Hoofdstuk 2 Limieten toepassen

Transcriptie

1 Hoofdstuk Liit topass. Covrgti ladzijd a Er ot gld dat u > u dus u u >. u u ( ) >, wat ( ) ( ) ( ) u adrt aar voor Uit, 999 volgt dus vaaf zij d tr grotr da,999. a ( ) voor dus u D klist is u d grootst is u., 9 < <,, < <,, < ( ) <, < ( ) < >. d, 9999 < <,, < <,, < ( ) <, < ( ) < >. ladzijd a < < < < < < u > log > 6, 6 7. D rij ovrgrt u a Als gldt U <,.. u < 6 gft > dus >, is ghl dus a u adrt aar voor is v adrt aar voor is ov. N, wat u adrt it aar éé vast waard. N, wat w sholt stds tuss. 6a Als da adrt f aar ul. u is ovrgt wat si 9

2 Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass 7a r All ovrgrt wat ( ). S u u... u r r... r... ( ) d S r S k k k k, 999. gaat aar oidig dus S ovrgrt it. a N, dit gldt it voor ijvoorld u. ( ) ( ). N, dit gldt it voor ijvoorld u d 9a N, dit gldt it voor ijvoorld u. Ja, wat di ostat is da atuurlijk d itwaard.. Stadaardit ladzijd 6 Als da q. D rij q ovrgrt it. D rij q ovrgrt it. Als da r dus rij r ovrgrt. a q, ; q, 7 ;, dus q lijkt aar ul t adr als. q y 6 g f D grafik va g stijgt op d duur sllr., wat d or gaat sllr aar da d tllr. q

3 a y h g 6 6 Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass I d grafik is t zi dat all rij u ovrgrt. h, (, ),, Rij w hft g it odat zowl als, oidig groot word voor. ' gft f '( ) a f dus y is d vrglijkig va d raaklij. I d uurt va vall d grafik d raaklij ija sa. Uit opdraht volgt dat i d uurt va gldt: h h da d h ( h) h h h h dus N h h da gldt h h h ladzijd y u w ( h) h Bid rij lijk it t h.. (zi ook opdraht ) (dit is d twd stadaardit),,

4 Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass a d 6a (, ) 9, 7 uro, dus toa t,97%., 9, uro, dus toa t,9%. D toa pr dlpriod t tijdsduur is %, dus d groifator is d 7a,, voor éé dlpriod,,,,.. Rkrgls voor it ladzijd U V ( ), ovr ht ghl jaar.,, ( ) U V U V a Bid wrig zij juist., 99, 99 ( ) ( )( ) ( ) ( ) d 9

5 ladzijd 9 Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass 9a Als U V da is U V. a Als U V U da is. V U U U U U U,,, 76, 9, 6 U, a Dl d tllr d or door. 6 a D tllr adrt tot d or tot dus d it staat it. ( ) d f a ( ) 6

6 Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass. Futis it ladzijd a Ja, wat F, 9, 67, 6 F. Tpratur i grad Clsius uit ht itrval, ;,. a E likrogvig va a is itrval va d vor a p, a t p >. a tkt dat aar a adrt trwijl < a 6a Itrval ;, is ht ld va U. Ht lditrval va dz grdurd ogvig is ;,. f als f als d f als f als ladzijd 7a Ht doi va f is,,. f ( ) ( ) ( ) its () V, 96; ;, () V, 9996; ;, a Di ld zij gtall uit grdurd ogvig va. N, wat f. f 9a J kut all aar voor rhtrogvig va kiz odat ht doi va f glijk is aa,,. f f ( ) f f. Cotiuïtit ladzijd a Ht rik staat uit all ghl gtall ofwl Z. N, wat f f. Op itrval, 99; is ht ld op itrval ;, d f f ( a) als a g ghl gtal is. a is ht ld.

7 a f vor ht rik. Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass voor > f voor < > wordt afgld op < wordt afgld op. d D ld zij. f wat f f wat f ladzijd h voor < h a a voor > Als h otiu is i da zij d likr- rhtrit glijk, dus gldt a dus a. dus a () f () f a dus a () f hft g ulput dus ot d grafik va f dalparaool zij dus a >. () Uit () volgt dat f otiu ot zij i dus a 9a waaruit volgt dat 9a Uit () () volgt a. Dus a,. a y 6 6 D vrtial lijtjs ot wg odat r voor ghl gtall stds sprog i d grafik t zi is. ( ) f f it f it d 7 < it < f it > dus f f f voor lk. dus f is it otiu i f is it otiu als is ghl gtal. (f is wl otiu i ) f Voor is f wl otiu.

8 a Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass.6 Diffrtiraarhid ladzijd f f h f h h h h h h h h h f staat it als h f f h it htzlfd doi. Ht doi va f is R ht doi va f is,,. f f 6 D it staat dus f is diffrtiraar i. f f a 7a ( f f ( a) ) ( a) f '( a) a a a a Uit f f a a ( ) volgt dat f f a f a a a f dus f otiu i a is wl otiu i aar zkr it diffrtiraar i odat ( ) ( ) dus f '( ) staat it. f f ladzijd f f a f f 7 7 dus f f L ( ) R f ' f ' ( ) f ' f ' dus f ' f ' D grafik hft i kikput. 9 Uit f ' f ' Uit f ' f ' volgt a dus a () volgt a dus a () Uit () () volgt a () D futi is ook otiu i dus a f dus a (wat ) () Uit () () volgt a. Dus a,. 6.

9 a.7 Ggd opdraht ladzijd 6 Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass its wat f hoort it tot ht doi va f d f a f ' 6 ( ) ( ) a is ht hlligsgtal uit opdraht a lijkt dat d hllig adrt aar. ( ) volgt f ( ) dus ( ) Uit f f a Ht doi va f is R. N, wat f f ' staat it. f d D likr afglid waard staat it i. N, wat f ' staat it voor. f a f D grafik va f lijkt voor grot waard va stds r op rht lij t hlligsgtal. ladzijd 7 si als si dus kπ ( k Z k ) ( k Z k ) kπ is ook ulput odat f ( ) 7

10 a Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass si α α α y is d horizotal asyptoot d Odat si si si gft si dus si f Ja, wat f f ( ). f f si ( ) g N, wat si staat it. g g g' ( ) dus g' g a f f ' dus g' f ' f os f ' si f ' f l f ' 6a f f f f f ' ( ) dus f ( ) f ( ) ofwl f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( a) f ( a) ( ) ( ) ( ) f f a a f a f a f a f a f f a f f a f f a d Kis a. Als a da. ( ) ( ) ( ) f a f f a f a f f ( a) f f a f f a a a a a a f f a a dus f otiu voor lk waard va a R. ladzijd 99 T-a u 9, 99 u 999, 9999 u, D rij ovrgrt aar. Vaaf ligg d tr va d rij i ht itrval, 999;,. dus

11 T-a ( ) Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass ( ) ( ) T-a,, staat it T-a ;, ; T-a,, y 7,, ( ), 7, f is it otiu voor vlvoud va ladzijd halv i. T-6a D futi f is otiu voor f f f a a () 6 f is otiu voor f f f ( ) a a 6 () () () gft a a 6. f is diffrtiraar voor als f ' f '(). L R (( ) ) ( ) f ' ( ) 6 f '() f '() f is it diffrtiraar voor. L R f ' ( 6 ) f is diffrtiraar voor als f '( ) f '(). L f ' ( 6 ) f '() f '() f is it diffrtiraar voor. L R f ' ( ) 6 R 9

12 Modr Wiskud Uitwrkig ij vwo D dl Hoofdstuk Liit topass T-7a f f f π si π f π si π π ( ) π si si si d si si si dus f it diffrtiraar i T-a Ojuist, d grafik ka ijvoorld prforati h voor a. Juist. Ojuist. si als Kis f. als d T-9a. Op ladzijd 9 zi j dat f ' Maar f ' si os daarvoor gldt dat f ' Juist. it staat. a dus f a, is otiu voor lk a R. Uit a volgt a. f a, is diffrtiraar voor a R.