TENTAMEN. Thermodynamica en Statistische Fysica (TN )

Transcriptie

1 TENTAMEN Thrmodynamica n Statistisch Fysica (TN ) 3 april :00-12:30 Ht gbruik van ht diktaat is NIET togstaan. Zt op lk papir dat u inlvrt uw naam. Bgin idr opgav bovnaan n niuw pagina. Vrmld bij idr numrik antwoord d nhid. Ht tntamn bstaat uit vir opgavn SUCCES! Gasconstant R = J mol 1 K 1 Boltzmann constant k B = J K 1 Constant van Avogadro N Av = mol 1 Constant van Planck h = J s massa watrstofatoom m H = kg 1 Angstrom = m 1 cal = J

2 Opgav 1. Thrmodynamica van n idaal gas (20 puntn) En systm van 1 mol idaal gas bvindt zich in n cilindr mt n zuigr. D spcifik warmt bij constant volum van ht gas wordt ggvn door C V = (3/2)R. Initil is ht gas in vnwicht bij n tmpratuur n druk van T 1 = 300 K n P 1 = 10 5 Pa. Er wordn achtrnvolgns tw procssn uitgvord (zi figuur): (1 2) W haln n palltj wg waardoor ht gas irrvrsibl xpandrt tgn n constant buitndruk van P xt = Pa. D xpansi wordt door middl van n twd palltj gstopt als ht volum 2 maal zijn oorspronklijk waard hft brikt. Ht gas vindt hirna n niuw vnwicht bij tmpratuur T 2 = T 1 = 300 K n n druk P 2 = 1 2 P 1 = Pa. (2 3) Daarna koln w ht gas bij constant volum af van T 2 = 300 K naar T 3 = 250 K. a Brkn d warmt Q di aan ht systm is togvord, d arbid w di op ht systm is uitgofnd, n d nrgi tonam U van ht systm. Do ht bovnstaand voor lk van d 2 procssn apart n voor ht complt procs. b Brkn d nthalpi tonam H van ht systm voor lk van d 2 procssn apart n voor ht complt procs. c Brkn d ntropi tonam S van ht systm voor lk van d 2 procssn apart n voor ht complt procs.

3 Opgav 2. D Langmuir isothrm (25 puntn) In dz opgav bschouwn w n idaal gas in vnwicht mt n adsorbrnd opprvlak. Ht adsorbrnd opprvlak hft M adsorpti plaatsn. Hirvan zijn N ads bzt. a Laat zin dat ht aantal ralisringsmoglijkhdn wordt ggvn door Ω = M! N ads!(m N ads!) D nrgi van n gadsorbrd dltj is ǫ ads = ǫ 0 + ( n x + n y + n z ) hω waarin n x, n y n n z quantumgtalln zijn di idr d waard 0, 1, 2,... kunnn zijn. b Brdnr dat d partitifuncti luidt Q = Brkn q. M! N ads!(m N ads )! qn ads c Brkn d chmisch potntiaal µ ads. d Brkn d chmisch potntiaal van n idaal gas van N dltjs mt tmpratuur T n volum V. q t 2πmkB T 3/2 = V h 2 Ht idal gas is in vnwicht mt ht adsorbrnd opprvlak. Brkn d fracti N ads /M als functi van tmpratuur T n gasdruk P. Stirling bnadring: lnn! N ln N N, oftwl N! n=0 x n = 1 1 x mits x < 1. ( N ) N

4 Opgav 3. En 1-dimnsional polymr ktn (25 puntn) In dz opgav bschouwn w d statistisch mchanica van n 1-dimnsional polymr ktn, opgbouwd uit M opnvolgnd onrkbar sgmntn van lngt l. Elk sgmnt kan in d positiv of ngativ richting langs d x-as liggn, mt andr woordn naar rchts of naar links tn opzicht van ht ind van ht vorig sgmnt. Voor n bpaald configurati duidn w ht aantal sgmntn naar rchts aan mt N + n ht aantal sgmntn naar links mt N. Voor ht gmak latn w ht rst sgmnt op positi x = 0 bginnn. W willn nu ht aantal moglijk configuratis brknn waarvoor ht ind van ht laatst sgmnt op positi x = R ligt. a Maak n tkning van d situati. Laat zin dat N + = 1 2 (M + N) n N = (M N), mt N = R/l. 1 2 b Maak aannmlijk dat ht aantal vrschillnd configuratis, mt ht ind van ht laatst sgmnt op R, wordt ggvn door Ω(R) = M! N +!N!. W nmn aan dat r vrdr gn nrgtisch bijdragn zijn, U = 0, zodat d vrij nrgi bij n bpaald afstand R tussn d uitindn wordt ggvn door A(R) = TS(R) = k B T ln Ω(R). D kracht f(r) di tussn d tw uitindn van d polymr ktn wordt uitgofnd is f(r) = da(r) dr. c Laat zin dat voor grot M d kracht tussn d tw uitindn wordt ggvn door (hint: gbruik d Stirling bnadring; mrk ook op dat M = constant n R = Nl) f(r) = k BT 2l ln 1 R Ml 1 + R Ml n lg uit wat r gburt voor R Ml. d Voor klin afstandn tussn d uitindn, R Ml, is d kracht f(r) vnrdig mt d afstand. Dit komt ovrn mt n Hooks (harmonisch) vr, f(r) = kr. Laat zin dat d ffctiv vrconstant k wordt ggvn door k = k BT Ml 2 Bovnstaand polymrktn staat modl voor ht gdrag van n rubbr lastikj. Bschrijf wat r gburt mt d spanning in n lastikj als j d tw uitindn van ht lastikj tussn tw klmmn spant n d tmpratuur vrhoogt. Taylor ontwikkling: ln(1 + x) x 1 2 x x3... Stirling bnadring: lnn! N ln N N.

5 Opgav 4. NO gas (30 puntn) In dz opgav bschouwn w n idaal gas van N stikstofmonoxid (NO) molculn (lk mt massa m) in n volum V bij tmpratuur T. D molculair partiti functi q wordt ggvn door n product van lctronisch, vibrati-, rotati- n translati-partiti functis: q = q q v q r q t q = ω0 xp { βǫ 0 { } } q v = xp 1 2 Θv /T 1 xp { Θ v /T } q r T = σθ r q t 2πmkB T 3/2 = V h 2 D total partiti functi van ht hl systm is Q = 1 N! qn. a σ is ht symmtrigtal. Wat is d waard van σ hir? b Lg uit waarom d uitdrukking voor Q n factor 1/N! bvat. c Laat zin dat d ntropi van ht gas wordt ggvn door S Nk B [ (2πmkB ) T 3/2 = ln h 2 5/2 V ] T + ln N σθ r + Θv /T Θv /T 1 ln 1 Θv /T + ln ω0 d Wat is voor 1 NO molcuul d kans dat hij in ht canonik nsmbl (N, V n T constant) in vibratitostand n v = 2 (mt nrgi 5 2 hω = 5 2 k BΘ v ) wordt aangtroffn? Brkn dz kans bij T = 300 K. Θ v (NO) = 2719 K n Θ r (NO) = 2.45 K. In ht canonik nsmbl is d kans dat d x-componnt van d impuls van n dltj tussn p x n p x + dp x ligt glijk aan { f p (p x )dp x = C xp 1 } 2mk B T p2 x dp x Gf n formul voor d normringsfactor C. f Wat is d gmiddld snlhid v x in d x-richting van n NO molcuul? 3kB T g Laat zin dat d wortl uit d gmiddld kwadratisch (oftwl d root-mansquar ) snlhid wordt ggvn door v 2 = m. Lt op: ht molcuul kan in dri dimnsis (x, y, n z) bwgn, maar lk dimnsi is quivalnt. Brkn v 2 van n NO molcuul bij T = 300 K. m NO = 30m H. Stirling bnadring: lnn! N ln N N, oftwl N! xp ( αx 2) dx = π α. x2 xp ( αx 2) dx = 1 2α π α. ( N ) N