Extra oefening hoofdstuk 1

Transcriptie

1 Etra ofning hoofdstuk = ( ) = = v v v dr v a = + v als v 7 v v dus als = dv waaruit volgt dat v = 7 km/uur. v = 7 gft R = 7, 7 mg/min. a f ' = = ' = + = ( + ) ' = = ( ) = f f d f ' ln ln ln ln ( ( ) = = ( ) ( ) = f ' ln = ( ) ln f f ' = = = = = g f ln dus f ' ln = h f ' + = + ln ln ) a D f =,, O, , ln > voor ln > dus > D -as is d vrtial asmptoot n d -as d horizontal asmptoot. d f ln ' ln = = = als ln = dus voor = Ht maimum is f, 7. = + = + ln + = + = + ln = ln ( ) + = + a F C F C f d F C = dus F C F C f f dus F ln C ln C = =

2 Etra ofning hoofdstuk a = dus A f = = = + p p p = d = = ( ) p = als = F A p f A p p = p + = ln + ( ) ( ) p = ln, d, 7 6a = = ln = ln ln = = = 7

3 Etra ofning hoofdstuk a t O 6 = t = dus t = of t = = = = = n (, 7 ). 7 n 7 D snijpuntn mt d -as zijn, 7 a 6 O Krpuntn: d = 6 sin t = voor t = k gft t = k n d = os t = voor t = + k. Binnn ht domin: t = n t =. Dit gft d krpuntn, n,. d d = os 6 sin 6 = = 6 d = gft t = k dus t =, t =, t =, t =. Dit gft d puntn:,, n,., ( ) 8

4 Etra ofning hoofdstuk a, =,, = = O, D kromm hft krpuntn als vn is. Wannr = wor d kromm: = + sin t = os t = os t = gft t = + k dus t = + k mt domin, 8 gft dat t = 8 t = 7 8, t = 8, t = 9 8 ( 8 ) gft, 76 ; gft, 76 ; t = 8 gft, ;, t = 8 Snijpuntn mt d -as zijn dus, t = gft, 8 ; 8, t = gft 8 (, 8; ). (, 8; ), (, ; ), (, 76; ) n (, 8; ). gft, 8 ; gft, ; gft, ; a Horizontal snlhid: d = os t ; vrtial snlhid: d = os t sin t. = v t Ht punt, d t + d d = + ( ) dus v os os sin,, krijg j voor t = n voor t =. D hlling van d raaklijnn: t = gft d d = os sin = os d d = os sin = os. n t = gft a hft priod = n hft priod =. D kromm hft dan priod want = =. sin t n sin t dus sin t n os t n os t dus + os t. D -oördinaat n d -oördinaat zijn dus id positif. J krijgt ht punt (, ) wannr sin t = sin t = t = k n wannr + os t = os t = t = + k of t = + k dus voor t =, t =, t = t = n. d J krijgt ht krpunt,, 7 dus d hlling in ht krpunt is dan ongvr d d = voor t = ( ) ( ), sin, 7 6 os, 7 9

5 Ofntots hoofdstuk n a H is d vrdulingstijd dus, H, = gft H = log, 8 dus H, 8 uur = u, 8 u, 8 gft = dus, 8u = n u, 6 Dan motn d tw formuls aan lkaar glijk zijn. t uh, = Maak van groifator, ook n j krijgt: t log, uh t log, uh ( ) = = t = uh. log, d t 6 O 6 8 t Wannr j d grafik van = tn opziht van d -as mt fator, 8 log, t vrmnigvuldigt krijg j d grafik van =,. Dz fator is glijk aan H. a f ' = ( + ) + ( ) = = + = = = f f ',, = = dus f ', sin os sin os = + = ln d f ' = ln ( ) = ln = sin os a Ht domin van f is >. Ja, ln staat alln als >. a a f a a a a ' ln a ln a ln a a d a ln + gft a ln + = dus = a = + = + = ( + ) = a a a D trm waard is f = ln = = a a. a Er is n minimum als a > n n maimum als a <. = dus a = a a a f D top is, a invulln gft = ln dus = a a a n dat is waar voor lk a.

6 Ofntots hoofdstuk n a Er is n horizontal asmptoot = p want qt als t. q Voor d rlaatitijd τ gl, 6 p = p τ dus, 6 = qτ n qτ = d Dan gl ln qτ ln, 7 = ln, 7 dus qτ = ln, 7 mt τ =. q dv = qp qt dan is voor t = : d v q = qp = qp n voor t = τ :, 7. dv qp q ln, 7 τ q q ln, 7 = = qp = qp =, 7qp Als d afglid wg s n funti is van t, dan is d afglid van s d snlhid. Zo is d primitiv van d funti v(t) wr d afglgd wg. p qt En primitiv van v( t) is V( t) = p t +. q Voor s( t ) gl dan dat t p qt p s( t v t t V t pt p ) = d = = + + t q = + = + ( q p qt p qt pt pt q q q ). a O = + sin t = als sin t = waaruit volgt dat t = + k dus t = + k t = gft, n t = n t = gvn 6 6 (, ) want = = Voor d krpuntn mot gldn: sin t = t = k n os t = t = + k. 6 J krijgt d krpuntn dus voor t = n t = > D krpuntn zijn (, ) n, d. d d = os ( ) ( ), 9 sin = ( ) + ( ) = + v t sin t os t dus v sin os, 6a = is d vrtial asmptoot n = is d horizontal asmptoot. = t t = t ( 8 t) = voor t = of t = 8 Voor t = staat nit n t = 8 gft = dus ht snijpunt mt d -as is (, ). = = dus t = t Voor t = gl = 8 dus ht snijpunt mt d -as is ( 8, ). d = t = voor t = dus r is n vrtial raaklijn in ( 8, ). d = = hft gn oplossingn dus d kromm hft nrgns n horizontal t raaklijn.

7 Ofntots hoofdstuk n = + = + = = = = 7a sin sin n os os Voor t = gaat d kromm altijd door d oorsprong. = sin t n =. D -waard loopt van tot n = dus ht is n lijnstuk op d -as mt ginpunt (, ) n indpunt (, ). O d D kromm hft vrtial raaklijnn als d grafik van f uitrst waardn hft. Mt d grafish rknmahin vind j als uitrst waardn van f:,76 voor t, 9 ;,7 voor t, 7 ; =,7 voor t, 7 n,76 voor t,. Ht invulln van d t-waardn in g lvrt d ijhornd -waardn op. J krijgt dan (, 76;, 89), (, 7;, 6), (, 7;, 6) n (, 76;, 89). D kromm hft horizontal raaklijnn als d grafik van g uitrst waardn hft. Dz zijn: voor t = ;, voor t, n t, 97 n voor t,. D kromm hft n horizontal raaklijn in (, ), (, ;, ), (, ;, ) n (, ). Ggvn is dat a ghl positif is. Als a is onvn gl ( ) = ( ) = dus door, Als a is vn gl. = n ( ) = dus door (, ). D kromm gaat dus door d oorsprong voor a onvn. 8a Voor t = gl d = os sin = n d = ( os ) =. t =, 78 d d d = os, 78, os, 78 sin, 78 d = os t = voor t = + k d = voor t = of t = Voor ht andr krpunt gl dus t = n dit is d = n d voor t = n t =. D kromm hft n horizontal raaklijn in (, ).,, ;,.

8 Etra ofning ij hoofdstuk a D D E C E C A B A B D irklogn samn vormn n volldig irkl mt straal. D gzamnlijk lngt van di ogn is dus. D lijnstukkn van d iso--lijn komn ovrn mt d lijnstukkn waaruit vijfhok ABCDE staat. Dz lijnstukkn slaan dus samn lngt van = 9 + n d lngt van d iso--lijn is ,. Voor gid G gl dat d iso- a -lijnn voor grot a stds rondr vormn aannmn n zlfs op dn duur god t nadrn zijn mt n irkl. Voor gid H gl dat d inhammn voor grotr a al snl vrdwijnn (ij d iso--lijn is dat laatst nog nit hlmaal ht gval) n dat d iso- a -lijnn stds rondr vormn aannmn. Ook voor H gl dat d iso- a -lijnn op dn duur god zijn t nadrn mt n irkl. a M V P V D onflitlijn is irkl mt middlpunt M n n straal di ht gmiddld is van d straln van d onntrish irkls in d opgav. Ht is duidlijk dat d onflitlijn nit (ghl of gdltlijk) innn d innnst irkl ligt n ook nit (ghl of gdltlijk) uitn d uitnst irkl. En punt P tussn d tw irkls hft votpuntn V n V, di alli op d halfrht van M naar P liggn. Wil P op d onflitlijn liggn, dan mot P middn tussn V n V liggn n dus is d onflitlijn n irkl mt htzlfd middlpunt M n mt n straal di ht gmiddld is van d straln van d irkls uit d opgav.

9 Etra ofning ij hoofdstuk Omdat virhok ABDE koordnvirhok is, gl ABD + AED = 8. Vrdr is AED + DEC = 8 n dus ABD = ABC = DEC. Dus: ABC = DEC ABC DEC ACB = DCE BC AB = = 6 6 EC = 6 EC = 6 AE = 6 = 8 n EC DE EC AC DC AB = = 6 6 DC = DC = 7 BD = 7 = DE DC a P Q R 6 A Hirovn zijn storn t/m 6 aanggvn. In stor, n komt d onflitlijn ovrn mt dln van d middlloodlijnn van rsptivlijk AR, AP n AQ. In stor n 6 komt d onflitlijn ovrn mt dln van paraoln mt randpunt A n rihtlijn PR rsptivlijk RQ. D onflitlijn ligt in ht ghl nit in stor : Daar ligt gn nkl punt dat vn vr van A als van ht drihokig gid PQR ligt. P Q U V S R T A J vin ij voorld punt S in stor door n votpunt U op PR t kizn n d loodlijn in U op PR mt d middlloodlijn van AU t snijdn.

10 Etra ofning ij hoofdstuk a U N B A D mtkundig plaats van middlpuntn N is d vrzamling van puntn waarvoor gl d( N, ) = d( N, B), d onflitlijn tussn n B uitn n is volgns d dfiniti n hprooltak. hft middlpunt B n n straal di glijk is aan di van. Vrdr is X = A. Nm d rihtirkl van n van d takkn, ij voorld. U M B A V D onstruti gaat als volgt: Tkn n irkl door A M dat pris middn tussn A rihtirkl ( ). Dit lvrt d puntn U rsptivlijk vnwijdig aan BU n B mt middlpunt n B in ligt. Snijd dz irkl mt d gkozn n V op. Trk nu d lijnn door punt M di n AV zijn n j ht d gvraagd asmptotn. S F T l U V D lijn door F vnwijdig aan rihtlijn l snij d paraool in S n T. Omdat d raaklijn in S FSU ( 9 ) middndoor dlt, voldot punt S aan d voorwaard. Voor punt T gl its drglijks.

11 Etra ofning ij hoofdstuk F D grfltrd lihtstraln lijkn hir uit ht randpunt t komn. a P l t F U R Laat n loodlijn nr van R op l. snijpunt mt l is U. D isstri van FRU is d raaklijn in R aan d paraool. Dz raaklijn staat loodrht op PF. V is ht snijpunt van l n PF. d l t V Q S P W T F R S is ht snijpunt van d lijn door V loodrht op l n d lijn door P loodrht FV. a V Q R r B A 6

12 Etra ofning ij hoofdstuk D rihtirkl mt middlpunt A hft als straal AR + RB = AR + RV = AV n dus ligt V rop. V r R Q B A d Laat R = α, dan is R = α (ovrstaand hok) n ook R = α (hok van inval is hok van trugkaatsing), dus ARB = R = 8 α. Omdat RV = RB, is BVR glijknig n gl: RVB = RBV. Omdat V + RBQ + α = 8 is RBQ = ( 8 α) = ARB. V R Q r A M B D irkl mt als middllijn d lang as van d llips hft n middlpunt dat pris tussn A n B ligt n n straal glijk aan AV. Bwzn mot dus wordn dat QM = AV. Volgt uit d glijkvormighid van d drihokn BMQ n BAV (zhz : B gmnshapplijk, BA = BM, BQ = BV ). 7

13 Ofntots ij hoofdstuk n a H S l m D onflitlijn staat uit tw gdltn van paraoln, d paraool mt randpunt H n rihtlijn l n d paraool mt randpunt H n rihtlijn m. Ht linkrgdlt staat uit puntn P mt d( P, l) = d( P, H), ht rhtrgdlt staat uit puntn Q mt d( Q, m) = d( Q, H), Punt S ligt op id paraoolgdltn n dus is d( S, l) = d( S, H) n d( S, m) = d( S, H) d( S, l) = d( S, m) n S ligt op d isstri van l n m. a h D iso--lijn staat uit stukkn. D iso-lijn staat voor ht rst uit 9 stukkn als d halv irkl in d inham (vrglijk d halv irkl h in d iso--lijn) grdurd is tot n punt. En dus is glijk aan d straal van d in gid G uitgspaard halv irkl. Dit is dus ( ) =. a Er is n vijflandnpunt omdat d middlloodlijnn van BC, CD, DE, EF n FB door één punt ( M ) gaan. Dit is n rhtstrks gvolg van ht fit dat d ntra B, C, D, E n F op n irkl liggn. 8

14 Ofntots ij hoofdstuk n C D H B M G F E Als j ijvoorld ntrum F vrplaatst naar n plk op d irkl di door d ntra B, H n G gaat, dan ontstaan r in ht Voronoi-diagram virlandnpuntn. a B A D onstruti gaat als volgt: Kis n punt V op d irkl. Tkn n halfrht vanuit A door V n snijd dz halfrht mt d middlloodlijn van VB. Ht snijpunt ligt dan op d onflitlijn. Dit volgt dirt uit d onstrutimthod. P ligt op d onflitlijn, dus d( P, ) = d( P, B) PA AV = PB PA PB = AV = B A s D gidn n B zijn smmtrish tn opziht van d lijn AB, d onflitlijn dus ook. 9

15 Ofntots ij hoofdstuk n a T F M F F M = F F = = 6 n MT = =. Mt d stlling van Pthagoras krijg j F T 6 = n d lang as is dus F T + F T = 6 = (alls in m). T F M F 6a En irkl raakt aan d innnkant van irkl. M ligt dan op één lijn mt A n ht raakpunt R dat tvns votpunt is van M op. Er gl d( M, ) = MR = straal = MB. Er gl d( M, ) = MB = d( M, B). Omdat d( M, ) = straal d( M, A) gl dus voor zo n middlpunt M dat d( M, A) + d( M, B) = straal (onstant), htgn pris aansluit ij d dfiniti van n llips mt randpuntn A n B. 7 F P m T S Q l W r V Tkn rst n aantal hulplijntjs: d smmtrilijn door F n T, d rihtlijn l op afstand FT van m, ht lijnstuk FP. Vrlng vrdr ht lijnstuk PQ n paal snijpunt V. Er gl FPS VPS ( ZHZ) : FPS = VPS (ignshap raaklijn), PS = PS n FP = VP ( P ligt op d onflitlijn). Hiruit volgt FS = VS. Vrvolgns is QSV TS F ( HZH ) : QSV = TS F (ovrstaand hokn), FS = VS, QVS = TFS ( Z hokn ). En dus is TS = QS n dlt d raaklijn in P ht lijnstuk TQ middndoor.

16 Ofntots ij hoofdstuk n 8a P F F a a S F F M T Bpaal ht middn M tussn F n F, tkn d irkl mt middlpunt M door F n F. Bpaal d snijpuntn mt irkl ( F, ) n nom dz S n T. Tkn nu lijnn door M vnwijdig aan F S n F T n j ht d asmptotn a n a. D asmptotn staan loodrht op lkaar als F S F T. Om t zorgn dat SF T = 9 mot ijvoorld F MS n -9- gradn drihok zijn n dus mot dan F M = F S sin = = n F F =.

17 Etra ofning ij hoofdstuk a os t = + sin t sin t = + sin t = sin t + sin t sin t ( sin t + ) = sin t = of sin t = t = k of t = + k of t = + k 6 6 os t = os t os t = os t os t os t = os t ( os t ) = ost = of ost = t = + k of t = + k of t = + k os t = os t os t = os t + os t = os t + os t = os t + sin t t = + = + ( + ) = + a Krpuntn: d = sin t = sin t = t = k t = k n d = sin t = t = k. Binnn ht domin: t =, t = n t =. Dit gft d puntn,,. n ( ) = = ( t )( os t) sin t os t sin t ( os ) os t = os t + t os t os t sin t sin t os = os t os t sin t os t = os t os t os t t = os t os t os t + os t = os t os t = d Wannr j n horizontal raaklijn wilt paln do j dat mt d d =. En vrtial raaklijn vind j door d = = gft = dus = d of =. = gft = = n = gft = = 8 8 D puntn mt vrtial raaklijnn zijn dus, n,. a = sin t dus = sin t = ( sin t os t) = sin t os t = ( os t) os t = os t os t = Voor ht domin mot gldn: ofwl dus D f = D opprvlakt van ht linkr gid is: d, 667,. Ht rhtr gid hft dzlfd opprvlakt.,.

18 Etra ofning ij hoofdstuk a d = os t sin t voor t = gft dit d = os sin = (dit volgt uit d smmtri van sin n os in d lijn = ). d = sin t + os t voor t = gft dit d = + sin os = Dus voor t = gl d = n d = n dat tknt dat r n krpunt is. D aansnlhid is: = v t d + t d = d ( os t sin t) + sin t + os t = os t os t sin t + sin t + sin t sin t os t + os t + ( + ) ( ) = + os t sin t sin t os t os t sin t + sin t os t = = + sin t + t sin 6t sin 6t sin 6t sin 6t. Dus voor d aansnlhid gl v( t) D aansnlhid is dus minimaal n maimaal.

19 Etra ofning ij hoofdstuk 6 = gft f ' = a f dus f '' = 6 f '' = voor = dus ht uigpunt is, = ' = g gft g dus g'' = g'' = als = dus = ln dus ht uigpunt is ln, ln 6 O + = gft ( ) ( ) = dus = of =,, gl: f = + = + ' = ' = voor =, ligt uitn ht intrval dus vrvalt., gl f = + = + dus f ' = + ' = voor = gft maimum Op f Op f dus f Dus f hft voor = n minimum, voor = n maimum n voor = n minimum. a Doortrkkn van d opstaand rin gft n piramid mt hoogt. Dan gl: PQ = h waaruit volgt PQ = ( h ) dus PQ = h h. = = Opprvlakt PQRS = PQ = h h h. Inhoud ABCD. EFGH = = 8. Of: Inhoud ABCD. EFGH = ( h) h = d ( h) = 8.

20 Etra ofning ij hoofdstuk 6 a O = als f = waaruit volgt = dus = of = 6 Inhoud omwntlingslihaam: 6 6 = + d ( 6 8 ) d = = 8 + ( ) = = , a = os t = os t = L = + d, 6 L is n irkl mt straal dus d lngt is = 8 6a f = dus f ' = = + D lngt van d grafik is: = = = L d d d = = g = os dus g' = sin ( ) = + L = + sin d sin d D lngt is: L, 9.

21 Ofntots ij hoofdstuk n 6 = + = ( + ) ( ) = a f os = sin os os = sin os f = + = + ( sin os sin os = sin = = + k = k of = ; = ; = ; = ; = ; = ; = a + 6 = = ( + ) ( ) = 6 + = = ( ) ( + ) = = of = f = + 6 ( + ) dus f ' = 6 ( + ) f of 6 dus = 6 of = 6 ' = als ( ) = + = + = Uit n plot volgt dat f n minimum hft voor = 6. D opprvlakt ligt ondr d -as dus opprvlakt = d 6, 7. a O os t sin t = ( + sin t) = + sin t sin t = sin t = ( ) () n () gft = ( ) = + dus d grafik van d kromm is n dl van n paraool. = = 6

22 Ofntots ij hoofdstuk n 6 = + sin t = os t Krpuntn: d = 6 os t = gft t = + k dus t = + k n 6 d = sin t = gft t = k dus t = k. Binnn ht domin gft dit t = n t =. D kromm hft priod n wor: = + sin t = os t Ht punt (, ) krijg j voor t = n t =. Hlling voor t = : d t d = t = sin sin = =. 8 8 os 8 os D raaklijn in (, ) wor dan: =. Hlling voor t = : d d = sin = =. 8 8 os D raaklijn in, = + wor dan:. a Inhoud ij wntln om d -as is: d. ( ) = = 6 8 = 8 = = = = f = D inhoud: d d, 8,. Bij wntln om d -as krijg j als inhoud ( ) d = 6 = 6 =. = + a + os d sin = + sin = = + + = + + = os d os os d os os + ( os os ) = sin + sin + d = = Hirij wor gruik gmaakt van d formul os = os dus os = os +. d 6a 6 O 6 7

23 Ofntots ij hoofdstuk n 6 d = os t os t = os t os t = 8 os t + os t + = os t os t = ( os t + ) ( os t ) = ost = of ost = innn ht domin: t =, t =, t = of t = t = gft = = sin sin = t = gft = = sin sin = t = gft = sin sin = n t = gft = sin sin = Dus. Voor t = krijg j ht punt, d kromm raakt d -as in ht punt, n dan gl: d d. = os os = = dus d os D puntn op d kromm waar d raaklijn vnwijdig loopt aan d -as: n t = t = gft ht punt, gft ht punt, n natuurlijk in (, ). D puntn op d kromm waar d raaklijn vnwijdig loopt aan d -as: gft ht punt (, ) n t = d = os t = dus t = gft ht punt,. d = sin t sin t sin t sin t waaruit volgt dat = ( ) = sin t = ( sin t os t) = sin t os t ( 6 ) = 6 sin ( 6 6 sin ) = 6 sin 6 ( sin t) = 6 sin t os t ( ) ( ) = t t t Uit () n () volgt dat lk punt van d kromm voldot aan 6 ( 6 ). = ( ) = 7a Opprvlakt B = + d = L = + d, Gid B wntln om d -as gft: = + inhoud B d d + = ( + + ) = ( ) + = + d Gid C is d rhthok grnsd door d -as, d lijnn =, = n = +. Gid A wntln om d -as gft: inhoud A = inhoud ilindr (C) inhoud (B) = ( ) ( + ) = ( + + ) +. = +. 8

24 Ofntots ij hoofdstuk n 6 = + = = 8a f ln ln gft ln ln + dus ln = of ln = ofwl = of = = = f ' ln + ln + ln = ln + ln ln = ln f ' = ln = als ln = dus ln = of ln = ofwl = = f of = + = n f + = = + O Voor gl f d f '' dus B = f, = ( ) = = gft ( ln )( ln + ) = ln ln 8 = 6 ln + 6 ln = ln ln 6 f '' ln ln ln = of ln = ofwl = = f + = = D uigpuntn zijn dus, n f of = dus = ( ) n,. 9