Matroïden en hun representaties

Transcriptie

1 Matroïdn n hun rprsntatis Stfan H. M. van Zwam Univrsity of Watrloo, Canada, n Cntrum Wiskund n Informatica Scinc Park XG Amstrdam -mail: Stfan.van.Zwam@cwi.nl 22 augustus 2010 Samnvatting Als j alln naar abstract ignschappn van symmtri kijkt, dan bland j al snl bij d dfiniti van n grop. Maar wat krijg j als j alln naar d abstract ignschappn van linair afhanklijkhid kijkt? In dit artikl gft Stfan van Zwam n antwoord op dz vraag: matroïdn! Hij bhandlt d grondslagn van d matroïdnthori n bhandlt n aantal oud n niuw rsultatn. Matroïdnthori is n fascinrnd tak van d discrt wiskund. Door strk bandn mt grafnthori, linair algbra, codringsthori n projctiv mtkund is ht n vlzijdig vakgbid. Praktisch topassingn van d matroïdnthori zijn t vindn in d combinatorisch optimalisring, waar ondr mr vrbandn bstaan mt ht grdy algoritm, ghltallig linair optimalisring n matching-problmn. In dit stuk wil ik probrn n bld t gvn van d matroïdnthori n ht ondrzok dat ik rin do. 1 Abstract afhanklijkhid In 1935 introducrd Whitny[13] d naam matroïd 1 in zijn artikl On th abstract proprtis of linar dpndnc. D titl was god gkozn, want dat is prcis wat matroïdnthori is: n studi van d abstract ignschappn van afhanklijkhid. Wat voor ignschappn zijn dit? Nm n indig vrzamling E van vctorn uit n vctorruimt V. Stl dat I E n vrzamling linair onafhanklijk vctorn is. Dan is lk dlvrzamling van I ook linair onafhanklijk. Als J E n andr vrzamling linair onafhanklijk vctorn is, n J bvat mr lmntn dan I, dan mot r n vctor J zijn di nit in ht opspansl van I bvat is. Whitny nam dz tw ignschappn, vrwijdrd lk rfrnti aan n vctorruimt, n kwam tot d volgnd dfiniti: Dfiniti 1. En matroïd is n paar (E, ), waarbij E n indig vrzamling is n n collcti dlvrzamlingn van E di voldot aan dz voorwaardn: 1. ; 2. Als I J n J, dan ook I ; 3. Als I, J n I < J, dan is r n J zodat I {}. D dlvrzamlingn in htn onafhanklijk; d ovrig dlvrzamlingn nomn w afhanklijk. Dz axioma s staan mr to dan alln vrzamlingn vctorn. En voorbld is algbraïsch onafhanklijkhid in d thori van lichaamsuitbridingn. Voor n andr voorbld gaan w naar d grafnthori. Tr opfrissing: n graaf is n paar G = (V, E) van n indig vrzamling V, d puntn, n n collcti E van parn van puntn, d kantn. En bos van G is n dlgraaf di gn circuit bvat. Andrs gzgd: tussn lk twtal puntn is hooguit één pad. En graaf ht samnhangnd als r tussn lk twtal puntn n pad bstaat. Tnslott, 1 Nit tot idrs vrugd. Gian-Carlo Rota, bijvoorbld, was rg onglukkig mt dz trm, di hij onbschrijflijk kakafonisch nomd. 1

2 H is n componnt van G als H n samnhangnd dlgraaf is, n gn nkl samnhangnd dlgraaf van G di H bvat mr kantn hft. Zi Figuur 1. Stlling 2. Als G = (V, E) n graaf is, n bstaat uit all kantnvrzamlingn van bossn, dan is M(G) = (E, ) n matroïd. BEWIJS. Alln ht drd axioma is nit triviaal. Laat I n J d kantnvrzamlingn van tw bossn zijn, mt J > I. Ht aantal componntn van d dlgraaf (V, I) is V I. Hiruit volgt dat r in J n kant mot zijn di tw vrschillnd componntn van (V, I) vrbindt. Maar dan bvat I {} gn circuit, n dus I {}. 2 Allmaal axioma s Natuurlijk zijn r nog vl andr abstract ignschappn van linair afhanklijkhid t bdnkn, bijvoorbld door t kijkn naar d bass, d minimal afhanklijk vrzamlingn, d rang-functi, nzovoort. Ht lijkt dus alsof onz kuz van axioma s nogal willkurig is, maar nits is mindr waar! Er bstaan vrrassnd vl stlsls van axioma s di allmaal dzlfd vrzamling structurn oplvrn. Birkhoff nomd zulk stlsls cryptomorf. Ik gf, zondr bwijs, dri voorbldn. Ht rst wijkt nit vl af van d originl dfiniti. Ht vrschil is dat w nu naar maximal onafhanklijk dlvrzamlingn kijkn, di w bass nomn. Dfiniti 3. Laat M = (E, ) n matroïd zijn. En dlvrzamling B E is n basis als B, n B {} voor all E \ B. Stlling 4. Laat E n indig vrzamling zijn. En collcti van dlvrzamlingn van E is d vrzamling bass van n matroïd dan n slchts dan als voldot aan dz voorwaardn: 1. = 2. Als B, B n B \ B, dan is r n f B \ B zodat (B \ {}) { f }. Voor ons twd voorbld kijkn w naar minimal afhanklijk dlvrzamlingn, di w circuits nomn. Dz naam is afglid van ht voorbld van grafn hirbovn. Dfiniti 5. Laat M = (E, ) n matroïd zijn. En dlvrzamling C E is n circuit als C, maar voor lk dlvrzamling van C gldt C. Stlling 6. Laat E n indig vrzamling zijn. En collcti van dlvrzamlingn van E is d vrzamling circuits van n matroïd dan n slchts dan als voldot aan dz voorwaardn: 1. ; 2. Als C, C n C C dan C = C; 3. Als C, C zodat C C, n C C, dan is r n C (C C ) \ {} zodat C. D laatst ignschap is vrij nvoudig t bwijzn voor vrzamlingn vctorn: als C, C vrschillnd vrzamlingn vctorn zijn zodat α f f = β f f = 0 f C f C waarbij all α f n β f onglijk nul zijn, dan is f C α 1 α f f f C β 1 β f f = 0. Hiruit volgt dat (C C ) \ {} linair afhanklijk is, n dus n of mr minimal afhanklijk dlvrzamlingn vctorn bvat. Ons laatst voorbld gnralisrt ht bgrip dimnsi van dlruimtn opgspannn door vctorn. Dfiniti 7. Laat M = (E, ) n matroïd zijn. D rang-functi van M is rk M : 2 E, gdfinird door rk M (I) := max{ J : J I, J }. Stlling 8. Laat E n indig vrzamling zijn. En functi r : 2 E is d rang-functi van n matroïd dan n slchts dan als r voldot aan dz voorwaardn: 1. Voor all X E gldt 0 r(x ) X ; 2. Voor all X, Y E mt X Y gldt r(x ) r(y ); 3. Voor all X, Y E gldt r(x ) + r(y ) r(x Y ) + r(x Y ). D drd ignschap, di submodularitit gnomd wordt, volgt voor vrzamlingn vctorn nvoudig uit d dimnsiformul voor linair dlruimtn: dim(v ) + dim(w ) = dim(v + W ) + dim(v W ). D onglijkhid in d stlling ontstaat omdat X Y soms t winig lmntn bvat om d volldig ruimt V W op t spannn. 2

3 3 Dualitit Als matroïdnthori alln n studi van axiomasystmn zou zijn, dan zou ht ondrwrp al jarn gldn zijn opgdroogd. Glukkig is r vl mr ovr t zggn. En blangrijk concpt is d dual, n gnralisati van ht concpt van orthogonal dlruimtn. Voor matroïdn wrkt dat als volgt: Stlling 9. Laat d vrzamling bass zijn van n matroïd M = (E, ), n dfinir := {E B : B }. Dan is d vrzamling bass van n matroïd M di w d dual van M nomn. En vrrassnd stlling lgt n vrband tussn dualitit n n topologisch ignschap van n graaf. W zggn dat n graaf planair is als ht moglijk is om d puntn in ht vlak t tknn, n d kantn als krommn t tknn di lkaar alln snijdn in hun indpuntn. D graaf in Figuur 1 is n voorbld van n planair graaf. Stlling 10. Laat G n graaf zijn, n M = M(G) d matroïd zoals gdfinird in Stlling 2. D dual M is d matroïd M(H) van n graaf H dan n slchts dan als G planair is. 4 Projctiv mtkund En matroïd is ook op t vattn als n vrzamling puntn in n abstract projctiv mtkund. En voorbld is Figuur 2. D lmntn van d matroïd zijn d zvn puntn. En dlvrzamling puntn is onafhanklijk als dz hooguit dri puntn bvat, n als di dri puntn bovndin nit op n lijn liggn, waarbij n lijn nit altijd rcht hoft t zijn. Wl is ht zo dat lk twtal puntn prcis één lijn dfinirt, n dat tw lijnn lkaar in hooguit één punt snijdn. In ht voorbld is {d,, f } dus afhanklijk n {a, c, d} onafhanklijk. En twd voorbld is Figuur 3. Dz configurati staat bknd als d Vámos matroïd. D onafhanklijk vrzamlingn zijn d dlvrzamlingn di hooguit vir puntn bvattn, mt uitzondring van d vrzamlingn hokpuntn van d vijf aangduid vlakkn. En intrssant ignschap van dz matroïd is dat ht onmoglijk is om n vrzamling vctorn t vindn mt prcis dz linair onafhanklijk dlvrzamlingn, ongacht wlk vctorruimt j gbruikt! 5 Rprsntatis Whitny vrog zich in zijn artikl af ho god zijn axioma s d ignschappn van vctorruimtn bnadrn. Uit ht vorig voorbld blijkt al dat d bnadring nit prfct is. Dit lidt tot n blangrijk klass van problmn in d matroïdnthori, namlijk d rprsntatiproblmn. Dfiniti 11. Laat M = (E, ) n matroïd zijn. En rprsntati van M ovr n lichaam is n afblding A : E r, voor zkr r rk M (E), zodat, voor all X E, {A() : X } linair onafhanklijk is dan n slchts dan als X. In ht vrvolg zulln w A simplwg als matrix bhandln, waarbij d kolommn wordn glabld mt d lmntn van E. W zggn dat M rprsntrbaar is ovr als r n rprsntati A bstaat. Als M rprsntrbaar is ovr, dan is r n rprsntati A mt r = rk M (E) rijn. Vrdr gldt ht volgnd. Als A n rprsntati is, n A is vrkrgn uit A door rijopratis, dan is A ook n rprsntati. Rijopratis bstaan uit n rij bij n andr optlln, of all lmntn van n rij vrmnigvuldign mt n lmnt van \ {0}. Bovndin kunnn w kolommn schaln mt n lmnt van \ {0}, n kunnn w all lmntn vrvangn door hun bld ondr n automorfism van. Latn w tr illustrati n rprsntati opstlln voor d Fano matroïd (Figuur 2). W nmn als lichaam GF(2), ht lichaam mt tw lmntn 0 n 1, mt d rlati = 0 n ovrig optllingn n vrmnigvuldigingn zoals gwoonlijk. W mogn, door ht uitvorn van rijopratis, aannmn dat d kolommn van d rprsntati corrspondrnd mt lmntn a, b, c n idntititsmatrix vormn. Vrzamling {a, b, d} is afhanklijk. Hiruit volgt vrijwl dirct dat d mt d corrspondrnd kolom van A glijk mot zijn aan (1, 1, 0). Zo vrdr wrknd komn w tot d volgnd matrix: A = a b c d f g Voor n ggvn matroïd M kunnn w ons nu allrli vragn stlln: 1. Wat is d vrzamling lichamn waarovr M rprsntrbaar is? 3

4 2. Kunnn all rprsntatis van M ovr n lichaam door bovnstaand opratis in lkaar wordn ovrgvord? 3. Is M rprsntrbaar ovr n spcifik lichaam? Di rst vraag lidt tot vrrassnd rsultatn, dus latn w daar m bginnn. D twd vraag vort t vr voor dit stuk; ik volsta rm om t zggn dat ht antwoord vaak n is. Op d drd vraag kom ik trug in Scti 7. 6 Vl rprsntatis In 1965 bws Tutt d volgnd stlling: Stlling 12. Laat M n matroïd zijn. D volgnd uitsprakn zijn quivalnt: 1. M is rprsntrbaar ovr lk lichaam; 2. M is rprsntrbaar ovr GF(2) n GF(3); 3. M is rprsntrbaar ovr mt n totaal unimodulair matrix. En matrix is totaal unimodulair als lk virkant dlmatrix n dtrminant hft in { 1, 0, 1}. Voor matroïdn rprsntrbaar ovr GF(2) (di w binair nomn) zijn r dus maar tw moglijkhdn. Ofwl z zijn alln rprsntrbaar ovr lichamn van karaktristik 2, ofwl z zijn rprsntrbaar ovr lk lichaam. In ht laatst gval nomn w zo n matroïd rgulir. D laatst ignschap in d stlling vormt d slutl tot n bwijs. W kunnn n totaal unimodulair matrix opvattn als n matrix ovr d ring, n dz via n ring-homomorfism afbldn op d ring p = GF(p). Zo n afblding zorgt dat dtrminantn di nul warn nul blijvn, n di onglijk nul warn ook onglijk nul blijvn. Ht gvolg is dat d linair afhanklijkhdn nit vrandrn. Omgkrd is ht moglijk om, uitgaand van n rprsntati ovr GF(2), n unik totaal unimodulair matrix t makn als di bstaat. Om dit stuk nit al t tchnisch t makn zal ik d dtails nit bsprkn. In d twd hlft van d jarn 90 publicrd Whittl [14, 15] n aantal rsultatn mt dzlfd structuur als d stlling van Tutt. Ik gf tw voorbldn. Stlling 13. Laat M n matroïd zijn. D volgnd uitsprakn zijn quivalnt: 1. M is rprsntrbaar ovr lk lichaam mt onvn karaktristik; 2. M is rprsntrbaar ovr GF(3) n GF(5); 3. M is rprsntrbaar ovr mt n totaal dyadisch matrix. En matrix is totaal dyadisch als lk virkant dlmatrix n dtrminant hft in {0} {±2 k : k }. Stlling 14. Laat M n matroïd zijn. D volgnd uitsprakn zijn quivalnt: 1. M is rprsntrbaar ovr lk lichaam mt minstns 3 lmntn; 2. M is rprsntrbaar ovr GF(3), GF(4) n GF(5); 3. M is rprsntrbaar ovr (α) mt n haast-unimodulair matrix. In dz stlling is α n onbknd. En matrix is haast-unimodulair als lk virkant dlmatrix n dtrminant hft in {0} {±α k (1 α) l : k, l }. Analoog aan Tutt s stlling nomn w dz vrzamling matroïdn haastrgulir. Nt als in d stlling van Tutt kun j bwijzn dat d drd bwring d rst tw implicrt mt bhulp van n ring-homomorfism vanuit n god gkozn ring. Maar ht bwijs in d andr richting is nit zo nvoudig. En blangrijk vrschil tussn d stlling van Tutt n d stllingn van Whittl is t vindn in d laatst conditi. In d stlling van Tutt kunnn d lmntn van d matrix slchts dri waardn aannmn, trwijl d matrics in d stllingn van Whittl willkurig vl vrschillnd waardn kunnn bvattn. Samn mt Rudi Pndavingh [9] hb ik n algmn stlling bwzn di d omgkrd rout wl moglijk maakt. Bovndin gft dz stlling nvoudig t vrifiërn conditis di d quivalntis implicrn. W hbbn dz stlling ondr mr gbruikt om ht volgnd rsultaat t bwijzn 2 : Stlling 15. Laat M n matroïd zijn. D volgnd uitsprakn zijn quivalnt: 1. M is rprsntrbaar ovr, ovr GF(5), ovr GF(p 2 ) voor lk primgtal p, n ovr GF(p) als p ±1 mod 5; 2. M is rprsntrbaar ovr GF(4) n GF(5); 3. M is rprsntrbaar ovr mt n guldn-snd matrix. En matrix is guldn snd als lk virkant dlmatrix n dtrminant hft in {0} {±τ k : k }, waarbij τ d guldn snd is, i.. d positiv wortl van x 2 x 1. Onz stlling was hlaas nit toriknd om ht volgnd vrmodn t bvstign: Vrmodn 16. Laat M n matroïd zijn. D volgnd uitsprakn zijn quivalnt: 2 Dz stlling is ooit aangkondigd door Vrtigan. Hij hft chtr nooit n bwijs gpublicrd. 4

5 1. M is rprsntrbaar ovr lk lichaam van karaktristik 2, bhalv vntul GF(2); 2. M is rprsntrbaar ovr GF(2)(α) mt n matrix waarvan lk virkant dlmatrix n dtrminant hft in {0} {±α k (1+ α) l : k, l }. 7 Gn rprsntatis Tnslott kijkn w naar d vraag of n matroïd rprsntrbaar is ovr n spcifik lichaam (of vrzamling lichamn). Als ht antwoord ja is dan kun j imand daarvan ovrtuign door n rprsntati t vindn n t vrifiërn dat all afhanklijkhdn van d vctorn zijn zoals voorgschrvn 3. Maar ho toon j aan dat n matroïd gn rprsntati hft ovr n gwnst lichaam? En van d gbruiklijk tchnikn hbbn w ovrgnomn van d grafnthori. En graaf H is n minor van G als H vrkrgn is door ht wghaln van sommig kantn n puntn, n door ht samntrkkn van sommig kantn. En samntrkking bstaat uit ht wghaln van d kant n ht idntificrn van d indpuntn. Zi Figuur 4. En klassik stlling uit d grafnthori is d Stlling van Kuratowski: Stlling 17. En graaf G is planair dan n slchts dan als G gn minor hft isomorf aan K 5 of K 3,3. Afbldingn van K 3,3 n K 5 zijn t vindn in Figuur 5. Ook voor matroïdn zijn minorn t dfiniërn. D prciz dfinitis zijn nit blangrijk voor dit stuk, maar voor d volldighid zal ik z toch gvn. Ht wghaln van n lmnt is nvoudig: d niuw matroïd, di w mt M \ aanduidn, hft als lmntn E \ {} n als onafhanklijk dlvrzamlingn prcis di vrzamlingn di rdr al onafhanklijk warn. Ht samntrkkn is nit vl moilijkr: dz oprati komt ovrn mt ht wghaln van n lmnt in d dual matroïd. W notrn d niuw matroïd mt M/. In formulvorm: M/ = (M \ ). Als M n vrzamling vctorn vrtgnwoordigt dan hft ht samntrkkn van n intrssant intrprtati: rst wordn d ovrig vctorn gprojctrd op d dlruimt orthogonaal op, n dan wordt wgghaald. En minor van n matroïd M is n matroïd vrkrgn uit M door n rks van dz tw opratis. En blangrijk obsrvati is dat dz opratis n partiël ordning oplvrn: w schrijvn N M als N isomorf is aan n minor van M. D vrzamlingn matroïdn di w tot nu to bkkn hbbn zijn gslotn ondr ht nmn van minorn: Stlling 18. Laat n vrzamling lichamn zijn, n M n matroïd rprsntrbaar ovr lk van dz lichamn. Dan zijn M n all minorn van M vnns rprsntrbaar ovr lk van dz lichamn. Nu kunnn w bwringn analoog aan d Stlling van Kuratowski don. Laat n vrzamling matroïdn zijn di gslotn is ondr ht nmn van minorn. W zggn dat M n vrbodn minor is voor als M, maar lk minor van M mt strict mindr lmntn wl in voorkomt. Mt andr woordn: M is n matroïd di nit in d vrzamling zit n minimaal is in d minor-ordning wat btrft dz ignschap. Misschin wl ht blangrijkst onopglost problm in d matroïdnthori is ht Vrmodn van Rota: Vrmodn 19. Voor lk indig lichaam GF(q) is r n indig lijst vrbodn minorn voor d vrzamling matroïdn di rprsntrbaar is ovr GF(q). Dit vrmodn stamt uit d jarn 70. Vl ondrzokrs hbbn n poging gwaagd om ht t bwijzn, maar ht is tot nu to slchts voor dri lichamn opglost: Stlling 20. Ht Vrmodn van Rota is waar voor 2 q 4. Voor q = 2 is r prcis één vrbodn minor [12], voor q = 3 zijn dat r vir [1, 11], n voor q = 4 zijn ht r zvn [2]. Voor q = 5 zijn r al mr dan 500 bknd [6]. Mrk op dat d is dat ht lichaam indig is nit kan wordn wgglatn: voor lk onindig lichaam zijn r onindig vl vrbodn minorn voor d vrzamling matroïdn di rprsntrbaar is ovr. Voor vrzamlingn van lichamn is d situati nit vl btr. Tot voor kort was r alln d volgnd stlling van Tutt, n aanvulling op Stlling 12: Stlling 21. Er zijn prcis dri vrbodn minorn voor d vrzamling rgulir matroïdn. En mooi n kort bwijs van dz stlling is t vindn in n artikl van Grards [4]. Rcnt hb ik, samn mt Rhiannon Hall n Dillon Mayhw[5], n vrglijkbar stlling voor haast-rgulir matroïdn bwzn, n aanvulling op Stlling 14: 3 Voor d algoritmici ondr d lzrs: dz vrificati is nit n polynomial-tijd algoritm. Algoritmisch vragn rondom matroïdn zijn ovrigns strk afhanklijk van d manir waarop d matroïd wordt aangbodn. 5

6 Stlling 22. Er zijn prcis tin vrbodn minorn voor d vrzamling haast-rgulir matroïdn. Ondanks d bprkt hovlhid rsultatn hirbovn hb ik r vrtrouwn in dat ht Vrmodn van Rota binnn nit al t lang tijd bwzn zal wordn. 8 Mr wtn? In dit stuk hb ik slchts n klin dl van d matroïdnthori bstrkn. Ik bn bijvoorbld nit togkomn aan ht bgrip samnhang, dat n zr cntral rol splt bij d bwijzn van n aantal van d hirbovn gnomd stllingn. Ook bn ik voorbij ggaan aan d ignschappn van matroïdn di mr dan één rprsntati hbbn ovr n nkl lichaam. Inquivalnt rprsntatis domn op voor lichamn mt 4 of mr lmntn n zijn ht blangrijkst obstakl voor n bwijs van ht Vrmodn van Rota. Tnslott bn ik voorbij ggaan aan ht wrk van Gln, Grards n Whittl [3], di bzig zijn ht uitrst succsvoll Graph Minors Projct van Robrtson n Symour t gnralisrn naar matroïdn rprsntrbaar ovr n indig lichaam. Ht standaardwrk in ht vakgbid is Matroid Thory, gschrvn door Jams Oxly [8]. Oxly [7] hft vnns n ovrzichtsartikl gschrvn dat, in tgnstlling tot dit stuk, n mr bschidn tmpo hft n n flink aantal bwijzn bvat. Schrijvr [10] gft, in Hoofdstuk 39.10b, n uitgbrid ovrzicht van d gschidnis van d matroïdnthori. Whittl [16] gft n god ovrzicht van rcnt ondrzok tot 2005 n trnds di ook nu nog ht gzicht van ht ondrzok bpaln. En uitgbrid rfrntilijst is t vindn in mijn profschrift [17], dat ondr mr bschikbaar is vanaf mijn wbsit (a) (b) (c) Figuur 1: (a) En graaf mt tw componntn. (b), (c) Tw dlgrafn di bossn zijn. a d g f b c Figuur 2: Mtkundig wrgav van d Fano-matroïd. 6

7 Figuur 3: Mtkundig wrgav van d Vámos-matroïd. (a) (b) (c) Figuur 4: (a) En graaf G. (b) D graaf G mt wgghaald. (c) D graaf G mt samngtrokkn. (a) (b) Figuur 5: (a) D graaf K 3,3. (b) D graaf K 5. 7

8 Rfrntis [1] Robrt E. Bixby. On Rid s charactrization of th trnary matroids. J. Combin. Thory Sr. B, 26(2): , [2] J. F. Gln, A. M. H. Grards, and A. Kapoor. Th xcludd minors for GF(4)-rprsntabl matroids. J. Combin. Thory Sr. B, 79(2): , [3] Jim Gln, Brt Grards, and Goff Whittl. Towards a matroid-minor structur thory. In Combinatorics, complxity, and chanc, volum 34 of Oxford Lctur Sr. Math. Appl., pags Oxford Univ. Prss, Oxford, [4] A. M. H. Grards. A short proof of Tutt s charactrization of totally unimodular matrics. Linar Algbra Appl., 114/115: , [5] Rhiannon Hall, Dillon Mayhw, and Stfan H. M. van Zwam. Th xcludd minors for narrgular matroids. Europan J. Combin., Accptd. Prprint at arxiv: v2 [math.co]. [6] Dillon Mayhw and Gordon F. Royl. Matroids with nin lmnts. J. Combin. Thory Sr. B, 98(2): , [7] Jams G. Oxly. What is a matroid? Availabl from [8] Jams G. Oxly. Matroid Thory. Oxford Univrsity Prss, [9] R. A. Pndavingh and S. H. M. van Zwam. Lifts of matroid rprsntations ovr partial filds. J. Combin. Thory Sr. B, 100(1):36 67, [10] Alxandr Schrijvr. Combinatorial Optimization. Polyhdra and Efficincy, volum 24 of Algorithms and Combinatorics. Springr-Vrlag, Brlin, [11] P. D. Symour. Matroid rprsntation ovr GF(3). J. Combin. Thory Sr. B, 26(2): , [12] W. T. Tutt. A homotopy thorm for matroids. I, II. Trans. Amr. Math. Soc., 88: , [13] Hasslr Whitny. On th abstract proprtis of linar dpndnc. Amr. J. Math., 57(3): , [14] Goff Whittl. A charactrisation of th matroids rprsntabl ovr GF(3) and th rationals. J. Combin. Thory Sr. B, 65(2): , [15] Goff Whittl. On matroids rprsntabl ovr GF(3) and othr filds. Trans. Amr. Math. Soc., 349(2): , [16] Goff Whittl. Rcnt work in matroid rprsntation thory. Discrt Math., 302(1-3): , [17] Stfan H. M. van Zwam. Partial filds in matroid thory. PhD thsis, Tchnisch Univrsitit Eindhovn,