Deelexamen Calculus 1 21/10

Transcriptie

1 Dlxamn Calculus 1 21/10 1. Ggvn d functi y(x) waarvoor y y = x+1 (a) Brkn d afglid y voor n punt (x, y) dat voldot aan ht functivoorschrift. (b) Gbruik d gvondn uitdrukking om d vrglijking van d raaklijn aan d grafik in ht punt (0, 1) op t stlln. (c) Gbruik d gvondn uitdrukking om d vrglijking van d rcht door (, ) op t stlln, di loodrcht staat op d raaklijn in datzlfd punt (, ). (d) Brkn d limit lim y(x) x (2.5 ptn) Antwoord: (a) W lidn bid zijdn van dz vrglijking implicit af. Dit lidt tot y y + y y y = x+1. Dz vrglijking kunnn w oplossn naar y. Dit gft d afglid in n willkurig punt: y = 1 y + 1 x+1 y. (1) (b) Evalur uitdrukking (1) in ht punt P (0, 1). Dit gft y P raaklijn ggvn wordt door y = 1 2 x + 1. = 1 2 zodat d vrglijking van d (c) Evalur nu uitdrukking (1) in ht punt Q(, ). Dit lidt tot y Q = +1. D rcht mt vrglijking ax + b staat loodrcht op d raaklijn in Q als n slchts als a y Q = 1. Dus a = +1 n d vrglijking van d rcht door Q loodrcht op d raaklijn wordt ggvn door y = + 1 lim x (x ) + = + 1 x (d) Aangzin d glijkhid uit d opgav gldig is voor all x R (w hbbn immrs n glijkhid van functis), motn d limitn voor x van bid ldn ook glijk zijn: ( y(x) y(x)) = lim x x+1 = 0. (2) Er zijn dus tw moglijkhdn: ofwl is lim x y(x) = 0, ofwl is lim x y(x) =. In dit laatst gval zou immrs d xponntiël functi snllr naar nul gaan dan y(x) naar onindig. Mrk nu op dat ht brik van ht rchtrlid glijk is aan ]0, + [. Dit btknt dat ook ht brik van ht linkrlid hiraan glijk mot zijn. Omdat y(x) > 0, implicrt dit dat y(x) > 0 voor all x R. D limitwaard lim x y(x) kan dus nit glijk zijn aan. W bsluitn dat lim x y(x) = 0.

2 2. Ggvn d functi y = arccos(ln(x 2 + 1)) (a) Bpaal ht domin van dz functi y(x). Argumntr dat ht n vn functi btrft. Bpaal ook ht brik van d functi. (b) Brkn d afglid van d functi voor n punt uit ht domin. Wat is r bijzondr aan d randpuntn van ht domin? (c) Toon aan dat d functi n maximum brikt op haar domin. (d) Lg uit waarom gldt dat r puntn x 0, x 1 ] 1, 1[ bstaat zodat y (x 0 ) = n y (x 1 ) = (2.5 ptn) Antwoord: (a) Ht domin van d functi x arccos x is [ 1, 1]. Omdat ln(x 2 + 1) 0 voor all rël waardn van x, motn w nkl isn dat ln(x 2 + 1) 1. Dit lvrt x of x [ 1, 1]. Ht vn zijn van d functi y(x) volgt in ssnti uit ht fit dat x 2 n vn functi is. Indrdaad, arccos(ln(( x) 2 + 1)) = arccos(ln(x 2 + 1)). Tn slott vindn w, aangzin ln(x 2 + 1) 0, dat ht brik van y(x) glijk is aan ht brik van d boogcosinusfuncti voor positiv waardn van ht argumnt. Ht brik van y(x) is dus glijk aan [0, 2 ]. (b) W vindn d afglid van y via d kttingrgl: y = 2x (x 2 + 1) 1 [ln(x 2 + 1)] 2. Dz formul is gldig in ht intrval ] 1, 1[. D afglidn in d indpuntn bstaan nit. W hbbn lim x 1 y (x) = + n lim x 1 y (x) =, zodat d raaklijn aan d grafik van d afglid functi nigt naar n vrtical rcht als w d indpuntn van ht domin nadrn. (c) Ht domin van d functi y(x) is n gslotn intrval. Bovndin is y continu op dit intrval. Wgns ht Max-Min thorma volgt dat y n maximum brikt op haar domin. (d) Bkijk rst ht opn dlintrval ]0, 1[ van ] 1, 1[. Omdat y continu is op ht intrval [0, 1] (z is immrs n combinati van continu functis) n aflidbaar in ]0, 1[ (zoals w in (b) hbbn aangtoond), is aan d voorwaardn van ht gmiddld-waard thorma voldaan. Uit dit thorma volgt dat r n x 0 ]0, 1[ bstaat zodat Aangzin y n vn functi is, gldt dat y (x 0 ) = y( 1) y(0) = 0 /2 = y f( x 0 + h) f( x 0 ) ( x 0 ) = lim h 0 h f(x 0 h) f(x 0 ) = lim h 0 = lim h 0 h f(x 0 + h) f(x 0 ) h = y (x 0 ) = 2 1.

3 Altrnatif : En volldig analoog argumnt als voorhn, togpast op ht intrval ] 1, 0[ toont aan dat r n x 1 ] 1, 0[ bstaat zodat y (x 1 ) = 2 1. Nog n altrnatif : D afglid y is n continu functi waarvan w d limitn lim x 1 y (x) = + n lim x 1 y (x) = in vraag (2b) hbbn brknd. Er bstaan dus gtalln a, b ] 1, 1[ zodat y (a) < 2 1 n y (b) > 2. Op ht gslotn intrval [b, a] mogn 1 w d tussnwaardstlling topassn: dit lvrt d gzocht x 0 n x 1. Dz waardn liggn dan uitraard ook in ht intrval ] 1, 1[. Puntnvrdling Vraag 1a 0.75 pt: 0.25 puntn voor ht id om implicit diffrntiati t gbruikn, 0.25 puntn voor ht corrct brknn van d afglidn n 0.25 puntn voor ht corrct oplossn van d rsultrnd vrglijking naar y. Vraag 1b 0.50 pt: 0.25 puntn voor ht corrct invulln van ht punt, 0.25 puntn voor corrct vrglijking van raaklijn. Vraag 1c 0.75 pt: 0.25 puntn voor ht id op t schrijvn dat ht product van d hllingn van d raaklijn n van d normaal op di raaklijn glijk is aan -1, 0.50 puntn voor n corrct brkning van d vrglijking van d normaal. Vraag 1d 0.50 pt: En volldig corrct rdnring is 0.50 puntn waard. Studntn di vrglijking (2) hbbn afglid n corrct hbbn bslotn dat r nog tw kandidatn zijn voor lim x y(x), krijgn hirvoor 0.25 puntn. Vrglijking (2) of n variant hirvan aflidn n vrvolgns mt n of andr ongldig rdn bsluitn dat lim x y(x) = 0, is chtr gn puntn waard. Vraag 2a 1.00 pt: 0.25 puntn voor ht aanhaln dat ht domin n brik van d functi bpaald wordn door ht domin n brik van d boogcosinusfuncti n dz laatst corrct opschrijvn, 0.25 puntn voor ht corrct brknn van ht domin (mt inbgrip van ht corrct opschrijvn van d rdnring!), 0.25 puntn voor ht argumnt waarom y(x) n vn functi is n 0.25 puntn voor ht juist brik. Vraag 2b 0.50 pt: En juist afgllid is 0.25 puntn waard, corrct bargumntrn wat r in d randpuntn gburt lvrt n xtra 0.25 puntn op. Vraag 2c 0.50 pt: Corrct topassn van ht Max-Min thorma is 0.50 puntn waard. Vl studntn hbbn chtr voor n andr aanpak gkozn, namlijk ht vrloop van d functi bschrijvn via d rst afglid. Dit was nit nodig (ht is voldond aan t tonn dat n maximum bstaat, onafhanklijk van waar dit wordt brikt!), maar indin dit foutloos wrd togpast, vrdint dit ook 0.50 puntn. Studntn di chtr hbbn gzgd dat y (0) = 0 n dat daarom y n maximum brikt in dit punt zondr vrdr uitlg (waarom gn minimum of buigpunt?) hbbn hir gn puntn voor gkrgn, zlfs gn 0.25.

4 Vraag 2d 0.50 pt: Elk van bovnstaand oplossingn, indin z corrct wrdn bargumntrd (dit wil in ht bijzondr zggn dat d voorwaardn van d gmiddld-waard stlling / tussnwaardstlling motn naggaan wordn voordat j z gbruikt!) is 0.50 puntn waard. Ht bwijs dat d afglid van n vn functi stds onvn is zoals hirbovn ggvn, hoft hirbij nit vrmld t wordn. Studntn di hbbn aanghaald dat d afglid van n vn functi stds onvn is, dit rdlijk hbbn bargumntrd n bslotn dat ht daarom gnog is om ht bstaan van n van d tw puntn x 0 of x 1 aan t tonn, kondn nog 0.25 puntn vrdinn. Opmrkingn bij d vrbtring n tips: Indin n fout wrd gmaakt in vraag (1a) of (2a), was ht nog stds moglijk om n maximal scor t bhaln op d vrvolgvragn, als dz corrct wrdn opglost ggvn ht fout rsultaat van (1a) of (2a). En uitzondring hirop is wannr in vraag (2a) ht intrval [ 1, 1] als domin wrd ggvn in vraag (2b) is r dan namlijk nits bijzondr mr aan d indpuntn van ht domin. Er gldt wl dat y ( 1) = y (1) maar dit is triviaal, omdat d afglid van n vn functi stds onvn is! En blangrijk tip is d volgnd: ht is altijd btr om n corrct rdnring op t schrijvn di nit naar d indoplossing lidt, dan om mt allrli drogrdnn t probrn d induitkomst toch vast t knopn aan n argumnt dat al in ht bgin van ht rcht pad is afgdwaald. Ht rst lvrt vaak gdltlijk puntn op, trwijl ht twd gn puntn waard is. En voorbld hirvan wrd al in d puntnvrdling van vraag (1d) bsprokn. En andr voorbld is ht volgnd. Stl, j bnt in ht brknn van d afglid in (2b) ht mintkn vrgtn. Als j in vraag (2c) dan via ht tknvrloop probrt t bwijzn dat y n maximum brikt in x = 0, kom j uit dat d functi daar juist minimaal is. Schrijf dat dan zo op in plaats van tgn btr wtn in toch n maximum t claimn voor x = 0. Voor lk rknfout wrd globaal 0.25 puntn afgtrokkn. Dit is zlfs zo als n corrct oplossing (zoals in 1b of 1c) nog vrdr wrd vrnvoudigd n hirin foutn zijn gmaakt. Dit klinkt strng, maar n dl van d vaardighdn di in Calculus wordn aangschrpt is ht corrct n gconcntrrd brknn van dingn. Laat dit j chtr nit wrhoudn om n oplossing t vrnvoudign want zo n oplossing is stds btr dan n oplossing waarin nog factorn gschrapt kunnn wordn. Uitraard als d opgav zlf bstond uit its t brknn n dit wrd fout gdaan, hbbn w nit twmaal 0.25 puntn afgtrokkn. Vl studntn motn nog lrn ho n oplossing hldr op t schrijvn. Dit is voor all vakkn, dus vngod voor Calculus, van topassing! Als d indoplossing corrct is, hbbn w hirvoor gn puntn afgtrokkn, alln n opmrking gmaakt. Langs d andr kant, voor n gdltlijk oplossing kan ht van blang zijn ho hldr j j gdachtn hbt gformulrd. Ht corrct n hldr formulrn van j rdnring is n vaardighid di in d komnd jarn nog blangrijkr zal wordn, zowl binnn als buitn d acadmisch wrld.

5 Algmn opmrkingn ovr ht xamn n vlgmaakt foutn Vragn (1a), (1b) n (1c) zijn voornamlijk rknvragn. Vragn (1d) n (2d) zijn dnkvragn, n bij vragn (2a), (2b) n (2c) mot zowl grknd als grdnrd wordn. Dit wrspiglt zich duidlijk in d bhaald puntn: vragn (1a), (1b) n (1c) zijn ovr ht algmn zr god opglost, trwijl vragn (1d) n (2d) cht hrsnkrakrs blkn t zijn. Als vrvolg op d rst opmrking, zijn n aanzinlijk aantal studntn gslaagd (d prciz aantalln motn nog gtld wordn) aangzin 2 puntn rds vrdind kondn wordn bij vragn (1a-c). Daartgnovr staat dat slchts hl winig studntn 4 puntn of mr wistn t haln. Als r foutn wrdn gmaakt bij vragn (1a-c), zijn dit mstal d volgnd: ofwl wrd d productrgl fout togpast bij ht implicit aflidn van d vrglijking uit d opgav, ofwl wrd in vraag (1b-c) vrgtn ht ggvn punt in d afglid y in t vulln. J kunt dan chtr onmiddlijk zin dat d vrglijking di j bkomt, onmoglijk d vrglijking van n rcht kan zijn. Bij vraag (1d) wrd zr vaak d fout gmaakt dat op basis van vrglijking (2) voorbarig wrd gconcludrd dat lim x y(x) = 0 (door sommig studntn), ofwl dat lim x y(x) = omdat d -macht wint (door andr studntn). Ht is blangrijk om in t zin waarom bid gvalln a priori nit uitgslotn kunnn wordn! D populairst vrsi van dz fout is d volgnd: aangzin y(x) = x+1, gldt dat lim y x y(x) = 0 = 0. Dz y uitspraak is chtr zinloos in ht gval dat lim x y(x) = (wat nog stds moglijk is) aangzin dan zlfs d rknrgl nit mr gldt! lim x x+1 y = lim x x+1 lim x y En ssntil ingrdiënt in ht bpaln van ht domin van d functi in (2a) is d obsrvati dat, aangzin ln(x 2 + 1) 0, d onglijkhid 1 x stds voldaan is. Dit wrd vaak ovr ht hoofd gzin. In ht rgst gval lidd dit tot oplossingn waarin d virkantswortl voorkwam van 1 1, dit is chtr n ngatif gtal!! Nog bij (2a), wrd zr vaak vrgtn dat ln(x 2 + 1) 0 n bprking oplgt op ht brik van d boogcosinus. In ht brik zittn namlijk nkl di hokn in ht intrval [0, ] waarvan d cosinus n positif gtal is, dit lidt tot ht intrval [0, /2]. Enkl studntn zijn onnodig puntn kwijt graakt omdat z vrgtn zijn all ondrdln van vraag (2a) t bantwoordn.

6 Bij vragn (2c) n (2d) wrdn typisch foutn al aanghaald bij ht bsprkn van d vrbtrslutl. Ik wil n blangrijk opmrking daar nog ns uit haln: maak nooit gbruik van n stlling zondr xplicit na t gaan (n op t schrijvn) of all voorwaardn voldaan zijn, zlfs al is dit triviaal. Tn slott: als j dit rst dlxamn slcht hbt afgrond, laat dan nit d mod zakkn. Kijk waar j voornaamst foutn lagn; hir kun j vl uit lrn! Als blijkt dat j nkl fundamntl tchnikn nog nit ondr d kni hbt, is dit vaak n tkn dat j d thori n vooral d voorbldn uit ht handbok maar opprvlakkig hbt bgrpn. Nm dan d tijd om dz grondig t bkijkn (als voorbriding van d collgs). Ws daarnaast zkr nit bang om tijdns d OASE-sssis n d ofnzittingn d monitorn of assistntn aan t sprkn mt vragn. Wij hbbn bij wijz van sprkn alls al gzin dus hbbn zkr gn oordl ovr jou klaar. Intgndl, dit gft blijk dat j cht gmotivrd bnt om d lrstof wrklijk t bhrsn.