Een spiraal van rechthoeken rond een vierkant

Transcriptie

1 En spiraal van rchthokn rond n virkant Luc Van dn Brock 1 juli 017 Samnvatting Sinds nkl jarn bn ik op zok naar nvoudig wiskundig n fysisch problmn di onvrwacht grlatrd zijn mt ht gtal π. In Th bouncing balls and pi bschrf ik rdr al ho d opnvolgnd dcimaln van π kunnn brknd wordn door tw balln volldig lastisch tgn lkaar n tgn n muur t latn botsn. In dit artikl zal ik aantonn ho ht gtal π tvoorschijn komt door n onindig sri rchthokn mt opprvlakt 1 spiraalsgwijz aan lkaar t klvn. In n vralgmning van dit problm duikt op n natuurlijk wijz d gammafuncti n d formul van Stirling op. 1 Problmstlling Ht volgnd problm ontlnd ik aan MindYourDcisions, ht wiskundig vidokanaal van Prsh Talwalkar op YouTub. Howl d formulring van ht problm nkl nvoudig mtkund bvat, wrd d oplossing op d wbsit aangkondigd als zr pittig. In vrij vrtaling kan ht problm als volgt gformulrd wordn. Nm n virkant stuk karton mt n opprvlakt van 1 dm. Klf hirrond n spiraal van kartonnn rchthokn di all n opprvlakt hbbn van 1 dm : rst aan d rchtrkant, daarna bovnaan, vrvolgns links, dan ondr, vrvolgns wr rchts,.... Na lk tovoging van n rchthok mot ht ghl r wr uit zin als n rchthok (zi figuur 1). Bpaal ondr dz omstandighdn d limit van d brdt-hoogt-vrhouding van d samngstld rchthok. Om dz limitvrhouding t brknn, gaan w rst profondrvindlijk t wrk. Aangzin ht zijdlings aanklvn van n rchthok wiskundig n btj afwijkt van ht bovn- of ondraan aanklvn, zulln w in één stap simultaan stw rchthokn aanklvn. Mt d nummring van figuur 1 nmn w rst d rchthokn 1 n samn, vrvolgns d rchthokn 3 n 4, daarna n 6 nz. Rchthok 1 hft d vorm van n nhidsvirkant. Rchthok hft brdt. Om n opprvlakt van 1 dm t vrkrijgn mot d hoogt glijk 1

2 Figuur 1: En spiraal van rchthokn rond n virkant zijn aan 1. Na uitbriding mt dz tw rchthokn, vindn w n total brdt di glijk is aan n n total hoogt di glijk is aan 3. D brdthoogt-vrhouding van d samngstld rchthok is dan 4 3. Rchthok 3 hft n hoogt di glijk is aan 3. D brdt is bijgvolg glijk aan 3 want d opprvlakt van lk rchthok is 1. Hirna kunnn w d brdt van rchthok 4 brknn. Di is glijk aan 8 3. Omdat ook dz rchthok opprvlakt 1 hft, mot d hoogt glijk zijn aan 3 8. D samngstld rchthok hft na tw uitbridingsrondn n brdt van 8 3 n n hoogt van D brdt-hoogt-vrhouding is nu glijk aan 4. Zondr d gav van d hldrzindhid is ht vrijwl onmoglijk om ht rijtj dat bgint mt d brukn n 4 vrdr t zttn. Zlfs na d brkning 6 van d volgnd trm, 17, zal d rglmaat wllicht nit duidlijk wordn. Daarom probrn w in dit vrslag rst n rcursiformul op t stlln voor d opnvolgnd trmn van dz rij van brdt-hoogt-vrhoudingn. Dz btrkking zal volstaan om d brdt-hoogtvrhouding in d limitsituati t brknn. Rcursiformul In figuur wordn tw opnvolgnd rchthokn van ht itratiprocs afgbld. D klinst hft brdt B n n hoogt n d grootst hft brdt

3 B n+1 n hoogt +1.Vooralr w n formul zulln aflidn voor d opnvolgnd vrhoudingn Bn, bstudrn w rst d opprvlakt B n van dz rchthokn. D allrrst rchthok hft n opprvlakt di glijk is aan 1. Pr itratistap wordn r tw rchthokn mt n opprvlakt 1 togvogd. D rij van d opprvlaktn van d samngstld rchthokn is dus n rknkundig rij mt n vrschil glijk aan. In formulvorm notrn w dz rij als: B n n 1. (1) Figuur : Tw opnvolgnd rchthokn D rchthok di aan d rchtrkant aangklfd wordt, hft n hoogt n n brdt 1. Hiruit volgt dat: B n+1 B n + 1 B n + 1. In combinati mt formul (1) gft dit d rst rcursibtrkking: B n+1 n n B n B n n n 1 B n () D rchthok di bovn aangklfd is, hft n brdt di glijk is aan n. D hoogt van dz rchthok is dus glijk aan Hn n. Hiruit kunnn w n 3

4 twd rcursiformul aflidn: +1 + n n + 1 n (3) Door d formul () t dln door (3) vindn w d uitindlijk rcursiformul voor brdt-hoogt-vrhoudingn: V n+1 3 Limitvrhouding n n 1 n n + 1 V n (4) Ht aangroiprocs mt d kartonnn rchthokn start mt n virkant. D bginvrhouding van brdt n hoogt is dus V 1 1. Als w d rcursibtrkking (4) mrmaals na lkaar topassn vindn w n rglmaat in d opnvolgnd brdt-hoogt-vrhoudingn di n duidlijk zicht gft op d limitvrhouding V. V V V V Wllicht kan j d schoonhid van dz formul smakn. D natuurlijk gtalln zijn in kantlvorm gschikt ovr d tllrs n nomrs van d opnvolgnd brukn. Ht is chtr nit mtn duidlijk of dit onindig product n indig of n onindig gtal voorstlt. D productrks bvat immrs afwisslnd n bruk di klinr is dan 1 n n bruk di grotr is dan 1. Mochtn d brukn grotr dan 1 d ovrhand nmn dan zou ht product kunnn divrgrn naar. Indin d brukn klinr dan 1 d ovrhand zoudn nmn, zou ht product naar nul kunnn gaan. In 16 wrd chtr door Johan Wallis ( ) bwzn dat dz productrks convrgrt, maar nit naar nul. In zijn blangrijkst wrk, Arithmtica infinitorum, toond hij aan dat dz rks convrgrt naar π. Hirm is aangtoond dat d limitvrhouding van d samngstld rchthok grlatrd is aan ht gtal π. 4 Vralgmning van ht problm Als uitbriding op dit rchthoknproblm, lossn w dz vraag op mt n andr bginsituati. Stl dat ht aangroiprocs start mt n virkant mt 4

5 opprvlakt a. Zok dan n formul voor d brdt-hoogt-vrhouding van d samngstld rchthok na n spiraalsgwijz uitbriding mt onindig vl rchthokn mt opprvlakt 1. D mthod om d brdt n d hoogt van opnvolgnd rchthokn t brknn is volldig analoog aan d mthod van ht basisproblm. D formuls (1), () n (3) wordn in dz niuw situati aangpast tot: B n n + a. () B n+1 B n + 1 n + a 1 n + a 1 n + a 1 B n B n n + a B n (6) +1 + n + a 1 n + a n + a 1 (7) Dling van formul (6) door (7) gft n niuw rcursiformul voor d opnvolgnd brdt-hoogt-vrhoudingn: V n+1 Limitvrhouding n + a 1 n + a 1 V n (8) n + a n + a Door d formul (8) vrschillnd krn na lkaar to t passn vanuit d bginvrhouding V 1 1 vindn w d limitvrhouding: V a + 1 a a + 1 a + a + 3 a + a + 3 a + 4 a + a + 4 a + a + 6 a + 7 a Om n gslotn formul t vindn voor dit onindig product (n formul zondr puntjs op ht ind), brkn w ht product voorlopig vn af na 7 factorn n vrnvoudign w dz uitdrukking. Van dz uitdrukking nmn w d limit waarbij ht aantal factorn naar onindig gaat. a + 1 a + 1 a a + a + 3 a + a + 3 a + 4 a + a + 4 a + a + 6 a + 7 a + 6 ( a + 1 a + a + 3 a + 4 a + ) a + 7 a + 6 a ( a + 1 ) a + 1 a + 3 a + a + a + 3 ( (a + )! ) (a 1 )! a! (a + 3)! ( a! (a 1 )! ) a + 7 a a + 7 a a + 7 a ( (a + )! (a + 6 )! )

6 ( a! ) (a 1 )! a + 7 a ( a! (a 1 )! ( (a + )! (a + 6 )! ) ) 1 a (a + 7 )! (a + )! (a + 6 )! (a + 6 )! Mt ht symbool! bdoln w d continu uitbriding van d facultitsfuncti. Mstal wordt dz continu uitbriding gnotrd mt d gammafuncti: Γ(x + 1) x!. Indin w ht aantal factorn trug vrhogn van 7 tot onindig dan zal d laatst bruk glijk wordn aan 1. W stunn hirbij op d stlling di w vrdrop zulln bwijzn: lim (k + 1)! k! (k + 1 )! (k (9) )! Hiruit volgt d indformul voor d limit van d brdt-hoogtvrhouding van samngstld rchthok: ( ) a! V (a 1 )! 1 a ( ) Γ(a + 1) Γ(a + 1 ) 1 a (10) Tr control brknn w d limitvrhouding V voor ht basisproblm waarbij a 1. W stunn hirbij op d gammawaardn Γ( 3 ) π n Γ(1) 1 n vindn zo opniuw dat V π. 6 Hulpstlling Brkningn van facultitn van grot gtalln komn vaak voor in togpast wiskund bijvoorbld in d statistisch fysica. In dz contxt is ht wl ns nodig om combinatis of prmutatis t nmn van n aantal molculn glijk aan ht gtal van Avogadro. Bij zulk brkningn wordt r bij voorkur bnadrnd grknd mt d formul van Stirling: n! ( n ) n πn. (11) Voor n gaat ht quotint van d bnadrnd n d xact waard naar 1. D bnadring van Stirling is dus asymptotisch glijkwaardig mt d facultitsfuncti. lim n πn ( n ) n n! 1 6

7 Dz asymptoisch glijkwaardighid gbruikn w om stlling (9) aan t tonn. lim lim lim lim (k + 1)! k! (k + 1 )! (k + 1 )! ( π(k + 1) k+1 +1 ( πk k π(k + 1 ) ( k+ 1 ( k(k + 1) k+1 +1 ( k (k + 1 ) ( k+ 1 ( k+1 ( k ( k ( k+ 1 ( π(k + 1 ( k+ 1 (k k k lim ( ) k + 1 k+ 1 (k ) + 1 k+ 1 ( ( k ) + k lim k + k + 1 k k + 1 ( k + k lim k + k ( 1 lim 1 1 (k + 1) 7