Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 2010: Antwoorden op de opgaven

Transcriptie

1 Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200: Antwoorden op de opgaven

2

3 Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 Antwoorden op de opgaven Als we bij een vergelijking een formule toepassen, zoals bij opgave 3a, dan schrijven we het nummer daarvan wederom boven het gelijkheidsteken. Toevalsexperimenten, uitkomsten, stochasten en gebeurtenissen. Laat M en M 2 de stochasten zijn voor het eerste respectievelijk tweede muntje. Er zijn vier mogelijke uitkomsten die Leon met de twee muntjes kan gooien: (M kop, M 2 kop, (M kop, M 2 munt, (M munt, M 2 kop en (M munt, M 2 munt. De uitkomstenruimte wordt dus: {(kop, kop, (kop, munt, (munt, kop, (munt, munt}. De kans op het gooien van kop of munt is gelijk. Daarnaast bestaat de uitkomstenruimte uit vier uitkomsten en moet de totale kans van deze uitkomsten zijn. De kansverdeling wordt dus: P (M kop, M 2 kop 4, P (M kop, M 2 munt 4, P (M munt, M 2 kop 4, P (M munt, M 2 munt 4. Merk op dat de kans dat een van de muntjes kop is en de ander munt dus gelijk is aan Gegeven is dat 4 deel rood, 3 8 deel wit en 2 7 deel blauw is. De rest, de oranje knikkers, is dus ( ( deel. En dus is de kans dat Frank een oranje knikker trekt P (oranje (Merk op dat het er in deze opgave niet toe doet hoeveel knikkers er in de zak zitten; de kans zou hetzelfde blijven als het aantal knikkers bijvoorbeeld zou verdubbelen, mits de delen rood, wit, blauw en oranje gelijk blijven. Het combineren van gebeurtenissen 3. We maken onderscheid tussen het gooien van een aantal ogen met de zesvlakkige dobbelsteen (stochast Z en de viervlakdobbelsteen (stochast V. a. Saskia kan 9 of 0 gooien; andere mogelijkheden zijn er niet. Om 9 te gooien kan ze Z 6 en V 3 gooien, of Z 5 en V 4. Om 0 te gooien moet ze Z 6 en V 4 gooien. En dus krijgen we: P (Z + V > 8 P (Z + V 9 Z + V 0 (a P (Z + V 9 + P (Z + V 0 P ((Z 6 V 3 (Z 5 V 4 + P (Z 6 V 4 (a P (Z 6 V 3 + P (Z 5 V 4 + P (Z 6 V 4 (2 P (Z 6 P (V 3 + P (Z 5 P (V 4 + +P (Z 6 P (V

4 Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 b. We hebben in het vorige onderdeel berekend dat P (Z + V > 8 8. Omdat P (Z + V 8 P (Z + V > 8, volgt dat P (Z + V c. De volgende combinaties voldoen aan de eis: Z 4 V, Z 5 V 2, Z 6 V 3 en Z V 4. Dus krijgen we: P ( Z V 3 P ((Z 4 V (Z 5 V 2 (Z 6 V 3 (Z V 4 (a P (Z 4 V + P (Z 5 V 2 + P (Z 6 V 3 + P (Z V 4 (2 P (Z 4 P (V + P (Z 5 P (V 2 + P (Z 6 P (V 3 + +P (Z P (V We kennen aan de gebeurtenis kop gooien de stochast K toe en de gebeurtenis munt gooien geven we weer met de stochast M. We willen de kans P (K 2 M uitrekenen. Enerzijds zijn de gebeurtenissen onafhankelijk en anderzijds zijn er meerdere mogelijkheden (lees: volgordes om twee keer kop en een keer munt te gooien. Daarom mogen we de formule uit voorbeeld (xiii toepassen, met N 3, n 2 en p 2 : P (K 2 M 5. We vinden hier: ( 3 2 ( ! 2!(3 2! P (geen 9, V of (3 P (9, V of P (9 V (b (P (9 V + P ( P ((9 V (a (P (9 + P (V + P ( P (9 V (a (P (9 + P (V + P ( (P (9 + P (V ( ( Enerzijds krijgen we: P (binnen vier keer een 6 (3 P (binnen vier keer geen 6 (a ( , 52. 2

5 Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 De andere kans luidt: P (binnen 24 keer dubbel 6 (3 P (binnen 24 keer geen dubbel 6 (a ( , 49. En dus is de kans dat je met één dobbelsteen binnen vier keer een 6 gooit groter. 7. Het schetsen van een plaatje werkt bij deze opgave zeer verhelderend. Hieruit zal duidelijk worden dat geldt: P (A B C P (A+P (B+P (C P (A B P (A C P (B C+P (A B C. 8. Wellicht de eenvoudigste methode om dit probleem op te lossen is als volgt. Merk eerst op dat, bij een stand van 8 7 voor Fermat, er maximaal nog 4 muntjes moeten worden gegooid. Dan is er immers iemand zeker bij de 0. Schrijf nu alle uitkomsten, oftewel de uitkomstenruimte, van het werpen van 4 muntjes op: KKKK KKKM KKM K KM KK MKKK KKMM KMKM KMMK MKKM MKMK MMKK KMMM MKMM MMKM MMMK MMMM Als we nu tellen in hoeveel van deze gevallen Fermat wint en in hoeveel gevallen Pascal wint, dan is dat de verhouding waarin het geld verdeeld moet worden. (In sommige gevallen zijn alleen de eerste 2 of 3 worpen van de 4 van belang, maar toch dienen deze uitkomsten te worden meegeteld. We zien dat Fermat in gevallen wint en Pascal 5. En dus moeten de 00 Franse francs in de verhouding : 5 worden verdeeld, dat wil zeggen: , 75 francs voor Fermat en , 25 francs voor Pascal. De moord op het eiland 9. We weten dat P (A B P (B P (A B. Net zo geldt: P (B A P (A P (B A. Maar omdat P (A B P (B A, volgt nu dat geldt: P (A B P (B P (A B P (B A P (B A P (A. 0. P (A B (4 P (A B (2 P (A P (B P (B P (B P (A. Merk op dat we formule (a mogen toepassen omdat A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn.. Volgens formule (4 geldt P (A B P (A B P (B, waarbij P (B > 0. Dit kunnen we herschrijven als P (A B P (B P (A B, waarbij P (B > 0. Verder is het eenvoudig in te zien dat geldt P (B P (schoppen 3 52 en ook de kans P (A B kunnen we gemakkelijk berekenen: P (A B P (0 of plaatje schoppen 5 3. En dus krijgen we: P (A B P (B P (A B P (0 of plaatje schoppen P (schoppen

6 Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 Een kans toekennen aan de verdachte 2. Er zijn 0 eilandbewoners. Hier zit de verdachte al bij. Omdat er naast de verdachte nog N andere eilandbewoners zijn, moet dus gelden dat N 00. Nu is het een kwestie van de goede getallen op de juiste plek invullen: P (H E +N p +00 0,0 2. Had je verwacht dat deze kans groter zou zijn? Waarom? 3. Het ligt voor de hand om formule (8 toe te passen: P (H E Gegeven is het volgende: P (E H P (H P (E H P (H + P (E H P (H. De ziekte komt bij op de 000 mensen voor, dus P (H P (Tom heeft de ziekte 000. Uit formule (3 volgt nu eenvoudig dat P (H P (Tom heeft de ziekte niet De kans dat een gezond persoon positief test is 0,0, dus P (E H P (Tom test positief Tom heeft de ziekte niet 0, 0. De kans dat een persoon met de ziekte negatief test is 0,05, dus P (E H P (Tom test negatief Tom heeft de ziekte 0, 05. Omdat P (E H P (E H, volgt dat P (Tom test positief Tom heeft de ziekte P (E H 0, 05 0, 95. Nu kunnen we de hele handel invullen in formule (8: P (H E P (E H P (H P (E H P (H + P (E H P (H 0, , , En dus volgt dat P (H E ,

7 Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 De lijst van mogelijke daders individueel bekeken 4. Gegeven is dat P (H P (H 2 en P (H 3 P (H X. Verder is de kans twee keer zo groot dat een man de moordenaar is, dus moet gelden: 2P (H 2P (H 2 P (H 3 P (H X. Omdat ook moet gelden P (H + P (H 2 + P (H 3 + P (H X, volgt nu dat P (H + P (H 2 + P (H 3 + P (H X P (H + P (H + 2P (H + 2P (H 6P (H. En dus geldt P (H 6. Hieruit volgt P (H 2 6 en P (H 3 P (H X 3. Uit de opgave volgt ook dat als een man de moord gepleegd heeft, dan komt het bewijsmateriaal met zekerheid overeen. Dus geldt: P (E H 3 P (E H X. Als een vrouw de moord gepleegd heeft, dan is de kans dat het bewijsmateriaal overeenkomt gelijk aan 2. Dus geldt: P (E H P (E H 2 2. Nu hebben we voldoende informatie vergaard om formule (9 toe te passen: P (H X E + (w R + w 2 R 2 + w 3 R 3 + ( P (H P (H X P (E H P (E H X + P (H 2 P (H X P (E H 2 P (E H X + P (H 3 P (H X P (E H 3 + ( 6 / 3 2 / + 6 / 3 + ( / + 3 / 3 / P (E H X 2 5. Meerdere bewijsmaterialen 5. (0 R i (E, E 2 E v P (E E 2 H i, E v P (E E 2 H v, E v ( (4 P (E E 2 H i E v /( P (E E 2 H v E v P (H i E v P (H v E v ( P (E H i E v / P (E H v E v P (H i E v P (H v E v (4 P (E H i, E v P (E H v, E v P (E 2 H i, E, E v P (E 2 H v, E, E v (0 R i (E E v R i (E 2 E, E v. ( P (E E 2 H i E v P (E H i E v / P (E E 2 H v E v P (E H v E v * Merk op dat we bij de derde gelijkheid niets anders hebben gedaan dan enkele termen in zowel de teller als in de noemer erbij geschreven. (We hebben de expressie dus met het getal vermenigvuldigd en die hebben we slim gekozen. w i (E, E v (0 P (H i E, E v P (H v E, E v 5

8 Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 (4 ( P (Hi E E v /( P (Hv E E v P (E E v E E v ( P (Hi E v / P (Hv E v P (E v P (E v (4 P (H i E v P (H v E v P (E H i, E v P (E H v, E v (0 w i (E v R i (E E v. * We hebben hier wederom slim met vermenigvuldigd. ( P (Hi E E v P (H i E v / P (Hv E E v P (H v E v 6