Constructiemechanica 4

Transcriptie

1 CTB3330 Constructiemechnic 4 Tentmenbundel Civiele Techniek Het Gezelsch "Prctische Studie" LET OP! EEN REPRODUCERENDE LEERSTIJL IS SCHADELIJK VOOR DE ACADEISCHE VORING Aril 016 Aril 014 Aril 013 Aril 01 Aril 011 Jnuri 010

2 Aril 016 Aril 014 Aril 013 Aril 01 Aril 011 Jnuri 010 Vrg Onderwer Goed? Onderwer Goed? Onderwer Goed? Onderwer Goed? Onderwer Goed? Onderwer Goed? Vul dit schem in om een overzicht te hebben vn welke onderweren vn het vk l goed gn en welke je nog moet oefenen

3 Subfculteit Civiele Techniek Vermeld o blden vn uw werk: Constructiemechnic STUDIENUER : NAA : Tentmen CT3109 CONSTRUCTIEECHANICA 4 18 jn 010, 09:00 1:00 uur Dit tentmen bestt uit 4 ogven. Werk elke ogve uit o een fzonderlijk bld. Vermeld o elk bld rechtsboven uw nm en studienummer In de beoordeling vn het werk wordt ook de netheid vn de resenttie betrokken Het gebruik vn mobiele telefoons en UTS tijdens het tentmen is niet toegestn, dus uitzetten en vn tfel verwijderen! Het gebruik vn de grfische rekenmchine is toegestn k zonodig gebruik vn de meegeleverde formuleblden Let o de ngegeven tijd er vrgstuk

4 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 18 jn 010 OPGAVE 1 : Plsticiteit en bezwijktheorie ( c 45 min ) In de onderstnde figuur is een geknikt snt weergegeven die in A en B schrnierend is ogelegd. In D en G wordt het snt belst met de ngegeven krchten F. D F E l C lle stven G F l A B l l l Vrgen: ) Bel de mogelijke bezwijkmechnismen en teken deze met kleine schetsjes. b) Vn lle mechnismen die kunnen otreden mg u miml 3 mechnismen echt onderzoeken. Geef oordeelkundig n welke drie mechnismen in nmerking komen ls mtgevend bezwijkmechnisme en onderzoek deze. Bel zo de bezwijkbelsting F. Omerking : Oordeelkundig houdt hier in dt u gemotiveerd kunt ngeven wrom een beld mechnisme een lgere bezwijklst zl hebben in vergelijking tot de nderen. c) Teken voor het mtgevende mechnisme de momentenlijn met relevnte wrden en vervormingstekens. - -

5 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 18 jn 010 OPGAVE : Invloedslijnen ( c 45 min ) Een lststelsel bestnde uit drie eenheidslsten rijdt over de onderstnde schrnierligger. De lsten hebben een vste fstnd tot elkr. 4 m 1 m 1 kn 1 kn 1 kn A S B C 8,0 m 5 m 5 m Vrgen : Construeer voor deze constructie, in één figuur onder elkr, de invloedslijnen voor : ) De verticle olegrectie in A b) Het inklemmingsmoment in A c) De dwrskrcht links vn het schrnier d) De dwrskrcht rechts vn het schrnier e) De zkking vn het schrnier S f) De olegrectie in B Wt is de meest ongunstige ositie voor het lststelsel en bel de grootte vn de gevrgde grootheid in deze situtie voor : g) Het inklemmingsmoment in A h) De olegrectie in B Omerking : Construeren houdt in dit verbnd in dt de vorm en de invloedsfctoren vn de invloedslijn volledig zijn beld

6 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 18 jn 010 OPGAVE 3 : Arbeid en Energiemethoden ( c 45 min ) Een enkelzijdig ingeklemde buigligger ACD met buigstijfheid is ogehngen n een endelstf BC met ile stijfheid EA. B EA l A C D F l l Gegeven : l m; knm ; EA 1000 kn; F 6 kn Vrgen: ) Bel vn deze constructie met behul vn een rbeid- of energiemethode nr keuze de momentenlijn en teken deze inclusief de vervormingstekens en schrijf de etreme wrden erbij. erk o : Hoewel het erg verleidelijk is om dit o te lossen met de krchtenmethode wordt hier eliciet getoetst o een leerdoel m.b.t. rbeid en energie. U mg uiterrd uw uitkomst wel controleren met de krchtenmethode mr nr deze methode wordt niet gevrgd! b) Bel de normlkrcht in de endelstf. c) Als de endelstf een rekloze stf is, hoe groot is dn de normlkrcht in deze endel? erk o : Hier wordt niet eliciet ngegeven welke methode U dient te gebruiken, iedere methode nr eigen inzicht, mits toesbr, voldoet dus

7 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 18 jn 010 OPGAVE 4 ( c 45 min ) Vn een o buiging belste stf in een constructie is gegeven dt de inhomogene dwrsdoorsnede gemkt is vn een comosiet bestnde uit drie verschillende mterilen. De delen zijn in de figuur ngegeven met hun elsticiteitsmoduli. De smengestelde doorsnede mg worden beschouwd ls een strre doorsnede. 3 S R Q y NC? E W E V T U 6 E 4 t X Y 3 mteril 1 : E mteril : E mteril 3 : 6E z Gegevens : E N/mm ; 50 mm; N 0kN; V y y 10 kn; V 0 kn 70,0 knm; 0 knm z z Vrgen: ) Bel de ligging vn het normlkrchtencentrum NC. b) Welke reltie legt de constitutieve reltie vn de doorsnede? c) De constitutieve mtri voor deze doorsnede is hieronder weergegeven. Lt zien dt de wrde vn het element in de 3 e kolom vn de e rij correct is E d) Teken in een figuur vn de dwrsdoorsnede de neutrle lijn, het belstingvlk m en het krommingsvlk k. e) Teken in een e figuur de normlsnningsverdeling voor het deel RSTU (mteril 1) en het deel VWXY (mteril 3) en zet deze snningen uit t.o.v. een lijn die loodrecht stt o de neutrle lijn. f) Bel de schuifstroom (in N/mm) in het horizontle vlk tussen R en U g) Leg uit welke vorm de kern vn deze doorsnede heeft en hoe deze kn worden beld. (merk o: g niet rekenen!) - 5 -

8 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 18 jn 010 FORULEBLAD Inhomogene en/of niet-symmetrische doorsneden : ε( y, z) ε + κ y y + κ z z en : y yy yz κ y z yz zz κ z en s ( ) Vy ES ( ) y yy Vz ES ( ) z zz ; of : σ ( y, z) E( y, z) ε( y, z) e y 1 e z EA s ( ) R ( ) yy yz V; σ t yz zz 1/ y1 1/ z 1 s b ( ) ( ) Vormvernderingsenergie: Kinemtische betrekkingen: du 1 Ev EAε d (etensie) ε d 1 Ev κ d (buiging) d w κ d Comlementire energie: Constitutieve betrekkingen: N Ec d (etensie) EA N EA. ε. κ Ec d (buiging) Stellingen vn Cstiglino: Arbeidsmethode met eenheidslst: Ev Ec ( ) m( ) d Fi ui u u F i i Hulmiddelen bij het integreren vn roducten vn functies e.d. : m - 6 -

9 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 18 jn

10 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 18 jn

11 Subfculteit Civiele Techniek Vermeld o blden vn uw werk: Constructiemechnic STUDIENUER : NAA : Tentmen CT3109 CONSTRUCTIEECHANICA 4 11 ril 011, 09:00 1:00 uur Dit tentmen bestt uit 4 ogven. Werk elke ogve uit o een fzonderlijk bld. Vermeld o elk bld rechtsboven uw nm en studienummer In de beoordeling vn het werk wordt ook de netheid vn de resenttie betrokken Het gebruik vn mobiele telefoons en UTS tijdens het tentmen is niet toegestn, dus uitzetten en vn tfel verwijderen! Het gebruik vn de grfische rekenmchine is toegestn k zonodig gebruik vn de meegeleverde formuleblden Let o de ngegeven tijd er vrgstuk

12 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 OPGAVE 1 : Plsticiteit en bezwijktheorie ( c 45 min ) In de onderstnde figuur is een geknikt snt weergegeven dt in A volledig is ingeklemd en in B ogelegd is o een horizontle rol. Het snt wordt in D en E belst met de ngegeven krchten F. Het deel ACD is twee ml zo sterk ls het deel BED. C D F E F 3 A B Vrgen: ) Bel de mogelijke bezwijkmechnismen en teken deze met kleine schetsjes. b) Bel de bezwijkbelsting F uitgedrukt in en het vollstisch moment. c) Teken voor het mtgevende mechnisme de momentenlijn met relevnte wrden en vervormingstekens. - -

13 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 OPGAVE : Invloedslijnen ( c 35 min ) Hieronder is een sttisch belde constructie gegeven. De Gerber-ligger heeft twee schrnieren S1 en S. A B S1 S C D -s z-s 5,0 m,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m Figuur 1 : Sttisch belde constructie Vrgen: ) Leg uit hoe de invloedslijn voor een krchtsgrootheid kn worden beld? b) Leg uit hoe de invloedslijn voor een verltsingsgrootheid kn worden beld c) Construeer de invloedslijn voor het steununtsmoment in B. d) Construeer de invloedslijn voor het steununtsmoment in C. e) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht direct links vn C. f) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht hlverwege AB g) Construeer de invloedslijn voor de olegrectie in C h) Schets de invloedslijn voor de zkking vn schrnier S. i) Wr moet de gelijkmtig verdeelde belsting q worden geltst odt het steununtsmoment miml is en welk steununt is dn mtgevend? - 3 -

14 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 OPGAVE 3 : Arbeid en Energiemethoden ( c 45 min ) In de onderstnde figuur is een buigligger weergegeven die n de linker zijde verend is ingeklemd en in B schrnierend is ondersteund. S is een in de ligger ngebrcht schrnier. De ligger wordt over het deel SBC belst met een gelijkmtig verdeelde lst q en in C met en untlst F. De veerstijfheid is met de onderstnde uitdrukking in een (dimensieloos) verhoudingsgetl uit te drukken t.o.v. de buigstijfheid en uitkrging vn de ligger: r ρ ρ r Voor een rottieveer kn de vormvernderingsenergie worden beld met de volgende uitdrukking: E v r veer r S q F A B C Vrgen: ) Bel de momentenlijn voor deze constructie en teken deze inclusief de vervormingstekens en zet de wrden erbij. b) Bel de zkking vn unt S met een rbeids- of energiemethode nr keuze en druk deze uit in de gegeven rmeters wrbij U de veerstijfheid vn de rottieveer mg uitdrukken m.b.v. het verhoudingsgetl ρ. c) Geef de door U gevonden uitdrukking voor de vormvernderingsenergie t.g.v. de belsting en druk deze uit in de rmeters F, q,, ρ en. d) Als verder gegeven is : knm ; ρ, 4 m; q 4 kn/m en F 10 kn, bel dn de gevonden zkking voor S in mm en het mimum moment in knm. e) Bel de ogeslgen vormvernderingsenergie voor de situtie wrbij de veerstijfheid vn de rottieveer bijzonder klein is. TIP : mk een schets vn de vervormde constructie! - 4 -

15 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 OPGAVE 4 ( c 45 min ) Vn een o buiging belste stf in een constructie is gegeven dt de niet symmetrische dwrsdoorsnede gemkt is vn twee mterilen met een verschillende elsticiteitsmodulus. Beide mterilen werken volledig smen. De fmetingen en de verdere gegevens zijn hieronder fgebeeld. De liggers is de -s en de oorsrong vn het ssenstelsel in de doorsnede wordt gekozen in het normlkrchten-centrum. De doorsnede wordt belst in het -z-vlk met een dwrskrcht vn 191 kn en een buigend moment vn 1910 knm. y NC? mteril 1 mteril R S z U T Gegevens : 3 E N/mm ; 3 E N/mm ; 300 mm Vrgen: ) Wrom wordt het ssenstelsel in de doorsnede gekozen in het normlkrchtencentrum? b) Bel de ligging vn het normlkrchtencentrum NC. c) De constitutieve mtri voor deze doorsnede is hieronder weergegeven. Toon n dt deze mtri correct is. 0, eenheden N, mm d) Bel de ligging vn de neutrle lijn, het belstingvlk m en het krommingsvlk k en teken deze in een figuur vn de dwrsdoorsnede e) Teken in een e figuur de normlsnningsverdeling, zet het normlsnningsdigrm loodrecht uit o de neutrle lijn. Lt duidelijk zien in welk mteril de ngegeven snningen otreden, gebruik hiervoor zonodig kleur. f) Bel de krcht die er eenheid vn liggerlengte moet worden overgedrgen in de interfce RST tussen mteril 1 en. g) Bel het linker kernunt vn de doorsnede en teken deze in de figuur vn de doorsnede. h) In welke vlk heeft deze doorsnede de grootste buigstijfheid en hoe groot is deze? - 5 -

16 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 FORULEBLAD Inhomogene en/of niet-symmetrische doorsneden : ε ( y, z) ε + κ y + κ z en: σ ( y, z) E( y, z) ε ( y, z) y z y yy yz κ y ey 1 yy yz 1/ y1 en κ e EA 1/ z z yz zz z z yz zz 1 V ES s s V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y VzESz ( ) R s ; of: ; σ t ( ) yy zz b yz tn α ; + ± + ( ) ( yy zz ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, yy zz yy zz yz Vormvernderingsenergie: Kinemtische betrekkingen: du 1 Ev EAε d (etensie) ε d 1 Ev κ d (buiging) d w κ d Comlementire energie: Constitutieve betrekkingen: N Ec d (etensie) EA N EA. ε. κ Ec d (buiging) Stellingen vn Cstiglino: Arbeidsmethode met eenheidslst: Ev Ec ( ) m( ) d Fi ui u u F i i - 6 -

17 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r

18 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r

19 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 Problem 1 : Plsticity ANSWERS ) The given structure is stticlly indeterminte with degree of one. To obtin mechnism, two dditionl hinges re required. Hinges cn occur t four ositions. Thus, si mechnisms hve to be investigted. However, moments cn not occur t E due to the loding nd suort conditions t B thus only three mechnisms re left to be considered. Possible mechnisms re shown below. Ech mechnism is shown in detil on the following ges. 1 3 F 4 5 F 4 9 F - 9 -

20 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r θ 5θ δ A 0 4 δθ δθ 0(!) + F 5δθ 0 F 5 θ 7 θ δ A 0 4 δθ δθ δθ + F δθ + F 7δθ 0 F

21 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 θ θ θ 3 δ A 0 δθ δθ δθ + F δθ + F δθ 0 F b) The ultimte lod is the lowest lod found: F 4 9 0,444 c) To find the correct moment distribution strt with the suort rections. The moment distribution shows stticlly dmissible distribution in which t no cross section the bending moments eceeds the utltimte lstic ccity of the cross section. (uniqueness theorem)

22 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 Problem : Influence lines A B S1 S C D -s z-s 5,0 m,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m,0 q q q 1 B m, q 5 5 1,0 i-lijn B q (etreme loding) 3,0 q q C m, q 1,0 i-lijn C 1,0 i-lijn V C-L 0,5 0,4 i-lijn V AB 0,5 i-lijn C V 1,0,0 1,0 i-lijn A V 18F/ - 1 -

23 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 Problem 3 : Work nd Energy ethods ) The moment distribution cn be found bse don equilibrium. The distributed lod q is in fct blnced thus only the concentrted lod is contributing to the moment in the sring nd the member AS. ( first yers knowledge!!) r ρ ρ r r S q F A B C Q 7 knm -line due to F nd q -line due to Q 40 r 1 Q S q F b) To find the dislcement t S dummy lod Q is required. In red the moment distribution due to the dummy lod is resented. Since the moment distribution over SB nd BC re ehibiting mirror symmetry, only rt SB hs to be emined. Using locl coordinte for rt AS nd SB denoted with 1 nd, the deformtion energy cn esily be eressed in terms of F, q nd Q : 1 (( )( )) 1 F + q F Q v Ev + d + d r ( F Q) v met: Using Cstiglino s theorem solves the deflection t S: (note: nd integrl is irrelevnt) w S A ( ) ( ) E F Q F Q v Q ρ The dummy lod is zero which results in: Hinge S will move uwrds due tot the lod F. w S F (3 + ρ) F F 3ρ ρ 3 c) Using the given vlues results in dislcement of 0,0533 m uwrds. This dislcement is indeendent of the distributed lod q! B

24 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 d) The totl deformtion energy stored due to the loding is: (note : nd integrl is essentil) 1 1 F + q ( F ( 1 )) v Ev + d + d r E v ( 10 (1 + ρ) + ρ(5 + ρ ) 3 F q F q 0ρ e) If the sring stiffness becomes very smll, oint A turns into hinge. A mechnism will occur. The lod cn move infinitely nd thus roduce infinite work. The bending deformtion will be smll comred to the deformtion energy stored in the sring. So rcticlly ll deformtion energy hs to be tken by the sring(!) which results in hrdly ny deformtion energy (nd curvture) in the elements loded in bending. The brs will remin stright: E ( F ) F w r v lim ρ

25 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 Problem 4 : Non-symmetricl cross sections ) See the lecture notes. b) The il stiffness of the cross section cn be found with: EA E E + E The origin of the coordinte system used is locted t the NC. The verticl osition of the NC with resect to the uer side of the cross section is: z NC 400 mm The horizontl osition with resect to the left side of the cross section is: y NC 00 mm c) The cross sectionl constitutive reltion reltes the sectionl forces to the deformtions if the cross section. The bending stiffnesses cn be found using the strtegy outlined in the lecure notes. This emle is very bsic so only nswers re resented here: N EA 0 0 ε y 0 yy yz κ y cross sectionl constitutive reltion [N, mm] z 0 yz zz κ z 0, K f d) Since this structure is loded in bending only, the strin ε t the NC must be zero. The curvtures cn be found with the constitutive reltion: N ε 0 EA 1 κ 0, ( ) y zz y yz z yy zz yz 1 κ + 0, ( ) z yz y yy z yy zz yz The direction of the lne of loding nd the lne of curvture cn be obtined with: κ α α α α z o z o tn m m 90 ; tn k k 76 y κ y The stresses for ech oint of the cross section cn be comuted with: σ ( y, z) E ( ε + κ y + κ z) N/mm y z The neutrl is n.. cn lso be found with this ltter eression by: ε ( y, z) ε + κ y + κ z 0 κ y + κ z 0 y 4z 0 y z y z e) The stress distribution cn be visulized with few oints. Only the four vlues mrked in bold in the tble on the net ge were essentil for the grhs

26 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 11 r 011 Tbel : Stress in the secified oints teril oint y [mm] z [mm] E [N/mm ] Stress [N/mm ] 1 R ,1 S ,1 T , V ,3 W ,3 X ,4 R ,3 S ,7 T ,0 U ,3 The neutrl is goes through the NC since the norml force N is zero. The red stress distribution reresents the stresses in mteril 1 nd the blue one reresents mteril. The moment nd thus the lod F cts in the -m lne. The curvture κ cts in the -k lne. f) The longitudinl force er unit length of bem in the interfce between mteril 1 nd cn be obtined with: 17 n mteril 191 y X R U k NC m mteril 1 S T z W n V teril (RSTU) is tken s the sliding element with cross sectionl re (): ( ) ( σ σ σ σ ) ( ) 1 R 4 R S T U s V Vz z s , N/mm g) The outer left kern oint cn be found by tking neutrl is long VW. The loction of the kernel oint cn be found with: ey 1 yy yz 1/( 400) 50 mm e z EA yz zz 0 1,5 h) The rincile direction of this cross section is t n ngle of 45 degrees. For the rincile coordinte system this cross section hs one is of symmetry. The mimum stiffness of this section then becomes: ( ) ( ) ( ) + ± , yy zz yy zz yz Nmm ; Nmm imum bending stiffness is therefore Nmm k

27 Subfculteit Civiele Techniek Vermeld o blden vn uw werk: Constructiemechnic STUDIENUER : NAA : Tentmen CT3109 CONSTRUCTIEECHANICA 4 16 ril 01, 09:00 1:00 uur Dit tentmen bestt uit 5 ogven. Werk elke ogve uit o een fzonderlijk bld. Vermeld o elk bld rechtsboven uw nm en studienummer In de beoordeling vn het werk wordt ook de netheid vn de resenttie betrokken Het gebruik vn mobiele telefoons tijdens het tentmen is niet toegestn, dus uitzetten en vn tfel verwijderen! k gebruik vn de meegeleverde formuleblden Let o de ngegeven tijd er vrgstuk

28 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 OPGAVE 1 : Theorievrgen ( c 30 min ) Bentwoord de onderstnde vrgen kort en bondig. Ondersteun het ntwoord zonodig met een duidelijke schets. ) Leg uit hoe de invloedslijn voor de hoekverdriing kn worden beld en lt duidelijk zien in uw ntwoord welke sten vnuit de theorie nodig zijn om tot uw nk te komen. b) Geef n hoe met behul vn rbeid en energie de formule vn Ryleigh kn worden gevonden. Onderbouw uw ntwoord zonodig met schetsjes. c) Vn welke vooronderstelling wordt uitgegn bij het toessen vn de bezwijknlyse? d) Geef n uit welke onderdelen de bovengrensbendering vn Prger voor het vinden vn de bezwijkbelsting bestt. k drbij ook duidelijk wr de nm bovengrens vndn komt. - -

29 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 OPGAVE : Invloedslijnen ( c 30 min ) Deze ogve bestt uit twee delen. Hieronder is een sttisch belde constructie gegeven. De ligger is in C volledig ingeklemd en heeft twee schrnieren S1 en S. C A B S1 S 3,0 m 4,0 m 3,0 m 5,0 m Vrgen deel 1: ) Construeer de invloedslijn voor het inklemmingsmoment in C b) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht links vn B c) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht rechts vn B d) Construeer de invloedslijn voor de hoekverdriing in B e) Construeer de invloedslijn voor de zkking vn schrnier S Let o : Construeren houdt in dt de invloedslijn ook kwntittief moet worden beld, schetsen houdt in dt de invloedslijn kwlittief moet worden beld wrbij duidelijk moet worden ngegeven of lijnen recht of gekromd zijn. Door het verwijderen vn schrnier S ontstt een sttisch onbelde constructie zols hieronder is weergegeven. C A B S1 3,0 m 4,0 m 8,0 m Vrgen deel : f) Schets de invloedslijn voor het inklemmingsmoment in C g) Schets de invloedslijn voor de dwrskrcht links vn B h) Schets de invloedslijn voor de dwrskrcht rechts vn B - 3 -

30 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 OPGAVE 3 : Arbeid en Energie ( c 30 min ) Een o druk belste stf knikt bij een belde krcht F. Voor het belen vn de knikkrcht wordt voorgesteld de methode vn Ryleigh toe te ssen. Een ssend verltsingsveld wordt ngenomen. Om de kniklst zo goed mogelijk te benderen wordt voorgesteld om een verltsingsveld n te nemen dt n lle rndvoorwrden voldoet. w( ) l l F A l B Omerking : k gebruik vn het meegeleverde formulebld. Vrgen: ) Welke rndvoorwrde is etr gebruikt bij dit verltsingsveld? b) Lt zien dt het gegeven verltsingsveld inderdd voldoet n uw rndvoorwrden. c) Welk verltsingsveld zou u ls olynoom voorstellen ls lleen n de kinemtische voorwrden moet worden voldn? d) Bel de kniklst o bsis vn het gegeven verltsingsveld m.b.v. de methode vn Ryleigh. Gebruik zonodig de formules o het formulebld. e) Vergelijk deze uitkomst met de ecte uitkomst volgens Euler. f) Is het voldoen n lle rndvoorwrden noodzkelijk en/of leidt dit ook tot een betere bendering vn de kniklst dn wnneer u lleen voldoet n de kinemtische rndvoorwrden? Noot : Bergumenteer uw ntwoord o bsis vn de theorie en g dus niet rekenen! - 4 -

31 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 OPGAVE 4 : Plsticiteit en bezwijknlyse ( c 45 min ) Hieronder is een rmwerk getekend wrvn de bezwijklst moet worden beld. Het rmwerk is in A ingeklemd en in B ogelegd o een horizontle rol. Het rmwerk wordt in D horizontl en in C verticl belst met een untlst F. Stf CD heeft een vollstisch moment, de overige stven hebben een vollstisch moment. F A C F D B 3 3 Vrgen : ) Bel de mogelijke bezwijkmechnismen. b) Bel de bezwijkbelsting F. c) Teken voor het mtgevende mechnisme de momentenlijn met relevnte wrden en vervormingstekens

32 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 OPGAVE 5 : Niet-symmetrische doorsneden ( c 45 min ) Een in A en B ogelegde blk heeft een inhomogene doorsnede. Het betreft een houten blk die versterkt is met een stlen stri n de onderzijde. De ligger wordt in C belst met de in figuur () ngegeven untlst. De doorsnede met een totle hoogte vn 158 mm en een totle breedte vn 100 mm is in figuur (b) weergegeven. Vn de gebruikte mterilen is geegven: - hout E 10 GP - stl E 10 GP De invloed vn de normlkrchtvervorming mg worden verwrloosd. Voor de doorsnede berekeningen wordt een y-z-ssenstelsel ngehouden door het NC. y-s 1500 mm A z-s 5,0 kn 1500 mm C B -s y-s NC z-s P t 8 mm 9 mm Q 150 mm 100 mm () Constructie met belsting (b) Doorsnede Vrgen : ) Leg uit wt de definitie is vn het NC en bel de ligging ervn. b) Toon n dt voor de weergegeven doorsnede t..v. C ongeveer geldt : 7, knm zz c) Bel t..v. de middendoorsnede de rekverdeling en teken deze. d) Bel t..v. de middendoorsnede de normlsnningsverdeling en teken deze. e) Bereken de schuifkrcht er eenheid vn lengte in de interfce tussen hout en stl. f) Bel de zkking vn unt C. g) Bel het bovenste kernunt vn deze doorsnede

33 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 FORULEBLAD Inhomogene en/of niet-symmetrische doorsneden : ε ( y, z) ε + κ y + κ z en: σ ( y, z) E( y, z) ε ( y, z) y z y yy yz κ y ey 1 yy yz 1/ y1 en κ e EA 1/ z z yz zz z z yz zz 1 V ES s s V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y VzESz ( ) R s ; of: ; σ t ( ) yy zz b yz tn α ; + ± + ( ) ( yy zz ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, yy zz yy zz yz Vormvernderingsenergie: Kinemtische betrekkingen: du 1 Ev EAε d (etensie) ε d 1 Ev κ d (buiging) d w κ d Comlementire energie: Constitutieve betrekkingen: N Ec d (etensie) EA N EA. ε. κ Ec d (buiging) Stellingen vn Cstiglino: Arbeidsmethode met eenheidslst: Ev Ec ( ) m( ) d Fi ui u u F Ryleigh: i i F k 1 E v dw d d Wiskunde hndigheidjes: w c + c + l 0 l d w d 4c1 l + 1c1c l + 1cl + 16c1l + 36cl + l d 5 dw d c l + 3c c l + c l + c l + 4c l + l d

34 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril

35 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril

36 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 Ogve 1 ANTWOORDEN Hier geen comlete ntwoorden o de theorie, slechts hints om je n te zetten om echt in de theorie te duiken in de voorbereiding o het komende tentmen. ) Zie lesmteril. Uitleg over wt je moet doen om de invloedslijn te vinden levert de helft vn de unten o. Uitleg wrom dt zo is levert de resterende helft o. In beide delen moet je well verwerken, zoek dt uit in het leermiddel! b) Grg een schetsje en een echte uitleg hoe je n de formule komt. Een cdemische ingenieur moet ook kunnen uitleggen wr een methode o is gebseerd! c) Het str-lstische model en een idel rofiel met een vormfctor 1,0 wren hier de sleutels in de uitleg. Zoek zelf o in het leermiddel wt hier chter steekt en wrtoe dit lleml leidt. d) Zie het leermiddel

37 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 Ogve Vrgen deel 1 : C A B S1 S 3,0 m 4,0 m 3,0 m 5,0 m 5,0 i-lijn C 1,0 1,333 1,0 C i-lijn V B-links V B-links V B-rechts i-lijn V B-rechts 1,0 4 1,0 knm rechte rechte i-lijn ϕ B kromme 1,0 3,0 1 3 i-lijn w S 1,0 kn 3 1,0 5,

38 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 Vrgen deel : C A B S1 3,0 m 4,0 m 8,0 m knikje i-lijn C 1,0 C Knikje (getlswrde werd niet gevrgd) 1,0 1,09 i-lijn V B-links V B-links V B-rechts i-lijn V B-rechts 1,0 knikje Omerking: Deze ltste drie invloedslijnen zijn ittig. Bij de beoordeling is soeel omgegn met de juiste intenties vn gegeven olossingen

39 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 Ogve 3 ) et een ssend verltsingsveld wordt bedoeld een verltsingsveld dt voldoet n de kinemtische rndvoorwrden. In dit voorbeeld betreft het dn de zkking die nul moet zijn in A en B en de hoekverdriing die nul moet zijn bij de inklemming. Het gegeven verltsingsveld voldoet volgens de ogve n lle rndvoorwrden dus ook n de (dynmische) voorwrde dt het moment in B nul moet zijn. Dit houdt in dt de e fgeleide vn het verltsingsveld nul moet zijn. Dit is dus de gevrgde etr voorwrde wrn wordt voldn bij dit verltsingsveld. b) Gegeven is: w( ) l l kinemtische rndvoorwrden: w(0) 0; w'(0) 0; w( l) 0; Dit verltsingsveld voldoet ook nog n de 4 e rndvoorwrde (l) 0. c) Een ssend olynoom kn zijn (vier onbekenden i.v.m. de drie voorwrden, zo houd je één vrije rmeter over die met Ryleigh kn worden geotimliseerd) : w( ) kinemtische rndvoorwrden: w(0) 0; w'(0) 0; w( l) 0; levert: w(0) 0; w'(0) 0; o w( l) l + l 0 l w( ) l + ( l ) Een voldoende ssend verltsingsveld in de vorm vn een olynoom zou kunnen zijn : w( ) ( l). Andere vormen mogen ook worden voorgesteld zolng deze tenminste voldoen n de kinemtische rndvoorwrden. d) Ryleigh : F k 1 1 ( ) w" d dw d d. Gebruik de hndigheidjes o het formulebld: w( ) l l ( 1 ) w( ) c + c + met: c l ; c l F k l c l + c c l + c l + c l + cl + l l l c1 l + 3c1c l + cl + c1l + 4cl + l e) De ecte kniklst is π l 0 l

40 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 f) Belngrijk is dt het gekozen verltsingsveld zo goed mogelijk overeenkomt met de ecte knikvorm. Bekend is (CT031) dt in de werkelijke knikvorm een sinusvorm moet voorkomen. Een olynoom zl, ook l voldoet deze n lle rndvoorwrden, dus nooit de ecte olossing oleveren. Het lijkt dt de rchtige uitkomst, zo dicht bij de ecte olossing, komt door het voldoen n lle rndvoorwrden mr deze gevolgtrekking is in zijn lgemeenheid onjuist. In de gekozen olossing moeten dus voor een zo goed mogelijk resultt, de noodzkelijke comonenten uit de werkelijke olossing zitten. Als je weet dt in de lgemene olossing vn een knikrobleem nst olynomen ook sinus en cosinus termen moeten voorkomen dn ligt het voor de hnd om deze comonenten in het ngenomen verltsingsveld o te nemen

41 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 Ogve 4 ) De constructie is enkelvoudig sttisch onbeld. Er zijn miml twee lstische schrnieren noodzkelijk om een mechnisme te creëren. Hiervoor komen drie ltsen in nmerking. Er zijn zodoende miml drie mechnismen te onderzoeken. Het mechnisme met de lgste belsting is het bezwijkmechnisme en de drbij behorende belsting is de bezwijkbelsting. b) De drie situties zijn hieronder getekend, de mechnismen zijn zeer bsl en met virtuele rbeid is direct de bezwijklst te vinden: ( let o zwkste schkel! ) θ θ RC θ (1) : F 3 θ θ () : 3 F 5 θ RC AATGEVEND θ (3) : F θ c) De momentenlijn behorende bij het bezwijkmechnisme is hieronder getekend (bel de verticle olegrectie in A en vervolgens die in B). -lijn 0, 0, Deze momentenlijn lt zien dt nergens in de constructie de sterkte wordt overschreden. De olossing voldoet hiermee n de eenduidigheidseis vn Prger

42 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 16 ril 01 Ogve 5 ) Zie bsismechnic CT1041 en dictt CT3109 b) De buigstijfheid kn worden beld ls de ligging vn het NC is beld: Ten ozichte vn de bovenrnd geldt voor het NC: z NC 1 ( ) + s ( 9 8 ( + 4) ) Eh bh E h 115,1 mm E bh + E 9 8 h s ( 1 ( ) ) ( 154 ) 757,16 10 Nmm 757,16 knm 9 ( ) E bh + bh h z + E + z zz h NC s NCC zz c) Rekverdeling is lineir, de neutrle lijn is horizontl i.v.m. de s vn symmetrie. et de rek boven en onder kn de verdeling worden getekend: z ε κ z z z; ε ( 115,1) 0, zz ε ( ,1) 0, ε ( ,1) 0, met : Fl!!!!! d) De normlsnning moet worden beld voor het hout en het stl fzonderlijk. De verdeling over de hoogte is lineir. (schetsje mken!) z 4 Hout: Stl: σ 0, , 7 N/mm b σ 0, ,7 N/mm o σ 0, ,3 N/mm b σ 0, , 6 N/mm o e) Neem het stl ls fgeschoven deel. De resultnte normlkrcht ten gevolge vn lleen buiging o het fgeschoven deel is: ( ) 1 ( ) R 36,3 + 44, ,3 N De schuifkrcht er eenheid vn lengte wordt hiermee: ( ) ( ) R 9784,3 500 s V 19, 9 N/mm ( V,5 kn!!!! ) f) Vnwege de s vn symmetrie (wrdoor de hoofdrichtingen smenvllen met het y-z-ssenstelsel) mogen de vergeet-mij-nietjes worden gebruikt: w C 3 Fl 3,7 mm 48 zz g) Bovenste kernunt, neem een n.l. n lngs de onderste rnd vn de doorsnede: 1 ( 1/ 1) 1 zz e z zz z 57,9 mm EA EA ,1-16 -

43 Subfculteit Civiele Techniek Vermeld o blden vn uw werk: Constructiemechnic STUDIENUER : NAA : Tentmen CT3109 CONSTRUCTIEECHANICA 4 15 ril 013, 09:00 1:00 uur Dit tentmen bestt uit 4 ogven. Werk elke ogve uit o een fzonderlijk bld. Vermeld o elk bld rechtsboven uw nm en studienummer In de beoordeling vn het werk wordt ook de netheid vn de resenttie betrokken Het gebruik vn mobiele telefoons tijdens het tentmen is niet toegestn, dus uitzetten en vn tfel verwijderen! k gebruik vn de meegeleverde formuleblden Let o de ngegeven tijd er vrgstuk

44 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 OPGAVE 1 : Invloedslijnen ( c 45 min ) Deze ogve bestt uit twee delen. Hieronder is een schrnierligger gegeven. De ligger is in A volledig ingeklemd en heeft drie schrnieren S1 t/m S3. A S1 S B S3 C D,0 m 3,0 m,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m Vrgen deel 1: ) Construeer de invloedslijn voor het inklemmingsmoment in A b) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht links vn B c) Construeer de invloedslijn voor de olegrectie in B d) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht rechts vn S3 e) Schets de invloedslijn voor de hoekverdriing in B f) Construeer de invloedslijn voor de zkking vn schrnier S Let o : Construeren houdt in dt de invloedslijn ook kwntittief moet worden beld, schetsen houdt in dt de invloedslijn kwlittief moet worden beld wrbij duidelijk moet worden ngegeven of lijnen recht of gekromd zijn. Een ngeste constructies is hieronder weergegeven. C A B S1 3,0 m 4,0 m 8,0 m Vrgen deel : g) Schets de invloedslijn voor het inklemmingsmoment in C h) Schets de invloedslijn voor de dwrskrcht links vn B i) Schets de invloedslijn voor de olegrectie in A - -

45 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 OPGAVE : Arbeid en Energie ( c 45 min ) Een links en rechts volledig ingeklemde ligger wordt hlverwege belst door een verticle untlst. De rismtische ligger heeft een buigstijfheid. Vervorming door dwrskrcht en etensie mogen worden verwrloosd. F A B l Omerking : k gebruik vn het meegeleverde formulebld!!! Vrgen: Deel 1: inimum otentiele energie ) Bel met behul vn het rincie vn minimum otentiele energie een schtting vn de doorbuiging uitgedrukt in, F en l. Gebruik hiervoor een cosinus functie. b) An welke voorwrden moet de door U ogestelde verltsingsfunctie voldoen? c) Bel o bsis vn uw ntwoord bij ) de grootte vn het inklemmingsmoment. Deel : Cstiglino d) Vn dezelfde constructie wordt gevrgd de inklemmingsmomenten te belen met behul vn Cstiglino. Leg uit hoe U dit nkt en bel de grootte vn deze momenten. e) Vergelijk de uitkomst met het gevonden ntwoord vn deel 1. Bergumenteer eventuele verschillen

46 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 OPGAVE 3 : Plsticiteit en bezwijknlyse ( c 45 min ) Hieronder is een rmwerk getekend wrvn de bezwijklst moet worden beld. Het rmwerk is in B ingeklemd en in A schrnierend ondersteund. Het rmwerk wordt in C en D verticl belst met een untlst F. Stf CD heeft een vollstisch moment, de overige stven hebben een vollstisch moment. F D E 3 F 5 C 4 B A 4 4 Vrgen : ) Bel de mogelijke bezwijkmechnismen. b) Bel de bezwijkbelsting F. c) Teken voor het mtgevende mechnisme de momentenlijn met relevnte wrden en vervormingstekens

47 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 OPGAVE 4 : Niet-symmetrische doorsneden ( c 45 min ) Een kolom bestnde uit een z-rofiel heeft een homogene doorsnede. Het betreft een stlen rofiel, belst door een ile drukkrcht in unt Q en een dwrskrcht met een werklijn die smenvlt met het lijf zols in de onderstnde figuur is ngegeven. De dunwndige doorsnede heeft een elsticiteitsmodulus E 10 GP. Voor de doorsnedeberekeningen wordt een y-z-ssenstelsel ngehouden door het NC. P R y-s NC z-s S t 8 mm N Q 00 mm V z 100 mm 00 mm Doorsnede Gegevens: E N V I yy N/mm ; 80 kn; z 10 kn mm ; I mm ; zz 3 Vrgen : ) Leg uit wt de definitie is vn het NC en bel de ligging ervn. b) Toon n dt voor de weergegeven doorsnede geldt: I mm yz 4 4 TIP: k gebruik vn het feit dt de doorsnede dunwndig is c) Bel de normlsnningsverdeling over de doorsnede en teken deze. Geef in deze figuur ook de ligging vn de neutrle lijn weer en het vlk vn de belsting m m en kromming k-k. d) Welke vorm heeft de kern vn deze doorsnede? e) Bel het onderste kernunt vn deze doorsnede. f) Wordt deze doorsnede o torsie belst? (motiveer uw ntwoord zonder te rekenen) THEORIE g) Als de schuifsnning gevrgd wordt in de flens t..v. unt R t.g.v. de gegeven dwrskrcht in de doorsnede, geef dn n hoe U deze zou belen. LET OP: De berekening wordt niet gevrgd lleen de sten hoe deze kn worden beld. Wees zorgvuldig in het ngeven vn de sten die gebseerd moeten zijn o de nnmen volgens de theorie! - 5 -

48 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 FORULEBLAD Inhomogene en/of niet-symmetrische doorsneden : ε ( y, z) ε + κ y + κ z en: σ ( y, z) E( y, z) ε ( y, z) y z y yy yz κ y ey 1 yy yz 1/ y1 en κ e EA 1/ z z yz zz z z yz zz 1 V ES s s V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y VzESz ( ) R s ; of: ; σ t ( ) yy zz b yz tn α ; + ± + ( ) ( yy zz ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, yy zz yy zz yz Vormvernderingsenergie: Kinemtische betrekkingen: du 1 Ev EAε d (etensie) ε d 1 Ev κ d (buiging) d w κ d Comlementire energie: Constitutieve betrekkingen: N Ec d (etensie) EA N EA. ε. κ Ec d (buiging) Stellingen vn Cstiglino: Arbeidsmethode met eenheidslst: Ev Ec ( ) m( ) d Fi ui u u F Ryleigh: i i F k 1 E v dw d d Wiskunde hndigheidjes: l 0 π cos l d l - 6 -

49 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril

50 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril

51 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 Ogve 1 Vrgen deel 1 : BEKNOPTE ANTWOORDEN A S1 S B S3 C D,0 m 3,0 m,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m,0 A 1,0 i-lijn C 1,0 i-lijn V B-links V B-links i-lijn B V 1,0 B V 1,67 1,0 i-lijn V S3-rechts 0,67 V S3-rechts 1,0 knm kromme knikje i-lijn ϕ B rechte kromme 1,0 kn kromme 14/ knikje i-lijn w S kromme kromme - 9 -

52 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 Vrgen deel : C A B S1 3,0 m 4,0 m 8,0 m knikje i-lijn C 1,0 C Knikje (getlswrde werd niet gevrgd) 1,0 1,09 i-lijn V B-links V B-links knikje i-lijn A V 1,0 1,0 A V kromme kromme Omerking: Deze ltste drie invloedslijnen zijn ittig. Bij de beoordeling is soeel omgegn met de juiste intenties vn gegeven olossingen

53 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 Ogve ) Neem een kinemtisch toeltbr verltsingsveld n o bsis vn een cosinus functie (gegeven ti): 1 π w( ) 1 cos l De otentilfunctie wordt hiermee: l l 1 1 d π κ d κ d met: κ cos d 0 0 w π V F F l l Uitwerken levert: π d V F V 0 Fl Fl 3 4 l d π 194,8 erk o: Dit resultt vn 194,8 wijkt weinig f vn de 19 die gevonden wordt m.b.v. de ecte olossing volgens het vergeet-mij-nietje. (zie formulebld) b) De verltsingsfunctie moet voldoen n de kinemtische rndvoorwrden (m.b.t. de rottie en zkking). c) Het moment bij de inklemming volgt uit het verltsingveld: Fl π ( ) κ( ) cos π l Fl 1 (0) Fl 10 π Er ontstt bij de inklemming een moment dt trek n de bovenzijde olevert met een grootte vn ongeveer 0,1Fl. d) Olossen met behul vn Cstiglino kn door de sttisch onbelde constructie sttisch beld te mken en de vormvernderingsvoorwrde m.b.v. Cstiglino uit te werken. Kies hiervoor ls sttisch beld hoofdsysteem de ligger o twee steununten met een inklemmmingsmoment A dt trek n de bovenzijde olevert. k drbij gebruik vn de symmetrie vn de constructie. (teken dit zelf) De momentenverdeling t.g.v. de untlst en de sttisch onbelde is voor de hlve ligger: 1 1 ( ) A + F 0 l De vormvernderingsenergie kn hiermee worden beld ls: E v 1l 3 ( ) F l 4 AFl A l d De hoekverdriing bij A moet nul zijn, uitwerken levert: dev Al Fl ϕ A 0 0 d 8 A 1 A 8 Fl e) De verschillen in de gevonden momenten zijn groter dn die bij de verltsing. Dt komt omdt de tweede fgeleide vn de ngenomen verltsingfunctie een grotere fwijking heeft t.o.v. de werkelijke kromming. Hierdoor neemt de onnuwkeurigheid toe

54 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 Ogve 3 ) De constructie is twee-voudig sttisch onbeld, er zijn miml drie lstische schrnieren nodig voor een mechnisme. Deze schrnieren kunnen o vier ltsen otreden wrmee er miml vier mechnismen moeten worden onderzocht. erk o een mechnisme met minder schrnieren behoort soms ook tot de mogelijkheden! Teken de schetsjes vn de mogelijke mechnismen en controleer dit eventueel met het rogrmm vn de website. Omerkingen Let o dt de zwkste schkel in een lstisch schrnier mtgevend is en dt de momenten in de stfnsluitingen links en rechts even groot zijn, fouten worden niet gewrdeerd! In het gevl de schrnieren otreden in C, E en B zullen de untlsten uitsluitend horizontl verltsen (schrnk-mechnisme). De untlsten leveren dn geen rbeid en de bezwijklst is drmee oneindig. Dit is zeker niet het mtgevende gevl (lgste bezwijklst) en hoeft drom niet onderzocht te worden. b) De drie overige mechnismen leveren: DEB 9 F 1, 45 0 CDB 3 F 1,5 CDE 19 F 1, ( bezwijklst) De ltste olossing levert de lgste kniklst en is mtgevend. c) De eenduidigheidsstelling vn Prger levert m.b.t. de momentenlijn: -lijn 0,5 Conclusie, nergens in de constructie wordt de sterkte overschreden wrmee de lgst gevonden bezwijklst ook de juiste moet zijn

55 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 Ogve 4 ) Zie dictt b) Vn de homogene, dunwndige doorsnede, ligt het NC t.o.v. unt P o een fstnd vn: y 130 mm; z 10 mm; NC NC I yy I yz I 10 mm I yz I zz , Hier worden lleen de ntwoorden gegeven, berekening vn I yz moet netjes comleet zijn, het ging hier uiterrd om het min teken! c) Normlsnning is lineir over de hoogte en fhnkelijk vn de vervorming in de doorsnede (vergeet de E-modulus niet in de onderstnde berekening): N EA 0 0 ε y 0 yy yz κ y z 0 zy zz κ z met : N N; y 13, 6 10 Nmm; z 6, 4 10 Nmm; Olossen levert: ε κ κ ,5 10 ; y 4,9 10 ; z, 0 10 ; Snningen kunnen worden beld in de unten P, R, S en Q: σ P R S N 63,33 N/mm σ 40,00 N/mm σ 45,00 N/mm σ 161,67 N/mm Teken in de figuur met de snningsverdeling de neutrle lijn, het krommingsvlk k-k en het belstingsvlk m-m. Deze figuur moet comleet zijn! d) Als de doorsnede niet dunwndig wordt ogevt is de kern een olygon met 6 hoekunten, ls de dunwndigheid wordt meegenomen dn is de kern een ruit met vier hoekunten. e) Het onderste kernunt wordt gevonden door de neutrle lijn te lten rken n de bovenzijde vn de doorsnede : y ± ; z 10 mm; e 1 1 y onder 36, 67 mm; e 57, 77 mm; z onder f) J, de dwrskrcht grijt n lngs RS, o deze lijn ligt niet het dwrskrchtencentrum. Er ontstt een wringend moment dt kn worden beld m.b.v. de loodrechte fstnd tussen het DC en RS en de grootte vn de dwrskrcht

56 Tentmen CT3109 Constructieechnic 4 15 ril 013 Allerlei rchtige verhndelingen over het dwrskrchtencentrum zonder een concreet ntwoord o de vrg of in dit gevl de doorsnede o torsie wordt belst, werden niet gewrdeerd. g) De schuifsnning wordt beld o bsis vn de normlsnning t.g.v. buiging. Het robleem bij deze vrg is, dt het moment fhnkelijk is vn N. Er moet dus zowel ingegn worden o het feit dt de invloed vn de normlkrcht o de normlsnningen niet mee mg worden genomen EN dt er een dummy moment moet worden ngenomen om o bsis vn dit moment een normlsnning te kunnen belen voor het berekenen vn de schuifsnning. Stel de N o nul, neem een dummy z n (b.v. 1,0) en bel eerst de normlsnningsverdeling o bsis vn deze belsting. Bel vervolgens de schuifsnningsverdeling door PR ls fgeschoven deel vrij te mken. Bel de resultnte normlkrcht R () o dit deel (t.g.v. lleen het buigend moment wnt N 0) en bel hiermee met de gegeven totle dwrskrcht V de schuifstroom. Deel de schuifstroom door de dikte vn het ltmteril om de schuifsnning te verkrijgen. Een berekening werd niet gevrgd mr deze schuifsnning is drmee 4,06 N/mm

57 3 Subfculteit Civiele Techniek Vermeld o blden vn uw werk: Constructiemechnic STUDIENUER : NAA : Tentmen CTB3330/CT /CIE3109 CONSTRUCTIEECHANICA 4 14 ril 014, 09:00 1:00 uur Dit tentmen bestt uit 4 ogven. Werk elke ogve uit o een fzonderlijk bld. Vermeld o elk bld rechtsboven uw nm en studienummer In de beoordeling vn het werk wordt ook de netheid vn de resenttie betrokken Het gebruik vn mobiele telefoons tijdens het tentmen is niet toegestn, dus uitzetten en vn tfel verwijderen! k gebruik vn de meegeleverde formuleblden Let o de ngegeven tijd er vrgstuk

58 Tentmen Constructieechnic 4 14 r 014 OPGAVE 1 : Invloedslijnen ( c 45 min ) Een lststelsel bestnde uit drie lsten vn elk 15 kn rijdt over de onderstnde schrnierligger. De lsten hebben een vste fstnd tot elkr zols in de figuur is ngegeven. 4,0 m 1,0 m 15 kn 15 kn 15 kn C A B S1 S 6 m 8,0 m 6 m 10 m Vrgen : Construeer voor deze constructie, in één figuur onder elkr, de invloedslijnen voor : ) De verticle olegrectie in A b) Het inklemmingsmoment in C c) De dwrskrcht direct links vn het schrnier S1 d) De dwrskrcht direct rechts vn het schrnier S e) De dwrskrcht direct rechts vn B f) De zkking vn het schrnier S Schets voor deze constructie, in één figuur onder elkr, de invloedslijnen voor : g) De hoekverdriing in B h) De zkking hlverwege B en schrnier S1 Wt is de meest ongunstige ositie voor het lststelsel en bel de grootte vn de gevrgde grootheid in deze situtie voor : i) Het inklemmingsmoment in C j) De dwrskrcht in B Omerking : Construeren houdt in dit verbnd in dt de vorm en de invloedsfctoren vn de invloedslijn volledig zijn beld. - -

59 Tentmen Constructieechnic 4 14 r 014 OPGAVE : Arbeid en Energie ( c 40 min ) Een geknikte ligger ABC wordt in C verticl belst met de ngegeven untlst. De buigstijfheid vn de rismtische stf is. Invloed vn de normlkrchtvervorming mg worden verwrloosd. A 3 F B C 4 5 Vrgen: ) Schets de momentenlijn inclusief de vervormingstekens voor deze ligger en geef de etremen n uitgedrukt in F en. b) Bel de vormvernderingsenergie t.g.v. buiging die in deze constructie is ogeslgen. c) Bel met behul vn Cstiglino de zkking in C zkking uitgedrukt in F, en. d) Bel met behul vn Cstiglino de hoekverdriing in B uitgedrukt in F, en

60 Tentmen Constructieechnic 4 14 r 014 OPGAVE 3 : Plsticiteit en bezwijknlyse ( c 45 min ) Hieronder is een rmwerk getekend wrvn de bezwijklst moet worden beld. De stfdelen hebben de in de figuur ngegeven sterkte. B F C 4 D E A 3 3 Vrgen : ) Bel de mogelijke bezwijkmechnismen en geef deze met schetsjes weer. b) Bel de bezwijkbelsting F. c) Teken voor het mtgevende mechnisme de momentenlijn met relevnte wrden en vervormingstekens. d) Wt houdt de eenduidigheidsstelling vn Prger in? - 4 -

61 Tentmen Constructieechnic 4 14 r 014 OPGAVE 4 : Niet-symmetrische doorsneden ( c 50 min ) Een in A en B ogelegde blk heeft een niet-symmetrische doorsnede. De ligger wordt in de z-richting belst met een untlst F hlverwege de oversnning zols in figuur () is ngegeven. y-s De doorsnede bestt uit een dunwndig geknikt rofiel met een constnte ltdikte t zols is ngegeven in figuur (b). Er mg worden ngenomen dt de belsting in de doorsnede ngrijt in het dwrskrchtencentrum wrdoor geen wringing ontstt. A F 400 kn Q dikte t R constnte E-modulus 1000 mm z-s 1000 mm C B -s P S y NC z () Constructie met belsting (b) Doorsnede Gegeven : Vrgen : E 10 5 N/mm ; 180 mm; t 10 mm; ) Bel de ligging vn het normlkrchtencentrum NC en toon n dt voor de weergegeven doorsnede geldt : yy t E; yz t E; zz t 3 6 b) Teken de doorsnede (schl 1:5) en geef de ligging n vn het belstingvlk m en het krommingsvlk k. c) Toon n dt t..v. doorsnede C de vergelijking voor de neutrle lijn kn worden weergegeven met: 70 y + 10z 0 d) Teken in de doorsnede de ligging vn deze neutrle lijn en bel de normlsnningsverdeling over het deel RS en zet deze loodrecht uit o het ltmteril. Bentwoord t..v. het schuifsnningsverloo de volgende vrgen: e) Bel over het deel RS het verloo en de richting vn de schuifsnning, f) Wr treedt over dit deel de mimle schuifsnning o en hoe groot is deze? g) Teken voor dit deel het verloo vn de schuifsnning en geef de relevnte wrden n in de tekening. Omerking: G voor de beling vn de schuifsnningen uit vn een ositieve snede juist links vn C E

62 Tentmen Constructieechnic 4 14 r 014 FORULEBLAD Inhomogene en/of niet-symmetrische doorsneden : ε ( y, z) ε + κ y + κ z en: σ ( y, z) E( y, z) ε ( y, z) y z y yy yz κ y ey 1 yy yz 1/ y1 en κ e EA 1/ z z yz zz z z yz zz 1 V ES s s V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y VzESz ( ) R s ; of: ; σ t ( ) yy zz b yz tn α ; + ± + ( ) ( yy zz ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, yy zz yy zz yz Vormvernderingsenergie: Kinemtische betrekkingen: du 1 Ev EAε d (etensie) ε d 1 Ev κ d (buiging) d w κ d Comlementire energie: Constitutieve betrekkingen: N Ec d (etensie) EA N EA. ε. κ Ec d (buiging) Stellingen vn Cstiglino: Arbeidsmethode met eenheidslst: Ev Ec ( ) m( ) d Fi ui u u F Ryleigh: i i F k 1 E v dw d d Wiskunde hndigheidjes: geen - 6 -

63 Tentmen Constructieechnic 4 14 r

64 Tentmen Constructieechnic 4 14 r

65 Subfculty of Civil Engineering rk ech ge with your: Structurl echnics STUDENT NUBER : NAE : Em CIE3109 STRUCTURAL ECHANICS 4 14 Aril 014, 09:00 1:00 hours This em consists of 4 roblems. Use for ech roblem serte sheet of er. Do not forget to mention your nme nd number on ech er. Work net nd tidy, the qulity of the resenttion cn be used in the grding. The use of Phone s or comuters, PDA s nd /or Wifi or Blue Tooth equiment is not llowed. Turn off the equiment nd remove it from your tble. A scientific (rogrmmble) clcultor is llowed All required formuls cn be found on the lst ges of this em Kee n eye on the clock nd use the secified times er roblem s guidnce.

66 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 Problem 1 : Influence lines ( 45 min ) A lod system which consists of three concentrted lods of 15 kn ech moves over hinged bem s shown in figure 1. The hinged bem hs hinges S1 nd S. 4,0 m 1,0 m 15 kn 15 kn 15 kn C A B S1 S 6 m 8,0 m 6 m 10 m Figure 1 : Hinged bem Questions: ) Construct the influence line for the suort rection t A, b) Construct the influence line for the moment t C, c) Construct the influence line for the sher force directly to the left of S1, d) Construct the influence line for the sher force directly to the right of S, e) Construct the influence line for the sher force directly to the right of suort B, f) Construct the influence line for the deflection of hinge S g) Sketch the influence line for the rottion t B h) Sketch the influence line for the deflection t midsn between B nd hinge S1, i) Find the most unfvorble osition of the lod system for the moment t C, j) Find the most unfvorble osition of the lod system for the sher force t B. Note : Construct requires correct sketch nd the comuted vlues of the influence fctors t key oints in the grh. Thus showing qulittive nd quntittive result. Sketching requires only qulittive result from which it should become cler if member rts will remin stright or become curved. - -

67 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 Problem : work nd energy methods ( 40 min ) A bent bem is loded with concentrted lod t C. The rismtic bem hs bending stiffness nd il deformtion cn be neglected. A 3 F B C 4 5 Questions: ) Sketch the moment distribution for this lod cse. Show clerly the deformtion signs nd write down the etreme vlue of the bending moment. b) Find the eression for the totl mount of strin energy due to bending eressed in F, nd. c) Find, using Cstiglino s theoreme, the deflection t C eressed in F, nd. d) Find,, using Cstiglino s theoreme, the rottion t B eressed in F, nd

68 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 Problem 3 : Plsticity ( 45 min ) In the following figure frme is shown. The concentrted lod cts t C nd BC nd AE hve strength of. The rts DC nd DE hve strength. B F C 4 D E A 3 3 Questions: ) Determine the ossible collse mechnisms nd show these with smll sketches. b) Comute the collse lod F nd rove the uniqueness of your solution. c) Show the moment distribution t collse. d) Wht does the uniqueness theorem of Prger men? - 4 -

69 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 Problem 4 ( 50 min ) A simly suorted bem with n symmetricl cross section is loded in the z-direction with concentrted lod F t mid sn s indicted in figure (). y-s The cross section consists of so-clled thin wlled section with constnt thickness t s shown in figure (b). We ssume tht the lod cts t the sher centre of the cross section. Therefore no torsion is generted. The influence of the deformtion due to ossible norml force is neglected. A F 400 kn Q dikte t R constnte E-modulus 1000 mm z-s 1000 mm C B -s P S y NC z () Constructie met belsting (b) Doorsnede Gegeven : Questions : E 10 5 N/mm ; 180 mm; t 10 mm; ) Find the loction of the norml force centre en rove tht for the given cross section t C holds: yy 4 t E; yz t E; zz t E 3 6 b) Drw the cross section (scle 1:5) nd show the osition of the neutrl is, the lne of loding m-m nd the lne of curvture k-k. c) Show tht the neutrl is cn be reresented by: 70 y + 10z 0 d) Determine the stress distribution for the cross section t C. Show in tble the numericl vlues of the stresses t P, Q, R nd S. Answer with resect to the sher stress distribution the following questions e) The she nd sign of the sher stress distribution for RS, f) Find the loction nd the mgnitude of the mimum sher stress between RS, g) Drw the sher stress distribution for RS nd show the direction nd its vlue t chrcteristic oints

70 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 FORULAS Inhomogeous nd/or symmetricl cross sections : ε ( y, z) ε + κ y + κ z nd: σ ( y, z) E( y, z) ε ( y, z) y z y yy yz κ y ey 1 yy yz 1/ y1 nd κ e EA 1/ z z yz zz z z yz zz 1 V ES s s V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y VzESz ( ) R s ; or: ; σ t ( ) yy zz b yz tn α ; + ± + ( ) ( yy zz ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, yy zz yy zz yz Deformtion energy: Kinemtic reltions: du 1 Ev EAε d (etension) ε d 1 Ev κ d (bending) d w κ d Comlementry energy: Constitutive reltions: N Ec d (etension) EA N EA. ε. κ Ec d (bending) Cstiglino s theorem s: Work method with unit lod: Ev Ec ( ) m( ) d Fi ui u u F Ryleigh: i i F k 1 E v dw d d th tools: none - 6 -

71 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril

72 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril

73 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 ANSWERS Problem 1 A B S1 S C 6 m 8,0 m 6 m 10 m i-line A V 1,0 i-line C 1,0 i-line V S1-L 1,0 1,0 i-line V S-R i-line V B-R 1,0-9 -

74 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 i-lijn w S 1,0 1, ,0 lineir lineir i-line ϕ B curved curved 1,0 i-line w S1-B curved lineir lineir 4,0 m 1,0 m 15 kn 15 kn 15 kn 10,0 10/6 1,0 i-line C C 335 knm 4,0 m 1,0 m 15 kn 15 kn 15 kn i-line V B-R 1,0 Lod system t B - S1 V B 45 kn

75 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 Problem ) Liner moment distribution t AB with mimum of 5F t B. Subsequently returning to zero t C. The deformtion symbol fort his entire rt is. b) Assume locl coordinte system with the -is long the bem is. Both member rts hve n identicl moment distribution: AB 5F ( ) F 5 The strin energy thus becomes: E v 5 AB 3 ( ) 15F d 3 0 c) Differentite this energy with resect to the lod in order to obtin the dislcement ccording to Cstiglino s rincile: dev 50F w df 3 d) To find the rottion use dummy coule t B. The moment distribution hs tob e djusted fort his dditionl coule t B. Assume n nti clock wise coule in order to find ositive rottion ccording to the definitions of ositive rottions in the -z lne: 5F T T ( ) F 5 AB F CB ( ) F The rottion t B thus becomes: 3 5 AB 5 CB de d V ( ) ( ) ϕb d d dt dt T 5F 3 3 We re only interested in the rottion duet o the ctul lod. For zero dummy coule T we obtin the required nswer: 5F ϕ B

76 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 Problem 3 The structure is two-fold stticlly indeterminte. We therefore need three hinges for (lstic) mechnism. There re four ossible ositions for hinges. This results in four ossible mechnisms to investigte. In only three cses the lod cn roduce work which results in three mechnisms which hve to be investigted. Smll sketches of these mechnisms re shown below A A A A Lod roduces no work, filure lod thus becomes infinite. Elborte ech ossible mechnism: 1. Show clerly the kinemtics of ech br with resect to ll the others,. Add the correct direction of ll moments t the lstic hinges, 3. Present correct virtul work eqution. If the kinemtics of mechnism is incorrect no credits will be given to the solution of this mechnism since it is vitl rt of the solution strtegy nd therefore n essentil lerning outcome to ssess. 1: : 4: F F F 17 1, , ,

77 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 echnism leds to the lowest filure lod nd is the filure mechnism. The moment distribution cn be drwn lmost comletely without clcultions. Only the moment t D is yet unknown. First find the suort rections nd then comute the moment t D. The resulting moment is smller thn the strength t D so the results stisfy Prgers uniqueness theoreme. 1,5 1,5 If the moment distribution t no oint eceeds the strength of the structure for the mechnism with the smllest filure or collse lod then this mechnism is the collse mechnism nd the lod found is the collse lod

78 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril Problem 4 ) The osition of the NC cn be found e.g. with resect to the uer right corner R with: mm ) (6 ) 3 ( mm 10 3 ) (6 ) ( 3 1 NC NC + + t t t z t t t y The cross sectionl roerties become: E t t t t E E t t t t t t E E t t t t t E )) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ( 6 31 ) ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( ( 4 ) ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ( yz zz yy b) The moment t the cross section is: Nmm z y Fl The curvture cn be found with: z y zz yz yz yy z y κ κ Which results in: z y κ κ Elborting yields to: 5 z y 10 0,4506,68 0 κ κ The lne of loding m-m nd lne of curvture k-k re shown in the grh on the net ge. P Q S R dikte t NC y z

79 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 m k n.l. 10 R 198 N/mm 4 N/mm NC N/mm k T 540 dimensions in mm z 30 m 88 N/mm S norml stress sher stres c) The eqution of the neutrl is becomes: κ y y + κ z z 0 Since no norml force cts t the cross section, the n.. runs through the NC nd intersects the coordinte system t y -10 mm nd z 70 mm. This is lso shown in the figure bove. The n.. cn be simlified to: 70 y + 10z 0 d) The norml stress cn be found with: σ y, z) E ε ( y, z) E ( κ y + κ z) ( y z The stress ditribution is in lne. For the rt RS the stress distribution cn be visulised with stright line. To obtin this line stresses hve tob e comuted t R nd S only. oint y z Stress [N/mm ] R ,5 S ,

80 Em CIE3109 Structurl echnics 4 14 Aril 014 e) The sher stress distribution is rbolic if the norml stress is lineir. The mimum sher stress will occur t the oints of intersection of the neutrl is nd the cross section. To find the distribution of the sher stresses for RS the following three oints hve to be tken into considertion: - S, sher stress is zero by definition - T, mimum sher stress, comute this - R tob e comuted The cross section is unsymmetricl. The comuttions hve to be eecuted with the generl solution strtegy: m ( ) ( ) R s s V σ b ( ) ; m ( ) σ m A () σ m In this R is the resultnt force t the sliding element A () resulting from the the norml stress distribution duet o bending only. The moment nd sher in this eression re the resulting moment nd sher in the cross section: y + z Nmm V V y + V z N Both moment nd sher re ositive nd ct in the sme lne of loding m-m. The resulting sher stress will hve direction which is downwrds which mkes sense due to the ositive direction of the sher force on ositive section. Strting with oint T we find: σ m 1 88, N/mm For the sliding element used ositive nswer results in sher stress which is uwrds. So the result is in line with the eected direction of the sher stress. For oint R we find: σ m ( 88, , 5 0) N/mm The results cn lso be found in the grh on the revious ge

81 Fculteit Civiele Techniek en Geowetenschen OPGAVE FORULIER Schriftelijk tentmen Totl ntl gin s Dtum en tijd Verntwoordelijk docent CTB3330 Constructieechnic 4 8 gin s ecl voorbld vn 09:00-1:00 uur J.W. (Hns) Wellemn Werk iedere ogve fzonderlijk uit o het drvoor bestemde vel ier Ogven (in te vullen door emintor) Totl ntl tentmenogven: 4, llen met oen vrgen lle ogven tellen even zwr de ogven hebben verschillende weging (het gewicht is in tijd weergegeven) Gebruik hulmiddelen en informtiebronnen tijdens tentmen (in te vullen door emintor) Niet toegestn: obiele telefoon, smrt Phone of rten met vergelijkbre functies. Antwoord geschreven met rode en of met otlood. Hulmiddelen en/of informtiebronnen tenzij hieronder nders vermeld. Toegestn: (nvinken met kruisje) boeken ntekeningen woordenboeken dictten formuleblden (zie ook onder nvullende informtie) rekenmchines comuter grfische rekenmchine tekenmterilen wronder een sser Anvullende informtie (eventueel in te vullen door emintor) Voor een vlotte verwerking bij het nkijken is het essentieel dt iedere ogve o een rt vel ier wordt bentwoord. G dus niet o het zelfde ier door met een volgende ogve. Uiterlijke dtum nkijken tentmen: (de uiterlijke nkijktermijn is 15 werkdgen)! Elk vermoeden vn frude wordt gemeld bij de emencommissie. obiel UIT

82 Tentmen Constructieechnic 4 11 ril 016 OPGAVE 1 : Invloedslijnen ( c 40 min ) Hieronder is een liggerconstructie gegeven. De ligger heeft twee schrnieren S1 en S. Vrgen: Figuur 1 : Schrnierligger ) Construeer de invloedslijn voor het moment in B. b) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht direct links vn B. c) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht direct rechts vn B. d) Construeer de invloedslijn voor de dwrskrcht in E. e) Construeer de invloedslijn voor de olegrectie in C. f) Schets de invloedslijn voor de zkking vn schrnier S1. g) Schets de invloedslijn voor de hoekverdriing vn C. h) Wr moet een gelijkmtig verdeelde belsting q vn 5 kn/m worden geltst odt het moment in B miml is en hoe groot is dit mimle moment? Let o : Construeren houdt in dt de invloedslijn ook kwntittief moet worden beld, schetsen houdt in dt de invloedslijn kwlittief moet worden beld wrbij duidelijk moet worden ngegeven of lijnen recht of gekromd zijn. - -

83 Tentmen Constructieechnic 4 11 ril 016 OPGAVE : Arbeid en energie ( c 50 min ) Vn de onderstnde ligger wordt gevrgd de krchtsverdeling te belen met een rbeid en energiemethode. De totle belsting bestt uit een untlst F en een koel T. Gegeven: F 15 kn; T 80 knm; knm Figuur : Ingeklemde ligger Vrgen: ) Beschrijf kort hoe met behul vn de wet vn Cstiglino de krchtsverdeling in de constructie kn worden beld. b) Werk uw sten o ier uit tot de noodzkelijke vergelijking(en)/functie(s) voor verdere uitwerking. Ondersteun dit deel zo nodig met schetsjes zodt duidelijk is hoe u n uw vergelijkingen/functies komt en geef drbij duidelijk n wt uw ositieve definities zijn voor de onbekende(n). c) Los de onbekende(n) o met de door u ogestelde vergelijking(en). d) Teken de momentenlijn voor de gehele constructie en geef drbij duidelijk de vervormingstekens n en zet o krkteristieke unten de getlswrden erbij

84 Tentmen Constructieechnic 4 11 ril 016 OPGAVE 3 : Plsticiteit en bezwijknlyse ( c 40 min ) Hieronder is een geknikte constructie ACDEB getekend wrvn de bezwijklst moet worden beld. LET OP: De stfdelen hebben een verschillende sterkte zols in de figuur is ngegeven. Figuur 3 : Geknikte constructie Vrgen : ) Bel de mogelijke bezwijkmechnismen en geef deze met schetsjes weer. b) Bel de bezwijkbelsting F. c) Teken voor het mtgevende mechnisme de momentenlijn met relevnte wrden en vervormingstekens. d) Wt houdt de eenduidigheidsstelling vn Prger in? - 4 -

85 Tentmen Constructieechnic 4 11 ril 016 OPGAVE 4 : Niet-symmetrische doorsneden ( c 50 min ) Vn een niet-symmetrische en inhomogene doorsnede, ogebouwd uit twee str n elkr verbonden mterilen, zijn in de unten A (mteril 1), B (mteril ) en C (mteril ) de normlsnningen bekend. teril 1 heeft een elsticiteitsmodulus E 1 en mteril heeft een elsticiteitsmodulus E. Een eventuele ile belsting grijt n in het normlkrchtencentrum en een mogelijke dwrskrcht grijt n in het dwrskrchtencentrum. E 3000 N/mm ; E 750 N/mm ; 1 σ mteril 1 : A 48 N/mm ; mteril : σ 48 N/mm ; σ 30 N/mm ; B C Vrgen : Figuur 4 : Inhomogene en niet-symmetrische doorsnede ) Een colleg vn u beweert dt gezien de gegeven normlsnningsverdeling, deze doorsnede lleen o buiging in het y--vlk wordt belst. Wt is uw inhoudelijke rectie o deze bewering? b) Bel vn deze doorsnede de doorsnedegrootheden en geef de constitutieve reltie o doorsnede niveu voor deze doorsnede. Ter controle: Nmm ; Nmm ; Nmm yy yz zz c) Geef kort n hoe u de onbekende snedekrchten m.b.t. buiging en etensie in de doorsnede kunt belen o bsis vn de bekende gegevens. d) Bel de onbekende krchtsgrootheden o de door u beschreven wijze. k bij voorkeur gebruik vn de GR. ocht u een hndberekening refereren dn mg u gebruik mken vn het gegeven dt de normlrek in de stf-s gelijk is n 3/500. e) Geef in een schets n wr de neutrle lijn loot en onder welke helling. f) Schets de vorm vn de kern en bel het meest linker kernunt. g) Hoe belt u de schuifstroom in de verbinding tussen mteril 1 en? Geef in het kort de relevnte sten n. (g niet rekenen!) - 5 -