Blok 1 - Vaardigheden

Transcriptie

1 0 bladzijd 8 a ( ) 0 als 0. Dz vrglijking gt ( ) 0 n dus 0 o. b + 0 als, dus d vrtical asmptoot is. c D graik mot naar rchts gschovn, dus vrvangn door + gt ( ) ( ) g( ) ( ) d D graik van g ht d nulpuntn van maar dan naar rchts, dus n 4 g( ) D graik van g wr trugschuivn door lk t vrvangn door +. g ( ) ( + ) Als groot wordt, positi o ngati, wordt d bruk in ht voorschrit van hl klin, dat wil zggn vrwaarloosbaar tn opzicht van d rst tw trmn in ht voorschrit. Dus d schv asmptoot van d graik van is. a Als n grot positiv waard is, is dat nog vl mr. (Dnk aan d graik van.) Dus d bruk lvrt n hl klin positi gtal op. b Als ngativ waardn vlak bij 0 aannmt, ht waardn nt ondr. Dit btknt dat ngativ waardn vlak bij 0 aannmt. Ht blijkt, door bijvoorbld 0, 00 in t vulln, dat tllr n nomr ongvr vn snl naar 0 gaan. D bruk ht dan waard. c Bij opgav a is brdnrd dat voor grot positiv waardn van d bruk in ht unctivoorschrit n hl klin positi gtal oplvrt. Van ht voorschrit blijt dus alln d rst trm ovr, dat wil zggn d graik lijkt voor grot positiv waardn van stds mr op d lijn. d D graik is smmtrisch in d -as als gldt ( ) ( ). ( ) ( + ) ( ) + + ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) Conclusi: d graik is smmtrisch in d -as. Als n grot ngativ waard is, is n hl klin positi gtal. (Dnk aan d graik van.) Dus d nomr lvrt bijna op, waardoor d bruk als ghl oplvrt. Van ht voorschrit blijt voor grot ngativ waardn van dus ovr. Noordho Uitgvrs bv Noordho Uitgvrs bv

2 Bij opgav b is brdnrd dat als ngativ waardn vlak bij 0 aannmt, d uncti zl d waard ht. Als positiv waardn vlak bij 0 aannmt gldt htzld. D graik van ht dus gn vrtical asmptoot, maar als ht war n gaatj voor 0. bladzijd 9 a g( ) ln( ) ln + ln + ln (want > 0 ), dus d graik van g ontstaat door d graik van vrticaal t vrmnigvuldign mt actor n omhoog t schuivn. h( ) ln ( ln ln ln ), dus d graik van h ontstaat door d graik van vrticaal t vrmnigvuldign mt actor n omhoog t schuivn. b g( ) h( ) gt ln ln ( ), waaruit volgt. Dit gt, hiruit volgt n dus. D coördinatn van ht snijpunt van d graikn van g n h zijn (, ). c g in horizontal richting vrschuivn gt k( ) + ln( + c). k door (0, 0) dus + 0 ln c ln c c. Dit gt k( ) + ln( + ) mt D k,. d m( ) g( ) + h( ) + ln + ln + ln, dus d graik van m volgt uit di van door d graik van tw omhoog t schuivn. l( ) g( ) h( ) ( + ln ) ( ln ) ln, dus d graik van l volgt uit di van door d graik van vrticaal t vrmnigvuldign mt actor. 4a b O Noordho Uitgvrs bv 0 0 ( ) ( ) ( ) Noordho Uitgvrs bv

3 c d 0 O 0 0 Om ht domin van v t bpaln ondrzok j voor wlk waardn van gldt ( ) 0. Mt bhulp van d graik van opgav a vind j ht domin <. ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) n ( ) ( 4) 6 4 v( ) ( ) a ( ) v ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) v ( ) bstaat nit (vanwg dling door nul). D hlling gaat naar +, d graik van v ht hir n vrtical raaklijn. Ht snijpunt mt d -as is ( 0, ). D ormul voor d raaklijn is a + b mt a v ( 0 ). v ( ) ( ) n dus v ( 0) ( ) 0 0. Dit gt + b. Om b t bpaln vul j ht punt ( 0, ) in: 0 + b, dus b. D ormul voor d raaklijn is dus +. Ht randpunt van d graik van v is (, 0 ). Invulln van d -coördinaat in d ormul voor d raaklijn + 0 lvrt indrdaad d juist coördinaat. Conclusi: d raaklijn aan d graik van v in ht snijpunt mt d -as gaat door ht randpunt van d graik van v. D uncti is n quotiënt mt in d nomr nog n quotiënt. Voor bid quotiëntn gldt dat d uncti nit bstaat als d nomr glijk aan nul is. Dat wil zggn als ln 0 o als + 0. D rst vrglijking lvrt n d ln twd vrglijking lvrt achtrnvolgns ln, ln n dus. Ht domin is dus: D 0,,, Noordho Uitgvrs bv Noordho Uitgvrs bv

4 b Als 0 dan gaat ln dus 0 ln. Hiruit volgt dat + ( ). ln D graik nadrt dus naar ht punt (0, ). c Voor ht d graik wl n vrtical asmptoot want dan gaat + naar 0. ln d 6a Voor ht d graik gn vrtical asmptoot: d graik loopt door n ht als ht war n gaatj. Als n waard nt ondr ht is ln bijna 0, ln hl groot n dus bijna 0. Als n waard nt bovn ht is ln bijna 0, + ln ln hl groot n dus bijna 0. Links n rchts van ht d graik dus + ln bijna dzld waard. Als hl groot is, is ln ook hl groot, Noordho Uitgvrs bv ln bijna 0 n dus bijna. D + ln graik ht dus n horizontal asmptoot. D uncti g is nit dzld uncti als, omdat d uncti g voor wl bstaat, trwijl d uncti voor dz -waard nit bstaat. Dus D g 0,, bladzijd 60 Als d graik van h d -as snijdt o raakt, mot gldn h( ) 0. h( ) 0 als sin 0, dit gt sin n dus sin. Dz vrglijking ht gn oplossing, dus d graik van h snijdt o raakt d -as nit. b h( ) sin sin sin sin sin sin c sin. Wannr 0 < sin dan is sin sin sin sin Wannr sin < 0 dan is. sin sin sin sin Dus gldt h( ) o h( ). d D waard van p gt aan mt wlk actor d uncti sin vrticaal vrmnigvuldigd wordt. Om d maima van d uncti h nit t rakn/snijdn mot gldn < p <. 7a b log log g( ) log log log log g( ) 0 als log 6 0. Dz vrglijking gt log 6, waaruit volgt log n dus 4. c Wannr log g( ). log log Dus d horizontal asmptoot is. d Ondrzok o d nomr van d uncti g n nulpunt ht: log 0 als. D graik van g ht dus n vrtical asmptoot. Noordho Uitgvrs bv

5 4 Als n hl klin positi gtal is, is log n groot ngati gtal n 6 log dus hl klin. In d buurt van 0 komt d uncti g dus in d buurt van. D graik nadrt dus tot ht punt (0, ). 8a Ht domin van g is 0,. b g ( ) ln + ln +, g ( ) 0 als ln n dus als. D uncti g ht n minimum voor. Omdat g( ) ln n g( ) 0 ht d uncti g op ht intrval 0, brik 0,. c All waardn van g wordn gkwadratrd om d waardn van h t krijgn. Dus d uncti h ht op ht intrval 0, brik 0,. d ( ) 0 als d tllr van glijk aan nul is: 0, dus d graik van ht gn nulpunt. Als hl groot is, is d uitkomst van d uncti h hl groot n is d uitkomst van d uncti dus bijna nul. D graik van ht dus n horizontal asmptoot 0. Ondrzok o d nomr van d uncti n nulpunt ht: h( ) 0 gt ln 0, waaruit volgt 0 o ln 0. D rst vrglijking gt n oplossing di buitn ht domin van h valt n d twd vrglijking gt d oplossing. D graik van ht dus n vrtical asmptoot. 0 < < g( ) < 0 0 < h( ) ( g( ) ) 0,4 0, 0,O 0, 0,4 Omdat ( ) gldt dat als h( ) 0 ( ), dit gburt als 0 n als h( ) Vrdr gldt dat h( ) ( ). Dus ht d graik van op ht intrval 0, tw vrtical asmptotn n n minimum. Maak schtsn van achtrnvolgns d uncti g, h n op ht intrval 0,. 0, 0, 0, 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 g Kwadratrn van dz uncti lvrt n omgklapt graik, waarbij d absolut waardn klinr zijn. 0,4 0, 0,O h 0, 0, 0, 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 0, 0,4 Noordho Uitgvrs bv Noordho Uitgvrs bv

6 9a Ho klinr d waard in bovnstaand graik, ho grotr d waard in ondrstaand graik. 0 0 O Noordho Uitgvrs bv bladzijd O , 0,4 0,6 0,8 v En brgparabool. b D tllr in d ormul voor V is n constant. D nomr in d ormul voor V ht n maimum (zi d graik bij opgav a). Dus ht quotiënt ht n minimum, dat wil zggn d graik van V ht n laagst punt. c Ht maimum bpaln van d graik bij opgav a lvrt T 7,. d Ho klinr d nomr, ho grotr d vrdubblingstijd.voor T 40 ht d nomr n grotr waard dan voor T 4 (zi graik bij opgav a), dus voor T 4 is d vrdubblingstijd grotr dan voor T 40. D groi is ht snlst als d vrdubblingstijd minimaal is. D vrdubblingstijd V is minimaal als d d nomr maimaal is, dat wil zggn als T 7, (zi opgav c). Noordho Uitgvrs bv

7 0a > + 0 > 0 < < 0 < < 0 < ( ) < + + b D trm is dalnd, d nomr + is dan ook dalnd, dus ht quotiënt 6 is stijgnd. + c D nomr van is onglijk aan nul voor lk waard van, dus d graik ht gn vrtical asmptoot. D tllr van is onglijk aan nul voor lk waard van, dus d graik ht gn nulpunt. d D horizontal asmptotn van d graik van zijn 0 n. a 4 O 4 ( 0), dus ht snijpunt van d graik van mt d -as is ( 0, ). b ( ) + ( + ) 0, dus ( ) 4 ( + ) ( ( + ) 4 4 ( + ) ( ) 4 ( + ) + ) n dus 8 ( + ) + 6 ( + 4 Als ( 0, ) n buigpunt van d graik van is, mot gldn ( 0) 0. Invulln laat zin ( ) 6 ( 0) ( + ) Conclusi: ht snijpunt van d graik van mt d -as is n buigpunt van d graik van. In d nomr staat n kwadraat, dus d nomr is altijd positi. In d tllr staat d trm, dz trm is voor lk waard van positi. D tllr als ghl is dus ook positi. Conclusi: ht quotiënt is altijd positi, dus d graik van d uncti ligt bovn d -as. 0 ± 0 Dus ( ) is horizontal asmptoot. Noordho Uitgvrs bv ) Noordho Uitgvrs bv

8 c Als 0 dan dus, dus vrtical asmptoot Wannr 0 dan Omdat nu d tllr n d nomr bidn 0 naar 0 gaan, kun j nit dirkt zggn wat d bruk gaat don. En tabl kan duidlijk makn wat r gburt. Hl dicht in d buurt van 0 gaat d graik van bijna horizontaal richting 0, dus naar ht punt (0, 0). d F ( ) ( ) Noordho Uitgvrs bv D opprvlakt ( ) d, 6 0, 0,0 0,0 0,00 ( ) 0,07 4, 0 6, D uncti g ht dzld -waardn als di van, alln vind j z bij andr waardn van : d -waard van d uncti bij d waard, vind j bij d uncti g voor d waard. D top van d graik van g ht dus d coördinatn Q, 0 ( ) Noordho Uitgvrs bv 7