Verdelingen Een beschrijving van standaard kansfuncties

Transcriptie

1 Vrdlingn En bschrijving van standaard kansfunctis

2 Ministri van Vrkr n Watrstaat Dirctoraat-Gnraal Rijkswatrstaat ouwdinst Rijkswatrstaat Rapport KOWR-5- Vrdlingn En bschrijving van standaard kansfunctis utur :. Hail, S.E. van Mann Datum : Mi 5 Vrsi : 3. Hoofdafdling Watrbouw, Tlfoon Postadrs Postbus, 35 L Utrcht Tlfa

3 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina ii KOWR-5- Mi 5 Inhoudsopgav pagina. Inliding. èta vrdling 3. D Drihok vrdling 3 4. E Eponntiël vrdling 4 5. F Zlf gdfinird vrdling via n trn fil 5 6. G Gumbl vrdling 7 7. LTN Links afgkapt normal vrdling 8 8. L Lognormal vrdling 9 9. N Normal vrdling. RTN Rchts afgkapt normal vrdling. XS Typ I trm vrdling voor klinst waardn 3. U Uniform vrdling 4 3. W Wibull vrdling 5 4. Rfrntis 6

4 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina KOWR-5- Mi 5. Inliding In dit rapport wordt n bschrijving ggvn van d vrdlingsfunctis di in d door d fdling Risico-analys ontwikkld softwar kunnn wordn gbruikt. Ht gbruik van dit rapport is noodzaklijk indin d gbruikr invor mot spcificrn mt btrkking tot dz kansfunctis. D vrdlingn wordn aangduid mt n cod, di uit maimaal 3 lttrs bstaat. Zo hft d normal vrdling d cod "N". Vooraan d titl van ht hoofdstuk staat dz cod gnomd. Daarnaast wordt d vrdling bschrvn mt d paramtrs "", "", "C", "D". D rlatis mt algmn ghantrd paramtrs, zoals gmiddld n standaardafwijking, wordn in dit rapport ggvn. D algmn ghantrd paramtrs zijn voornamlijk ontlnd aan [] n soms aan []. In d volgnd tabl staan d, op dit momnt bschikbar vrdlingn ggvn, mt cod: Vrdlingstyp Cod èta Drihok D Eponntil E Gumbl G Links afgkapt normal vrdling LTN Lognormaal L Normaal N Rchts afgkapt normal vrdling RTN Typ I trm waardn XS Uniform U Wibull W Zlf gdfinird vrdling via n trn fil F In dz handliding wordn voor idr vrdlingstyp d volgnd ggvns gprsntrd: n uitdrukking van d kansvrdlingsfuncti F() in d paramtrs,, C n D, n uitdrukking van d kansdichthidsfuncti f() in d paramtrs,, C n D, d bprkingn of d isn waaraan d paramtrs n d stochast motn voldon, ht gmiddld, uitgdrukt in d paramtrs,, C n D d standaardafwijking, uitgdrukt in d paramtrs,, C n D. Daaropvolgnd wordn d uitdrukkingn van d vrdlingsfuncti n d dichthidsfuncti in mr gbruiklijk notati ggvn. Vrvolgns wordt rlati bid notatis glgd. Na vntul opmrkingn wordt tn slott d dichthidsfuncti mt n voorbldgrafik gïllustrrd.

5 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina KOWR-5- Mi 5. èta vrdling D vrdlingsfuncti is: D dichthidsfuncti is: F( ) f() ( D C) ( C) ( D C) + ( ξ C) Β(, ) C + ( D ) Β(, ) ( D ξ ) dξ waarin (,) d èta-functi is. prkingn: > > C < D C D Gmiddld: C + ( D C) + D C Ht aantal paramtrs is 4. n zijn vormparamtrs, C is d linkrlimit n D is d rchtrlimit. ndr notatis btrffn alln d naamgving van d paramtrs: r, α s, β C a D b ,5;,5,5;,5,;3, 8,;, ta vrdling mt C, n D,. D waardn voor n staan in d figuur.

6 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 3 KOWR-5- Mi 5 3. D Drihok vrdling D vrdlingsfuncti is: D dichthidsfuncti is: ( ) F( ) C ( C )( ) ( ) F( ) C < ( C)( ) f() C ( C-)( ) - f() C < ( -C)( ) prkingn: ; < C < Gmiddld: + + C C C C 8 Ht aantal paramtrs is 3. D linkrlimit is, d rchtrlimit is n d top van d drihok is C.,,9,8,7,6,5,4,3,, Drihok mt -, 3 n C,

7 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 4 KOWR-5- Mi 5 4. E Eponntiël vrdling D vrdlingsfuncti is: Dichthidsfuncti: F( ) f ( ) prkingn:, > Gmiddld: + Ht aantal paramtrs is. Uitdrukking van F() n f() in algmn gbruikt symboln: λ ( γ ) F( ) f ( ) Rlati tussn bid notatis: γ / λ ( ) λ λ γ,9 Epontl mt n,8,7,6 f(),5,4,3,,

8 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 5 KOWR-5- Mi 5 5. F Zlf gdfinird vrdling via n trn fil In n SCII bstand wordn pr rgl tw waardn gspcificrd: d -waard n d bijbhornd ondrschrijdingskans. D -waardn motn oplopn n d kansn mogn nit afnmn. Ht aantal paramtrs is, t wtn d bstandsnaam. D invor bstaat dus uit één rgl mt daarop d naam van d fil (tkst), inclusif d fil-tnsi. Voorbld Stl dat mn d volgnd vrdlingsfuncti hft: F( ) Dz vrdling is gn standaard vrdlingstyp, maar ht is wl moglijk om haar via n trn fil t dfiniërn. Daarto mot mn rst n aantal discrt waardn van d vrdling als functi van d oplopnd stochast bpaln, bijvoorbld mt bhulp van n spradsht. Ht rsultaat mot mn in n SCII bstand opslaan n dz fil kan dan als invorfil gbruikt wordn. D inhoud van d invorfil voor d voorbld-vrdling kan r als volgt uitzin: 4.54E E E E E-4.5.3E E E-.8 6.E-.9.38E-.58E-. 4.E-. 5.7E-.3 7.E-.4 8.E E E E E E- 9.97E E E-.3.E+.4.E+.5.E+ In ht rknprocs wordt ondrschrijdingskans F() van n stochast, di tussn tw in d fil opnvolgnd waardn van ligt, door linair intrpolati bpaald. Ht is voor d nauwkurighid van d brkningn dus blangrijk om d stapgroott tussn tw opnvolgnd waardn van nit al t groot t kizn. ovndin mot mn d minimal n d maimal waardn van zodanig kizn dat d ondrschrijdingskans van d klinst waard van (bijna) glijk is aan n d ondrschrijdingskans van d grootst waard van (bijna) glijk is aan. Dit is nodig om rvoor t zorgn dat blangrijk gbidn van d vrdling nit buitn bschouwing wordn glatn.

9 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 6 KOWR-5- Mi 5 In d figuur staat ht vrloop van d vrdlingsfuncti F() n van d dichthidsfuncti f() van d voorbld-vrdling wrggvn.,9,8 F(),7,6,5,4,3 f(),,,5,5,5

10 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 7 KOWR-5- Mi 5 6. G Gumbl vrdling D vrdlingsfuncti is: F( ) ( ) D dichthidsfuncti is: f ( ) ( ) prkingn: > Gmiddld: + γ, waarin γ d Eulr constant (,577) π 6 Ht aantal paramtrs is. D Gumbl vrdling wordt ook Typ I trm vrdling voor grootst waardn gnomd. Uitdrukking van F() n f() in algmn gbruikt symboln: F ( ) ( ) α β f ( ) Rlati tussn bid notatis: β / α ( ) ( ) α α β α β,5 Gumbl mt n,4,3 f(),,

11 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 8 KOWR-5- Mi 5 7. LTN Links afgkapt normal vrdling D vrdlingsfuncti is: Fn ( ) Fn F( ) F n waarin F n () d normal vrdlingsfuncti is mt paramtrs n zoals bij d normal vrdling bschrvn n C d afkapgrns is. D dichthidsfuncti is: fn( ) f ( ) F n waarin f n () d kansdichthidsfuncti van d normal vrdling is. prkingn: > ; C Gmiddld: f n + Fn C ( ) f n fn + Fn Fn Ht aantal paramtrs is 3. D paramtrs n van d afgkapt normal vrdling zijn glijk aan di van d gwon normal vrdling (µ n σ). d paramtr C is d linkr afkapgrns. Rlati tussn algmn gbruikt symboln n d symboln, n C: µ σ C is d linkr afkapgrns.,5 Links afgkapt normaal mt, n C -,5,4,3 f(),, - -,5 - -,5,5,5,5 3 3,5 4

12 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 9 KOWR-5- Mi 5 8. L Lognormal vrdling D vrdlingsfuncti is: waarin n D dichthidsfuncti is: ln( s ) µ σ F( ) ds σ π µ ln + + σ ln f ( ) σ π ( ln µ ) σ prkingn: > Gmiddld: Ht aantal paramtrs is. n zijn d gmiddld rsp. d standaardafwijking van d waargnomn lognormal vrdling. Uitdrukking van F() n f() in algmn gbruikt symboln: F( ) π ε ( s γ ) γ f ( ) ε ( γ ) π ln ξ ε ( sγ ) ln ξ ε ds Rlati tussn bid notatis: µ ξ σ ε γ (voor d uitdrukking van µ n σ in n zi bovn)

13 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina KOWR-5- Mi 5 Opmrking. ls n lognormal vrdling hft, dan is yln normaal vrdld. ls ht gmiddld n d standaard afwijking van d ondrliggnd stochast y bknd zijn (in plaats van ht gmiddld n d standaardafwijking van d lognormal vrdling van ), kunnn ht gmiddld n d standaardafwijking van bpaald wordn via: µ σ y µ + y σ y σ µ waarbij, zoals rdr is ggvn: µ n σ.,6,5 Lognormaal mt gmiddld n standaardafwijking van d waargnomn Lognormal vrdling,4 f(),3,,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

14 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina KOWR-5- Mi 5 9. N Normal vrdling D vrdlingsfuncti is: D dichthidsfuncti is: ( F( ) ) ds f ( ) π π s ( ) prkingn: > Gmiddld: Ht aantal paramtrs is. D paramtrs n zijn glijk aan ht gmiddld µ n d standaardafwijking σ. lgmn bknd notati: sµ ( σ ) F( ) ds f ( ) Rlati tussn bid notatis: µ σ π σ π µ ( σ ) Opmrking: En normaal vrdld variabl mt gmiddld n standaardafwijking wordt d standaard normal vrdling gnomd.,5 Normaal mt n,4,3 f(),,

15 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina KOWR-5- Mi 5. RTN Rchts afgkapt normal vrdling D vrdlingsfuncti is: F( ) Fn ( ) F n waarin Fn() d vrdlingsfuncti van d normal vrdling is n C d afkapgrns. D dichthidsfuncti is: f ( ) fn ( ) F n waarin fn() d dichthidsfuncti van d normal vrdling is. prkingn: > ; C Gmiddld: f n Fn C ( ) f n f Fn F n n Ht aantal paramtrs is 3. D paramtrs n van d afgkapt normal vrdling zijn glijk aan di van d gwon normal vrdling (µ n σ). d paramtr C is d rchtr afkapgrns. Rlati tussn algmn gbruikt symboln n d symboln, n C: µ σ C is d rchtr afkapgrns.,5 Rchts afgkapt normaal mt, n C,5,4,3 f(),, -4-3,5-3 -,5 - -,5 - -,5,5,5

16 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 3 KOWR-5- Mi 5. XS Typ I trm vrdling voor klinst waardn D vrdlingsfuncti is: D dichthidsfuncti is: F( ) f ( ) prkingn: > Gmiddld: - γ, waarin γ d Eulr constant (,577) π 6 Ht aantal paramtrs is. Uitdrukking van F() n f() in algmn gbruikt symboln: α ( β ) Rlati tussn bid notatis: β / α F ( ) ( ) ( ) f ( ) α α β α β,5,4 Typ I trm vrdling voor klinst waardn mt n,3 f(),,

17 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 4 KOWR-5- Mi 5. U Uniform vrdling D vrdlingsfuncti is: D dichthidsfuncti is: F( ) f() prkingn: < Gmiddld: + 3 Ht aantal paramtrs is. D linkrlimit is n d rchtrlimit is.,9,8 Uniform mt - n 3,7,6 f(),5,4,3,,

18 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 5 KOWR-5- Mi 5 3. W Wibull vrdling D vrdlingsfuncti is: D dichthidsfuncti is: ( ) F ( ) f ( ) C C C ( ) ( ) C prkingn: ; > ; C > ; > Gmiddld: Γ( ) + + r t waarin: Γ( r) t dt C C C Γ( + ) Γ( + ) Ht aantal paramtrs is 3. D Wibull vrdling wordt ook Typ III trm vrdling voor klinst waardn gnomd. D Wibull vrdling mt d paramtr C dgnrrt tot d ponntiël vrdling. Uitdrukking van F() n f() in algmn gbruikt symboln: Rlati tussn bid notatis: γ δ -β F( ) δ γ β ( ) ( ) f ( ) δ β( γ ) β δ γ β C β,9,8 Wibull mt, n C mt, n C,7,6 f(),5,4,3,,,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5

19 En bschrijving van standaard kansfunctis Pagina 6 KOWR-5- Mi 5 4. Rfrntis [] Dt Norsk Vritas Proban Distribution Manual, Vrsion. Noorwgn, Juni 989 [] njamin, J.R. n. Cornll Probability, Statistics and Dcision for Civil Enginrs McGraw-Hill, Nw York, 97