Differentiaalvergelijkingen

Transcriptie

1 Diffrntiaalvrglijkingn Afdlingn MIWB & ENGINEERING A. F. Blomsma M. D. Poot Oplidingn SCHEEPSBOUWKUNDE WERKTUIGBOUWKUNDE

2 Diffrnrntiaalvrglijkingn INHOUD:. Diffrntiaalrkning 3. Vraagstukkn Diffrntiaalrkning 5 3. Intgraalrkning 5 4. Vraagstukkn Intgraalrkning 7 5. Intgraalrkning: Substituti-mthod 7 5. Diffrntialn 7 5. Substituti-mthod 7 6. Vraagstukkn Substituti-mthod 9 7. Intgraalrkning: Bruksplitsings-mthod (typ I) 9 8. Vraagstukkn Bruksplitsings-mthod (I) 9. Intgraalrkning: Bruksplitsings-mthod (typ II) 0. Vraagstukkn Bruksplitsings-mthod (II) 5. Inliding Diffrntiaalvrglijkingn 6. DV van d ord 8. Ht oplossn van d homogn DV 9. Ht bpaln van n bijzondr oplossing van d volldig DV 0.3 Ht bpaln van d algmn oplossing van d volldig DV 3. Vraagstukkn DV van d ord 4. DV van d ord 4. Ht oplossn van d homogn DV 3 4. Ht bpaln van n bijzondr oplossing van d volldig DV Ht bpaln van d algmn oplossing van d volldig DV 5 5. Vraagstukkn DV van d ord 6 6. Inliding voor DV-topassingn 6 7. Linair systmn van d ord 7 7. RC-kring 7 7. Valbwging mt luchtwrstand Afkoling van n lichaam Vraagstukkn Linair systm van ord 3 9. Linair systmn van d ord RLC-kring (zi ondrstaand schma) Massa-vr systm Vraagstukkn linair systm van ord 37. DV oplossn mt Mapl 37. Antwoordn 4. antwoordn vraagstukkn diffrntiaalrkning 4 4. antwoordn vraagstukkn intgraalrkning 4 6. antwoordn vraagstukkn substituti-mthod 4 8. antwoordn vraagstukkn bruksplitsings-mthod(typ I) 4 0. antwoordn vraagstukkn bruksplitsings-mthod(typ II) antwoordn vraagstukkn DV van d ord antwoordn vraagstukkn DV van d ord antwoordn vraagstukkn linair systm van d ord antwoordn vraagstukkn linair systm van d ord 44

3 . Diffrntiaalrkning Al w n functi f ( ) diffrntiërn, dan krijgn w d afglid functi f '. Ht bpaln van d afglid functi don w m.b.v. n aantal standaardafglidn n diffrntirrgls. In dit hoofdstuk frissn w d knnis van diffrntiërn wr vn op. D basisknnis nog vn kort hrhaald n gofnd. Standaardafglidn:. f = c f ' = 0 7. a f = log f ' = ln a n ' = n f = f n ' f = sin f = cos ' f = cos f = sin f = tan f ' = cos f = cot f ' = sin f = ln f ' ' = f = a f = a ln a ' f = f = f = f ' = Voorbld.: a. f = f = b. f f 6 ' 0 = 5 ' = 0 Voorbld.: a. b. f = f = Diffrntirrgls: 4 3 f = f ' = 4 '. = ' = ' y c f y c f c=constant 3

4 . Somrgl 3. Productrgl y = f + g y = f g y ' = f ' + g ' y ' = f ' g + f g ' 4. Quotiëntrgl 5. Kttingrgl f y = g y f g g f ' f g ' y ' = df dg g y ' = Voorbld.3: a. b. f f c. y = f u = u = g f = 3 f ' = 3 5 = 5 = ' = = f = 4sin f ' = 4cos Voorbld.4: a. b. 4 3 f = + f ' = du f = + cos f ' = 3 sin c. f = + f = + = Voorbld.5: a. b. d 5 tan ' 0 cos cos f = sin f ' = sin + cos f = cos f ' = cos sin Voorbld.6: a. f f ' ( + ) = = = sin cos sin b. f = f ' = Voorbld.7: Diffrntir d volgnd functis f = a. 4 c. y = 4 3. f ( R) = R cos R f t = t t + 0 b. 3 d. y = f. y = g. y = cost t sin h. f = 4

5 . Vraagstukkn Diffrntiaalrkning Diffrntir d volgnd functis: f = f = 4. f = 3 f t = 4t + 5t + t f = 4 cos 6. f = f ( u) = u + 4 u 8. f ( t) = t + 3 t 6 9. f = 4 0. f = sin 3. f ( t) = 8 + 4t t. f = a + 4b + 3c 3. Intgraalrkning Er zijn tw soortn intgraln:. Onbpaald intgraal: notati: f d = F + C d d waarbij gl: F + C = f b. Bpaald intgraal: notati: f d = F = F ( b) F ( a) Elmntair functis f() intgrrn w m.b.v. d standaard-intgraln. Dit is ht tgnovrgstld van d standaard-afglidn!! En zijn r ook wr rknrgls. Standaard-intgraln: b a a.. n+ n d = + C n n + d = d = ln + C 3. sin d = cos + C 4. cos d = sin + C 5

6 5. d = tan + C cos 6. d = cot + C sin 7. d = + Voorbld 3.: a. d = + C = + C 5 5 b. 8 d = 8 + C c. d. C d = d = + C = + C d = d = + C = + C a a d = + C ln a cos d = ln + C sin sin + sin d = ln + C cos cos Voorbld 3.: 7 a. d b. 5 d c. 9 d d. d Intgrrrgls: Rgl : + + = + + f g h d f d g d h d k f d k f d k = constant Rgl : = Opmrking: Voorbld 3.3: a. + d b. 3cos d c. 4 d f g d f d g d 6

7 4. Vraagstukkn Intgraalrkning 8. d. 5 d 3. d 4. 0 d d 4 6. ( cos( t) + t ) u + du d u + d 0 0. sin ( t) u + sin u du 5. sin u du u u 3 5. ( + 3 ) Intgraalrkning: Substituti-mthod 5. Diffrntialn Bij n functi f() kunnn w n diffrntiaal dfiniërn. Ht symbool voor n diffrntiaal is: d f() Dfiniti: D diffrntiaal van n functi f() wor als volgt brknd: = ' d f f d f = d f = d Voorbld 5.: Voorbld 5.: sin f t = t d f t = cost Opmrking: Lt rop, dat r n vrschil bstaat tussn ht diffrntir-symbool n ht diffrntiaalsymbool: d d diffrntir-symbool: sin = cos d d diffrntiaal-symbool: d d sin = cos d 5. Substituti-mthod Als n intgraal nit t brknn is m.b.v. n standaard-intgraal, dan motn w n intgrati-mthod topassn om zo n intgraal uit t rknn. Er bstaan vl intgrati- 7

8 mthodn in d wiskund. W zulln r tw bhandln: d substituti-mthod ( 5) n d bruksplitsings-mthod ( 7). Allrrst d substituti-mthod. Dz mthod wor mt nam gbruikt, als d intgrand n samngstld functi is. In dat gval zit d intgraal r als volgt uit: ( ) f g d Bij d substituti-mthod is ht uitgangspunt, dat w in d intgraal d functi g() vrvangn door d lttr u. Dus: Stl g() = u. Hirm gvn w aan, dat w in d intgraal d variabl willn vrvangn door n niuw variabl u. Voorbld 5.3: Stl: 4 3 = u.. () 4 3 Maar ook d variabl in d mot wordn vrvangn. Dit gaat als volgt: Nm in () d diffrntiaal van bid ldn: ( 4 3) Ht linkrlid vrdr uitwrkn gft dan: d d = du 4 d = du d = du.. () Substituti van () n () in d ggvn intgraal gft: Vrdr uitwrkn lvrt dan: 3 u 3 3 ( u 4 ) du = + C = u + C = 4 ( 4 3) + C 3 Voorbld 5.4: u 4 4 du d b. a. ( + ) d c. d d. 4 d. d f. ln d g. i. d h. + sin 3 sin d k. cot d cos d 8

9 6. Vraagstukkn Substituti-mthod. ( 4 3) 8 d d d 8. sin 4 sin 4t 3. sin ( ) d 3 t t 6. 5 u du 9. 6 u sin 4 5 cos d. ( + ) 7 d + + d cos. sin d d 7. Intgraalrkning: Bruksplitsingsmthod (typ I) D bruksplitsings-mthod is t gbruikn bij tw typn vraagstukkn, wlk duidlijk hrknbaar zijn. In dz paragraaf komn vraagstukkn van typ I aan bod. In 9 wor typ II bhandld. All intgraln van typ I hbbn d volgnd structuur: a + b p + q + r d Voor d vrdr bhandling gaan w dit typ opsplitsn in dri subtypn. Dz opsplitsing wor bpaald door d discriminant van d kwadratisch nomr. Subtyp IA: Nomr hft rël, vrschillnd nulpuntn (dus: discriminant > 0) Voorbld 7.: 4 d + W gaan nu d intgrant apart bkijkn. D intgrant is n bruk. Ht dol is nu om dz bruk t splitsn in tw brukn. Dit gaat als volgt: ( ) + B ( + ) 4 4 A B A = A + B + Dit nomn w n idntitit 9

10 W knnn tw mthodn om n idntitit op t lossn: a. Kis handig waardn voor : = : 3 = 3B B = = : 9 = 3A A = 3 b. Ga invntarisrn naar machtn van : 4 A + B + 4 A A + B + B 4 A + B + A + B Dus: 4 = A + B A = 3 B = = A + B 4 3 Dus d intgrant splitst zich als volgt: D vrdr uitwrking van ht vraagstuk wor nu:.. () 4 3 d = d + d = u + = du d = du Stl: d ( ) = p = d p d = d p Stl: d ( ) Substituti in () gft: 3 du + d p = 3 ln u + ln p + C = 3 ln + + ln + C u p Subtyp IB: Nomr hft rël, glijk nulpuntn (dus: discriminant = 0) Voorbld 7.: + 7 d Ht dol is ook nu om dz bruk t splitsn in tw brukn. Dit gaat als volgt: + B( ) A B A = A + B Dit is wr n idntitit 0

11 Kis handig waardn voor : = : 3 = A A = 3 = 0: 7 = A B B = Dus d intgrant splitst zich als volgt: D vrdr uitwrking van ht vraagstuk wor nu: d = d + d ( )... () = u = du d = du Stl: d ( ) Substituti in () gft: du + du = ln u + C = ln + C u u u Subtyp IC: Nomr hft géén rël nulpuntn (dus: discriminant < 0) Voorbld 7.3: 3 d Omdat d nomr nu tw compl nulpuntn hft, kun j d bruksplitsings-mthod uit d vorig subtypn nit topassn. Vrdr valt ht handmatig uitwrkn van dit subtyp buitn ht kadr van dit moduul. Uitraard is n oplossing via MAPLE altijd moglijk. Togpast op dit voorbld gft MAPLE ht volgnd antwoord: d = ln ( 4 + 6) + arctan + C Vraagstukkn Bruksplitsings-mthod (I). d. d d 4. d d d 5 + 7

12 9. Intgraalrkning: Bruksplitsingsmthod (typ II) All intgraln van typ II hbbn d volgnd structuur: P d Q mt: P() = vltrm (of: polynoom) in van d graad m m < n Q() = vltrm (of: polynoom) in van d graad n Voor d vrdr bhandling gaan w dit typ opsplitsn in dri subtypn. Dz opsplitsing wor bpaald door d nulpuntn van d nomr. Subtyp IIA: Nomr hft n rël, vrschillnd nulpuntn. Voorbld 9.: d W gaan wr d intgrant apart bkijkn. D intgrant is n bruk. Ht dol is nu om dz bruk t splitsn in mrdr brukn. Dit gaat als volgt: A B C = = ( 5 + 6) 3 ( )( 3) + ( 3) + ( ) ( )( 3) A B C + 6 A 3 + B 3 + C Dit is wr n idntitit Kis handig waardn voor : = : 8 = B B = 4 = 3: 9 = 3C C = 3 = 0: 6 = 6A A = Dus d intgrant splitst zich als volgt: D vrdr uitwrking van ht vraagstuk wor nu:

13 () d d d d = = u = du d = du Stl: d ( ) 3 = p = d p d = d p Stl: d ( 3) Substituti in () gft: 4 3 d + du + d p = ln 4 ln u + 3 ln p + C = ln 4 ln + 3 ln 3 + C u p Subtyp IIB: Nomr hft n rël, glijk nulpuntn. Voorbld 9.: d ( + ) 3 Ht dol is ook nu om dz bruk t splitsn in mrdr brukn. Dit gaat als volgt: 4 3 A B C + A + B + + C A + B + + C + Dit is wr n idntitit Kis handig waardn voor : = : 8 = A A = 8 Omdat r gn andr handig -waardn zijn, gaan w vrdr mt invntarisrn naar machtn van. Dit don w in n vrsnld uitvoring: : = C C = 0 : 3 = A + B + C B = 6 Dus d intgrant splitst zich als volgt: ( + ) ( + ) ( + ) D vrdr uitwrking van ht vraagstuk wor nu: d = d + d + d () 3 3 ( + ) ( + ) ( + ) + 3

14 + = u + = du d = du Stl: d ( ) Substituti in () gft: 8 du 6 du du ln u C = + + = = + + ln u 3 u u u u C ( + ) Subtyp IIC: Nomr hft géén rël nulpuntn, maar bvat wl kwadratisch factorn mt n ngativ discriminant. Voorbld 9.3: ( + + )( + ) d D bruksplitsings-mthod uit d vorig subtypn kun j nu wl topassn. Dit gaat als volgt A + B C + D ( + + )( + ) Mrk op, dat in d bruksplitsing bij n kwadratisch nomr (mt ngativ discriminant!) n linair tllr hoort!! Voor ht bpaln van A t/m D gaan w d brukn in ht rchtrlid wr optlln: ( A + B)( + ) + ( C + D)( + + ) A + B + + C + D + + Dit is wr n idntitit Omdat r gn handig -waardn zijn, gaan w dirct invntarisrn naar machtn van. Dit don w in d vrsnld uitvoring: 3 : = A + C A = 0 : 8 = B + C + D B = 4 : = A + C + D C = 0 : 0 = B + D D = Dus d intgrant splitst zich als volgt:

15 D vrdr uitwrking van ht vraagstuk wor nu: d d + d ( + + )( + ) W zin in ht rchtrlid tw intgraln van ht subtyp IC vrschijnn. Bij dat subtyp is al opgmrkt, dat ht handmatig uitwrkn van dz intgraln valt. Uitraard is n oplossing via MAPLE altijd moglijk. Togpast op dit voorbld gft MAPLE ht volgnd antwoord: d = 4 arctan ( + ) + 4 ln ( + ) arctan ( ) + C Opmrking: Vaak is n intgraal n combinati van d subtypn IIA, IIB n IIC. Voorbld 9.4: ( )( + + ) d Voorbld 9.5: Voorbld 9.6: ( + 3 4)( ) 4 ( + )( + ) d d 0. Vraagstukkn Bruksplitsings-mthod (II) d. ( )( )( + 3) ( ) 3 d t + d 4. 3 ( + )( ) 5 3 t t 3t 5. + d 6. ( )( 6 + 9) ( ) d 5

16 . Inliding Diffrntiaalvrglijkingn Voorbld.: W bschouwn d volgnd wiskundig uitdrukking: y = C mt: C R Omdat d constant C vl waardn kan aannmn, stlt dz wiskundig uitdrukking n vrzamling functis voor! Hirondr staat d grafik van dz vrzamling voor n aantal waardn van C: C = 4 C = C = 4 C = 0 C = 4 C = 4 C = Mrk op dat d X-as (C = 0!!) ook tot d vrzamling bhoort. Als w d vrzamling functis gaan diffrntiërn, dan krijgn w: y ' = C Dan kunnn w vrvolgns uit d vrzamling y n zijn afglid y ' d constant C liminrn: () y = C () y ' = C Uit () lossn w d constant C op: C = y Substituti van C in () gft dan: y y y ' y ' y ' y y ' y = 0 Dz laatst vorm nomn w n vrglijking. Ht is chtr gn gwon vrglijking, omdat r n afglid y ' in voorkomt. Daarom wor zo n vrglijking n diffrntiaalvrglijking (afgkort: DV) gnomd. W kunnn ons nu d volgnd vraag stlln: wat is d oplossing van dz (diffrntiaal)vrglijking? 6

17 Dat is bij dz DV nit zo moilijk. W hbbn namlijk in dit voorbld uit ht antwoord (d vrzamling functis) d bijbhornd vraag (d DV) afglid. Dus: d diffrntiaalvrglijking y ' y = 0 hft als oplossing: y = C Samngvat: En DV is n vrglijking, waarin n afglid voorkomt D oplossing van n DV is n vrzamling functis (rlatis) D grafik van d oplossing van n DV is n vrzamling krommn; dz krommn wordn intgraalkrommn gnomd. Dfiniti ord van d DV: Ondr d ord van n DV vrstaan w d hoogst afglid, di in dz DV voorkomt. Voorbld.: a. y ' y = 0 DV van d ord b. 4 y" y = 6 DV van d ord c. 8 y"' y + = DV van d 3 ord Dfiniti linair DV: En DV ht linair, als dz DV van d graad is in y n d afglidn van y. Voorbld.3: 4 y ' 5 y = sin Linair DV van d ord a. b. 4 y '' y ' 0y 0 c. 3 + = Linair DV van d ord y" y ' = 5 Nit-linair DV van d ord Algmn: W gaan uit van n DV van d n d ord: ( n) ( ) F, y, y ', y",, y = 0 Dz DV oplossn btknt dat w d afhanklijk variabl y uit d vrglijking willn oplossn. W krijgn dan d algmn oplossing: y = f C C C,,,, n In dz algmn oplossing komn constantn ovrn mt d ord van d DV. C i voor. Ht aantal constantn komt Soms zijn bij n DV tra ggvns bknd. Dz tra ggvns nomn w randvoorwaardn. Als r bij n DV van d n d ord ook n randvoorwaardn ggvn zijn, 7

18 dan kunnn hirm d n constantn C, C,, Cn n waard krijgn. D algmn oplossing gaat dan ovr in n bijzondr oplossing: y = f Voorbld.4: y ' y = 0 DV van d ord DV oplossn y = C Algmn oplosing randvoorwaard: d oplossing gaat door ht punt A(,4) = y = 4 4 = C. C = 4 y = 4 Bijzondr oplossing. DV van d ord Algmn: F (, y, y ') = 0 DV van d ord DV oplossn (, ) y = f C Algmn oplossing randvoorwaard y = f Bijzondr oplossing Er zijn n aantal wiskundig mthodn bknd, waarm w n DV van d ord kunnn oplossn. Dz mthodn hangn af van d vrschillnd typn, waarin w dz DV s kunnn indln. In dit hoofdstuk zulln w één van dz mthodn, gnaamd d mthod van Eulr, bhandln. Dz mthod is van topassing op n DV van d ord, wlk d volgnd structuur vrtoond: a y ' + b y = R Volldig DV 8

19 Dit typ DV nomn w: linair DV van d ord mt constant coëfficiëntn. D functi R() in ht rchtrlid ht d storingsfuncti. Als R() = 0, dan krijgn w: a y ' + b y = 0 Homogn DV W gaan nu d volldig DV oplossn mt d mthod van Eulr:. Los d homogn DV op, d.w.z. bpaal d oplossing y h. Bpaal n bijzondr oplossing y p van d volldig DV 3. D algmn oplossing van d volldig DV is dan: y = y + y h p. Ht oplossn van d homogn DV Bij ht oplossn van d homogn DV makn w gbruik van d volgnd ignschap. Eignschap: D algmn oplossing van d homogn DV is: yh = C λ mt: λ = constant D onbknd constant λ vindn w door y = C λ in t vulln in d homogn DV. λ y = C y ' = C λ λ Substituti in d homogn DV gft: ( λ ) λ λ λ a y ' + b y = 0 a C λ + b C = 0 C a + b = 0 a λ + b = 0 Karaktristik vrglijking van d HDV Ht oplossn van dz karaktristik vrglijking lvrt d waard voor λ. Voorbld.: Los op: y ' + 6y = 0 Homogn DV Karaktristik vrglijking: λ + 6 = 0 λ = 3 Algmn oplossing HDV: yh = C 3 9

20 Voorbld.: d y Los op: 5 0y = 0 Homogn DV Karaktristik vrglijking: 5λ 0 = 0 λ = Algmn oplossing HDV: yh = C t. Ht bpaln van n bijzondr oplossing van d volldig DV Voor ht zokn van d bijzondr oplossing vuistrgl gbruikn: y p van d volldig DV kunnn w d volgnd En bijzondr oplossing van d volldig DV is (mstal) van dzlfd soort als d storingsfuncti R(). Voorbld.3: R = 4 0 D storingsfuncti is: Voor d bijzondr oplossing van d VDV probrn w dan: Door substituti van van p, q n r. y p (n y p = p + q + r y ' p ) in d volldig DV vindn w d waardn Voorbld.4: R = 4 D storingsfuncti is: Voor d bijzondr oplossing van d VDV probrn w dan: y p = p Voorbld.5: D storingsfuncti is: R = 0 sin Voor d bijzondr oplossing van d VDV probrn w dan: y = p sin + q cos p Opmrking: Ook combinatis van storingsfunctis zijn moglijk. Voorbld.6: R = 5 0 D storingsfuncti is: 4 Voor d bijzondr oplossing van d VDV probrn w dan: 4 y = p + q + r p 0

21 .3 Ht bpaln van d algmn oplossing van d volldig DV D volgnd volldig DV s wordn mt d mthod van Eulr opglost. Voorbld.7: Los op: y ' 4y = 0 Voorbld.8: Los op: y ' + 6y = 50 cos( 4t) Voorbld.9: Los op: d y y t t = mt randvoorwaard: y ( 0) = Voorbld.0: Los op: y ' + 4y = 5 3. Vraagstukkn DV van d ord Los d volgnd DV s op: d y. 3 y ' y = y 0 + = dk K 0 3 y ' 9y = 39sin t + = = 6. y ' 8y 5 = 8. 4 y ' 8y y ' 3y = 9 4 y ' 6y = + di i 0 = i = 5cos ( 5t) mt randvoorwaard:

22 4. DV van d ord Algmn: F (, y, y ', y '') = 0 DV van d ord DV oplossn (,, ) y = f C C Algmn oplossing randvoorwaardn y = f Bijzondr oplossing Er zijn n aantal wiskundig mthodn bknd, waarm w n DV van d ord kunnn oplossn. Dz mthodn hangn af van d vrschillnd typn, waarin w dz DV s kunnn indln. In dit hoofdstuk zulln w één van dz mthodn, gnaamd d mthod van Eulr, bhandln. Dz mthod is van topassing op n DV van d ord, wlk d volgnd structuur vrtoond: a y '' + b y ' + c y = R Volldig DV Dit typ DV nomn w: linair DV van d ord mt constant coëfficiëntn. D functi R() in ht rchtrlid ht d storingsfuncti. Als R() = 0, dan krijgn w: a y '' + b y ' + c y = 0 Homogn DV W gaan nu d volldig DV oplossn mt d mthod van Eulr:. Los d homogn DV op, d.w.z. bpaal d oplossing y h. Bpaal n bijzondr oplossing y p van d volldig DV 3. D algmn oplossing van d volldig DV is dan: y = y + y h p Opmrking: Dzlfd mthod kan dus bij DV s van d n van d ord wordn togpast.

23 4. Ht oplossn van d homogn DV Bij ht oplossn van d homogn DV makn w gbruik van ignschappn. Eignschap : Als y n y tw bijzondr oplossingn van d homogn DV zijn, dan is d algmn oplossing van d homogn DV: y = C y + C y Eignschap : En bijzondr oplossing van d homogn DV is altijd van d vorm: h y = λ mt: λ = constant D onbknd constant λ vindn w door y = λ in t vulln in d homogn DV. y = y ' = λ y '' = λ λ λ λ Substituti in d homogn DV gft: a λ b λ λ λ c λ + + = 0 λ a λ + b λ + c = 0 λ + λ + = 0 a b c Karaktristik vrglijking van d HDV D karaktristik vrglijking is n graads vrglijking. Bij ht oplossn van dz vrglijking ondrschidn w 3 gvalln.. Karaktristik vrglijking hft rël, vrschillnd oplossingn λ n λ. D bijzondr oplossingn van d HDV zijn dan: λ y = λ y = D algmn oplossing van d HDV wor dan: h λ λ y = C + C Voorbld 4.: Los op: y '' y ' 3y = 0 Homogn DV Karaktristik vrglijking: Algmn oplossing HDV: λ λ 3 = 0 ( λ ) ( λ ) + 3 = 0 λ = λ = 3 y = C + C h 3 3

24 . Karaktristik vrglijking hft rël, glijk oplossingn λ n λ. D bijzondr oplossingn van d HDV zijn dan: λ y = λ y = D algmn oplossing van d HDV wor dan: h λ λ y = C + C Voorbld 4.: Los op: y '' 4 y ' + 4y = 0 Homogn DV Karaktristik vrglijking: Algmn oplossing HDV: λ 4λ + 4 = 0 ( λ ) ( λ ) = 0 λ = λ = y = C + C h 3. Karaktristik vrglijking hft compl oplossingn λ n λ. λ = p + q j λ = p q j D bijzondr oplossingn van d HDV zijn dan: ( p+ q j) y = ( p q j) y = D algmn oplossing van d HDV wor dan: h ( p+ q j) ( ) y = D + D p q j Mt d thori van d compl gtalln kunnn w dz vorm uitwrkn tot: p sin y = C cos q + C q h p Voorbld 4.3: Los op: y '' + 4 y ' + 3y = 0 Homogn DV Karaktristik vrglijking: λ + 4λ + 3 = 0 λ, p = = ± 3 j q = 3 Algmn oplossing HDV: cos 3 y = C + C sin 3 h 4

25 Opmrking: D thori om n homogn DV van d ord op t lossn m.b.v. d karaktristik vrglijking, is ook algmn to t passn op n homogn DV van d n d ord. Voorbld 4.4: Los op: y ''' y '' 8 y ' = 0 Homogn DV van d 3 ord Karaktristik vrglijking: Algmn oplossing HDV: 3 λ λ λ 8 = 0 λ λ λ 8 = 0 λ λ + λ 4 = 0 λ = 0 λ = λ = 4 3 y = C + C + C h Ht bpaln van n bijzondr oplossing van d volldig DV Voor ht zokn van d bijzondr oplossing vuistrgl gbruikn: y p van d volldig DV kunnn w d volgnd En bijzondr oplossing van d volldig DV is (mstal) van dzlfd soort als d storingsfuncti R(). Voor d vrdr uitwrking van dz vuistrgl wor vrwzn naar Ht bpaln van d algmn oplossing van d volldig DV D volgnd volldig DV s wordn mt d mthod van Eulr opglost. Voorbld 4.5: Los op: y '' y ' 5y = 30 7 Voorbld 4.6: Los op: y '' y ' = 6 4 mt d randvoorwaardn: y 0 = 0 y = Voorbld 4.7: Los op: y '' y ' 3y = 65 sin ( t) mt d randvoorwaardn: y 0 = 0 y ' 0 = Voorbld 4.8: Los op: y '' y ' 3y = 8 3 5

26 5. Vraagstukkn DV van d ord Los d volgnd DV s op:. y '' + 3 y ' 0y = 0. y '' 6 y ' + 0y = y '' 4 y ' + y = 0 4. y '' 6y = 0 5. y '' + 6y = 0 6. y '' + 8 y ' = 0 7. d w d w w = 0 8. d u du + + 5u = 0 9. y ''' + 6y'' = 0 0. y '' + 49y ' + 600y = 6. y '' y ' 0y = b g b g 3. y '' + y = 6sin cos mt: 3 4. y '' 9y = 0 6. y '' 00y = t + 00 b g. y '' + y ' + 5y = 85cos 4t R S T y( 0) = y( π) = 4 5. y '' y ' = y '' 7y ' + y = 8 mt: 6. Inliding voor DV-topassingn R S T y( 0) = 0 y '( 0) = W gaan nu n aantal topassingn bhandln, waarbij diffrntiaalvrglijkingn n rol spln. Bij dz topassingn gl als uitgangspunt, dat w n linair systm hbbn. Op d ingang van dit systm zttn w n input R(). Aan d uitgang mtn w dan n output y(). Schmatisch zit ht (fysisch) problm r als volgt uit: linair Input R() systm Output y() W ondrschidn d volgnd typn linair systmn: A. Linair systmn van d ord. In dit gval lvrt d vrtaling van ht fysisch modl ht volgnd wiskundig modl op: a y ' + b y = R Ht wiskundig modl is dus n linair DV van d ord (mt constant coëfficiëntn). 6

27 B. Linair systmn van d ord. In dit gval lvrt d vrtaling van ht fysisch modl ht volgnd wiskundig modl op: a y '' + b y ' + c y = R Ht wiskundig modl is dus n linair DV van d ord (mt constant coëfficiëntn). In d volgnd hoofdstukkn wordn n aantal voorbldn van linair systmn, zowl van d als van d ord, bhandld. 7. Linair systmn van d ord 7. RC-kring (zi ondrstaand schma) i R u C v Ggvn: Ingangsspanning u (volt) Wrstand R (ohm) Condnsator mt capacitit C (farad) Vraag: Stl n wiskundig modl op voor d uitgangsspanning v. Oplossing: W startn vanuit d spanningsvrglijking (of maasvrglijking): u = u + u R C Vrdr gl: wrstand: condnsator: ur u C = i R = v Substituti van () in () gft: u = i R + v Ook gl voor d condnsator: = du dv = C i C i C ( 3) ( 4) 7

28 Substituti van (4) in (3) gft: dv dv u = R C + v R C + v = u Wiskundig modl Ht wiskundig modl is n linair DV van d ord mt constant coëfficiëntn. Dz DV lossn w op mt d mthod van Eulr. D algmn oplossing wor dan: v = f t, D Voorbld 7.: W gaan uit van n RC-kring mt: Ingangsspanning u = 0 cos(50t) R = Ω C = 0 µf Op t = 0 is d condnsator ongladn. Vraag: Bpaal d uitgangsspanning v Oplossing: dv R C + v = u dv + = ( t) 5 0 v 0 cos 50 W gaan dz DV oplossn mt d mthod van Eulr. a. HDV: KVG: dv + = 5 0 v 0 + = 5 0 λ 0 Dus: h 0 5 t v = D λ = = b. VDV: vp = A cos( 50t ) + B sin ( 50t ) v' = 50A sin ( 50t ) + 50B cos( 50t ) p Substituti van v p n v ' p in d VDV lvrt d waardn voor A n B op: A = 9, B = 0, , Dus: v = 0 cos 50t + 0, sin 50t p c. Algmn oplossing VDV: 0 5 t v = D + 0 cos 50t + 0, sin 50t 8

29 d. Bijzondr oplossing VDV: Randvoorwaard: op t = 0 is d condnsator ongladn. Dit btknt: t = 0 v = 0 Substituti van dz randvoorwaard in d algmn oplossing gft: 0 0 = D + 0 cos 0 + 0, sin 0 0 = D + 0 D = 0 D bijzondr oplossing wor dan: 0 5 t v = cos 50t + 0, sin 50t 7. Valbwging mt luchtwrstand En lichaam (massa = m kg) valt rchtlijnig door d lucht naar bndn. Er is sprak van n vrij val mt luchtwrstand. W nmn aan dat dz luchtwrstand F W vnrdig is mt d valsnlhid v. Vraag: Stl n wiskundig modl op voor d valsnlhid v. Oplossing: W startn vanuit d krachtnvrglijking: - Op ht lichaam wrkn krachtn: g F W zwaartkracht: FZ = m g mt: g = vrsnlling van d zwaartkracht m luchtwrstand: F = k v W mt: k = vnrdighidsconstant F Z + D rsultrnd kracht R op ht lichaam is dan: R = F F R = m g k v Z W Volgns Nwton gl: dv R = m a R = m Hirin is: a = vrsnlling van ht vallnd lichaam 9

30 Substituti van () in () gft: dv m = m g k v dv m + k v = m g Wiskundig modl Ht wiskundig modl is n linair DV van d ord mt constant coëfficiëntn. Dz DV lossn w op mt d mthod van Eulr. D algmn oplossing wor dan: v = f t, C Voorbld 7.: En kogl (massa = kg) valt vrij door d lucht. D wrijvingsconstant k = 3 Ns/m. D vrsnlling van d zwaartkracht g = 0 m/s. Als w op t = 0 d kogl loslatn, bpaal dan d valsnlhid als functi van d tijd. 7.3 Afkoling van n lichaam En lichaam mt n tmpratuur = T (in C) wor gplaatst in n omgving mt n constant tmpratuur = T 0 (in C). Hirdoor nmt d tmpratuur van dat lichaam af (of nmt to, als T < T 0 ). Vraag: Stl n wiskundig modl op voor d lichaamstmpratuur T. Oplossing: W startn vanuit d afkolingswt van Nwton: D snlhid, waarm d tmpratuur T van n lichaam vrandrt, is vnrdig mt ht tmpratuurvrschil tussn dat lichaam n d omgving. dt = mt: Dz afkolingswt lui in formul: k ( T T ) Vrdr uitwrkn van dz formul gft: 0 k = vnrdighidsconstant dt dt = k T k T0 k T k T Wiskundig modl 0 = Ht wiskundig modl is n linair DV van d ord mt constant coëfficiëntn. Dz DV lossn w op mt d mthod van Eulr (zi moduul 7, H. ). D algmn oplossing wor dan: T = f t, C 30

31 Voorbld 7.3: En lichaam (tmpratuur = 00 C) wor gplaatst in n luchtstroom mt n constant tmpratuur van 0 C. Na 5 minutn is dat lichaam afgkold tot 60 C. Vraag: Bpaal d lichaamstmpratuur T als functi van d tijd. Oplossing: dt k T k T0 = dt k T k 0 = W gaan dz DV oplossn mt d mthod van Eulr. dt a. HDV: k T 0 = KVG: λ k = 0 λ = Dus: Th = C k t k b. VDV: Tp = A T ' p = 0 Substituti van T p n Dus: T p = 0 c. Algmn oplossing VDV: T ' p in d VDV lvrt d waard voor A op: A = 0 T k t = C + 0 d. Bijzondr oplossing VDV: Randvoorwaard: op t = 0 is d lichaamstmpratuur 00 C. Dit btknt: t = 0 T = 00 Substituti van dz randvoorwaard in d algmn oplossing gft: 0 00 = C = C + 0 C = 90 D bijzondr oplossing wor dan: k t T = Etra ggvn: Na 5 minutn is d lichaamstmpratuur 60 C. Dit btknt: t = 300 (sc) T = 60 Substituti van dit tra ggvn in d bijzondr oplossing gft: 60 = = k k 300 k ln = ln 300 k = 0,58779 k = 0,

32 D oplossing wor dan: T = + 0,0096 t 90 0 D grafik van d lichaamstmpratuur T als functi van d tijd wor dan: 8. Vraagstukkn Linair systm van ord Linair systmn van d rst ord wiskundig modlln.. RC-kring: R = (kω) Ingangsspanning = 6 (V) (glijkspanning!) C = 0 (µf) Op t = 0 is d condnsator ongladn. Vraag: Bpaal d uitgangsspanning v.. En kogl (massa = 5 kg) valt vrij door d lucht. D wrijvingsconstant k = (Ns/m) n g = 0 (m/s ). Als w op t = 0 d kogl vrticaal naar bndn schitn mt snlhid = 08 (km/h), bpaal dan d snlhid van d kogl als functi van d tijd. 3. En motorblok wor gkold d.m.v. lucht mt n constant tmpratuur van 5º C. Door n fout valt dz luchtkoling nig tijd uit. Daardoor loopt d tmpratuur van dit motorblok op tot 30º C. Op dat momnt komt dz luchtkoling wr op gang. Na 0 minutn is ht motorblok dan afgkold tot 70º C. D afkoling van dit motorblok wor bschrvn door ht wiskundig modl: d T k T = k T0 d t mt: T = tmpratuur (in º C) van ht motorblok T 0 = Omgvingstmpratuur (in º C) t = tijd (in scondn) k = vnrdighidsconstant. Vraag: Bpaal d tmpratuur van dit motorblok als functi van d tijd. 3

33 9. Linair systmn van d ord 9. RLC-kring (zi ondrstaand schma) i L u R C v Ggvn: Ingangsspanning u (volt) Wrstand R (ohm) Spol mt zlfinducti L (hnry) Condnsator mt capacitit C (farad) Vraag: Stl n wiskundig modl op voor d uitgangsspanning v. Oplossing: W startn vanuit d spanningsvrglijking: u = ur + ul + uc Vrdr gl: wrstand: spol: ur u L = i R di = L condnsator: uc = v Substituti van () in () gft: di u = i R + L + v Ook gl voor d condnsator: ( 3) du dv = = C i C i C di = C d v ( 4) Substituti van (4) in (3) gft: dv d v d v dv u = R C L C v + + L C R C v u + + = Wisk. modl Ht wiskundig modl is n linair DV van d ord mt constant coëfficiëntn. Dz DV lossn w op mt d mthod van Eulr (zi moduul 7, H. 4). D algmn oplossing wor dan: 33

34 v = (,, ) f t D D Voorbld 9.: W gaan uit van n RLC-kring mt: Ingangsspanning = V R = 40 Ω C = 300 µf L = 0,4 H Vraag: Bpaal d uitgangsspanning v. 9. Massa-vr systm En lichaam (massa = m kg) bvin zich in n vrticaal vlak, n bwgt in dat vlak ondr invlod van d zwaartkracht (vrsnlling van d zwaartkracht = g m/s ). Dit lichaam is vrbondn mt n vast vr (vrconstant = k). Tvns wor d bwging van dat lichaam gdmpt door n dmpr (d = dmpingconstant). Als ht lichaam nit bwgt, dan zit dat lichaam in zijn vnwichtsstand (zi ondrstaand figuur). vr g (m/s ) T V F D vnwichtsstand F Z + Y dmpr W vrplaatsn nu ht lichaam y (mtr) naar bndn n latn ht lichaam dan los. Ht lichaam gaat dan bwgn ( trilln ). Er wrkn dan 3 krachtn op dat lichaam: d zwaartkracht F Z, d vrkracht F V n d dmpingkracht F D (d luchtwrstand wor buitn bschouwing glatn). 34

35 D vrkracht is vnrdig mt d afstand y, waarovr d vr wor uitgrkt (Wt van Hook). D dmpingkracht is vnrdig mt d snlhid v van ht lichaam. Dus: Zwaartkracht: Vrkracht: Dmpingkracht: FZ F V FD = m g = k y = d v D rsultrnd kracht R op ht lichaam is dan: R = FZ FV FD Substituti van () in() gft: R = m g k y d v Uit (3) kunnn w aflidn: ( 3) d y d y 0 m d k y + + = Wiskundig modl Dit is ht wiskundig modl van d vrij mchanisch trilling. Hirin stlt d onbknd y d uitwijking voor van ht lichaam t.o.v. d vnwichtsstand. Omdat op ht lichaam vrdr gn uitwndig kracht wrkt, zal ht lichaam na vrloop van tijd ophoudn mt bwgn n tot stilstand komn in d vnwichtsstand. Als op ht lichaam wl continu n uitwndig kracht F wrkt, dan wor ht wiskundig modl voor d uitwijking van ht trillnd lichaam: d y d y m d k y F + + = Wiskundig modl Dit is ht wiskundig modl van d gdwongn mchanisch trilling. Voorbld 9.: W gaan uit van n vrticaal gdmpt massa-vr systm. Massa lichaam: m = kg Vrconstant: k = N/m Dmpingconstant: d = 3 kg/s Op t = 0 krijgt ht lichaam in d vnwichtsstand n nrwaarts snlhid van m/s. F = 7 cos t sin t Bovndin wrkt op dat lichaam n uitwndig kracht Vraag: Bpaal d uitwijking van dat lichaam als functi van d tijd. 35

36 Oplossing: Ht wiskundig modl voor d uitwijking y wor: d y d y 3 y 7 cos t sin t + + = W lossn dz DV op mt d mthod van Eulr: a. HDV: KVG: Dus: d y d y 3 y = λ λ λ λ h = 0 = = y = C + C t t b. VDV: y p = A cos( t) + B sin ( t) y ' p = A sin ( t) + B cos ( t) y '' = A cos( t) B sin ( t) Substituti van p y p, A = n B = Dus: y = cos t + sin t p y ' p n y '' p in d VDV lvrt d waardn voor A n B op: c. Algmn oplossing VDV: y = C + C + t + t t t cos sin d. Bijzondr oplossing VDV: Randvoorwaardn: op t = 0 zit ht lichaam in d vnwichtsstand, n hft dan n snlhid van + m/s. Dit btknt: t = 0 t = 0 y = 0 n v = Volgns d mchanica is d snlhid van n lichaam glijk aan d afglid van d wg: d y t t v = v = C C sin ( t) + cos( t) Dus: t = 0 0 = C + C + y = 0 t = 0 v = = C C + 36

37 Uit () n () volgt: 0 = C + C + C = C = C C = + D bijzondr oplossing wor dan: t t y = + cos t + sin t 0. Vraagstukkn linair systm van ord. RLC-kring: L = 0, (H) R = 00 (Ω) Ingangsspanning = 0.cos(50t) C = 000 (µf) Vraag: Bpaal d algmn oplossing voor d uitgangsspanning v t.. En mchanisch trillingssystm bstaat uit n vrtical schrofvr mt vrconstant k = N/m n daaraan ghangn n lichaam mt n massa m = kg. Dit trillingssystm wor gplaatst in n mdium mt dmpingconstant d = 3 kg/s. Bovndin wor dit systm blootgstld aan n uitwndig kracht F. D uitwijking y van ht lichaam t.o.v. d vnwichtsstand wor bschrvn door ht wiskundig modl: d y d y m d k y F + + = a. Bpaal d uitwijking van ht lichaam, als r sprak is van n vrij mchanisch trilling. t b. W brngn n uitwndig kracht F = 3 (in N) aan. Bpaal d uitwijking van ht lichaam, als r sprak is van n gdwongn mchanisch trilling. c. In d vnwichtsstand krijgt ht lichaam op t = 0 n opwaarts snlhid van 4 m/s. Bpaal in dat gval d uitwijking van ht lichaam, als r sprak is van n gdwongn mchanisch trilling.. DV oplossn mt Mapl Voorbld.: W willn d volgnd diffrntiaalvrglijking oplossn: y '' + 6 y ' + 8y = 9 t. () Allrrst gaan w dz DV invorn in MAPLE. Bij ht invorn (n ook bij ht oplossn) van n DV is ht van blang om t wtn wlk d onbknd functi is, n van wlk variabl dz functi afhangt. In () is y d onbknd functi, n t d variabl. Dus: y(t) willn w oplossn uit d DV van (). 37

38 En afglid wor in MAPLE ingvord mt bhulp van d zgn. D-oprator (andr manirn van invorn zijn ook moglijk). D rst afglid van y(t) wor ingvord mt ht MAPLE-commando: D twd afglid van y(t) wor ingvord mt ht MAPLE-commando: D(y)(t) D(D(y))(t) D DV van () wor nu in MAPLE als volgt ingvord: DV:= D(D(y))(t) + 6*D(y)(t) +8*y(t) = 9*p(-t) ; D MAPLE-racti is : DV : = D ( y)( t) + 6 D( y)( t) + 8 y( t) = 9 t Mrk op dat w ook hir d vrglijking toknnn aan n variabl (hir: DV). Ht MAPLE-commando om n DV op t lossn is: dsolv ( diffrntiaalvrglijking, functi ) ; Ht MAPLE-commando n d MAPLE-racti voor ht oplossn van d DV uit () zijn dan: opl:= dsolv ( DV, y(t) ) ; + () opl := y(t) = ( 3 _ C _ C ) t t t Omdat r bij dz DV uit () gn bginvoorwaardn ggvn zijn, wor door MAPLE d algmn oplossing () bpaald, d.w.z. n oplossing waarin nog onbknd constantn C n C voorkomn. D constant C wor door MAPLE als _C (undrscor C ) wrggvn. D oplossing () van d DV uit () zal in d juist wiskundig notati dan zijn: + 3 t t t y(t) = ( C C ) In ht volgnd voorbld wor n DV opglost, waarbij wl bginvoorwaardn zijn ggvn. Voorbld.: Los d volgnd DV op: y '' + 6 y ' + 8y = 9 t (3) Bij dz DV zijn d volgnd bginvoorwaardn ggvn: op t = 0 gl: 0 y ' t = 7 y t = n Dit kunnn w ook als volgt notrn: ( 0) 0 y = n y ' 0 = 7.. (4) Dz bginvoorwaardn uit (4) wordn in MAPLE ingvord als n rij van vrglijkingn: RV:= y(0) = 0, D(y)(0) = 7 ; 38

39 Mrk op dat w ook hir d rij van vrglijking toknnn aan n variabl (hir: RV). Ht MAPLE-commando om n DV mt bginvoorwaardn op t lossn is: dsolv ( [diffrntiaalvrg., bginvoorw.], functi ) ; D MAPLE-commando s n d MAPLE-ractis voor ht oplossn van d DV uit (3) mt bijbhornd bginvoorwaardn (4) zijn dan: DV:= D(D(y))(t) + 6*D(y)(t) +8*y(t) = 9*p(-t) ; DV : = D ( y)( t) + 6 D( y)( t) + 8 y( t) = 9 RV:= y(0) = 0, D(y)(0) = 7 ; opl:= dsolv ( [DV, RV], y(t) ) ; RV := y(0) = 0, D(y)(0) = 7 opl := y(t) = ( 3 ).. (5) t t t Omdat r bij dz DV uit (3) wl bginvoorwaardn ggvn zijn, wor door MAPLE d bijzondr oplossing (5) bpaald, d.w.z. n oplossing waarin d constantn C n C n waard hbbn gkrgn, waardoor dz constantn uit d algmn oplossing (zi ()) vrdwijnn. Vaak zijn w ook gïntrssrd in d grafik van d bijzondr oplossing. Om in dit voorbld d grafik van d oplossing y(t) t kunnn tknn, motn w rst in (5) ht rchtrlid (in ht Engls: right hand sid) van y(t) toknnn aan n variabl. Ht MAPLEcommando n d MAPLE-racti zijn : Y:= rhs (opl) ; t t t =. (6) Y : 3 Opmrking : Ht vrschil tussn (5) n (6) is, dat in (5) rchts van ht := tkn n vrglijking staat, trwijl in (6) rchts van dat := tkn n functi staat. Van n functi kun j n grafik tknn, maar bij n vrglijking gaat dat nit!!! D grafik van d oplossing (6) wor dan: 39

40 plot (Y, t = 0..6) ; Voorbld.3: Ggvn is d volgnd DV: y '' + 6 y ' + 9y = 5 sin Vraag: Los dz DV op n notr d oplossing in d juist wiskundig notati. Oplossing: Lt op dat w uit dz DV d functi y() willn oplossn. D MAPLE-commando s n d MAPLE-ractis zijn: DV:= D(D(y))() + 6*D(y)() +9*y() = 5*sin(t) ; opl:= dsolv ( DV, y() ) ; DV : = D ( y) + 6 D( y) + 9 y = 5sin opl := y() = 3 _ C + _ C cos + sin D juist wiskundig notati van d (algmn) oplossing wor dan: y() = 3C + C cos + sin Voorbld.4: Ggvn is d volgnd DV : y '' + 4 y ' + 3y = 8 Bij dz DV zijn d volgnd bginvoorwaardn ggvn: op t = 0 gl: 0 y ' t = 9 y t = n Vraag: a. Los dz DV op n notr d bijzondr oplossing b. Tkn d grafik van dz oplossing. t

41 Oplossing: a. D MAPLE-commando s n d MAPLE-ractis zijn: DV:= D(D(y))(t) + 4*D(y)(t) +3*y(t) = 8*p(-t) ; ( t) DV : = D ( y)( t) + 4 D( y)( t) + 3 y( t) = 8 RV:= y(0) = 0, D(y)(0) = 9 ; RV := y(0) = 0, D(y)(0) = 9 opl:= dsolv ( [DV, RV], y(t) ) ; D bijzondr oplossing staat nu in (7): y(t) = 3 sin ( 3t ) cos( 3t ) + opl := y(t) = 3 sin ( 3t ) cos( 3t ) t t t b. D MAPLE-commando s n d MAPLE-ractis zijn: +.. (7) t t t Y:= rhs (opl) ; plot (Y, t = 0..6) ; Y : = 3 sin 3t cos 3t + t t t. Antwoordn. antwoordn vraagstukkn diffrntiaalrkning 3. f ' = 8 9. f ' t = t + 0t + 3. f ' = 5 4. f ' = 4 5. f ' = 4cos 4 sin 6. f ' 7 = ( ) 4

42 7. f '( u) 9. f ' = = 5 ( u) ( ) 8. f '( t) 0. f '. f '( t) = 8t 6t. = = 4t ( t 6) sin sin cos f ' = 4a + 4b 4. antwoordn vraagstukkn intgraalrkning C. 5 + C C C C 6. sin t + 5 t + C ln0 3 u u + ln u + C C C ln u 5 +. cos u + C. ln u + + cos( u) + C u 0. 0 cot ( t) C 6. antwoordn vraagstukkn substituti-mthod. ( ) 9 + C cos 4t + C 3. cos 4 ( ) + C C 5. 3 t + C ln + + C 7. 4 ln cos 4 sin 4 + C 8. ln u 6 + C C 6 0. sin + C. ( 5 ) C. + C sin 8. antwoordn vraagstukkn bruksplitsings-mthod(typ I). 3 ln ln 4 + C. 4 + ln C ln + ln + + C ln + + C ln 4 ln C ln arctan + C 3 4

43 0. antwoordn vraagstukkn bruksplitsings-mthod(typ II). ln + 4 ln + ln C ln + C ( ) ln ln + C 3 ln t + ln t 3 ln t + + C 5 ln ln 3 + C ( ) ln ln + C 4 4 ( ) 3. antwoordn vraagstukkn DV van d ord. yh 4 =. C yh = C 5 t 3. Kh 9 = C t 4 3t 4. y = C 3sin ( t) cos( t) y C = y C = = 3 3 y C 3 y = C t 9. i = + cos 5t + sin 5t 5. antwoordn vraagstukkn DV van d ord 5. yh = C + C. 3 t 3 t y = C cos t + C sin ( t) h 3. yh = C + C yh = C + C 5. y = C cos( 4) + C sin ( 4) 6. h h 8 y = C + C 43

44 7. 4 t t 3 wh = C + C 8. t t uh = C cos( t ) + C sin ( t ) 6 9. yh = C + C + C y = C + C +. y 0 7 C C t t = + b g b g b g b g bg bg b g b g. y = C cos t + C sin t + 8sin 4t cos 4t 3. y = cos + 8 sin sin + 4 cos y = C + C y = C + C 00 0t 0t 0t 6. y = C + C + t y 3 = antwoordn vraagstukkn linair systm van d ord. Alg. opl.: v 50t = D + 6 Bijzondr opl.: 50t 6 6 v = + 3. Alg. opl.: t 5 v = C + 5 Bijzondr opl.: 5 v = t 4. Alg. opl.: T C k = t + 5 Bijzondr opl.: T = + 0,003 t antwoordn vraagstukkn linair systm van d ord 0, t 989,9 t. v = D + D + ( t) + ( t). a. b. c. 6, 455 cos 50 43,033 sin 50 y = C + C h t t t t y = C + C + t t y = t t 44