Benaderingen van de Gammafunctie

Transcriptie

1 Bnadringn van d Gammafuncti Willm Elbrs 1 mi Dit artikl vormd ht twd dl van n langr vrslag van autur n Johan Bootsma n Pll Jonass voor ht vak Propdus Projct.

2 Samnvatting In dit artikl wordt gkkn naar bnadringn van d Gammafuncti. Er wordt n variati op Stirlings rks n n rcnt bnadring van C. Mortici [5] gvondn: Γ + 1 π p D numrik prstatis van dz bnadring zijn vrglijkbaar mt Stirlings rks n btr dan d bnadring van C. Mortici. Voor d trmn waar Stirlings rks n bovngrns is, vormt d niuw rks n ondrgrns. Dit maakt ht moglijk d tw rksn t middln, waardoor d nauwkurighid vrdr kan wordn vrhoogd. 1

3 Inhoudsopgav 1 Niuw bnadring 1.1 Inliding Problmstlling Stirlings rks Andr moglijk rksn Niuw Bnadring Rsultatn Numrik prstatis Conclusi

4 Dl 1 Niuw bnadring 1.1 Inliding D facultitsfuncti splt n blangrijk rol binnn d kansrkning n andr gbidn van d wiskund. D functi kan wordn voortgzt naar d rël n compl gtalln mt uitzondring van d ngativ ghl gtalln [1], howl in dit artikl uitsluitnd wordt gkkn naar d rël positiv gtalln. Eén drglijk voortztting ht d Gammafuncti n is als volgt dfinird: Γ = Voor lk nit ngatif ghl gtal n gldt: 1. Problmstlling 0 t 1 t dt. 1.1 Γn = n 1!. 1. Aangzin ht aantal rcursiv stappn van d brut forc brkning n! = n n 1 3 1, voor zr grot gtalln zr groot is, is ht van blang om d functi voor grot gtalln t kunnn bnadrn. En klassik bnadringsformul is Stirlings formul: Γ = 1 π 1 + O. 1.3 Tgnwoordig wordt r vl ondrzok gdaan naar ht vindn van btr n snllr bnadringn [, 5, 6, 7]. Dit is ht ondrwrp van dit artikl. Ht artikl is als volgt opgdld. In ht rst dl wordt n aantal bnadringsfunctis bhandld. In ht twd dl wordt n niuw bnadringsfuncti afglid n vrglkn mt n aantal bstaand bnadringn.

5 1.3 Stirlings rks D klassik bnadring van d facultitsfuncti is Stirlings bnadring:! π. 1.4 D nauwkurighid van Stirlings bnadring kan wordn vrbtrd door d bnadring t vrmnigvuldign mt n rks g S, gnaamd Stirlings rks. Stirlings rks hft d volgnd algmn vorm: A g S = p B 3 + C 5 D Allrrst motn w aantonn dat g S gschikt is. Dit is gmakklijk in t zin: g S = Vrvolgns motn w d optimal waardn voor A, B, C,... vindn. W bwijzn d volgnd stlling. Stlling En gschikt waard voor A is A = 1 1 n dit is tvns d bst moglijk waard. 1.7 Bwijs. Naar voorbld van [3], dfiniërn w hirto rst d volgnd rks: n! r n = ln πn n n 1.8 A/n kan gzin wordn als n bovngrns. W zokn dus n A > 0 waarvoor gldt dat 0 < r n < A n. Hirvoor dfiniërn w d rks a n: a n = r n A n 1.9 Omdat A/n n bovngrns is, is a n ngatif. W willn A zo kizn dat ht vrschil a n naar nul convrgrt als n. Idr A > 0 waarvoor d rks a n strikt tonmnd is voldot dus. a n+1 a n = r n+1 A r n A n + 1 n n! πn + 1 n+1 n+1 = ln n + 1! πn n n + A = 1 n + 1 n + 1 ln n 1 n A n 1 n + 1 n

6 Om t zin of d rks strikt tonmnd is, kijkn w naar d volgnd functi: h = ln A Dz functi convrgrt naar nul als. Hiruit volgt dat h positif is, als dz tvns strikt afnmnd is. D afglid van dz functi is glijk aan: h = 1 + A D functi h is dus strikt afnmnd zolang A > Idr A di hir aan voldot maakt h positif voor > 0. Hiruit volgt dat a n+1 a n ook positif is n d rks a n dus strikt afnmnd is, zoals gwnst. Om d optimal A t kizn, kijkn w naar d rchtrkant van dz onglijkhid in d it naar onindig: = D maimal waard voor A is dus 1/1. Dit is dan ook d optimal waard. D optimal waard voor B kan wordn bpaald, door t kijkn naar d rks b n : b n = r n 1 1n + B n Door op dzlfd manir t wrk t gaan, kunnn d waardn van C, D,... als volgt bpaald wordn: 1 g S = p Andr moglijk rksn Naast Stirlings rks zijn r andr rksn di na vrmnigvuldiging mt Stirlings formul n nauwkurigr bnadring oplvrn. D Indias wiskundig Ramanujan bdacht d volgnd rks [4]: g R = En rks di mr lijkt op Stirlings rks is d Laplac rks [7]: g L =

7 Rcntlijk bdacht Grgö Nms d volgnd variant [7]: g N = D rlativ fout van lk van dz bnadringn is wrggvn in tabl 1.1 n figuur 1.1. Ht is duidlijk dat Stirlings rks n d bnadring van Nms d facultitsfuncti ht bst bnadrn. Aangzin w d thortisch ondrbouwing van Stirlings rks al hbbn gzin, zulln w hir in ht vrvolg m vrdr wrkn. Rknvoorbld D rlativ fout δ in n bnadring f is:! δ = log f n van d bhandld bnadringn wordt δ voor bpaald waardn van ggvn in tabl 1.1: Stirling Stirlings rks Ramanujan Laplac Nms Tabl 1.1: D rlativ fout in Stirlings bnadring, Stirlings rks n d bnadringn van Ramanujan, Laplac n Nms. 1.5 Niuw Bnadring D klassik bnadring van d facultitsfuncti is Stirlings bnadring:! π. 1.1 En zr nauwkurig uitbriding op dz functi is Stirlings rks:! 1 π p C. Mortici [5] bdacht rcntlijk d volgnd bnadring:! ω π ω, 1.3 5

8 0.00 Nms 1 trm Stirlings formul gn trmn Ramanujan 1 trm Laplac 1 trm Stirling rks 1 trm Figuur 1.1: D rlativ fout in Stirlings formul, d bnadringn van G. Nms, Ramanujan n Laplac n Stirlings rks. waarin ω = 3 ± 3/6. In dit dl bwijzn w dat n synths van dz tw bnadringsvormn lidt tot n nauwkurig niuw bnadringsvorm voor d facultitsfuncti. Latr wordt d gldighid bwzn voor d Gammafuncti. 1.6 Rsultatn Voor n asymptotisch bnadringsfuncti f is ht noodzaklijk dat d functi voldot aan d volgnd voorwaard. Dfiniti En asymptotisch bnadringsfuncti f voldot aan: f! = Stirlings bnadring 1.1 is n asymptotisch bnadring n voldot aan voorwaard 1.4. W bwijzn rst d volgnd stlling: Lmma Om t bwijzn dat n bnadringsfuncti f asymptotisch glijk is aan d facultitsfuncti, is ht voldond om t latn zin dat: f π =

9 Bwijs. Stirlings bnadring is n asymptotisch bnadring, dus: π = ! Voor lk andr bnadring f gldt dan ook: f π = = 1, 1.7!! dan n slchts dan als f aan voorwaard 1.4 voldot. bid itn bstaan, gldt: f! waaruit ht gvraagd volgt.! π = Dus, zolang f π = 1, 1.8 W latn nu zin dat n algmn vorm van bnadringsfunctis, gbasrd op 1. n 1.3, aan voorwaard 1.4 voldot. W dfiniërn: Dfiniti β + α F = A α g, 1.9 waarin A, α, β constantn zijn n g n willkurig functi, waarvoor gldt dat: g = Lmma D algmn bnadringsvorm F voldot aan voorwaard 1.4: A +α +β α g = ! Bwijs. Volgns Lmma is ht voldond om t latn zin dat: A +α +β α g π = W mrkn op dat g = 1 als n dln zowl tllr als nomr door : A A +α +α +α β α = 1 π + α β β α π = 1 7

10 Dit is vrdr t vrsimpln door gbruik t makn van d volgnd dfiniti van α : + α = α 1.33 Hirdoor lidn w d vrglijking trug tot: A β 1 + α β β π = 1 A β β π = 1. D nig macht van in d tllr n d nomr is rspctivlijk β n 1/. D nig waard van β waarvoor d vrglijking gldt is dus β = 1/: Hiruit volgt dat A = π. A π = Uit Lmma 1.6. lidn w af dat d algmn bnadringsvorm F d facultitsfuncti asymptotisch bnadrt, wannr w A glijk kizn aan π n β aan 1/. D rstrictis op β n A in acht nmnd, vindn w d algmn bnadringsvorm F : F = α π α g 1.35 Ht is nu zaak om n optimal invulling voor α n g t vindn. Ht bpaln van g Voor g richtn w ons op Stirlings rks: A g S = p B 3 + C 5 D Ht is gmakklijk in t zin dat dz vorm van g gschikt is, immrs g S = Vrvolgns is ht tn minst noodzaklijk om d optimal waard voor A t bpaln. Lmma En gschikt waard voor A is: A = α + 6α 1.38 n dit is tvns d bst moglijk waard voor dz vorm van g. 8

11 Bwijs. D tra trm g wordt gbruikt om d fout in ht rst dl van d bnadring t vrbtrn. En maatstaf van dz fout is: ln! π +α + 1. α Naar voorbld van [3], dfiniërn w daarom d volgnd rks: r n = ln n! π n+α n α D trmn van g S kunnn gzin wordn als afwisslnd bovn- n ondrgrnzn. A/n is n bovngrns. W zokn dus n A waarvoor gldt dat 0 < r n < A n. Hirvoor dfiniërn w d rks a n: a n = r n A n 1.40 Omdat A/n n bovngrns is, is a n ngatif. W willn A zo kizn dat ht vrschil a n naar nul convrgrt als n. Idr A waarvoor d rks a n uitindlijk strikt tonmnd is voldot dus. a n+1 a n = r n+1 A r n A n + 1 n = ln n + 1! π n+α n+ 1 = 1 + ln α n+ 3 α n! π n+1+α n + 1 n + α n+ 1 n α n+ 3 + A 1 + A n 1 n n n Om t zin of d rks strikt tonmnd is, kijkn w naar d volgnd functi: α h = 1 + ln + A α Dz functi convrgrt naar nul in d it naar onindig. D drd 1 trm A 1 +1 convrgrt immrs naar nul, trwijl d twd trm naar -1 convrgrt: 9

12 = = ln α α α 1.45 ln α α α ln = 1, 1.47 waarbij w tijdns d laatst stap gbruik makn van dfiniti 1.33 van. D afglid van h is: h = A waarin v + u lnα + u ln1 + α +, α α + u = 1 + α + α + + α + v = 1 + α α +. Dz afglid convrgrt naar nul als. Ht is duidlijk dat d rst trm A naar nul convrgrt. Ook d twd trm convrgrt naar nul. Om dit in t zin, haln w n factor uit d logaritms in d tllr: v + u ln α 1+α + 1 u ln u ln u ln α α + D trmn ±u ln hffn lkaar op. Ht argumnt van d logaritms convrgrt naar 1, waardoor alln d trm v ovrblijft in d tllr. Ht invulln van v laat zin dat: 1 + α α + = α α + D vrglijking gldt, omdat d grootst macht van in d tllr klinr is dan d grootst macht in d nomr 3. Omdat d afglid naar nul convrgrt, kunnn w stlln dat h uitindlijk strikt ngatif is zolang dz uitindlijk strikt tonmnd is. Om t zin of h strikt tonmnd is, kijkn w naar d twd afglid h : h = Aq + r + 6 1A 1 + 6α 6α a a +,

13 waarin q = 4α + 8α 3 + 4α 4 + 8α + 36α + 40α α α + 108α + 7α 3 + 1α α + 144α + 48α α + 7α α r = α + 4α 4α 3 α α + 4α 1α 3 α α 6α 8α 3. Als h strikt tonmnd is, mot h strikt positif zijn. D A waarvoor dit gldt is: A > r α 6α q D functi h is dus strikt tonmnd zolang A > r 6 1+6α 6α q+1. 6 Idr A di hiraan voldot maakt h ngatif. Hiruit volgt dat h zlf strikt afnmnd n dus positif is. Aangzin h d continu variant van a n+1 a n strikt positif is, is d rks a n dus strikt afnmnd, zoals gwnst. W zin dat d rchtr hlft van 1.5 asymptotisch daalt tot: r 6 6α 1 6α q = α + 6α, 1.53 waarin q n r wgvalln, omdat voor bid gldt dat d grootst macht 5 is. Aangzin A n n bovngrns is, gldt dat d nauwkurighid tonmt naar mat A klinr is. Hiruit volgt dus dat α + 6α d optimal kuz is voor A. D waard van B kan wordn bpaald door t kijkn naar d rks: b n = r n 1 1n 1 6α + 6α + B n Op dzlfd manir t wrk t gaan, kunnn ook d waardn van C, D,... wordn bpaald. 1 g = p 1 1 6α + 6α Ht bpaln van α W kijkn nu naar d optimal kuz voor α. Lmma D optimal kuzs voor α zijn: α = 0 of α =

14 Bwijs. Nt als bij d afliding van A, kijkn w naar ht logaritm van!/f. W dfiniërn daarto d rlativ-foutfuncti p: p = ln = α! π +α α+6α α 1 6α + 6α Erst haln w n factor uit ht linkr logaritm: ln + α + ln!.1.57 π 1 6α + 6α p = α + 1! + ln π ln 1 + α ln Mt bhulp van d rst dri trmn van d taylorrks van ln1 + : is p t schrijvn als: p α 1 6α + 6α 1 ln1 + = n=0 1 n n + 1 n+1 = α α + α3! ln + ln. π Dz bnadring wordt nauwkurigr naar mat. Enig hrschrijvn lvrt tn slott d volgnd uitdrukking op: p α α 3! ln + ln π W zokn waards van α, waarvoor p minimaal is. Hirto kijkn w naar d vrglijking: α α 3! ln + ln = π Mrk op dat dit n drdgraadsvrglijking in α is, di daarnbovn in gslotn vorm kan wordn opglost. Mt bhulp van n Computr Algbra Systm CAS vindn w dri zr uitvorig uitdrukkingn. Wannr w dz uitdrukkingn bkijkn in d it van, convrgrn tw oplossingn naar nul, trwijl d drd naar 3 4 convrgrt. 1

15 D oplossing α = 0 corrspondrt mt d bknd Stirling rks: F S = 1 π p D oplossing α = 3 4 F = π corrspondrt mt n niuw bnadring: p Dit is d waard van α di w zokn. Nu volgt ht bwijs dat dz niuw functi tvns d gammafuncti bnadrt. Stlling D niuw bnadringsfuncti bnadrt d gammafuncti: π +α + 1 p A B + α 3 = Γ + 1 n d gvondn waardn voor A, B, C,... n α zijn d bst moglijk waardn. Bwijs. Stirlings bnadring bnadrt nit alln d facultitsfuncti, maar ook d gammafuncti. In [8] wordt bwzn dat: π = Γn + 1 Ht vrvangn van! in Γ + 1 in Lmma s n 1.6. n ht topassn van 1.65 bwijst dat d algmn bnadringsvorm F in 1.9 d gammafuncti bnadrt: π +α + 1 α g = Γ + 1 D kuz van g is gbasrd op Stirlings rks. Dz voldot, want: A p B = n dit voltooit ht rst dl van ht bwijs. Om t bwijzn dat d waard van A optimaal is, krn w naar Lmma Daar wrd gkkn naar d volgnd rks: a n = ln n! π n+α n+ 1 A 1.68 α n Dz rks convrgrd ht snlst naar nul voor A = α + 6α. Ht bwijs hirvan was nit afhanklijk van d kuz voor n. Wannnr w dus kijkn naar d volgnd variati naar voorbld van [3]: 13

16 ρ n 0 = ln Γ 0 + n n+ 1 α π 0+n+α A 0 + n n = 0, 1,,..., vindn w dat d rks ρ n 0 voor n willkurig 0 > 0 ht snlst naar nul convrgrt voor A = α+6α. Ht bwijs voor B, C,... is analoog aan dat van A. Om t bwijzn dat d waard voor α optimaal is, kijkn w naar ht bwijs van Lmma Daar wrd d volgnd functi bschouwd: p = ln! π +α α+6α α Dz functi wrd gminimalisrd door α = 0 n α = 3/4. Ht bwijs hirvan was nit afhanklijk van d kuz van. Wannnr w dus kijkn naar d volgnd variati: ρ 0 = p 0 + = 0, 1,,..., 1.69 waarbij d! in p 0 + is vrvangn door Γ + 1, vindn w dat ρ 0 gminimalisrd wordt door α = 0 n α = 3/4. Dit zijn daarom d optimal waardn voor α. 1.7 Numrik prstatis D prstatis van Stirlings rks n d niuw bnadring zijn vrglijkbaar, trwijl d niuw bnadring n stuk nauwkurigr is dan d bnadring van C. Mortici 1.3. Zi Tabl 1. n Figuur 1.. Waar Stirlings rks n ondrgrns is, vormt d niuw bnadring n bovngrns. Dit maakt ht moglijk d tw rksn t middln, waardoor d nauwkurighid vrdr kan wordn vrhoogd: Γ F S F Γ π 0.33 π 1 p p Ht vrschil in computatisnlhid blijkt gn blangrijk factor t zijn. Zlfs bij = 10 7 zijn r gn mtbar vrschilln in computatisnlhid: T compt < 0, 01 s. Voor ht brut-forc uitrknn van 10 7! gldt chtr T compt 10 s op ht gbruikt systm. Rknvoorbld D rlativ fout δ in n bnadring f is: 14

17 ! δ = log f n van d bhandld bnadringn wordt δ voor bpaald waardn van ggvn in tabl 1.: Gmiddld Niuw bnadring Stirlings rks C. Mortici Tabl 1.: D rlativ fout in d niuw bnadring, Stirlings rks, d bnadring van C. Mortici n n gwogn gmiddld van d rst tw bnadringsvormn. 15

18 1.8 Conclusi Op basis van C. Mortici s modrn bnadring van d Gammafuncti 1.3 n d klassik Stirling rks 1. is n niuw bnadring afglid: Γ π p 0.33 π p D numrik prstatis van dz vrglijking zijn significant btr dan d prstatis van Stirlings rks n d bnadring van C. Mortici. Tot tn minst = zijn r gn mtbar vrschilln in computatisnlhid tussn dz bnadringn Niuw bnadring 1 trm Gmiddld 1 trm Stirlings rks 1 trm Figuur 1.: D rlativ fout in d niuw bnadring, Stirlings rks n n gwogn gmiddld van bid bnadringsvormn. 16

19 Bibliografi [1] P. J. Davis, Lonhard ulr s intgral: A historical profil of th gamma function, Amr. Math. Monthly , no., [] C. Frrira, J. L. Lopz, and E. P. Sinusia, Incomplt gamma functions for larg valus of thir variabls, Advancs in Applid Mathmatics , no. 3, [3] C. Impns, Stirling s sris mad asy, Mathmatical association of Amrica 110 Octobr 003, [4] E. A. Karatsuba, On th asymptotic rprsntation of th ulr gamma function by ramanujan, Journal of Computational and Applid Mathmatics , no., [5] C. Mortici, An ultimat trmly accurat formula for approimation of th factorial function, Archiv Dr Mathmatik , no. 1, [6], Nw approimations of th gamma function in trms of th digamma function, Applid Mathmatics Lttrs 3 010, no. 1, [7] G. Nms, Nw asymptotic pansion for th gamma function, Archiv Dr Mathmatik , no., [8] J. M. Patin, A vry short proof of stirling s formula, Th Amrican Mathmatical Monthly , no. 1,