QUANTUM FYSICA 1 3BB50 + 3NB50. Woensdag 28 oktober uur. Dit tentamen omvat 2 opgaven.

Transcriptie

1 1 QUANTUM FYSICA 1 3BB5 + 3NB5 Wonsdg 8 oktor uur Dit tntmn omvt opgvn. Bij idr ondrdl wordt nggvn wt d mximl scor is op n schl vn 1 puntn. Ht formulld voor dit tntmn is ijgvogd ná d opgvn, op pgin 6. Op d ltst pgin is n ijlg ggvn voor opgv ; dnk rn dz in t lvrn tzmn mt d uitwrkingn! Ht gruik vn n lptop n rknmchin is nit togstn. D ntwoordn n knopt uitwrkingn wordn mtn n floop vn ht tntmn op Studyw gpltst. n 1

2 1 Opgv 1. Vrij dltjs n ht Rmsur-Townsnd ffct 1. Schrijf d tijdsfhnklijk ndimnsionl Schrödingr-vrglijking op voor n vrij lktron mt mss m n nrgi E. Lid druit d tijdsonfhnklijk Schrödingr-vrglijking f voor dit vrij dltj. (3 puntn). Los d tijdsonfhnklijk Schrödingr-vrglijking op n rkn hiruit Ψ ( x, t). (3 puntn) 3. D oplossing in ondrdl hft d ignschp dt d impuls schrp pld is. Lg uit wrom dit nit strijdig is mt d onzkrhidsrlti vn Hisnrg. (3 puntn) Rmsur n Townsnd litn in ht gin vn d jrn twintig zin d otsingskns tussn lktronn n tomn zr klin wordt voor n spcifik wrd vn d nrgi vn d lktronn, ijvoorld ij ongvr.7 V voor otsingn mt xnon. Dit is ht Rmsur-Townsnd ffct dt lln grpn kn wordn vi ht golfkrktr vn d lktronn. W gn dit nu studrn n d hnd vn ht gdrg vn vrij lktronn mt nrgi E. D lktronn vrstrooin n n zr nvoudig modl voor n toom, d ndimnsionl potntilput mt dipt V, di glgn is tussn x = n x = (zi d figuur rchtsondr). Crl Rmsur John Townsnd 4. Bpl voor dz potntil d lgmn oplossingn vn d tijdonfhnklijk Schrödingr-vrglijking voor < x < +. (4 puntn) 5. Wlk rndvoorwrdn zijn r mt trkking tot dz oplossingn? (3 puntn) 6. Mk n schts vn ht rël dl vn d golffuncti in ht gid 4< x<+ 4. (4 puntn) n

3 1 7. Lt vi d rndvoorwrdn zin dt d vrhouding tussn d mplitud vn gtrnsmittrd n inkomnd golf glijk is n: vrhouding = ik 4kk ( + ) ( ) k k k k ik ik mt k = me, k ' = ( + ) m E V. (15 puntn) 8. Toon n dt d trnsmissi voor ik' = 1 glijk is n één. (8 puntn) 9. Brkn d ijhornd nrgi vn d lktronn n toon n dt dz nrgi ook gvondn wordt uit dstructiv intrfrnti di ontstt tussn d rflcti n d rst n d twd potntilstp. (7 puntn) n 3

4 1 Opgv. D hrmonisch oscilltor in dri dimnsis Ht prolm vn d dridimnsionl hrmonisch oscilltor mt n potntil V( r) = mω r = mω ( x + y + z ) 1 1 kn nit lln opglost wordn door ht gruik vn crtsisch coördintn ( x, yz, ) mr ook door ht gruik vn olcoördintn (, r θ, φ ) n sprti to t pssn. Dit rsultrt in d rdil vrglijking: dunl ( ρ) + V ff ( ρ) unl ( ρ) = εnl unl ( ρ) (1) d ρ r mt n dimnsiloz strl ρ =, mt β = β ll ( + 1), n mt Vff ( ρ) = + ρ. mω ρ Er stn oplossingn voor ghl wrdn n =,1,, n l n. 1. Lt zin dt vrglijking (1) corrspondrt mt d ndimnsionl rdil 1 Schrödingr vrglijking mt d ffctiv potntil V () r = mω r + wrij ε nl E nl =. (8 puntn) ω l+ 1. Toon n dt d functi unl ( ρ) Anl ρ xp ( ρ /) ll ( + 1) mr ff = n oplossing is vn vrglijking (1) wnnr l = n n E 3 nl = ( n+ ) ω. (8 puntn) 3. Bpl d normringconstnt A nn. (8 puntn) 4. Brkn d vrwchtingswrd vn ρ n ρ voor d tostnd u nn. (8 puntn) n 4

5 1 5. Brkn d positi ρ min n d functiwrd in ht minimum Vff ( ρmin ) vn d ffctiv potntil V ( ) ff ρ. (5 puntn) 6. Mk n schts vn V ( ) ff ρ ls functi vn ρ voor l = 1. Gf in dzlfd tkning ht nrginivu ε 1,1 n. Gruik hirvoor d grfik op d ltst pgin vn dit tntmn. Voor ht gmk is in dz grfik d functi ρ gtknd! (4 puntn) 7. Schts in dzlfd tkning d golffuncti u ( ) 1,1 ρ. Lt hirij spcil op d spctn golflngt, ht ntl knopn n vntul d mt vn doordringing in klssik vrodn gidn. (4 puntn) 8. D klssik uitdrukking voor ht impulsmomnt vn n cirklwging mt strl r n hokfrqunti ω is L = mω r. D quntum-mchnisch klss uitdrukking luidt L = L = l( l+ 1). Brkn d wrd vn L klss hulp vn ht rsultt vn ρ min n vrglijk ht ntwoord mt ht quntummchnisch rsultt. (5 puntn) mt n 5

6 1 QUANTUM FYSICA 1 - formulld goniomtri sin( ± ) = sin cos± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin cosinusrgl c = + cosθ stndrd intgrln 1 x xsin( x) dx = sin( x) cos( x) 1 x x cos( x) dx = cos( x) + sin( x) n x/ n+ 1 x dx= n! n! x dx = ( n) n x/! x dx = π n! n+ 1 x / n+ prtiël intgrti dg df f dx = fg g dx dx dx n+ 1 ntuurconstntn (fgrond) mss lktron m = kg mss proton m p = kg lmntir lding = C constnt vn Plnck ħ = J s constnt vn Boltzmnn k B = J K -1 lichtsnlhid c = m s -1 prmittivitit vcuüm ε = C J -1 m -1 n 6

7 1 Nm: Idntititsnr. : n 7