Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 1 Woensdag 9 September 1 / 39

2 Site: iemhoff Literatuur: Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma, and Stephen G. Jurs. De (legale) online versie van Introduction to Probability, Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell, te vinden op chance/teaching aids/ books articles/probability book/book.html. We gaan tenminste de eerste vier hoofdstukken behandelen. 2 / 39

3 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen 3 / 39

4 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen Bevordert luieren de fantasie? Psychologie 3 / 39

5 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen Bevordert luieren de fantasie? Psychologie Hoe leert mijn spamfilter wat spam is? Informatica 3 / 39

6 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen Bevordert luieren de fantasie? Psychologie Hoe leert mijn spamfilter wat spam is? Informatica Wat is een kans? Filosofie 3 / 39

7 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen Bevordert luieren de fantasie? Psychologie Hoe leert mijn spamfilter wat spam is? Informatica Wat is een kans? Filosofie Does God play dice with the universe? Natuurkunde 3 / 39

8 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen Bevordert luieren de fantasie? Psychologie Hoe leert mijn spamfilter wat spam is? Informatica Wat is een kans? Filosofie Does God play dice with the universe? Natuurkunde Is Lucia B. schuldig? Rechtspraak 3 / 39

9 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen Bevordert luieren de fantasie? Psychologie Hoe leert mijn spamfilter wat spam is? Informatica Wat is een kans? Filosofie Does God play dice with the universe? Natuurkunde Is Lucia B. schuldig? Rechtspraak Werkt paracetamol? Geneeskunde 3 / 39

10 Kansrekening en Statistiek? Inductief redeneren: wanneer dit gebeurt is de kans groot dat dat gebeurt. 4 / 39

11 Indeling college 1 Kansrekening. 2 Statistiek. Onderweg Toepassingen en Filosofie. 5 / 39

12 1 Kansrekening 6 / 39

13 Typische vragen: het verjaardag probleem Wat is de kans dat twee van ons op dezelfde dag jarig zijn? 7 / 39

14 Typische vragen: het Monty Hall probleem Achter één van drie gesloten deuren staat een auto, achter de andere twee een geit. Jij gaat voor een deur staan. Bijv: geit geit jij auto 8 / 39

15 Typische vragen: het Monty Hall probleem Achter één van drie gesloten deuren staat een auto, achter de andere twee een geit. Jij gaat voor een deur staan. Bijv: geit geit jij auto De quizmaster Monty Hall opent een van de twee deuren waar jij niet voor staat en waarachter een geit staat. In dit voorbeeld: geit geit jij auto 8 / 39

16 Typische vragen: het Monty Hall probleem Achter één van drie gesloten deuren staat een auto, achter de andere twee een geit. Jij gaat voor een deur staan. Bijv: geit geit jij auto De quizmaster Monty Hall opent een van de twee deuren waar jij niet voor staat en waarachter een geit staat. In dit voorbeeld: geit geit jij auto Jij mag blijven staan of voor de andere gesloten deur gaan staan. Vervolgens win je dat wat achter jouw deur staat. Is het beter altijd van deur te veranderen (indien je geen geit wilt)? 8 / 39

17 Typische vragen: loterij Wat is de kans dat je bij een loterij met 100 loten en drie prijzen een prijs wint als je 7 loten koopt? Is die kans veel groter dan als je 5 loten koopt? 9 / 39

18 Typische vragen: oneindig veel uitkomsten Een computer genereert willekeurige punten in de grote cirkel. Wat is de kans dat het punt in de kleine cirkel valt? 10 / 39

19 Typische vragen: oneindig veel uitkomsten Een computer genereert willekeurige punten in de grote cirkel. Wat is de kans dat het punt in de kleine cirkel valt? Wat is de kans dat je uit een zak met alle natuurlijke getallen een 5 trekt? 10 / 39

20 Typische vragen: oneindig veel uitkomsten Een computer genereert willekeurige punten in de grote cirkel. Wat is de kans dat het punt in de kleine cirkel valt? Wat is de kans dat je uit een zak met alle natuurlijke getallen een 5 trekt? In tegenstelling tot de vorige vragen is bij deze twee experimenten het aantal uitkomsten oneindig. 10 / 39

21 Typische vragen: het drie gevangenen probleem Er zijn drie gevangen, 1,2 en 3, waarvan twee, die willekeurig gekozen worden, zullen worden terechtgesteld, en de gevangenen weten dit. Dus de kans voor elke gevangene om te overleven is 1 3. Rita, de cipier komt langs en 1 vraagt haar of zij kan zeggen of 1 of 2 wordt terechtgesteld. Rita zegt: 2. Wat is nu de nieuwe kans dat 1 overleeft? 11 / 39

22 Typische vragen: het drie gevangenen probleem Er zijn drie gevangen, 1,2 en 3, waarvan twee, die willekeurig gekozen worden, zullen worden terechtgesteld, en de gevangenen weten dit. Dus de kans voor elke gevangene om te overleven is 1 3. Rita, de cipier komt langs en 1 vraagt haar of zij kan zeggen of 1 of 2 wordt terechtgesteld. Rita zegt: 2. Wat is nu de nieuwe kans dat 1 overleeft? Er lijken twee antwoorden mogelijk: 1 krijgt geen nieuwe informatie, hij wist toch al dat 2 of 3 terechtgesteld zou worden, dus zijn overlevingskans blijft 1 3. Eerst waren er drie mogelijkheden: 1 of 2 of 3 overleeft. Nu zijn er twee mogelijkheden: 1 of 3 overleeft. De kans dat 1 overleeft is 1 2. Wat is de kans dat 1 overleeft? 11 / 39

23 Typische vragen: een rechtszaak In Californië is de zaak People vs Collins (1968): een portomonee wordt gestolen en een getuige zegt een blonde vrouw met ponystaart te hebben zien vluchten in een gele auto bestuurd door een zwarte man met baard. Een aantal dagen later wordt er een paar dat aan deze bescrhijving voldoet gearresteerd, maar er wordt geen bewijsmateriaal gevonden. Hoe zou je kansrekening kunnen toepassen in deze rechtszaak? 12 / 39

24 Typische vragen: spam Je laat een spamfilter weten dat een mail onterecht als spam is bechouwd. Volgens welke regels past het filter zich aan, d.w.z. hoe leert een spamfilter? 13 / 39

25 De uitkomstenruimte Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten. De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van alle mogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S.) 14 / 39

26 De uitkomstenruimte Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten. De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van alle mogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S.) Vb. Een dobbelsteen gooien S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }. 14 / 39

27 De uitkomstenruimte Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten. De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van alle mogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S.) Vb. Een dobbelsteen gooien S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }. Een commissie van drie parlementariërs (willekeurig) kiezen: 14 / 39

28 De uitkomstenruimte Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten. De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van alle mogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S.) Vb. Een dobbelsteen gooien S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }. Een commissie van drie parlementariërs (willekeurig) kiezen: S bestaat uit alle verzamelingen van drie parlementariërs. 14 / 39

29 De uitkomstenruimte Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten. De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van alle mogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S.) Vb. Een dobbelsteen gooien S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }. Een commissie van drie parlementariërs (willekeurig) kiezen: S bestaat uit alle verzamelingen van drie parlementariërs. Een commissie van drie parlementariërs (willekeurig) kiezen, waarbij één voorzitter, één secretaris, en één penningmeester wordt: 14 / 39

30 De uitkomstenruimte Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten. De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van alle mogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S.) Vb. Een dobbelsteen gooien S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }. Een commissie van drie parlementariërs (willekeurig) kiezen: S bestaat uit alle verzamelingen van drie parlementariërs. Een commissie van drie parlementariërs (willekeurig) kiezen, waarbij één voorzitter, één secretaris, en één penningmeester wordt: S bestaat uit alle drietallen (V, S, P) waarbij V, S en P verschillende parlementariërs zijn. 14 / 39

31 Een gebeurtenis Def. Een gebeurtenis (event) is een deelverzameling A van de uitkomstenruimte: A S A S 15 / 39

32 Een gebeurtenis Def. Een gebeurtenis (event) is een deelverzameling A van de uitkomstenruimte: A S A S Vb. Even gooien bij het gooien van een dobbelsteen A = {2, 4, 6} Een winnend lot trekken A = {winnende lotnummers}. Positieve uitslag bij het testen op een ziekte A = {ziek}. 15 / 39

33 Kansen Def. De kans op gebeurtenis A wordt genoteerd als P(A). 16 / 39

34 Kansen Def. De kans op gebeurtenis A wordt genoteerd als P(A). Vb. De kans om even te gooien P({2, 4, 6}). De kans om de loterij te winnen P(winnende lotnummers). De kans op een ziekte P(ziek). 16 / 39

35 Kansen toekennen Vraag: Wat is de kans op een gebeurtenis? 17 / 39

36 Kansen toekennen Vraag: Wat is de kans op een gebeurtenis? Doel: Kansen kunnen berekenen en vergelijken. 17 / 39

37 Kansen toekennen Vraag: Wat is de kans op een gebeurtenis? Doel: Kansen kunnen berekenen en vergelijken. Intuïtie: Als alle uitkomsten even waarschijnlijk lijken, dan hebben die uitkomsten dezelfde kans en geldt P(A) = #A #S (# betekent aantal elementen van ). 17 / 39

38 Kansen toekennen Vraag: Wat is de kans op een gebeurtenis? Doel: Kansen kunnen berekenen en vergelijken. Intuïtie: Als alle uitkomsten even waarschijnlijk lijken, dan hebben die uitkomsten dezelfde kans en geldt #A #S = 3 9 P(A) = #A (# betekent aantal elementen van ). #S 17 / 39

39 Vb. Voorbeelden Een dobbelsteen gooien P(1) = P(2) = = P(6). Een lot trekken P(lot 1) = P(lot 2) =.... De kans om een rode of groene bal te trekken uit een vaas met 2 rode, 3 groene en 4 blauwe ballen: P(R of G) = # rode en groene ballen # ballen = / 39

40 Voorbeelden Vb. De kans op precies twee maal munt bij het drie maal werpen van een munt: 19 / 39

41 Voorbeelden Vb. De kans op precies twee maal munt bij het drie maal werpen van een munt: S = {KKK, KKM, KMK, MKK, MMM, MMK, MKM, KMM}. P(precies twee maal munt) = / 39

42 Voorbeelden Vb. De kans op precies twee maal munt bij het drie maal werpen van een munt: S = {KKK, KKM, KMK, MKK, MMM, MMK, MKM, KMM}. P(precies twee maal munt) = 3 8. De kans op een commissie met twee vrouwen en een man, wanneer een commissie van drie mensen (willekeurig) gekozen wordt uit een groep van 3 vrouwen en 2 mannen: 19 / 39

43 Voorbeelden Vb. De kans op precies twee maal munt bij het drie maal werpen van een munt: S = {KKK, KKM, KMK, MKK, MMM, MMK, MKM, KMM}. P(precies twee maal munt) = 3 8. De kans op een commissie met twee vrouwen en een man, wanneer een commissie van drie mensen (willekeurig) gekozen wordt uit een groep van 3 vrouwen en 2 mannen: S = {{v1, v2, v3}, {m1, v1, v2}, {m2, v1, v2}, {m1, v1, v3}, {m2, v1, v3}, {m1, v2, v3}, {m2, v2, v3}, {m1, m2, v2}, {m1, m2, v3}, {m1, m2, v1}}. P(twee vrouwen en een man) = 6 10 = / 39

44 Statistiek Bij veel experimenten helpen de axioma s van de kansrekening ons niet. Wat is de kans op een bepaalde ziekte, wat is de kans op werkeloosheid, et cetera? Dat zijn statistische vragen, en die komen later aan bod. 20 / 39

45 Statistiek Bij veel experimenten helpen de axioma s van de kansrekening ons niet. Wat is de kans op een bepaalde ziekte, wat is de kans op werkeloosheid, et cetera? Dat zijn statistische vragen, en die komen later aan bod. We beginnen nu met de formele definities en axioma s van Kansrekening. 20 / 39

46 Stochasten Def. Stochastische variabelen (stochasten) zijn een compacte notatie voor het weergeven van kansen. Een stochastische variabele (random variable) is een variabele waarvan de waarden de uitkomsten van een kansexperiment zijn, d.w.z. de waarden van de bijbehorende uitkomstenruimte. Stochasten worden aangeduid met X, Y, Z. Vb. Een dobbelsteen gooien: de waarden van X zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6. Op een ziekte testen: de waarden van X zijn ziek en niet ziek. Compacte notatie: in plaats van P(de kans om 2 te gooien), nu P(X = 2). 21 / 39

47 Discrete distributiefuncties Def. Zij S een eindige of aftelbare uitkomstenruimte van een experiment en X de bijbehorende stochast. Een distributiefunctie van X is een functie f (m in boek) die aan elke waarde van X een kans toekent, d.w.z. een getal tussen 0 en 1: f : S [0, 1], en zodat i S f (i) = 1. Dus als i een waarde is van X en A een gebeurtenis: P(X = i) def f (i) P(A) def f (i). i A 22 / 39

48 Discrete distributiefuncties Def. Zij S een eindige of aftelbare uitkomstenruimte van een experiment en X de bijbehorende stochast. Een distributiefunctie van X is een functie f (m in boek) die aan elke waarde van X een kans toekent, d.w.z. een getal tussen 0 en 1: f : S [0, 1], en zodat i S f (i) = 1. Dus als i een waarde is van X en A een gebeurtenis: P(X = i) def f (i) P(A) def f (i). Vb. Een dobbelsteen gooien: i A 22 / 39

49 Discrete distributiefuncties Def. Zij S een eindige of aftelbare uitkomstenruimte van een experiment en X de bijbehorende stochast. Een distributiefunctie van X is een functie f (m in boek) die aan elke waarde van X een kans toekent, d.w.z. een getal tussen 0 en 1: f : S [0, 1], en zodat i S f (i) = 1. Dus als i een waarde is van X en A een gebeurtenis: P(X = i) def f (i) P(A) def f (i). i A Vb. Een dobbelsteen gooien: de waarden van X zijn 1, 2,..., 6. f (1) = = f (6) = 1 6. P(X is even) = f (2) + f (4) + f (6) = / 39

50 Voorbeelden Vb. Een bal trekken uit een vaas met 2 rode, 3 groene en 4 blauwe ballen: 23 / 39

51 Voorbeelden Vb. Een bal trekken uit een vaas met 2 rode, 3 groene en 4 blauwe ballen: de waarden van X zijn R,G,B 23 / 39

52 Voorbeelden Vb. Een bal trekken uit een vaas met 2 rode, 3 groene en 4 blauwe ballen: de waarden van X zijn R,G,B f (R) = P(X = R) = 2 9 en f (G) = P(X = G) = / 39

53 Voorbeelden Vb. Een bal trekken uit een vaas met 2 rode, 3 groene en 4 blauwe ballen: de waarden van X zijn R,G,B f (R) = P(X = R) = 2 9 en f (G) = P(X = G) = 3 9 P(X = R of X = G) = f (R) + f (G) = = / 39

54 Conventie Vanaf nu schrijven we meestal P(X = i) voor f (i). 24 / 39

55 Conventie Vanaf nu schrijven we meestal P(X = i) voor f (i). Vaak is het handig X zo te kiezen dat die alleen waarden in R aanneemt. Vb. Op een ziekte testen, waarbij de kans op ziekte 0.26 is. We nemen als stochast X, die de waarden 0 (niet-ziek) en 1 (ziek) kan aannemen, waarbij P(X = 0) = 0.74 en P(X = 1) = / 39

56 Eigenschappen van kansen St. Als A en B disjunct (A B leeg), P(A B) = P(A) + P(B). 25 / 39

57 Eigenschappen van kansen St. Als A en B disjunct (A B leeg), P(A B) = P(A) + P(B). Bew. Omdat A en B disjunct zijn geldt: A B S 25 / 39

58 Eigenschappen van kansen St. Als A en B disjunct (A B leeg), P(A B) = P(A) + P(B). Bew. Omdat A en B disjunct zijn geldt: Dus P(A B) = A i A B P(X = i) = i A P(X = i) + j B B S P(X = j) = P(A) + P(B). 25 / 39

59 Eigenschappen van kansen St. Als A en B disjunct (A B leeg), P(A B) = P(A) + P(B). Bew. Omdat A en B disjunct zijn geldt: Dus P(A B) = A i A B P(X = i) = i A P(X = i) + j B B S P(X = j) = P(A) + P(B). St. Als A 1, A 2,..., A n disjunct (A i A j leeg voor alle i j), dan P( n A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). i=1 25 / 39

60 Eigenschappen van kansen St. P(Ā) = 1 P(A) ( Ā is het complement van A (Ã in boek) ). 26 / 39

61 Eigenschappen van kansen St. P(Ā) = 1 P(A) ( Ā is het complement van A (Ã in boek) ). Bew. S : A Uit de vorige stelling volgt dat: Ā P(S) = P(A) + P(Ā). 26 / 39

62 Eigenschappen van kansen St. P(Ā) = 1 P(A) ( Ā is het complement van A (Ã in boek) ). Bew. S : A Uit de vorige stelling volgt dat: Ā P(S) = P(A) + P(Ā). Een eigenschap van de distributiefunctie is dat P(S) = i S P(X = i) = / 39

63 Eigenschappen van kansen St. P(Ā) = 1 P(A) ( Ā is het complement van A (Ã in boek) ). Bew. S : A Uit de vorige stelling volgt dat: Ā P(S) = P(A) + P(Ā). Een eigenschap van de distributiefunctie is dat P(S) = i S P(X = i) = 1. Dus 1 = P(S) = P(A) + P(Ā), en daarom P(Ā) = 1 P(A). 26 / 39

64 Voorbeelden P(Ā) = 1 P(A) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) indien A 1, A 2,..., A n disjunct. Vb. Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E. De kans dat met D een 5 en met E groter dan 4 wordt gegooid is P(D = 5, E > 4) 27 / 39

65 Voorbeelden P(Ā) = 1 P(A) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) indien A 1, A 2,..., A n disjunct. Vb. Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E. De kans dat met D een 5 en met E groter dan 4 wordt gegooid is P(D = 5, E > 4) = P(D = 5, E = 5 of E = 6). 27 / 39

66 Voorbeelden P(Ā) = 1 P(A) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) indien A 1, A 2,..., A n disjunct. Vb. Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E. De kans dat met D een 5 en met E groter dan 4 wordt gegooid is P(D = 5, E > 4) = P(D = 5, E = 5 of E = 6). Er zijn 36 paren (D, E), waarvan alleen (5,5), (5,6) voldoen: P(D = 5 en E > 4) = = / 39

67 Voorbeelden P(Ā) = 1 P(A) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) indien A 1, A 2,..., A n disjunct. Vb. Uit een klas met 17 meisjes en 10 jongens wordt een commissie gekozen bestaande uit 1 meisje en 2 jongens. Wat is de kans dat Marie, Jan en Piet gekozen worden? 28 / 39

68 Voorbeelden P(Ā) = 1 P(A) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) indien A 1, A 2,..., A n disjunct. Vb. Uit een klas met 17 meisjes en 10 jongens wordt een commissie gekozen bestaande uit 1 meisje en 2 jongens. Wat is de kans dat Marie, Jan en Piet gekozen worden? S bestaat uit alle verzamelingen van twee jongens en één meisje. 28 / 39

69 Voorbeelden P(Ā) = 1 P(A) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) indien A 1, A 2,..., A n disjunct. Vb. Uit een klas met 17 meisjes en 10 jongens wordt een commissie gekozen bestaande uit 1 meisje en 2 jongens. Wat is de kans dat Marie, Jan en Piet gekozen worden? S bestaat uit alle verzamelingen van twee jongens en één meisje. Er zijn ongeordende paren jongens. Dus #S = / 39

70 Voorbeelden P(Ā) = 1 P(A) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) indien A 1, A 2,..., A n disjunct. Vb. Uit een klas met 17 meisjes en 10 jongens wordt een commissie gekozen bestaande uit 1 meisje en 2 jongens. Wat is de kans dat Marie, Jan en Piet gekozen worden? S bestaat uit alle verzamelingen van twee jongens en één meisje. Er zijn ongeordende paren jongens. Dus #S = De kans dat Marie, Jan en Piet gekozen worden is P(MJP) = / 39

71 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 29 / 39

72 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B S Bew. 29 / 39

73 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Bew. S A B S A\B A B B\A 29 / 39

74 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B S Bew. A\B A B B\A S P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A B) 29 / 39

75 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B S Bew. A\B A B B\A S P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A B) P(A) = P(A\B) + P(A B) 29 / 39

76 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B S Bew. A\B A B B\A S P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A B) P(A) = P(A\B) + P(A B) P(A\B) = P(A) P(A B) 29 / 39

77 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B S Bew. A\B A B B\A S P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A B) P(A) = P(A\B) + P(A B) P(A\B) = P(A) P(A B) P(B) = P(B\A) + P(A B) 29 / 39

78 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B S Bew. A\B A B B\A S P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A B) P(A) = P(A\B) + P(A B) P(A\B) = P(A) P(A B) P(B) = P(B\A) + P(A B) P(B\A) = P(B) P(A B) 29 / 39

79 Eigenschappen van kansen St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). A B S Bew. A\B A B B\A S P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A B) P(A) = P(A\B) + P(A B) P(A\B) = P(A) P(A B) P(B) = P(B\A) + P(A B) P(B\A) = P(B) P(A B) P(A B) = P(A) P(A B) + P(B) P(A B) + P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 29 / 39

80 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 30 / 39

81 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. De kans dat J en P zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat J of P zakt is 30 / 39

82 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. De kans dat J en P zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat J of P zakt is P(J zakt) + P(P zakt) P(J en P zakken) = = / 39

83 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. De kans dat J en P zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat J of P zakt is P(J zakt) + P(P zakt) P(J en P zakken) = = Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E. 30 / 39

84 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. De kans dat J en P zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat J of P zakt is P(J zakt) + P(P zakt) P(J en P zakken) = = Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E. De kans dat D of E een 5 is, is P(D = 5 of E = 5) = 30 / 39

85 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. De kans dat J en P zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat J of P zakt is P(J zakt) + P(P zakt) P(J en P zakken) = = Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E. De kans dat D of E een 5 is, is P(D = 5 of E = 5) = P(D = 5)+P(E = 5) P(D = 5 en E = 5) = = / 39

86 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 31 / 39

87 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. Een vaas bevat 5 ballen: 2 zijn rood met een A, 1 is rood met een B, 1 is groen met een A en 1 is groen met een B: B A B A A 31 / 39

88 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. Een vaas bevat 5 ballen: 2 zijn rood met een A, 1 is rood met een B, 1 is groen met een A en 1 is groen met een B: B A B A A Er wordt een bal getrokken. De kans dat die rood is of een B heeft is 31 / 39

89 Voorbeelden P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vb. Een vaas bevat 5 ballen: 2 zijn rood met een A, 1 is rood met een B, 1 is groen met een A en 1 is groen met een B: B A B A A Er wordt een bal getrokken. De kans dat die rood is of een B heeft is P(R of B) = P(R) + P(B) P(R B) = = / 39

90 Eigenschappen van kansen St. P(A) = P(A B) + P(A B). 32 / 39

91 Eigenschappen van kansen St. P(A) = P(A B) + P(A B). Bew. A S : B B 32 / 39

92 Eigenschappen van kansen St. P(A) = P(A B) + P(A B). Bew. A S : B B St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, d.w.z. B 1,..., B n zijn disjunct en S = B 1 B 2 B n, dan P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n ). 32 / 39

93 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) 33 / 39

94 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. De kans dat Jan en Piet zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat precies één van hen zakt is P(J zakt en P niet) + P(P zakt en J niet). 33 / 39

95 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. De kans dat Jan en Piet zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat precies één van hen zakt is P(J zakt en P niet) + P(P zakt en J niet). Met bovenstaande stelling: 0.2 = P(J zakt) = P(J zakt en P zakt) + P(J zakt en P niet) 0.1 = P(P zakt) = P(P zakt en J zakt) + P(P zakt en J niet). 33 / 39

96 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. De kans dat Jan en Piet zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat precies één van hen zakt is P(J zakt en P niet) + P(P zakt en J niet). Met bovenstaande stelling: Dus 0.2 = P(J zakt) = P(J zakt en P zakt) + P(J zakt en P niet) 0.1 = P(P zakt) = P(P zakt en J zakt) + P(P zakt en J niet). P(J zakt en P niet) = P(P zakt en J niet) = / 39

97 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. De kans dat Jan en Piet zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1. De kans dat J en P allebei zakken is De kans dat precies één van hen zakt is P(J zakt en P niet) + P(P zakt en J niet). Met bovenstaande stelling: Dus 0.2 = P(J zakt) = P(J zakt en P zakt) + P(J zakt en P niet) 0.1 = P(P zakt) = P(P zakt en J zakt) + P(P zakt en J niet). P(J zakt en P niet) = P(P zakt en J niet) = Dat geeft P(J zakt en P niet) + P(P zakt en J niet) = = / 39

98 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) 34 / 39

99 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. 0.3% van de mensen in Utrecht leest het NRC, 0.5% de VK en 0.01% leest ze allebei. Het percentage mensen dat precies één van die twee kranten leest is P(NRC en niet VK) + P(VK en niet NRC). 34 / 39

100 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. 0.3% van de mensen in Utrecht leest het NRC, 0.5% de VK en 0.01% leest ze allebei. Het percentage mensen dat precies één van die twee kranten leest is P(NRC en niet VK) + P(VK en niet NRC). x Met bovenstaande stelling (let op: x% betekent kans 100 ): = P(NRC) = P(NRC en VK) + P(NRC en niet VK) = P(VK) = P(NRC en VK) + P(VK en niet NRC). 34 / 39

101 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. 0.3% van de mensen in Utrecht leest het NRC, 0.5% de VK en 0.01% leest ze allebei. Het percentage mensen dat precies één van die twee kranten leest is P(NRC en niet VK) + P(VK en niet NRC). x Met bovenstaande stelling (let op: x% betekent kans 100 ): = P(NRC) = P(NRC en VK) + P(NRC en niet VK) Dus = P(VK) = P(NRC en VK) + P(VK en niet NRC). P(NRC en niet VK) = P(VK en niet NRC) = / 39

102 Voorbeelden P(A) = P(A B) + P(A B) Vb. 0.3% van de mensen in Utrecht leest het NRC, 0.5% de VK en 0.01% leest ze allebei. Het percentage mensen dat precies één van die twee kranten leest is P(NRC en niet VK) + P(VK en niet NRC). x Met bovenstaande stelling (let op: x% betekent kans 100 ): = P(NRC) = P(NRC en VK) + P(NRC en niet VK) Dus = P(VK) = P(NRC en VK) + P(VK en niet NRC). Dat geeft P(NRC en niet VK) = P(VK en niet NRC) = P(NRC en niet VK) + P(VK en niet NRC) = = / 39

103 Oneindige discrete uitkomstenruimte Vb. Een dobbelsteen wordt gegooid totdat er de eerste keer een 2 wordt gegooid. De uitkomstenruimte bestaat uit het aantal worpen, en is dus oneindig: S = {1, 2, 3, 4,... }. P(X = 1) = 1 6 P(X = 2) = = / 39

104 Oneindige discrete uitkomstenruimte Vb. Een dobbelsteen wordt gegooid totdat er de eerste keer een 2 wordt gegooid. De uitkomstenruimte bestaat uit het aantal worpen, en is dus oneindig: S = {1, 2, 3, 4,... }. P(X = 1) = 1 6 P(X = 2) = = 5 36 P(X = 3) = = / 39

105 Oneindige discrete uitkomstenruimte Vb. Een dobbelsteen wordt gegooid totdat er de eerste keer een 2 wordt gegooid. De uitkomstenruimte bestaat uit het aantal worpen, en is dus oneindig: S = {1, 2, 3, 4,... }. P(X = 1) = 1 6 P(X = 2) = = 5 36 P(X = 3) = = P(X = n) = 5n 1 6 n 35 / 39

106 Oneindige discrete uitkomstenruimte Vb. Een dobbelsteen wordt gegooid totdat er de eerste keer een 2 wordt gegooid. De uitkomstenruimte bestaat uit het aantal worpen, en is dus oneindig: S = {1, 2, 3, 4,... }. P(X = 1) = 1 6 P(X = 2) = = 5 36 P(X = 3) = = P(X = n) = 5n 1 6 n Er moet P(S) = 1 gelden, en inderdaad: n=1 P(X = n) = = 1 35 / 39

107 Oneindige discrete uitkomstenruimte Vb. Een dobbelsteen wordt gegooid totdat er de eerste keer een 2 wordt gegooid. De uitkomstenruimte bestaat uit het aantal worpen, en is dus oneindig: S = {1, 2, 3, 4,... }. P(X = 1) = 1 6 P(X = 2) = = 5 36 P(X = 3) = = P(X = n) = 5n 1 6 n Er moet P(S) = 1 gelden, en inderdaad: n=1 St. Als A 1, A 2,... disjunct, dan P(X = n) = = 1 P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 35 / 39

108 Oplossing van typische vragen: loterij Wat is de kans dat je uit een zak met alle natuurlijke getallen een 5 trekt? 36 / 39

109 Oplossing van typische vragen: loterij Wat is de kans dat je uit een zak met alle natuurlijke getallen een 5 trekt? Intuïtie Voor elk getal is de kans om het te trekken even groot. Stel dat die kans p is, en laat X de stochast zijn. Dan is voor elk getal n, P(X = n) = p. 36 / 39

110 Oplossing van typische vragen: loterij Wat is de kans dat je uit een zak met alle natuurlijke getallen een 5 trekt? Intuïtie Voor elk getal is de kans om het te trekken even groot. Stel dat die kans p is, en laat X de stochast zijn. Dan is voor elk getal n, P(X = n) = p. Omdat de gebeurtenissen disjunct zijn en P(X N) = 1 geldt 1 = P(X N) = P(X = n) = n=1 Een tegenspraak: 1 = 0 of 1 =. p = n=1 { 0 als p = 0 als p > / 39

111 Oplossing van typische vragen: loterij Wat is de kans dat je uit een zak met alle natuurlijke getallen een 5 trekt? Intuïtie Voor elk getal is de kans om het te trekken even groot. Stel dat die kans p is, en laat X de stochast zijn. Dan is voor elk getal n, P(X = n) = p. Omdat de gebeurtenissen disjunct zijn en P(X N) = 1 geldt 1 = P(X N) = P(X = n) = n=1 Een tegenspraak: 1 = 0 of 1 =. p = n=1 { 0 als p = 0 als p > 0. Consclusie: aan dit experiment kan geen aannemelijke distributiefunctie, d.w.z. kunnen geen aannemelijke kansen, toegekend worden. Aan de vraag wat de kans om 5 te trekken is, kan geen zinvolle betekenis gegeven worden. 36 / 39

112 Samenvatting eigenschappen Zij S de uitkomstenruimte en A, A i, B, B i gebeurtenissen. 0 P(A) 1 en P(S) = / 39

113 Samenvatting eigenschappen Zij S de uitkomstenruimte en A, A i, B, B i gebeurtenissen. 0 P(A) 1 en P(S) = 1. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), en dus P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. 37 / 39

114 Samenvatting eigenschappen Zij S de uitkomstenruimte en A, A i, B, B i gebeurtenissen. 0 P(A) 1 en P(S) = 1. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), en dus P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. Als A 1, A 2,..., A n disjunct, dan n P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). i=1 37 / 39

115 Samenvatting eigenschappen Zij S de uitkomstenruimte en A, A i, B, B i gebeurtenissen. 0 P(A) 1 en P(S) = 1. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), en dus P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. Als A 1, A 2,..., A n disjunct, dan n P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). i=1 Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 37 / 39

116 Samenvatting eigenschappen Zij S de uitkomstenruimte en A, A i, B, B i gebeurtenissen. 0 P(A) 1 en P(S) = 1. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), en dus P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. Als A 1, A 2,..., A n disjunct, dan n P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). i=1 Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 P(A) = P(A B) + P(A B). 37 / 39

117 Samenvatting eigenschappen Zij S de uitkomstenruimte en A, A i, B, B i gebeurtenissen. 0 P(A) 1 en P(S) = 1. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), en dus P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. Als A 1, A 2,..., A n disjunct, dan n P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). i=1 Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 P(A) = P(A B) + P(A B). Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n ). 37 / 39

118 Geschiedenis Gerolamo Cardano ( ) Chevalier de Méré Blaise Pascal ( ) Pierre de Fermat ( ) 38 / 39

119 Finis 39 / 39