Uitwerkingen H9 van vwo B deel 3 Exponentiële functies en logaritmische functies

Transcriptie

1 Uitwrkingn H9 van vwo B dl Eponntiël functis n logaritmisch functis. y log( + 5) y log() + log (5) n y log (5) Uit d tabl blijkt dat y n y htzlfd zijn. log() + log(5) log(5) Vor in : y log( 5) ; y log() log(5) n y log 5 Ook hir zi j dat d functis y n y glijk zijn log() log(5) log 5 c. Vor in : y log( ) ; y (log()) n y.log() Opmrking : d y n d y hb ik vrwissld i.v.m. d kolommn in d tabl. Nu zi j uit d tabl dat d kolommn y n y htzlfd zijn. log( ).log()

2 . log(6) + log(0) log(6.0) log(60) log(0) log(6) log log(5) 0 6 c log() + log(0,5) log + log(0,5) log(9.0,5) log(,5) d. 5 log(5). log() log(5) log log 8.. log(6) + log() log(6 ) + log() log(6.) log 6 log(50).log(5) log(50) log(5 ) log log() 50 f log() log + log() log(6.) log(8) ( ) log(0) log log(0) log log log 5 log(0 ) log(5) log log(0) c. 00 d. 5 log() log(9) log() log() log() log log(). ( ). log(6) log(8) log 6 log log() log ( 7 ) log() log log log f. log(500) log(5) log(500) log(500) log(000) log 5. log(6) + log log 6 log(9) log() log(50) log log c. d log(7) + log log(7) + log log log log(6). log() log(6) log() log(6) log(9) log()

3 g g log( a) g a g g log log( a) log( b) g a b g g log( b) log( a) log( b) log g b b g g n g n log log log( a ) 6. g g a g n log( a) log a g g g a n a a n g g n + log() log + log() log() log( + ) + log() log( + ) log() + voldot ( ) 5 log. log(). log() log log log ( ) log( ) log 8 9 voldot!! log log() log log log() log log voldot. 6 6 c. ( ) log( + ) + log log( + ) log + log( ) log( + ) log(8 ) voldot 7 d. log + log( + ) log log() + log( + ) log log(+ ) voldot nit!!! 8 5 ( 5 ) 5.log 5 log(5) log log(5) log log(0) log 5 0 log log0 log 5 log log ( 5 ) voldot. ( ) log( ) + log( + ) log( ) log + log( + ) log( ) log.( + ) voldot 7 c. log( + ) log log( + ) + log log() log( + ) log() ( + )( ) 0 - (voldot nit) voldot. d. ( ) ( ) 9. log + log(5 ) log + log() log(5 ) log log(5 ) D (-5) voldot voldot. 6 6

4 log ( ). log() log log 5 log 5 5 log log ( 5 ) 5 voldot. + + log( + ) +. log( ) log( + ) + log() log( ) log(+ ) log( ) + ( ) ( 8)( + ) 0 8 (voldot) - (voldot nit) c. d. log log( + ) log log + log( + ) + log log + log() log( + ) + log log(8 ) log( + ) ( 5) 0 5 (voldot) 0 ( vrvalt) log log( ) log + log( ) log(9) log( ) log(9) D voldot vrvalt. 0. Ggvn : ( ) log. log 8 0 log p p p 8 0 ( p )( p+ ) 0 p p Uit a volgt log log 6 (voldot) (voldot). log() log(),6 n log() log() log() log -,585. c. log( 5) + log( ) 0 log( 5) log( ) 0 log( 5) log( ) 5 (voldot) log +. log 0 log. log 0 log log( ) - 0 ( ) 0 0 (vrvalt) (voldot). log(+ 5) log(+ 5) log(+ 5) 0 0,5 (voldot) + 5 0,5 voldot ook.

5 5 d. log. log + Stl log p p p + p p 0 (p )(p + ) 0 p p - log( ) 8 (voldot) (voldot) log( ). log log. log log() log log log( ) ( )( + 6) 0 (voldot) -6 ( voldot nit) 9 log log( ) log log( ) log log( ). log(9) log().log() log() log() log( ) ( ) ( 8)( ) 0 8 (voldot) (voldot nit) c.. log( ) +. log( ) 0 log( ).(+ ) 0 log( ) (voldot) -0,75 (voldot nit) d.. log ( + ) +. log( + ) 0 log( + ). log( log( + ) 0 log( + ) (voldot) 6 (voldot). log( + ) log( + ). log( + ) log( + ). log( + ) + log( + ) 0 log( + ).(+ ) 0 log( + ) (voldot) - (voldot) log(+ ) + 9. log(+ ) 0. log(+ ) 9. log(+ ) 0 log(+ ). 9 0 log(+ ) (voldot) (voldot) - (vrvalt) c.. log 5. log + Stl p log p + 5 p p 5 p+ 0 D ( 5) p p p p log log 9 voldon allbi.

6 6 d log +. log + 0 log. log + 0 Stl 5 log p p -p + 0 (p )(p ) 0 p p 5 log( ) 5 log( ) 5 (voldot) 5 (voldot) 5. 7 log(7) want log(7) 7 6. Ggvn: Stl +. 8 p p p 8 p p 8 0 ( p )( p ) 0 p p (voldot nit) (voldot) Stl p p p p p p p 8 0 (p )(p + ) 0 p p - - (voldot nit) log() Stl p 5 p 6 p 6p 5 p 6p+ 5 0 ( p 5)( p ) 0 p p 5 p 5 log(5) 0 voldon c Stl p p p 0 (p )(p + ) 0 p p - - (voldot nit) log() voldot d Stl p ( 8)( 6) p + p p + p p+ p p p -8 (kan nit) 6 log(6) voldot log(0) + log(0) +. log(0), log log ,8

7 7 c Stl p p p 6 0 D..(-6) p p ( kan nit) log( + 7),8 d Stl p p+ p p+ 0 p p p ,9 5 log -,9 log log(60) Stl 5 p 5 5 p+ p p+ p 0 p + p 0 0 ( p )( p+ 5) p p (kan nit) 5 log() voldot. c. d Stl p 5 p p 8p ( p 5)( p ) 0 p 5 p p 5 log(5) (voldon) Stl p 8 p 8 + p + p p p D 7 <0 gn p-oplossingn p gn -oplossingn. 0. Ggvn: f() + T (,0) + f() V,8 as y 8. y. f log(8 )

8 8 V y as, 8 y log y log(8 ) y log(8 ) log + log(8) log + T (0,) y y log log +. T (5,0) 5 y y En vrmnigvuldiging t.o.v. d -as mt factor gft dus htzlfd bld. + V as, y y. Nu gldt: y.. En translati T(-,0) gft dus htzlfd bld. c. d. V y as, y log y log Nu gldt: y log log + log() log + 5 i.p.v. Vy-as,/ kun j ook n translati T(0, 5) nmn. T (0, ) y log y log + Nu gldt: y log + log + log ( ) log + log log ( ) I.p.v. d translati T(0, ) kunnn w ook V y-as,0,5 nmn.. Ggvn f log T (,0) y log g log( ) Zi d figuur. c. Als r zo n vrmnigvuldiging is dan is ht d vrm. t.o.v. d y-as mt factor want dan gaat (,0) naar (,0) Ht punt (,) gaat zo t zin naar (5,) n dat is dus gn vrm. mt factor. En vrtical translati is uitgslotn want d puntn mt -waardn tussn 0 n hbbn gn bld di afgbld wordn op d grafik van g. y f g

9 9 d. V y as, log log( ) g h q n p -0,75 Nu gaan w h andrs schrijvn h log( ) log ( 0, 75) log() + log( 0, 75 + log( 0, 75). Ggvn c. f ; g. V, as. f n h g V -as, g.. T (,0) f g h V y as, D translati (,0) f h V y-as,-0,5 d. Erst d wgwrkn n dan volgns ondrdl c afbldn.. V, V as y as, g. y h zi ook ondrdl c. T (,).. g y + y a 8 n b 5. f n g 8 6. f n g snijdn mt d lijn A(, - ) n B(, 8 ) A(, ) n B(, 6) AB 6 0,5 5,5 6 5 log 6 S Links van ht snijpunt S kan d afstand nooit mr dan 8 zijn. Alln rchts van S wordt d afstand stds grotr. c. Dit kan als 0 < a < 8 is. 7. f n g

10 0 Snijpunt ,5 log(,5) y A,5 log(,5); 0,5 Ht snijpunt A is W gaan rst n plot makn van bid grafikn W zin dan n H.A. y - bij f() n n H.A. y bij g() Ht lijnstuk mt lngt 6 mot dus rchts van ht snijpunt A zijn. f(p) g(p) p p 9 p p p p p 8. Ggvn f log( ) n g log( + 5) Voor D f mot gldn : > 0 - > - < D f <, > Voor D g gldt : + 5 > 0 > -5 D g < -5, > Nu f() g() Erst wr n plot van f n g. Nu ht snijpunt. log( ) log( + 5) In d figuur zin w dat f ondr g ligt rchts van ht snijpunt. Dit is ht gval tot d V.A. / D oplossing is : - < < / c. Nu hbbn w moglijkhdn:. f(p) g(p) voor p - of. g(p) f (p) voor p -. log( p) log( p+ 5) log( p) log( p+ 5) + log(9) log( p) log(9 p+ 5) p 9p + 5 -p p - voldot. log( p+ 5) log( p) log( p+ 5) log( p) + log(9) log( p + 5) log(9 7 p) p p 8p p 7 voldot 9. Ggvn d functis + f( ) n g. +

11 Snijpunt Stl p. p. + p + p 9p p 0 p p 0 p D p p p p 6 6,5 ) log() dan y 9.,5 ) Als dan krijgn w gn oplossing. Erst wr d grafikn. Zi d figuur. W krijgn wr moglijkhdn f(p) g(p) of g(p) f(p) p+ p Vor in : y. + n y Mt intrsct vindn w p,085 of snijpunt (,5 log();,5 ). p p Vor in y. + y Mt intrsct vindn w p -0,7 n B 0. f log( ) n g log Er gldt vanuit ht ggvn: A + 6 B n A p B p + 6 f(p) g(p + 6) want y q is horizontaal n dan zijn d y-waardn htzlfd. log( p) log( p+ 6) p p+ 6 p 6 p c. Omdat in punt A gldt dat f(p) q. q f() log(8). f log n g + log( + ) : lijn y q ligt bovn ht snijpunt n stl g(r ) q f(r + 8 ) q 9 + log( r+ ) log(( r+ )) log + log( r+ ) log( r+ ) ( ) ( ) log r+ log r+ r+ r+ r+ 8r+ 9 7r 7 r voldot

12 q + log( + ) + log() : : lijn y q ligt ondr ht snijpunt n stl f(r ) q g(r + 8 ) q log( r) + log( r+ 8 + ) log( r) log + log( r+ 8) log( r) log ( r+ 8) 5 5 r r+ 6r 8r+ 5 56r 5 r voldot log log q Total oplossing : q of 5 log 8. Aangzin d afstand van d vrtical asymptotn is kan r dus links van ht snijpunt gn horizontaal lijnstukj zijn mt lngt. slchts één waard van q. Dirct volgt uit ondrdl a dat gldt : 0 < a <.. Ggvn f( ) n g 8 Erst wr d grafikn bkijkn. Zi d figuur. W zin dat r moglijkhdn zijn: ) Stl A (p, f(p)) B( p+, g(p+)) f p p p p p p Vrdr gldt dat f(p) q q p p+ p p g( p+ ) ) Nu A (p, g(p)) dan B(p +, g(p+)) p p+ p p p p g( p) f( p+ ) p q. Ggvn : f() log Snijpunt: ( ) n g log( + ) log( ) log( + ) log( ) log( + ) log log( + ) log() log() log() log() log( ) log( + ) log( ) log( + ) log( ).log( + ).log() log(). log( ) log( + ) Nu bid functis in figuur plottn (schtsn) f hft d V.A. - n n g hft d V.A. -. Nu mot f ondr g liggn aflzn gft : < > Wr tw moglijkhdn: ) Als f bovn g ligt dan

13 log( p ) log p log( p+ ) log( p+ ) log( p ). log( p+ ) log() log( p ) log( p+ ) log( p ) log( p+ ) + log() log( p ) log(( p+ ) ) p p +p + 8 p +p+9 0 D p p p 6 7 (voldot nit) p (voldot) ) Als g bovn f ligt log( p ) log( + ) log log( + ). log( + ) log( ) log() p ( p ) p p p log( p+ ) log( p ) log( p+ ) log( p ) + log() log( p+ ) log( p ) p + 6p + 9 p -p + 6p + 0 D 6.(-) p p p + 5 (voldot) p 5 (voldot) c. Nu f n g snijdn mt d horizontal lijn y q. ) Als ht links punt A op f ligt dan : A (p, f(p)) B( p+, g(p+)) log( p ) Nu gldt : f( p) g( p+ ) log( p ) log( p+ ) log( p+ ) log() log( p ) log( p+ ) log( p ) log( p+ ) p p + 8 p p -7 p voldot q f(p)g((p+) f g log + log log(5) log(8) log(5) )Als ht links punt A op g ligt dan : A (p, g(p)) B( p+, f(p+)) log(( p + ) ) g( p) f( p+ ) log( p+ ) log(( p+ ) ) log( p+ ) log() log(( p + ) ) log( p+ ) log( p+ ) log(( p + ) ) p + 6p + 9 p + p + p -9 p -,5 voldot. q g(p) g(-,5) log(,5 + ) log log() log() log() 5. Ggvn : f () n g() - B p A(0, q) ; B(p, q). Uit AB : BC : volgt dat AB : AC : C p C(p, q)

14 p p- q p p p p,5 c. q,5. 6. Ggvn : f() 6. - Als AB BC n B p C p f(p) f(p) p ( p) p p p 6 p. 6.( p). 6 p. p. 6. ( p ) 0 q. - p 7. Ggvn f log n g log( ) Stl B p C p Nu gldt: f(p) g(p) log( p) log(p ) p p -p - p,5 q f(,5) log(,5) Uit d tkning zin w dat F bovn E ligt. Vrdr is EF DE f(r).g(r ) log( r). log( r ) log( r) log( r ) r r 6r+ 9 r 7r D r r r,697 ( vrvalt) r 5,0 y q y () () A B C O D F E r 8. Ggvn f 8. Zi figuur. Stl B p n AB : BC : C p n r gldt: f(p) f(p) p 8 p. 8.( p). p p p n p 0 p p.. -p -p -p p p p 0,5 q. 9. Ggvn f( ) n g 0 Zi d figuur. Opmrking. Om bid grafikn t snijdn mot q tussn d 0 n d 0 liggn. Dat komt door d horizontal asymptotn

15 5 y 0 n y 0. Stl B p dan C p A(0, q) n B(p, f(p)) n C(p, g(p)) p p 0 p p 0 0 p p Stl p r 9 r + r r + r D r r r 5 r 6 p -5 (vrvalt) p 6 p log(6) q 6 Uit d figuur zin w nu dat d lijn r rcht van ht snijpunt van f n g ligt. D(r, 0) ; E(r, r ) n F(r, 0 r- ) mt r 0 r r r r r r r r r log y c c 0,69 c. Nu y Ht blijkt y : y constant is, waarbij d constant ongvr glijk is aan,0986 Ook nu gldt : c y (0) y (0) d afglid van y voor h h h.. ( h Δ y f + h f ). Δ h h h h h h f ' lim. h 0 h h h h h 0 Uit a: f ' lim..lim f '(0).lim lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h c. f ' f '(0).

16 6. Zi figuur. Dln door 0 kan nit. c y (0,0),708 y (0,00),769 y (0,000),78 y (0,0000),78 d. Voor a,78 gldt : f() a f () a.. - c d f.. + g h..( + ) + + i..( + ) + j. ( + ) ( + )( + ) k. ( + ) ( + )( + ) l c ( ) ( + ) ( + ) ( kan nit) -

17 7.. ( ) (kan nit).( ) 0 0 c ( ) 0 0 (kan nit) - d f c ( + ) 0 0 (kan nit) d ,5 + 0,5 -,5. + ( ) + ( ) 0 Stl p p + p 0 (p + )(p - ) 0 p - p - gn oplossing 0 f. 6 + ( ).( ) + 0 Stl p p p + 0 (p )(p ) 0 p f. f '. +. ( + )..( + ) ( + ) ( + ) ( + ) g g' 8. f() + f () f(). + + f ' c. f(). + f (). +. ( + ). d... ( ). f f ' ( ) ( ).( ).. ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). f f '

18 8 f. f() ( ). f (). + ( ) ( ) ,78 -,5 c. 0,086 d. ( + ) 0,66. 9,85 f. -6,9 50. f() -. y f () -.. (- ). Er gldt : f () 0 (- ). 0 - Nu d schts Er is sprak van n maimum. O f Maimum f(-). - Stl d vrglijking door O is : y a dan is : f (0) (-- 0). 0 - a f (0) - k : y - is d gvraagd vrglijking. 5. Ggvn d functi f door : f() ( ). Nulpuntn van f ( kan nit) f (). + ( ). ( + ). f () (kan nit ) ( + )( ) 0 - Nu d schts van f 6 min.. f() - n m f(-) 6 - y O f c. Als - dan gaat f() stds strkr naar 0 (Zi d tabl van GR) y 0 is H.A. d. f() p hft tw oplossingn als d lijn y p

19 9 5. vanaf d -as tot aan ht minimum ligt of d lijn y p ligt prcis op ht maimum 6 p -. < p 0 f( ) + Erst d raaklijn in P brknn..( + ).. f ' ( + ) + ( + ) ( + ) Stl y a + b dan a f () ( + ) k: y. + b raakpunt P(, f()) (, ( + ) + ( + ) k : y ( + ). + b b. + ( + ) + - ( + ) Nu motn w k snijdn mt d lijn y ( + ) ( + ). - ( + ) + ) (,0) Q(, Q f y ) Nu P invulln in k + (+) +- (+) (+) (+) (+). +...(+). + n P (,0) ( + ) Opp. (P P Q ). PQ ' '. PP' n dit was t bwijzn. + + y O P P' Q Q' k (+) f f '. a a. a b a b a+ b f f '.(+ ) (+ ). + g + g ' c. d.. h' (+ ). h j. j' ( + 6 )

20 0. f...( ).... ( ). k k'..( + ).. + l l ' 55. Ggvn : f n g + ' f '. f ( ) y + b Ht raakpunt is,. + b b k : y + Nu d raaklijn l bij d functi g. g ().( ) g(-) - - Vrglijking : y + b Ht raakpunt is (-, g(-)) (-, - ) invulln (-) + b b 0 D vrglijking is : y Nu k n l snijdn +. + h f + g Voor ht brik hbbn w d afglid van h nodig h' +.( ) Etrm waard h () Zi nu d schts Er is dus n minimum bij -. h(-) h( ) + Ht brik van d functi h is : [, > 56. f 0,5 + 0,5 + f '.(0,5 ) f () 0 0,5 0 ( n -macht is nooit glijk aan 0) Zi nu n schts van d grafik van f. W zin dat r n absoluut minimum bij y f O

21 mt f() Ht brik van f is dus :, P(p, 0) dan Q(p, f(p)) n R(0, f(p)) 0,5 p p+ D opprvlakt van virhok OPQR is : O (p) OP. PQ p. maimum diffrntiërn 0,5 p p+ 0,5 p p+ 0,5 p p+ O (p). + p..(0,5 p ) (0,5 p p+ ) O (p) 0 0,5p p + 0 D.0,5. O p + of p p + of p - Nu d schts bkijkn van d opprvlaktfuncti O(p) O() D maimal opprvlakt krijgn w bij p - O -^0,5 +^0,5 p 57. f a. a f ( )...( ). f () 0 0 Nu d schts Min f () 0 n m f (0) f '.( ). + ( )....( ).( + ) f a '.( a). + ( a)...( a)..( + ( a)).( a)..( + a) f a () 0 a 0 + a 0 a a Aangzin A < B gldt dus : A a B B a ( a ) ( a a). 0 c. Voor y A gldt : y B f a ( A ) f a (a ) y 0 B a D gvraagd lijn is dus d lijn y 0. ( a a). d. Voor y A gldt : y A f a ( A ) f a (a -) y A a kromm is dus d vrglijking y ( a ) ( a ) D gvraagd

22 . Snijpunt C mt d y-as 0 r.c. k f a (0).(-a). 0 +.(-a). 0 a a Nu mot gldn r.c. < 0 a a < 0 : a a 0 a(a ) 0 a 0 y a : Schts : Nu aflzn r.c. k < 0 voor 0 < a < y a^-a 58. log(). log() O a log(). log(). log() y'. log(). log() y 59. ln() ln( ) ln(,5 ),5 c. ln ) ln( - ) - d. ln() 0 (..ln(. ).ln( ). f. ln ( ) (ln( )) 9 g. ln ( ) (ln( )) 8 h. ln(7) +.ln(7) 7 + ln(9) i. 0,5.ln(5) j. ln(0). ln() 0. 0 ln( 5 ) ln() ln().ln() c ,5 0 0,5 0,5 ln().ln() d , ln(0,).ln(0,) 6. ln() + ln() ln( ) + ln() ln(9) + ln() ln(6)

23 0 ln(0) ln() ln(0) ln( ) ln(0) ln(8) ln ln(,5) c. + ln() ln( ) + ln() ln(. ) d. + ln(0) ln + ln(0) ln(0.). +.ln(6) ln + ln(6 ) ln + ln(6) ln 6. ln 6 8 f. + ln() ln( ) + ln() ln(. ) 6. ln - - klopt.ln() ln() 0,5 0,5 klopt c. ln(). klopt d. ln(- + ) klopt. ln () 0,5-0,5 ln() ln() - voldon f. ln() + ln(5) ln() ln() + ln(5) ln() ln(5 ) 5 klopt 6. + ln(5) 0 5 ln(5) + ln(5) -0,0 b. 00 ln(00) ln(00) ln(00) -,6,6 6..ln ln 0 ln.( ) 0 ln 0 0 voldon ln ln 0 ln().(ln() ) 0 ln() 0 ln() 0 ln() voldon. c..ln( + ).ln( + ).ln( + ) -.ln( + ) 0 ln( + ).( ) 0 ln( + ) klopt klopt - klopt nit.

24 d. ln ().ln() 0 Stl ln() p p p 0 (p )(p + ) 0 p p - ln() ln() - -. ln( + ) ln( ) ln() ln( + ) ln( ) + ln() ln( + ) ln(.( )) klopt. f..ln() ln() +ln( + ) ln( ) ln( + 8) ( )( + ) 0 voldot - voldot nit. 65. f( ) f '.ln(). g ( ). g'. + ( )..ln(). + ( ).ln() ( ) ( + ) ( ) c. +.ln()..ln(). h h'.ln()...ln() ( ) ( ) 66. ) f( f '.ln()..ln() ln().(. ) f () 0 ln().(. ) f(-) - - Nu d schts van f : Er is n absoluut minimum bij - Bf [-, > y f - O f() a hft tw oplossingn als d lijn door O n positiv r.c. hft totdat d lijn y a d grafik gaat rakn. Dit is ht gval als r.c. a f (0) ln().( ) ln() Draait d lijn y a wr vrdr dan hbbn w wr snijpuntn. Tw snijpuntn voor 0 < a < ln() a > ln() 67. f + y Nodig voor ht brik zijn d trm waard(n) van d functi diffrntiërn. f -0,5

25 5 f '.ln() +.ln().( ) f () 0 ln(). ( - -- ) ,5 Schts is ook nodig om t zin wat r gburt mt d grafik. Nu is : min f(-0,5) -,5 + -,5. -,5-0,5 B f, r.c. lijn k is : ln() f '.ln() +.ln().( ) ln() stl p p p p -p p + p - 0 D p p p - p 0,5 - (kan nit) 0,5 - - Vrdr gldt : f(-) raakpunt (-, ) c. Nu gldt dus : f () -.ln() +.ln().( ) Nu brknn mt d GR Vor in : y.ln() +.ln().( ) n y - mt d opti intrsct krijgn w : -, n y,86 Nu dit punt invulln in d raaklijn : y - + b,86 -. (-,) + b b -7, W wtn : ln Nu links n rchts diffrntiërn ln dln. Links is gbruik gmaakt van d kttingrgl. d dln dln Ui t a volgt: ln d d c. 69. ln g log.ln Nu diffrntiërn ln() ln() g (). ln().ln() y ln(6 ) f '.6 6 f ln f ' g ln( ) g' h log h'.ln()

26 y ln( ) y' f ln( ) f ' g ln g' h ln h' 7...( ln( ) ln ln ln f f ' + + c. f.ln f '.ln +. ln + ln( ) f log( ) f '.ln( ) f '.. ln() ln() ln f ' ( ).ln() ln..ln( ) ln d. f f '. f.ln( ) f '.ln( ) +.. ln( ) + f. ( ) ln f log..ln f '.. ln() ln() ln() ln() 7. + f ln( + ) f '.(+ ) + + g ln( ).ln() g' ln() c. ln( + ) f log( + ).ln( + ) f ' ln() ln() ln().ln()

27 7 d. ln( ) f log( ).ln( ) f '..8 ln(0) ln(0) ln(0).ln(0) 7. f.ln. ln f '.ln +..ln. ln +.ln h. log( ) h'. log( ) +... log( ) +.ln() ln().log( ) f log ( ) log( ) f '.(log( ))..ln(0).ln(0) apart : d afglid van log() : ln( ) y log( ).ln( ) y'.. ln(0) ln(0) ln(0).ln(0) c. 6.ln( f ln ( + ) ln( + ) f '.ln( + )..8 d ) 7. n ( ) ln() n n.ln( ) nln dy d nln nln n. n.. d d dy ln n n c. W krijgn : n. n. n. n n. n d W hbbn gn bprking voor n gbruikt D rgl gldt voor all n ln f ln 0 0.ln ' f snijpunt -as y 0 ln() 0 A(, 0) f () Stl k: y a + b r gldt a 0 y 0 + b n k door A(, 0) b b -0 vrglijking van k is : y 0 0

28 8 Etrm waard f () 0 0.ln() 0 ln() voldot Nu d schts Ht is n maimum m 0 f() y f c. A 0 A(0, q ), stl B p B(p, q) n O C( p, q) 0.ln( p) 0 ln( p) 0.ln( p) 5ln( p) 0.ln( p) 5ln( p) ln( p) ln( p) p p p p ln(p ) ln(p) p p p(p ) 0 p 0 (voldot nit) p q 5.ln() 76. f ln.ln. ln Raaklijn in ( ln ) A ( ln ) r.c. f ) ln ( ) f ' Stl k is : y - + b Voor punt A gldt : f( ) ln '( ln. b b + D gvraagd vrglijking is : y + Nu punt A invulln ln r.c. -6 f ' 6 6 ln 6.ln ( ) Stl ln() p ln 6p p - 0 D -.6.(-) 5 p of p p - p ln ln voldon. Nu krijgn w : n ( ) (, ) f raakpunt is, ln (,) f raakpunt is, ln 77. Ggvn: f( ) ln( + + 0)

29 f () 0 gft - f '.(+ ) Nu d schts: W zin hir n absoluut min van f(-) ln(8) Als hl goot wordt dan nmt f ook stds to. Er is gn bgrnzing. B f [ln(8), > Raaklijnn mt r.c 0, f () 0, ( 6) 0 0 raakpuntn (0, ln(0)) n (, ln(0)) + c. Dan mot gldn f () Dit kan nit gn -oplossingn. Raaklijnn mt r.c. zijn hir nit moglijk. 78. f ln n g ln Snijpunt Hirvan ln ln voldot - nit!! snijpunt,ln( ) Snijpunt mt d -as y 0 snijpunt A(, 0) Vrdr gldt: g ln ln() ln g' g'() Stl y + b door (,0) b b vrglijking is : y - + c. Bkijk vn d schts: : Lijn p is links van ht snijpunt g( p) f( p) ln ln p ln() ln( p) ln( p) ln() ln( p) + ln( p) ln() ln ( ) ln( p ) p p p - kan nit of p voldot. y g O f

30 0 : Lijn p is rchts van ht snijpunt f( p) g( p) ln( p) ln p ln( p) ln() ln( p) ln( p) + ln( p) + ln() ln( p ) ln + ln() p. p. Totaal : p of p p. voldot of p.. voldot nit. d. B is ht snijpunt mt f n C mt g. M is h t middn van f(p) n g(p) Voor ht middn ln( p) + ln ln p. p p f p + g p ln(8) gldt M p n y M d y-coördinaat van M is dus onafhanklijk van p.