, tch ver een dergelijke cirkel na te denken. Al-Kashi kiest een nieuwe cirkel met straal 60, en tnt aan dat het vldende is, de mtrek van deze cirkel met een precisie van 60-8 te bepalen, m de vereiste nauwkeurigheid van n te bereiken. De mtrek van deze cirkel wil hij benaderen dr de mtrek van een geschikte regelmatige ingeschreven."-hek te berekenen: deze mtrek kan immers vr elke n met willekeurige precisie berekend wrden uitgaande van de ingeschreven regelmatige zeshek. k herinner u aan mijn ntaties i en k vr de mtrekken van respectievelijk de ingeschreven en mgeschreven regelmatige k-hek. Al-Kashi met nu een n bepalen zdat i..rn minder dan 60-8 van decirkelmtrek verschilt. Aan deze vrwaarde is zeker vldaan wanneer i..n en.nminder dan 60-8 van elkaar verschillen. n een vernuftig bewijs tnt Al-Kashi aan, dat dit laatste het geval is wanneer n minstens 8 is. Al-Kashi ziet zich dus de taak gesteld it.rzz te berekenen: de mtrek van een regelmatige ingeschreven hek. Hij heft 0r.rzt niet uit te rekenen, immers hij weet van te vren, dat i..rzs minder dan 60-8 van de cirkelrntrek verschilt. n dit pzicht is zijn methde dus een duidelijke vruitgang p de methde van Archimedes. Al-Kashi stelt zich k de vraag he nauwkeurig, dat wil zeggen in heveel sexagesimalen, hij zrjn berekeningen met uitveren. Al-Kashi geeft zijn berekeningen niet in het decimale, maar in het sexagesimale stelsel, het talstelsel met grndtal 60. Om zijn redenering te kunnen begrijpen, meten we eerst de methde beschuwen waarmee hij i..rzs berekent. Essentieel hierin is de manier waarp Al-Kashi van de regelmatige ingeschreven k-hek p de regelmatige ingeschreven k-hek vergaat. k nem de zijde van de regehnatige ingeschreven k-hek weer zk, z is de krde van een bg uun $ graden. K Al-Kashi berekent vr fr : 6,1,4,...,." niet z, maar een andere grtheid die lk w uzal nemen, w is de krde van een bg van 80 - T gruoen. n fi g. 7 is K A B de diameter van de cirkel, BC : z, AC - x,. De stelling van pythagras levert ns het verband tussen z ken w k: z , ' : A 8 : 0 (de straal van de cirkel is 60). Al-Kashi bewijst, dat w ru uit w berekend kan wrden via t+,r0:60(10 *ru). 404

11 AOB Figuur 7 Al-Kashi berekent eerst zijn 'startwaarde' rl.'6-60ji, dan vr n:1,,...,6 h,.r* t dr de vierkantswrtel te trekken uit 60(10 + w.n). Hierna kunnen (w..r8) en 6z(zr.rzs) berekend wrden uit wr?.:60 (10 *,u) vr k :.1en rfr + w.f;:1gz.vr k:.s. Tensltte vlgt zr.rg dr wrteltrekking. Vr de nauwkeurigheid waarmee gerekend met wrden heeft een en ander het vlgende te betekenen: ir.r8 met met een precisie van 60*8, dus in 8 sexagesimalen nauwkeurig berekend wrden. Omdat.8 ngeveer 60s is, met elke zijde van de regelmatige ingeschreven.8-hek in l sexagesimalen wrden berekend..8 wrdt verkregen dr wrteltrekking; zr.r is ngeveer z grt als het.8-e deel van de cirkelmtrek, en daarm kan Al-Kashi een schatting geven van de rde ervan : z.r8 r Daarm met het kwadraat in l7 sexagesimalen bekend zijn, m dr wrteldeling.8 zelf in l sexagesimalen te berekenen (z met mijns inziens de redenering van Al-Kashi geweest zijn, de tekst geeft hierver niet helemaal uitsluitsel, wellicht drdat de kpiïst hem verkeerd heeft vergeschreven). Dus met k het kwadraat van w,.zï in l7 sexagesimalen berekend wrden. Het verband tussen dit kwadraat en w.7 wrdt gegeven dr de frmule wr?.:60(10 t r) vrk :.1,wegens het vrkmen van de 60 in deze frmule met wr.r7 tt in l8 sexagesimalen bepaald wrden. Al-Kashi besluit alle w.n in l8 sexagesimalen te berekenen. Om zr.r8 te berekenen met Al-Kashi 8 maal een vierkantswrtel trekken. De verige rekenperaties die hij met uitveren (vermenigvuldigen met 60, ptellen van 10) zijnzeer eenvudig in het sexagesimale stelsel, zdat de wrteltrekkingen de hfdschtel vnnen. n Íig. 8 vindt u de eerste wrteltrekking. Al-Kashi berekent hier w6, de krde van een bg van 10 graden, w6:60j: Jt.e'. Al-Kashi cntrleert alle wrteltrekkingen dr van het antwrd weer het kwadraat uit te rekenen. Tensltte geeft Al-Kashi i..rz8, in sexagesimalen en in decimalen, vlledigheidshalve k wr.r8 en.8 (berekend uitgaande van i..r8), enn in sexagesimalen en decimalen. n decimale ntatie ('met ndische cijfers') is zijn resultaat n :6, , tt in de laatste decimaal crrect. 405

12 De eerste berekening. U itkmst : De krde van een derde deel van de mtrek, dat is de krde van het supplement van het z-esde deel ó a ( (t è{ ' e (! E 5 ' J x s 4 (É E.É J c E 55 a! È 0 -c' $.s" 0!.9 ^s -.è" b' E 58 E N.b8!-ó q) N 7 O (! "'-"" 57 a! è Ë ec? è(l 5ó O È ré ' E c! () 0 c )s "! 44! N sc! N É* è 5 -]l 4.t 56? tienden elfden twaalfde dertienden veertienden vijftienden zesti nden zeventienden acht tienden? 5ó l r l 9 40 t{ r5 l l 55 9 t t t l9 ló 5 t s 't _ ó 8 4 l l5 l l8 59 )) 49 5 t 8 t l l 50 5ó l8 ló 40 5ó ó l l7 4t 7 t5 l l5 9 5l 4 l l9 9 t? t \4 t4 t 59 5ó l lt l6 l l6 48 ó t7 46 ló 0 1 ') -tj l 9 4t t 4 0 6i ll 55 ló l 4 7 l t8 5l ló ó ó l ó l 56 l J l ', ó l l ' ó J ó Figuur 8 406

13 Telichting hijíi9.8. Al-Kashi nteert gehele en niet-gehele getallen in het sexagesimale stelsel. echter znder gebruik te maken van een kmma f een hieraan equivalent symbl. Zijn systeem is het vlgende: x 60'heet een n-de macht (r > l), een eenheid heet een graad. x 60- heet een minuut, x 60. heet een tweede (f : secnde), x 60- heet een derde, algemeen heet x 60-'een m-de(rn à ). Al-Kashinteertnu hetgetal l alseerstemachten,5graden, minuut en?4 tweeden, f als 5 4 tweeden. Al-Kashi gebruikt m de getallen tt en met 59 aan te duiden geen 59 verschillende symblen, maar een letterschrift. dat feitehjk een Arabische vertaling is van een letterschrift uit de Griekse udheid. Hierin wrden de getallen l... 4, , 40, 50 met verschillende letters aangeduid; het getal bijv. wrdt genteerd met de letter vr het getal 0 en daarachter de letter vr het getal. n de bvenstaande berekening trekt Al-Kashi de vierkantswrtel uit tweede machten. Het antwrd: l achttiendenisbvenindetabeltevinden. Hij vindt dit antwrd (dat ik met a zal aanduiden) p de vlgende manier: Omdat a :.60 zal het hgste getal in de sexagesimale schrijfwijze van a een eerste macht zijn. Schrijf a in het sexagesimale stelsel. a: cr*,.60+a *a,.60--r+.. +a,r.60--tt í a, S 59 Al-Kashi gebruikt hulpgetallen à,. die hij nderaan in de tabel nteert: h -, : - r' 60', b, : a - r'60-i* +... * a,-r' 60-:iu + a,'60" i vr i à 0. a*, is het grtste gehele getal met rr*,t í. b- r : ír- r.60r : tweedemacht(ndersteregel tabel). a- r.60 : a,r' b -r : tweedemacht(regelvanbven) a - (a -r'60) : a - a-r'à,r : tweede machten (r.l v.b) - : tweede machten (r. v.b) :.60. a is het grtste gehele getal met d '(a - t'60 * a) í.60. a : Qf. h, : a - r '60 + a. : 4 graden (r. v.), Q'h : graden (r.4 v.b) tweede macht (r. v.b) az -(a*r'60 + a\z:(a - -r'b-,) -a'b:00 graden graden: ll graden (r.5 v.b). a, ishetgrtstegehelegetal metdr'60-t(a-r'60 + a+ at'60*t) : aja*1*a'60-r + a, '60-) S graden, ar : 55. br :a -, * a'60- + at'60- : 655 tweeden (r. v.) a1'b, : tweeden (r. 6 v.b) a - (a-r' at'60-t) - a-t'h,t - a'h) - at'h, : ll graden tweeden: 195 tweeden (r.7 v.b). Zvrmenzich in de tabel rijen getallen naar beneden en naar bven. Na het vinden van an en ón begint Al-Kashi weer bvenaan, respectievelijk nderaan en vervlgt de berekeningen. Al-Kashi gebruikt de 59-pref ('weegschaal') m zijn berekeningen te cntrleren. Deze pref berust.a. p het feit dat in het zestigtallig stelsel ieder getal mdul 59 cngruent is met de sm van zijn sexagesimalen.vrbeeld:hetprductvrda.:58ená.: esden(r.5v.)isgelijkaan zesden (r. l0 v.b) : 8 : 5 (md 59), : l1:54(md59),eninderdaadisnu x 58=5 x 58:90:54(md59).Al-Kashi nteert de getallen 5 en 54 nder'weegschaal'. De tabel waarin Al-Kashi ter cntrle het kwadraat van a : l l achttienden berekent is hier niet weergegeven. 407

14 Al-Kashi is met dit resultaat recrdhuder geweest tt 596, in dat jaar benaderde Ludlf van Ceulen n in 0 decimalen nauwkeurig. Maar Ludlf van Ceulen heeft niet geweten, dat hij hiermee het recrd van Al-Kashi brak, want het werk van Al- Kashi is in het westen nbekend gebleven tt Dames en Heren, k heb grte bewndering vrdeze prestatie van Al-Kashi, en ik hp, datdat bij u hetzelfde is. We meten steeds bedenken, dat Al-Kashi niet de beschikking had ver nze symblische ntaties (waarvan ik in het vrgaande dankbaar gebruik gemaakt heb). Hij mest alle gelijkheden, waarvr wij deze ntaties gebruiken, uitdrukken als gelijkheden van ppervlakten van rechtheken, vierkanten, drieheken enzvrt - p een manier waarvan wel eens gezegd wrdt dat zij tt de 'knip- en plakwiskunde' behrt. U met beide vertellingen ver z dan k ten dele als pleidi zien, m 'primitievere'vrmen van wiskunde niet als minderwaardig te begchuwen. Deze vrínen hebben hun nut gehad in de ntwikkeling van de mensheid als geheel, er zrjn prachtige resultaten mee bereikt, en naar mijn idee hebben dergelijke'primitievere' vrmen ng steeds hun nut in de ntwikkelingsgang van ieder menselijk individu. n het bijznderzu ik mijn tweede vertelling als ndertitel willen meegeven: 'He we met knip- en plakwiskunde nin16 decimalen kunnen benaderen.' k dank u vr uw aandacht. Literatuur Geschiedenis van de wiskunde, algemeen: D. J. Struik, Geschiedenis van de Wiskunde, Amsterdam, Archimedes: E' J. Dijksterhuis, Archimedes, Grningen, 198 (vervlgd in dejaargangen van Euclides). Van dit werk van Dijksterhuis bestaat een Engelse vertaling, uitgegeven nder de titel 'Archimedes', Kpenhagen slamitische traditie : A. P. Juschkewitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter, Leipzig, F. Sezgin, Geschichtedes Arabischen Schrifttums, Band V, Mathematik,Leiden 1974 (gaat tt het jaar r050). Al-Kuhi : zie p.14-1 van het bek van F. Sezgin, vr het werk van Al-Kuhi ver n zie J. L. Berggren, The barycentric therems f Ab[ Sahl al-k[hi. Abstracts f Sessin Papers f the Secnd nternatinal Sympsium n the Histry f Arabic Science, Alepp,5-1 april 1979,p. 48. J. Sesian, Nte sur tris therèmes de Mécanique d'al-q[hl et leur cnséquence. Centaurus 1t97918t -97. Al-Kashi's werk ver n: P. Luckey, Der Lehrbrief iiber den Kreisumfang vn Óamsid b. Mas'ud al-ka5i. Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse frir Mathematik und allgemeine Naturwissenschaften, 950/6. Een handschrift met de brief van Al-Kashi ver z is in facsimile gepubliceerd in : B. A. Rsenfeld, V. S. Segal, A. P. Juschkewitsch, Dzemsid Giyaseddin al-kasi, Klyuè arifmetiki, Traktat b bkruznsti, Msku 1956, p De tabelvan fig. 8 bevindt zich in dit bek pp.40,in het artikel van P. Luckey p p. l (Duits) en p. 84 (Arabisch). Tensltte dank ik Dr. J. L. Berggren, mdat hij mijn aandacht gevestigd heeft p het werk van Al-Kuhi ver 7r, 408

Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip).

Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Getallen 1 Getallen 1 is een prgramma vr het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Delgrep Rekenen en Wiskunde Getallen 1 Getallen 1 is geschikt vr grep 7 en 8 van de basisschl en de eerste

Nadere informatie

berekeningen met hoeken, het werken met drie-dimensionale assenstelsels en de meetkundige

berekeningen met hoeken, het werken met drie-dimensionale assenstelsels en de meetkundige Meten en Meetkunde 2 Muiswerk Meten en Meetkunde 2 besteedt aandacht aan de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, ppervlaktes en inhuden, en cördinaten. In niveau 2 kmen de berekeningen

Nadere informatie

Huiswerk Informatie voor alle ouders

Huiswerk Informatie voor alle ouders Nummer 6 mei 2010 Huiswerk Infrmatie vr alle uders Huiswerk en efening Ged leren lezen en rekenen is belangrijk, want je hebt deze vaardigheden in het dagelijks leven veral ndig. Kinderen ged leren lezen

Nadere informatie

Veel gestelde vragen huurbeleid 18 oktober 2012

Veel gestelde vragen huurbeleid 18 oktober 2012 Veel gestelde vragen huurbeleid 18 ktber 2012 Algemeen: 1. Waarm kmt er een nieuw huurbeleid? Een aantal ntwikkelingen heeft ervr gezrgd dat wij ns huurbeleid hebben aangepast. Deze ntwikkelingen zijn:

Nadere informatie

VERHOUDINGEN 2. Doelgroep Verhoudingen 2. Omschrijving Verhoudingen 2

VERHOUDINGEN 2. Doelgroep Verhoudingen 2. Omschrijving Verhoudingen 2 VERHOUDINGEN 2 Muiswerk Verhudingen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen met verhudingen, breuken en prcenten. Dit zijn de regels en vaardigheden die in het vmb en de nderbuw

Nadere informatie

Rollenspel Jezus redt

Rollenspel Jezus redt Rllenspel Jezus redt Krte mschrijving prgrammanderdeel De leerlingen spelen samen een bestuursrechtzaak bij de Raad van State na. De Raad van State is de hgste bestuursrechter van Nederland. In deze rechtszaak

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmb en de nderbuw van hav/vw wrden aangeleerd, geefend en tegepast. Delgrep Rekenen

Nadere informatie

Muiswerk Verhoudingen 1 bestrijkt de basisvaardigheden van het rekenen met verhoudingen, breuken en procenten.

Muiswerk Verhoudingen 1 bestrijkt de basisvaardigheden van het rekenen met verhoudingen, breuken en procenten. Verhudingen 1 Muiswerk Verhudingen 1 bestrijkt de basisvaardigheden van het rekenen met verhudingen, breuken en prcenten. Delgrep Verhudingen 1 Het prgramma Verhudingen 1 is bedeld vr leerlingen in grep

Nadere informatie

Onze groep bezoekt de voorstelling op: LESBRIEF

Onze groep bezoekt de voorstelling op: LESBRIEF Onze grep bezekt de vrstelling p: LESBRIEF 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Geachte leerkracht, Deze lesbrief is bedeld

Nadere informatie

Het Grote Geldonderzoek: hoe ga je met je geld om?

Het Grote Geldonderzoek: hoe ga je met je geld om? Het Grte Geldnderzek: he ga je met je geld m? Natinaal Instituut vr Budgetvrlichting (Nibud) Tijdsduur: één les Werkvrm: individueel met een discussie in de klas Niveau: bedeld vr alle leerlingen van klas

Nadere informatie

Stappenplan BTW-verhoging van 19 naar 21% per 1 oktober 2012

Stappenplan BTW-verhoging van 19 naar 21% per 1 oktober 2012 Stappenplan BTW-verhging van 19 naar 21% per 1 ktber 2012 Supprt ID: 57354 Versies: AccuntView Windws Dit stappenplan hebt u ndig m uw administraties in AccuntView gereed te maken vr het nieuwe BTW-percentage.

Nadere informatie

Presentatie eisen reisweek

Presentatie eisen reisweek Presentatie eisen reisweek Beste reisadviseurs, De aftrap is genmen. We zijn begnnen aan een spannende strijd m te bepalen he nze werkweek er in juni 2013 uit zal zien. Natuurlijk lijkt het een beetje

Nadere informatie

Verbanden 3. Doelgroep Verbanden 3. Omschrijving Verbanden 3

Verbanden 3. Doelgroep Verbanden 3. Omschrijving Verbanden 3 Verbanden 3 Verbanden 3 besteedt aandacht aan het pstellen van tabellen, frmules en grafieken. Er zijn k uitbreidingen van de subdmeinen statistiek en rijen en reeksen. Delgrep Verbanden 3 Verbanden 3

Nadere informatie

Evaluatierapport Scalda - Groep 3 29 januari 26 maart 2014

Evaluatierapport Scalda - Groep 3 29 januari 26 maart 2014 Evaluatierapprt Scalda - Grep 3 29 januari 26 maart 2014 1. Inleiding, deelnemers en activiteiten In dit dcument wrden de bevindingen weergegeven van begeleiders en deelnemers die betrkken waren bij de

Nadere informatie

Zijn in de aanvraag bijlagen genoemd en zijn die bijgevoegd? Zo ja, welke? Nummer desgewenst de bijlagen.

Zijn in de aanvraag bijlagen genoemd en zijn die bijgevoegd? Zo ja, welke? Nummer desgewenst de bijlagen. Checklist berdeling adviesaanvraag 1. De adviesaanvraag Heeft de r een adviesaanvraag gehad? Let p: een rapprt is in principe geen adviesaanvraag. Met een adviesaanvraag wrdt bedeld: het dr de ndernemer

Nadere informatie

Vergaderen Informatieblad (VP) IEV1 Bladzijde 1 van 7. Vergaderen

Vergaderen Informatieblad (VP) IEV1 Bladzijde 1 van 7. Vergaderen Vergaderen Infrmatieblad (VP) IEV1 Bladzijde 1 van 7 Vergaderen Vergaderen Infrmatieblad (VP) IEV1 Bladzijde 2 van 7 Vergaderen Elke vergadering kent een vaste structuur en een vaste vlgrde. Deze structuur

Nadere informatie

Groep 6. Werkboek Werkstuk

Groep 6. Werkboek Werkstuk Grep 6 Werkbek Werkstuk Naam: Wat ga je den? In de kmende tijd ga je werken aan een werkstuk. Je met je vrstellen dat je ver juw nderwerp gaat vertellen. Net zals bij een spreekbeurt! Maar nu schrijf je

Nadere informatie

IWI. De Gemeenteraad Postbus 11563

IWI. De Gemeenteraad Postbus 11563 Inspectie Werk en Inkmen Tezicht Gemeentelijk Dmein De Gemeenteraad Pstbus 11563 2502 AN Den Haag Prinses Beatrixlaan 82 2595 AL Den Haag Telefn (070) 304 44 44 Fax (070) 304 44 45 www.lwiweb.nl Cntactpersn

Nadere informatie

PESTEN. Deze folder is een hulpmiddel voor jou en je kind om samen te leren over pesten en hoe je dit kan stoppen.

PESTEN. Deze folder is een hulpmiddel voor jou en je kind om samen te leren over pesten en hoe je dit kan stoppen. PESTEN Deze flder is een hulpmiddel vr ju en je kind m samen te leren ver pesten en he je dit kan stppen. WAT IS PESTEN? Pesten is iemand anders bewust bedreigen, bang maken, uitdagen, uitschelden f pijn

Nadere informatie

Filosofie op de basisschool

Filosofie op de basisschool Filsfie p de basisschl Een smeulend vuurtje dat met wrden aangewakkerd Eva-An n e Le Cyltre Twintig kinderen zitten in de kring. Meer jngens dan meisjes tel ik en bijna de helft ziet er buitenlands uit.

Nadere informatie

Beschermd Wonen met een pgb onder verantwoordelijkheid van gemeenten

Beschermd Wonen met een pgb onder verantwoordelijkheid van gemeenten Beschermd Wnen met een pgb nder verantwrdelijkheid van gemeenten Een factsheet vr cliënten, cliëntvertegenwrdigers en familievertegenwrdigers 1 februari 2016 Sinds 1 januari 2015 valt Beschermd Wnen (vrheen

Nadere informatie

MedewerkerMonitor Benchmark in de Zorg

MedewerkerMonitor Benchmark in de Zorg MedewerkerMnitr Benchmark in de Zrg Telichting pzet vragenlijst en invulinstructies U heeft een inlgcde ntvangen per brief f per e-mail. Mcht u geen inlgcde ntvangen hebben, dan kunt u terecht bij de benchmarkcördinatr

Nadere informatie

PROJECTBESCHRIJVING HISTORISCHE PLEKKEN

PROJECTBESCHRIJVING HISTORISCHE PLEKKEN PROJECTBESCHRIJVING HISTORISCHE PLEKKEN Leerlijn Cultureel Erfged Thema Identiteit Grep 5 en 6 Maart 2016 Cultuurnderwijs p zijn Haags Leerlijn Cultureel Erfged Thema Identiteit Grep 5 en 6 Maart 2016

Nadere informatie

POLITIEK EN IK? 3 DE GRAAD LO 1 STE GRAAD A-STROOM + B-STROOM

POLITIEK EN IK? 3 DE GRAAD LO 1 STE GRAAD A-STROOM + B-STROOM POLITIEK EN IK? 3 DE GRAAD LO 1 STE GRAAD A-STROOM + B-STROOM INFORMATIE OVER DE ACTIVITEIT Delgrep Duur Materiaal Delstellingen 3 de graad lager nderwijs en 1 ste graad A-strm + B-strm 2 u Dit materiaal

Nadere informatie

EVALUATIE TER STATE. Marion Matthijssen, Marn van Rhee. Centrum voor Onderzoek en Statistiek (COS) juli 2005. In opdracht van Raad van State

EVALUATIE TER STATE. Marion Matthijssen, Marn van Rhee. Centrum voor Onderzoek en Statistiek (COS) juli 2005. In opdracht van Raad van State EVALUATIE TER STATE Marin Matthijssen, Marn van Rhee Centrum vr Onderzek en Statistiek (COS) juli 2005 In pdracht van Raad van State Centrum vr Onderzek en Statistiek (COS) Auteur: Marin Matthijssen en

Nadere informatie

Presenteren met Impact:

Presenteren met Impact: Presenteren met Impact: Gelven Presenteren is geweldig! Ik geef te, de eerste keer dat ik vr een grep stnd had ik zweethanden en een rd hfd, maar de afgelpen jaren heb ik tientallen keren vr grepen gestaan

Nadere informatie

Onze aarde in gevaar!

Onze aarde in gevaar! Auteur: Jeren Defauw Genieten, genieten, genieten De gevaren vr nze planeet Onze blauwe planeet is in grt gevaar. Onze planeet wrdt warmer en warmer. De temperatuur stijgt. Ga jij sms in het bs wandelen

Nadere informatie

Godsdienstige stellingname collega

Godsdienstige stellingname collega Gdsdienstige stellingname cllega Je werkt p een penbare basisschl en hebt kinderen van verschillende natinaliteiten in je grep. Een van je cllega's draagt een hfddek. De kinderen uit haar grep scren ged

Nadere informatie

Muiswerk Verbanden 2 besteedt aandacht aan het rekenen met grafieken en tabellen.

Muiswerk Verbanden 2 besteedt aandacht aan het rekenen met grafieken en tabellen. Verbanden 2 Muiswerk Verbanden 2 besteedt aandacht aan het rekenen met grafieken en tabellen. Delgrep Verbanden 2 Verbanden 2 is bedeld vr leerlingen in klas 1-4 van het vmb en in klas 1-3 van hav/vw.

Nadere informatie

Let op!! Niet zwemmen i.v.m. blauwalg. Leerdoelen: Kerndoelen Curriculum watereducatie SLO: NME leergebied: Werkvormen: Vakgebied: Niveau: Tijdsduur:

Let op!! Niet zwemmen i.v.m. blauwalg. Leerdoelen: Kerndoelen Curriculum watereducatie SLO: NME leergebied: Werkvormen: Vakgebied: Niveau: Tijdsduur: Let p!! Niet zwemmen i.v.m. blauwalg Vakgebied: Niveau: Tijdsduur: Bilgie, Aardrijkskunde klas 3 hav/vw ± 140 minuten Niet zwemmen i.v.m. blauwalg, we zien deze brden steeds vaker. Maar wat is blauwalg

Nadere informatie

Het Nieuwe Werken: hieperdepiep hoera? De rol van de OR bij de invoering van Het Nieuwe Werken

Het Nieuwe Werken: hieperdepiep hoera? De rol van de OR bij de invoering van Het Nieuwe Werken Het Nieuwe Werken: hieperdepiep hera? De rl van de OR bij de invering van Het Nieuwe Werken De kans is grt dat er in uw rganisatie al wrdt gesprken ver de invering van Het Nieuwe Werken. En z niet, dan

Nadere informatie

Lesbeschrijving. Historische bronnen - beeldmateriaal

Lesbeschrijving. Historische bronnen - beeldmateriaal Lesbeschrijving Histrische brnnen - beeldmateriaal Aan de hand van deze les ntdekken de leerlingen dat de Schelde niet alleen nu, maar k vreger al veelvuldig als nderwerp p ft s werd gezet en vrkwam p

Nadere informatie

9. Wat was het oorspronkelijke beroep van Domela?

9. Wat was het oorspronkelijke beroep van Domela? Na de maquettezaal km je in het Ferdinand Dmela Nieuwenhuis Museum. Dit museum bestaat uit drie verschillende ruimten: de infrmatie zaal, de studeerkamer en de gang waarin zijn verlijden centraal staat.

Nadere informatie

Voorbeeld oefentypes online e-learningmodules CommArt Int.

Voorbeeld oefentypes online e-learningmodules CommArt Int. Vrbeeld efentypes nline e-learningmdules CmmArt Int. In dit dcument wrdt verwezen naar de specifieke inhud van een van nze e- learningmdules. De efentypes wrden echter gebruikt in alle e-learningmdules

Nadere informatie

Aan de hand van deze 3 lessen ontdekken de leerlingen dat er techniek in en om de Schelde, dus in onze regio, een erg belangrijke rol speelt.

Aan de hand van deze 3 lessen ontdekken de leerlingen dat er techniek in en om de Schelde, dus in onze regio, een erg belangrijke rol speelt. Techniek & de Schelde Aan de hand van deze 3 lessen ntdekken de leerlingen dat er techniek in en m de Schelde, dus in nze regi, een erg belangrijke rl speelt. Gerelateerde kerndelen Vlaanderen, Primair

Nadere informatie

Voorbeeldvragen Methodiek NEN 2767

Voorbeeldvragen Methodiek NEN 2767 Nb. Per vraag kunnen er meerdere gede antwrden zijn 1. Welke van de nderstaande bewering is juist? NEN 2767 is een: methdiek vr de bepaling van achterstallig nderhud bjectieve methdiek vr de bepaling van

Nadere informatie

Congo 50 jaar! Congo? Wild en ongerept! Auteur: Jeroen Defauw. Congo is een land in Afrika. Ons. land (België) is nauw verbonden

Congo 50 jaar! Congo? Wild en ongerept! Auteur: Jeroen Defauw. Congo is een land in Afrika. Ons. land (België) is nauw verbonden Cng 50 jaar! Auteur: Jeren Defauw Wild en ngerept! Ken je het trpisch regenwud? Het is er eeuwig warm en nat. Er leven ntelbare planten en dieren. Een regenwud is heel ud! Cng? Cng is een land in Afrika.

Nadere informatie

Uitwerking kerndoel 2 Nederlandse taal

Uitwerking kerndoel 2 Nederlandse taal Uitwerking kerndel 2 Nederlandse taal Tussendelen en leerlijnen Nederlandse taal Primair nderwijs In samenwerking met het expertisecentrum Nederlands Enschede, 1 juni 2006 Nederlands kerndel 2 Stichting

Nadere informatie

SPREEKBEURT KALKOEN VOGELS OVER HOUDEN VAN HUISDIEREN. l a n d e l i j k i n f o r m a t i e c e n t r u m g e z e l s c h a p s d i e r e n

SPREEKBEURT KALKOEN VOGELS OVER HOUDEN VAN HUISDIEREN. l a n d e l i j k i n f o r m a t i e c e n t r u m g e z e l s c h a p s d i e r e n l a n d e l i j k i n f r m a t i e c e n t r u m g e z e l s c h a p s d i e r e n SPREEKBEURT KALKOEN VOGELS OVER HOUDEN VAN HUISDIEREN WE HEBBEN DE BELANGRIJKSTE INFORMATIE OVER DE KALKOEN BIJ ELKAAR

Nadere informatie

Beleidsplan directe instructie : 1. Verantwoording 2. Doelstellingen 3. Model 4. Kijkwijzer 5. -Werkwijze en tijdsplanning.

Beleidsplan directe instructie : 1. Verantwoording 2. Doelstellingen 3. Model 4. Kijkwijzer 5. -Werkwijze en tijdsplanning. Beleidsplan directe instructie : 1. Verantwrding 2. Delstellingen 3. Mdel 4. Kijkwijzer 5. -Werkwijze en tijdsplanning 1 Verantwrding: Wij willen binnen het nderwijs dat wij geven rekening huden met de

Nadere informatie

Dyslexie, Dyscalculie & Spellingsbegeleiding

Dyslexie, Dyscalculie & Spellingsbegeleiding Dyslexie, Dyscalculie & Spellingsbegeleiding Dyslexie en dyscalculie en spellingsbegeleiding p het Carlus Clusius Cllege Zwlle Signalering en Begeleiding dyslectische / dyscalculische leerlingen Dyslexie:

Nadere informatie

Kijktip: Een tijdlijn in filmpjes

Kijktip: Een tijdlijn in filmpjes Kijktip: Een tijdlijn in filmpjes Krte mschrijving werkvrm Aan de hand van enkele fragmenten leren uw leerlingen wat de huidige financiële en plitieke situatie in Griekenland is. Leerdel Leerlingen weten

Nadere informatie

Studievaardigheden in monitoraatsoefeningen. Checklist goede oefeningen faculteit Letteren

Studievaardigheden in monitoraatsoefeningen. Checklist goede oefeningen faculteit Letteren Studievaardigheden in mnitraatsefeningen Checklist gede efeningen faculteit Letteren Overzicht 1. Cmmunicatie 2. Een echte mnitr 3. De inhud van je efening bepalen 4. Een ged lesbegin 5. Belang van een

Nadere informatie

HOW TO REVIEW THE LITERATURE AND CONDUCT ETHICAL STUDIES

HOW TO REVIEW THE LITERATURE AND CONDUCT ETHICAL STUDIES HOW TO REVIEW THE LITERATURE AND CONDUCT ETHICAL STUDIES The literature review Het is belangrijk m te bepalen wat anderen al ver het prbleem geleerd hebben vr je het zelf bestudeerd. Het idee van een literatuurstudie

Nadere informatie

Overgangsnormen Minkemalaan. cursusjaar 2015 2016

Overgangsnormen Minkemalaan. cursusjaar 2015 2016 Overgangsnrmen Minkemalaan cursusjaar 2015 2016 1 INHOUDSOPGAVE blz. Vrwrd 3 BEVORDERINGSNORMEN 1. Inleiding 4 2. Tetscijfers 5 3. Rapprtcijfers 5 4. Bevrderingsnrmen brugklas hav/vw 6 5. Bevrderingsnrmen

Nadere informatie

Waterbeheer, kan jij het aan?

Waterbeheer, kan jij het aan? Waterbeheer, kan jij het aan? Een rllenspel ver waterbeheer in het beheergebied van een waterschap Vakgebied: Aardrijkskunde, Bilgie, Maatschappijleer Niveau: klas 3 HAVO en VWO Tijdsduur: 60 minuten Waterbeheer

Nadere informatie

Je weet nu op welke level je gaat lezen. Dit is wat je te doen staat: Kies een PENGUIN READER uit op jouw level, NIET lager!

Je weet nu op welke level je gaat lezen. Dit is wat je te doen staat: Kies een PENGUIN READER uit op jouw level, NIET lager! Dear Student Je weet nu p welke level je gaat lezen. Dit is wat je te den staat: Kies een PENGUIN READER uit p juw level, NIET lager! Lees het bek Vul de Reading Recrd in. Als je de Reading Recrd naar

Nadere informatie

Gespreksleidraad WOII geïnteresseerden

Gespreksleidraad WOII geïnteresseerden Gespreksleidraad WOII geïnteresseerden Delstellingen Diepgaand inzicht krijgen in infrmatiebehefte m.b.t. WOII persnlijke betekenis WOII ntstaan interesse in WOII beiende/interessante thema s gebruik en

Nadere informatie

Presenteren met Impact:

Presenteren met Impact: Presenteren met Impact: Gelven Presenteren is geweldig! Ik geef te, de eerste keer dat ik vr een grep stnd had ik zweethanden en een rd hfd, maar de afgelpen jaren heb ik tientallen keren vr grepen gestaan

Nadere informatie

LOGBOEK van: klas: 1

LOGBOEK van: klas: 1 LOGBOEK van: klas: 1 Inhudspgave Inleiding en inhud van het lgbek Wat is de maatschappelijke stage? Delen van de maatschappelijke stage Waar de je maatschappelijke stage? Kaders waarbinnen de maatschappelijke

Nadere informatie

Als u een toelichting wilt geven, op één van uw antwoorden, dan kunt u dat aan het einde van de vragenlijst doen.

Als u een toelichting wilt geven, op één van uw antwoorden, dan kunt u dat aan het einde van de vragenlijst doen. VRAGENLIJST Beste mantelzrger, Deze vragenlijst is bedeld vr u. Dr het invullen van bijgaande vragenlijst krijgt u inzicht in de rzaken van uw belasting. Het maakt u bewust van uw situatie. In de vragenlijst

Nadere informatie

IKZ DEEL II : De informatieronde

IKZ DEEL II : De informatieronde Vanuit het standpunt van de zn is de schaduw nzichtbaar (Gethe) IKZ DEEL II : De infrmatiernde Het is méér dan een cliché f butade: m aan een breed kwaliteitsbeleid te werken, heb je écht steun, inbreng

Nadere informatie

Samenvatting. Evaluatierapport Buurt in Actie December 2006 2

Samenvatting. Evaluatierapport Buurt in Actie December 2006 2 Evaluatierapprt Samenvatting Dit rapprt bevat de resultaten van de evaluatie van Buurt in Actie (BIA). Deze evaluatie is uitgeverd m inzicht te krijgen in het functineren van het prject en aanbevelingen

Nadere informatie

Vrijwilligersbeleid voetbalvereniging N.B.S.V.V.

Vrijwilligersbeleid voetbalvereniging N.B.S.V.V. Vrijwilligersbeleid vetbalvereniging N.B.S.V.V. Waarm deze richtlijn? Geen enkele amateur-sprtvereniging kan tegenwrdig ng bestaan znder de inzet en bijdrage van (veel) vrijwilligers. Ok binnen nze vereniging

Nadere informatie

De huidige wijze waarop de subsidiegelden worden uitgegeven is een verdeling van de subsidie ten behoeve van:

De huidige wijze waarop de subsidiegelden worden uitgegeven is een verdeling van de subsidie ten behoeve van: Stichting Ontwikkelingssamenwerking Lingewaard Inhudelijk en financieel jaarverslag ver 2012 Was het jaar 2011 een jaar van nzekerheid en verleg met de gemeente he in de tekmst met ntwikkelingssamenwerking

Nadere informatie

Instructie formulierenmodule

Instructie formulierenmodule Instructie frmulierenmdule De frmulierenmdule is een uitgebreide mdule en maakt het mgelijk m bepaalde infrmatie van gebruikers p een gestandaardiseerde manier binnen te krijgen per e-mail. Denk aan een

Nadere informatie

Aanvraagformulier vergoeding individueel gedupeerden

Aanvraagformulier vergoeding individueel gedupeerden Aanvraagfrmulier vergeding individueel gedupeerden Aanvraag vergeding in natura Met dit aanvraagfrmulier verzekt u de Stichting Bevrdering Kwaliteit Leefmgeving Schiphlregi (afgekrt: Stichting Leefmgeving

Nadere informatie

STUDIEVAARDIGHEID OP MAAT

STUDIEVAARDIGHEID OP MAAT STUDIEVAARDIGHEID OP MAAT Muiswerk Studievaardigheid p maat richt zich p de belangrijkste deelvaardigheden die ndig zijn vr het studeren. Delgrepen Studievaardigheid p maat Muiswerk Studievaardigheid p

Nadere informatie

Aan de hand van deze 3 lessen maken de leerlingen kennis met de dieren die in en om de Schelde leven

Aan de hand van deze 3 lessen maken de leerlingen kennis met de dieren die in en om de Schelde leven Lesbeschrijving Dieren & de Schelde Aan de hand van deze 3 lessen maken de leerlingen kennis met de dieren die in en m de Schelde leven Relatie met kerndelen: Vlaanderen: Wereldriëntatie Natuur Levende

Nadere informatie

TOELICHTING KOSTEN MOZAÏEKBEHEER OPEN GRASLAND

TOELICHTING KOSTEN MOZAÏEKBEHEER OPEN GRASLAND STICHTING COLLECTIEF AGRARISCH NATUURBEHEER SCAN TOELICHTING KOSTEN MOZAÏEKBEHEER OPEN GRASLAND BESCHRIJVING De ksten mzaïekbeheer zijn een vergeding vr de ksten die p bedrijfsniveau gemaakt wrden vr het

Nadere informatie

De Tijdlijn Methode. Het oogsten van collectieve ervaring. De Tijdlijn vertelt het verhaal van de deelnemers

De Tijdlijn Methode. Het oogsten van collectieve ervaring. De Tijdlijn vertelt het verhaal van de deelnemers De Tijdlijn Methde Het gsten van cllectieve ervaring De Tijdlijn vertelt het verhaal van de deelnemers De Tijdlijn is een methde vr participatieve mnitring en evaluatie van samenwerking in netwerkverband.

Nadere informatie

ACT in LOB. De informatietrechter. Werkbladen. Toolkit. Check je info-level! Level 1. Level 2. Level 3. Level 4

ACT in LOB. De informatietrechter. Werkbladen. Toolkit. Check je info-level! Level 1. Level 2. Level 3. Level 4 ACT in LOB Werkbladen Tlkit De infrmatietrechter Deze tl helpt je m de grte heveelheid infrmatie ver studiekeuze vr jezelf behapbaar te maken. Je kunt p verschillende niveaus met de infrmatie ver studies

Nadere informatie

Werkwoordspelling op maat

Werkwoordspelling op maat Werkwrdspelling p maat Muiswerk Werkwrdspelling p maat besteedt aandacht aan het hele algritme van de spelling van regelmatige werkwrden en k aan de verleden tijd van nregelmatige werkwrden. Delgrepen

Nadere informatie

Saxionstudent.nl CE 1

Saxionstudent.nl CE 1 Thema: Marktanalyse (semester 1) Prject: Desk en Fieldresearch 56357 Vrwrd Vr u ligt het plan van aanpak vr het prject Desk en Fieldresearch, vr het thema marktanalyse van semester 1. Het is de bedeling

Nadere informatie

Hoe zet ik een tent op?

Hoe zet ik een tent op? He zet ik een tent p? 1. Een Gede plek vinden en vrbereiden Zek een plek die hger ligt dan de rest Ga als het mgelijk is niet nder lfbmen staan. Bij regen druppelen deze namelijk lang na. Hud rekening

Nadere informatie

BETER IN BEDRIJF. Voel je Beter in Bedrijf! Uw organisatie Beter in Bedrijf. Verzuimbegeleiding & Arboadvies

BETER IN BEDRIJF. Voel je Beter in Bedrijf! Uw organisatie Beter in Bedrijf. Verzuimbegeleiding & Arboadvies BETER IN BEDRIJF Vel je Beter in Bedrijf! Uw rganisatie Beter in Bedrijf Verzuimbegeleiding & Arbadvies Beter in Bedrijf levert, naast reguliere arbdienstverlening, vral maatwerk in verzuimbegeleiding

Nadere informatie

BELANGENVERENIGING PENSIOENGERECHTIGDEN PFZW KEUZEMOGELIJKHEID TUSSEN LAAG-PENSIOEN

BELANGENVERENIGING PENSIOENGERECHTIGDEN PFZW KEUZEMOGELIJKHEID TUSSEN LAAG-PENSIOEN BELANGENVERENIGING PENSIOENGERECHTIGDEN PFZW KEUZEMOGELIJKHEID TUSSEN HOOG-LAAG LAAG-PENSIOEN f f LAAG -HOOG HOOG-PENSIOEN Vr pensiengerechtigden die de 65-jarige leeftijd ng niet bereikt hebben U kunt

Nadere informatie

Warmte inleiding. Opdracht 1. Wat weet je nog uit de tweede klas? Kruis bij iedere bewering aan of deze juist of onjuist is. Bewering Juist Onjuist

Warmte inleiding. Opdracht 1. Wat weet je nog uit de tweede klas? Kruis bij iedere bewering aan of deze juist of onjuist is. Bewering Juist Onjuist Warmte inleiding Opdracht 1. Wat weet je ng uit de tweede klas? Kruis bij iedere bewering aan f deze juist f njuist is. Bewering Juist Onjuist Temperatuur en warmte hebben dezelfde eenheid De eenheid van

Nadere informatie

Rietschans College Overgangsnormen 2013-2014

Rietschans College Overgangsnormen 2013-2014 Rietschans Cllege Overgangsnrmen 2013-2014 Deel 1 vmb Deel 2 hav/vw 1 Inhudspgave Inhudspgave... 2 Deel 1 Overgangsnrmen 2013-2014 vmb... 3 ALGEMEEN BEVORDERING PER LEERJAAR... 3 Bevrdering van vmb-tl

Nadere informatie

D i e n s t v e r l e n i n g s d o c u m e n t

D i e n s t v e r l e n i n g s d o c u m e n t D i e n s t v e r l e n i n g s d c u m e n t Ons kantr hudt zich bezig met financiële dienstverlening en heeft zich gespecialiseerd in schade- en levensverzekeringen en is daarbij actief p de zakelijkeen

Nadere informatie

Mama Lief. Elen Lescoat en Orianne Lallemand ISBN 978 90 5924 444 3. Vanaf 3 jaar NUR 273. Uitgeverij Bakermat. Suggesties: Emy Geyskens

Mama Lief. Elen Lescoat en Orianne Lallemand ISBN 978 90 5924 444 3. Vanaf 3 jaar NUR 273. Uitgeverij Bakermat. Suggesties: Emy Geyskens Elen Lescat en Orianne Lallemand ISBN 978 90 5924 444 3 Vanaf 3 jaar NUR 273 Suggesties: Emy Geyskens Krte inhud 1 Mijn mama is een fee. Haar jurk is een blesem, haar juwelen de zn en zij de miste. Mama

Nadere informatie

Londen 2012! Als het kriebelt, moet je... Londen 2012! Jeroen Defauw. in het park. Zwemmen in het. openluchtbad. Voetballen bij je

Londen 2012! Als het kriebelt, moet je... Londen 2012! Jeroen Defauw. in het park. Zwemmen in het. openluchtbad. Voetballen bij je Lnden 2012! Jeren Defauw Als het kriebelt, met je... in het park. Zwemmen in het penluchtbad. Vetballen bij je club. Als het kriebelt, met je sprten! Lnden 2012! De lente is in het land. De dagen wrden

Nadere informatie

Leer / ontwikkelingslijnen. Opleiding Helpende Zorg en Welzijn. BOL en BBL NAAM STUDENT:..

Leer / ontwikkelingslijnen. Opleiding Helpende Zorg en Welzijn. BOL en BBL NAAM STUDENT:.. Leer / ntwikkelingslijnen Opleiding Helpende Zrg en Welzijn BOL en BBL NAAM SUDEN:.. 1 2 Uitleg van het leerlijnenbekje Vr je ligt het leerlijnenbekje van je pleiding Helpende Zrg & Welzijn niveau 2. ijdens

Nadere informatie

De aandachtspuntenlijst

De aandachtspuntenlijst De aandachtspuntenlijst Wat is de aandachtspuntenlijst? De aandachtspuntenlijst is een verzicht van nderwerpen die aan de rde kunnen kmen tijdens een afspraak met de neurlg. Onderwerpen waarver u meer

Nadere informatie

SPREEKBEURT GRIEKSE LANDSCHILDPAD

SPREEKBEURT GRIEKSE LANDSCHILDPAD SPREEKBEURT GRIEKSE LANDSCHILDPAD l a n d e l i j k i n f r m a t i e c e n t r u m g e z e l s c h a p s d i e r e n REPTIELEN OVER HOUDEN VAN HUISDIEREN WE HEBBEN DE BELANGRIJKSTE INFORMATIE OVER DE

Nadere informatie

Zorg op K.S.T.S. Temse-Velle

Zorg op K.S.T.S. Temse-Velle Zrg p K.S.T.S. Temse-Velle Beste uders, De zrgwerking p nze schl bestaat al heel wat jaren en is vrtdurend in beweging. Enerzijds mdat de wetgeving i.v.m. zrg verandert, anderzijds mdat leerlingzrg zelf

Nadere informatie

5.2.1 Jezelf losmaken uit overtuigingen

5.2.1 Jezelf losmaken uit overtuigingen Stap 5 Deel 2 Je met niet alles gelven wat je denkt Lesje 5.2.1 Jezelf lsmaken uit vertuigingen Je hebt eerder al pgeschreven welke gedachtes zijn uitgegreid tt vertuigingen: de beelden ver jezelf en anderen

Nadere informatie

Onze groep bezoekt de voorstelling op: LESBRIEF

Onze groep bezoekt de voorstelling op: LESBRIEF Onze grep bezekt de vrstelling p: LESBRIEF 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Geachte leerkracht, Deze lesbrief is bedeld

Nadere informatie

Ekelmans & Meijer Advocaten (Rechten)

Ekelmans & Meijer Advocaten (Rechten) Evaluatie-rapprt STEP In-husedag bij Ekelmans & Meijer Advcaten (Rechten) -- INHOUDSOPGAVE INHOUDSOPGAVE. WOORD VOORAF. RESULTATEN VAN DE ATTITUDE-METING VÓÓR DE IN-HOUSEDAG. RESULTATEN VAN DE ATTITUDE-METING

Nadere informatie

De Ultieme Sollicitatie Gids.

De Ultieme Sollicitatie Gids. De Ultieme Sllicitatie Gids. Ha Aanstaande Superheld! Hierbij een mie verzameling met nuttige infrmatie. Lees het dr en kijk wat je eruit kunt halen. Sms staan er bepaalde tips f acties dubbel in. Dat

Nadere informatie

Reader afval voor de middenbouw, samengesteld door MEC De Witte Schuur, 2006-1 -

Reader afval voor de middenbouw, samengesteld door MEC De Witte Schuur, 2006-1 - Reader afval vr de middenbuw, samengesteld dr MEC De Witte Schuur, 2006-1 - Milieu Educatie Centrum De Witte Schuur Wilhelminaplantsen 2 1601 LS Enkhuizen tel. (0228) 320 310 mec.dewitteschuur@znnet.nl

Nadere informatie

CBS DE VAART 2015-2016. Informatieboekje groep 5 en 6

CBS DE VAART 2015-2016. Informatieboekje groep 5 en 6 CBS DE VAART 2015-2016 Infrmatiebekje grep 5 en 6 De schlregels Op nze schl zijn 3 hfdregels. Alle andere afspraken zijn terug te leiden tt deze hfdregels 1. Ik accepteer en respecteer een ander 2. Ik

Nadere informatie

Verandertrajecten voor individuele medewerkers

Verandertrajecten voor individuele medewerkers Het Sandelhut Meditatietechnieken, Caching en Training Verandertrajecten vr individuele medewerkers Lcatie: Het Beekse Bshuis Girlesedijk ngenummerd Hilvarenbeek Pst: Gildelaan 41 5081 PJ Hilvarenbeek

Nadere informatie

Stuurbel{rachtiging in de AWBZ

Stuurbel{rachtiging in de AWBZ Stuurbel{rachtiging in de AWBZ DRS. F.G.E.M. VAN DER PAS Vanaf 2003 verandert de Algemene Wet Bijndere Ziekteksten (AWBZ). Iedereen die aanspraak maakt p een vergeding uit de AWBZ krijgt de keue m de rg

Nadere informatie

Zorgplan. Naam. Adres. Uitgerekende datum. Administratienummer. Naam en adres verloskundige praktijk

Zorgplan. Naam. Adres. Uitgerekende datum. Administratienummer. Naam en adres verloskundige praktijk Zrgplan Naam Adres Uitgerekende datum Administratienummer Naam en adres verlskundige praktijk datum tijd Met wie Afsprakenlijst Gefeliciteerd met uw zwangerschap! Tijdens uw zwangerschap zal u nder cntrle

Nadere informatie

Online communicatie met de gemeente

Online communicatie met de gemeente Re a ge re n Adre s: kt- 15 nde rne me rspa ne l@ha a rle m.nl Grte ma rkt 2 2011 RD Ha a rle m Gemeente Haarlem, afdeling Data Infrmatie en Analyse (DIA) OndernemersPanel Haarlem Online cmmunicatie met

Nadere informatie

Verkorte Handleiding Versie Medewerker Januari 2013

Verkorte Handleiding Versie Medewerker Januari 2013 Verkrte Handleiding Versie Medewerker Januari 2013 Starten met OTIB-skillsmanager OTIB-skillsmanager is een instrument m het gesprek dat u gaat veren met uw leidinggevende vr te bereiden. U wrdt gevraagd

Nadere informatie

VERSLAG PRACTICUM 6 Pattern Recognition. PCA

VERSLAG PRACTICUM 6 Pattern Recognition. PCA VERSLAG PRACTICUM 6 Pattern Recgnitin. PCA Niclaas Heyning 0152447 Sjerd kerkstra 0445061 Inleiding Bij deze pdracht is het de bedeling de werking van Principal Cmpnent Analyse (PCA) te bestuderen. Er

Nadere informatie

Begeleidende tekst bij de presentatie Ieder kind heeft recht op Gedifferentieerd RekenOnderwijs.

Begeleidende tekst bij de presentatie Ieder kind heeft recht op Gedifferentieerd RekenOnderwijs. Begeleidende tekst bij de presentatie Ieder kind heeft recht p Gedifferentieerd RekenOnderwijs. Dia 1 Opmerking vr de presentatr: in het geval u tijd te krt kmt, kunt u de blauwe tekst als ptineel beschuwen

Nadere informatie

Spreken Aandacht voor een goede spreekhouding d.m.v. actieve deelname aan klasgesprekken.

Spreken Aandacht voor een goede spreekhouding d.m.v. actieve deelname aan klasgesprekken. Wat is het V-niveau? In het V-niveau f vrderingsniveau wrden kennis en vaardigheden verder ingeefend en uitgebreid. Hiervr steunt men p de verwrven basiskennis vanuit het initiatieniveau f de lagere schl.

Nadere informatie

Voorbehouden en risicovolle handelingen binnen het primair onderwijs. Protocol Medisch Handelen

Voorbehouden en risicovolle handelingen binnen het primair onderwijs. Protocol Medisch Handelen Vrbehuden en risicvlle handelingen binnen het primair nderwijs Prtcl Medisch Handelen J.C. v.d. Wal September 2013 INHOUD Inleiding... 3 1 De leerling wrdt ziek p schl... 4 2 Het verstrekken van medicatie

Nadere informatie

Het Muiswerkprogramma Basisgrammatica bestrijkt de grammatica die nodig is voor het leren van de Nederlandse spelling en zinsbouw.

Het Muiswerkprogramma Basisgrammatica bestrijkt de grammatica die nodig is voor het leren van de Nederlandse spelling en zinsbouw. BASISGRAMMATICA Het Muiswerkprgramma Basisgrammatica bestrijkt de grammatica die ndig is vr het leren van de Nederlandse spelling en zinsbuw. Delgrepen Basisgrammatica Het cmputerprgramma Basisgrammatica

Nadere informatie

... 3. Utrecht in Dialoog... 3. Wat doet Utrecht in Dialoog?...3 Netwerkorganisatie...3 Pool van dialoogbegeleiders...3. 0ver de dialoog...

... 3. Utrecht in Dialoog... 3. Wat doet Utrecht in Dialoog?...3 Netwerkorganisatie...3 Pool van dialoogbegeleiders...3. 0ver de dialoog... Handbek Dialg INHOUDSOPGAVE... 3 Utrecht in Dialg... 3 Wat det Utrecht in Dialg?...3 Netwerkrganisatie...3 Pl van dialgbegeleiders...3 0ver de dialg... 4 Kenmerken van de dialg...4 De frmule van de dialg...4

Nadere informatie

Vier beproefde manieren om de pot met goud, leren van elkaars ervaringen, open te maken

Vier beproefde manieren om de pot met goud, leren van elkaars ervaringen, open te maken Vier beprefde manieren m de pt met gud, leren van elkaars ervaringen, pen te maken Het leren van ervaringen vraagt m het nderzeken van die ervaringen, het liefst in een grep samen met anderen. Dit kan

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Inleiding 2. Leerdoelen 3. Samenwerken, hypotheses & onderzoeksonderwerpen 5. Wat wordt ervan jullie verwacht? 6.

Inhoudsopgave. Inleiding 2. Leerdoelen 3. Samenwerken, hypotheses & onderzoeksonderwerpen 5. Wat wordt ervan jullie verwacht? 6. Inhudspgave Pagina Inleiding 2 Leerdelen 3 Samenwerken, hyptheses & nderzeksnderwerpen 5 Wat wrdt ervan jullie verwacht? 6 Berdeling 8 Prjectrster 2012 11 Afspraken 13 Werkgrepen 2012 14 Onderzeksplan

Nadere informatie

De voorzitter heet alle aanwezigen welkom en neemt kort de opzet van de vergadering door.

De voorzitter heet alle aanwezigen welkom en neemt kort de opzet van de vergadering door. VERSLAG Regivergadering regi 7, 8 & 9 veldvetbal vv Hglanderveen d.d. maandag 15 ktber 2012 Aanwezig: Districtsbestuur Arbeidsrganisatie Landelijk Afgevaardigden Regi Afgevaardigden Verenigingen Jaap Verkrst,

Nadere informatie

- Bedrijfsvermeldingen, Key-accounts & andere advertentiemogelijkheden -

- Bedrijfsvermeldingen, Key-accounts & andere advertentiemogelijkheden - - Bedrijfsvermeldingen, Key-accunts & andere advertentiemgelijkheden - Dr: VvE Media B.V. Versie: 2.1 Datum: 7 mei 2015 Cntactpersn: Dhr. R.H.P. van der Vssen inf@nederlandvve.nl www.nederlandvve.nl ABN

Nadere informatie

Handleiding Opmaken fiche 281.50 Versie 2.0

Handleiding Opmaken fiche 281.50 Versie 2.0 Versie 2.0 1. Inleiding... 3 2. Vrbereidende werkzaamheden... 3 2.1. Algemene rekeningen... 3 2.2. Leveranciersfiches... 4 3. Het pstellen van de fiches... 6 3.1. Het vrbereidingsprgramma... 6 3.2. Het

Nadere informatie

Metacognitieve Therapie

Metacognitieve Therapie Metacgnitieve Therapie MODULE 10: TERUGVALPREVENTIE 10.1 terugvalpreventie 10.2 Psychse/schizfrenie: diagnse f stigma? Het begrip psychse, respectievelijk schizfrenie, wekt bij veel mensen een verkeerde

Nadere informatie