Wiskunde voor 2 vwo. Deel 2. Versie Samensteller

Transcriptie

1 Wiskun voor 2 vwo Dl 2 Vrsi 2013 Smnstllr

2 2013 Ht utursrht op it lsmtril rust ij Stihting Mth4All. Mth4All is rhlv rhthn zols ol in hironr vrml rtiv ommons linti. Ht lsmtril is mt zorg smngstl n gtst. Stihting Mth4All nvrt gn nkl nsprklijkhi voor onjuisthn n/of onvollighn in moul. Ook nvrn z gn nkl nsprklijkhi voor nig sh, voortkomn uit (ht gruik vn) it lsmtril Voor z moul glt n Crtiv Commons Nmsvrmling-Nit-ommril 3.0 Nrln Linti. (zi Dit lsmtril is opn, grtis n vrij tognklijk lsmtril fkomstig vn n is spil ontwikkl voor ht vk wiskun in ht voortgzt onrwijs. Ht lsmtril op wsit is fgstm op krnoln wiskun, tussnoln wiskun n intrmn voor vkkn wiskun A, B n C. Dit lsmtril is miumnutrl ontwikkl n op ivrs mnirn t kijkn n t gruikn. Voor informti n vrgn kunt u ontt opnmn vi info@mth4ll.nl. Ook houn w ons ltij nvoln voor suggstis, vrtringn n/of nvullingn.

3 Inhou Voorwoor 3 1 Linir n hyprolish Rht vnrig Linir vrnn Linir vrglijkingn Omgkr vnrig Hyprolish vrnn Totll 39 2 Mtkunig rkningn Pythgors Lngts rknn Opprvlkt ruimtfiguur Inhou ruimtfiguur Doorsnn Vrgrotn Totll 94 3 Kwrtish n xponntil Kwrtish vrnn Kwrtish vrglijkn Exponntiël vrnn Exponntiël vrglijkingn Onglijkhn Totll Sttistik Cntrummtn Spriingsmtn Klssninling Shttingn Sttistish uitsprkn Totll 181 Rgistr 186 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 Voorwoor Ht lsmtrl in it ok is gsr op ht mtril t j kunt vinn op wsit In tkst stn n ook rglmtig vrwijzingn nr i wsit. Wr j pris mot zijn op i wsit kun j zin in koprgl vn ir pgin. Bij sturing vn ht lsmtril kom j in tkst ook nwijzingn tgn. J zit n ijvoorl in tkst: Bkijk rst: > 1/2 HAVO/VWO > Afstnn > Topssn J kunt mt muis lk l vn wrl kijkn n r op inzoomn. Als zo n nwijzing in n opgv stt, kun j i opgv wrshijnlijk lln mr mkn ls j inr op wsit ht gkkn. Ir hoofstuk stt uit n ntl prgrfn n wort sts fgslotn mt n prgrf Totll wr lrstof wort smngvt n/of hrhl. Ir prgrf is ingl in vst rurikn i houvst gvn ij sturing vn ht lsmtril. > Vrknnn > Uitlg > Thori n Voorln > Vrwrkn > Topssn Inin r in ht lsmtril wort vrwzn nr wrkln n kun j z trugvinn op wsit. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 1Linir n hyprolish Rht vnrig 6 Linir vrnn 12 Linir vrglijkingn 20 Omgkr vnrig 26 Hyprolish vrnn 32 Totll 39

8 1.1 Rht vnrig Vrknnn Opgv 1 Nit ovrl op wrl wort uro ls muntnhi gruikt. In Dnmrkn ijvoorl is muntnhi Dns Kroon (DKK). En Dns Kroon is ongvr 0,13. Hovl tl j ij z kors voor DKK 600,00? En ls j tw kr zovl Dns Kronn wilt, tl j n ook tw kr zovl? Als j kostn voor ht kopn vn Dns Kronn voorstlt oor E (in ) n ht ntl Dns Kronn oor D, wlk formul glt r n ls r gn ijkomn kostn zijn? En ho zit ijhorn grfik r uit? Uitlg En winklir koopt n pl rtikl in voor 7,00 pr stuk n vrkoopt ht voor 12,50 pr stuk. D oprngst R (in uro) is n fhnklijk vn ht ntl u t hij vrkoopt. Als hij tw kr zovl vn i rtikln vrkoopt, krijgt hij ook tw kr zovl gl innn. Er glt: R = 12,50 u. Hirij hoort n grfik i oor (0, 0) gt: ls r nits wort vrkoht is r ook gn oprngst. Vrr gt grfik oor (500, 6250) n (1000, 12500). Ht is n rht lijn oor oorsprong vn ht ssnstlsl. Mt kostn stt ht hl nrs. Dr mot winklir ook rkning houn mt ijvoorl trnsportkostn, opslgkostn, kostn voor rtikln i hij nit vrkoopt,.. Dus kostn zijn nit rht vnrig mt u. Bkijk pplt. J zgt t vril u rht vnrig is mt vril u ls n vruling vn u ook ltij n vruling vn u tknt. Hirij hoort n formul vn vormu = u u. D grfik ij n rht vnrig vrn is n rht lijn oor (0, 0). > u ht vnrighisonstnt. > u plt ho stil rht lijn loopt n ht rom wl ht hllingsgtl vn i rht lijn. Hir zi j ho ht vrnrn vn u grfik ïnvlot. In wiskun is ht gruiklijk om voor vriln lttrs u n u t gruikn in formuls. Mstl is n u fhnklijk vril n us komt u op vrtil s. Di s ht rom y-s. D horizontl s is x-s. PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 Opgv 2 Bkijk Uitlg op pgin 6. J zit n formul voor ht rknn vn oprngst R fhnklijk vn ht ntl vrkoht xmplrn u vn n pl rtikl. Hovl rgt R ls u = 100? En ls u = 200? Lt zin t oprngst ltij tw kr zo groot wort ls ht ntl vrkoht xmplrn tw kr zo groot wort. Als u ri kr zo groot wort, wt gurt r n mt R? J ht nu gzin t R rht vnrig is mt u. Ho lijkt t uit grfik vn R fhnklijk vn u? Wlk tknis hft ht gtl 12,50 voor grfik vn R? Opgv 3 In n inkjtprintr gn inktptronn. Zo n inktptroon kost 42,50. J kunt r gmil 500 vlltjs ppir m frukkn. Hovl n j n inkt kwijt ls j 1800 frukkn pr jr mkt? Mt wlk formul kun j jrlijks kostn voor inkt fhnklijk vn ht ntl fgrukt vlltjs ppir rknn? Zijn jrlijks kostn voor inkt rht vnrig mt ht ntl frukkn? Zo j, wt is n vnrighisonstnt? Tkn n ijpssn grfik. Wrom h j r gn tl ij noig? Wlk tknis hft vnrighisonstnt voor grfik ij? Thori n voorln Voorl 1 En fitsr rijt mt n vrijwl onstnt snlhi op n rht polrwg vn A nr B. Op tijstip u = 0 strtt hij ij A, n 12 minutn n 26 sonn ltr hft hij pris 5 km fglg. Mt hovl km/uur fitst hij? Gf n formul voor fglg fstn u vnf A in km fhnklijk vn tij u in urn. Hij lgt 5 km in 746 sonn f, t is km/son. 5 In n uur lgt hij rom ,129 km f. Hij fitst mt ongvr 24,1 km/uur. D ijhorn formul is u = 24,1 u, wnt ij n onstnt snlhi is fglg fstn rht vnrig mt tij. Opgv 4 Bkijk in Voorl 1 op pgin 7 ho snlhi in km/uur vn n fitsr wort uitgrkn. Wrom is r sprk vn 746 sonn? Wrom is u rht vnrig mt u? Ho zit grfik vn u fhnklijk vn u r uit? N hovl tij hft z fitsr 12 km fglg? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 Opgv 5 En utomoilist is onrwg nr Brlijn n zt zijn ruisontrol (snlhisgrnzr) op 120 km/uur. Dt momnt glt ls u = 0 wrin u tij in urn is. Wrom is vnf t momnt zijn fglg fstn u (in km) rht vnrig mt u? Hovl is vnrighisonstnt? Ho zit grfik vn u fhnklijk vn u r uit? N hovl tij hft z utomoilist 300 km fglg? Voorl 2 Vn oushr stn r nst tmprtuurshl vn Clsius i w mstl gruikn nog nr tmprtuurshln. In sommig lnn worn i nog sts gruikt: > D tmprtuurshl vn Fhrnhit (nog gngr in V.S.): J krijgt ht ntl grn Fhrnhit oor ht ntl grn Clsius t ln oor 10, n t vrmnigvulign mt 18 n vrvolgns nog 32 rij t tlln. > D tmprtuurshl vn Rémur: J krijgt ht ntl grn Rémur oor ht ntl grn Clsius t ln oor 10 n n t vrmnigvulign mt 8. Lt zin t ht ntl grn Fhrnhit F nit rht vnrig is mt ht ntl grn Clsius C, mr ht ntl grn Rémur R wl. Voor ht omrknn vn C nr F kun j uit ggvns formul F = 1,8 C + 32 flin. D grfik ij z formul gt nit oor (0, 0) mr oor (0, 32). En rom is F nit rht vnrig mt C. Voor ht omrknn vn C nr R kun j uit ggvns formul F = 0,8 C flin. D grfik ij z formul gt wl oor (0, 0) n is n rht lijn. En rom is R rht vnrig mt C. Opgv 6 Bkijk in Voorl 2 op pgin 8 j kunt omrknn vn C nr F of R. Lt zin ho j formul voor F uit tkst kunt flin. Tkn ij i formuls n grfik. Mk rst n tl mt voor C gtlln 0, 10, 20,..., 100. Ho kun j n formuls zin t grfik vn F hoorlijk stilr omhoog loopt n i vn R? Lt mt n gtllnvoorl zin t ht vruln vn wr vn C wl tknt t wr vn R vrult, mr nit t wr vn F vrult. Opgv 7 Er stt ook nog tmprtuurshl vn Klvin. Ht omrknn vn K (grn Klvin, j zgt gwoon Klvin ) nr C gt zo: K = C Is K rht vnrig mt C? Liht ht ntwoor to. K = 0 is ht solut nulpunt. Hovl C hoort r ij? PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 Vrwrkn Opgv 8 Mvrouw Willms krijgt n kilomtrvrgoing voor kilomtrs i z voor hr wrk mt uto flgt. Z krijgt 0,19 pr km. Nom ht ntl wrkkilomtrs pr mn u. Wlk formul glt voor kilomtrvrgoing pr mn K fhnklijk vn u? Is K rht vnrig mt u? En wrom n? Ho zit grfik vn K r uit? Zijn rnstofkostn voor ht wrk ook rht vnrig mt u? Zijn hr totl kostn voor wrkkilomtrs rht vnrig mt u? Motivr j ntwoor. Opgv 9 D prijs i j voor n rit mt n txi tlt, hngt f vn fstn i j rijt. J zit hironr vn ri txirijvn grfik vn ht vrn tussn prijs u (in ) n grn fstn u (in km). f Bij wlk firm s tl j lln n rg pr grn km? Gf ij i tw txirijvn n formul voor u fhnklijk vn u. Als txi s ijn uitsluitn in st rijn, zijn zij minr zuinig mt rnstof. Wlk vn z i firm s hft vrijwl lln txi s in grot st? Vrklr j ntwoor. Hovl rgn i voorrijkostn? Stl ook voor i r firm n formul op voor u. Ho kun j n grfik n formul zin t ij i r firm prijs u nit rht vnrig is mt ht ntl grn km? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 Opgv 10 Zuivr ilinrvormig krsn rnn glijkmtig op: lk uur vrwijnt r (in thori) vnvl krslngt. Hir zi j tw grfikn ij oprnn krsn. Wlk vn z tw grfikn hoort ij n ilinrvormig krs n wrom? Wrom is krslngt nit rht vnrig mt rntij? Mt hovl m pr uur rnt ilinrvormig krs op? Opgv 11 Hir zi j vir formuls i n vrn tussn u n u shrijvn. > formul I: u = 0,85u > formul II: u = 0,85 + u > formul III: u = 8,5 u > formul IV: u = 8,5 1,5u Bij wlk vn z formuls is u rht vnrig mt u? Brkn ij lk vn z vir formuls wr vn u wrvoor u = 5. Bij formul I: u = 5 /0,85 = Opgv 12 In ntuurkun sprk j vn n éénprig wging ls snlhi wrm j wgt onstnt is. Voor fglg wg u (in m) glt n u = u u wrin > u snlhi in m/s is; > u tij in s is. Lg uit wrom ij n éénprig wging fglg wg rht vnrig is mt tij. En voorwrp wgt 20 s mt n snlhi vn 40 m/s. Hovl rgt zijn fglg wg? En voorwrp wgt 20 s n lgt rin 700 m f. Mt wlk snlhi woog it voorwrp? En voorwrp wgt 1500 m mt n snlhi vn 60 m/s f. Ho lng ot ht r ovr? J kunt ggvn formul ook in vorm u =... shrijvn. Ho zit hij r n uit? f Shrijf ggvn formul in vorm u =... PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 Topssn Opgv 13: Auto op nzin Dz tl is gmkt oor stuurr vn n uto i op nzin rijt. D kilomtrstn n hovlhi gtnkt nzin is sts op htzlf momnt opgshrvn. (J kunt misshin zlf ook wl rglijk ggvns mhtign. Dn h j nog wt n ht rknwrk!) Lt zin t z stuurr gmil ongvr 0,08 litr nzin pr grn km vrruikt. D gmil nzinprijs ws in i prio 1,75/litr. Hovl rgn zijn rnstofkostn pr kilomtr? Wrom is t n nnm? Stl n formul op ij ht vrn tussn K n u n rkn hirm rnstofkostn voor n jr wrin z uto ongvr km rijt. Is n onkostnvrgoing vn 0,19 pr km voor kilomtrs i imn voor zijn wrk rijt us zonr mr voorlig voor utomoilist? Liht j ntwoor to. Opgv 14: Auto op nzin, op isl, op gs, of ltrish? Er zijn ook uto s i nit op nzin rijn, zlfs in zlf prijsklss. Ook rvn kun j rnstofkostn pr jr shttn. Wt is ht voorligst? Hou n vrglijkn onrzok nr jrlijks rnstofkostn vn uto s uit zlf prijsklss i op vrshilln rnstoffn rijn. Zok zovl moglijk ht ggvns n/of zok op intrnt. Kis zlf n prijsklss. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 1.2 Linir vrnn Vrknnn Opgv 1 Nit ovrl op wrl wort uro ls muntnhi gruikt. In Dnmrkn ijvoorl is muntnhi Dns Kroon (DKK). En Dns Kroon is ongvr 0,13. Wil j ij n nk Dns Kronn kopn n tl j vk ook nog trnstikostn, t zijn kostn voor ht wrk t nk hft n ht fhnln vn jouw tlingsoprht. Stl t i kostn 2,50 pr trnsti zijn. Hovl tl j ij z kors n z trnstikostn voor DKK 600,00? En ls j tw kr zovl Dns Kronn wilt, tl j n ook tw kr zovl? Als j kostn voor ht kopn vn Dns Kronn voorstlt oor E (in ) n ht ntl Dns Kronn oor D, wlk formul glt r n? En ho zit ijhorn grfik r uit? Uitlg Voor n tlfoononnmnt tl j onnmntskostn n lkostn. Stl j voor j tlt 30,00 onnmntskostn pr mn n nog 0,25 pr minuut. Vn kostn pr mn kun j n grfik mkn. J kostn pr mn zin r zo uit: > 0 minutn gl: 30,00 uro > 1 minutn gl: ,25 = 30,25 uro > 2 minutn gl: ,25 = 30,50 uro > 3 minutn gl: ,25 = 30,75 uro > 4 minutn gl: ,25 = 31,00 uro > u minutn gl: 30 + u 0,25 = ,25 u uro Dus glt formul: K = ,25 u. K stlt n lkostn pr mn voor. Omt grfik n rht lijn is, ht it n linir vrn. Ht gtl 30 is ht strtgtl. Ht gtl 0,25 plt hlling vn grfik, j nomt it ht hllingsgtl. Dit hllingsgtl is vst tonm (of fnm) vn K ij n tonm vn u mt 1 nhi. Bij lk linir vrn is sprk vn zo n vst tonm vn uitkomst pr stp. Omt it gtl rihting vn lijn plt sprk j ook wl vn rihtingsoëffiiënt. Opgv 2 Bkijk Uitlg op pgin 12. J zit n formul voor ht rknn vn mnlijks lkostn K fhnklijk vn ht ntl lminutn u. Tkn zlf grfik vn K fhnklijk vn u. Vul rto rst z tl in. PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 u K 30,00 Gf in j grfik ht strtgtl n ht hllingsgtl n. D nir vn it onnmnt vrlgt onnmntskostn tot 20,00. Wt tknt it voor grfik vn K? D nir vn it onnmnt vrlgt lkostn pr minuut tot 0,20. Wt tknt it voor grfik vn K ls onnmntskostn 30,00 lijvn? Opgv 3 Tlfonrn mt n moil tlfoon kost gl. Er zijn vrshilln soortn onnmntn. Stl j voor t j lln tijns wrktij innn Nrln wilt lln. D lkostn pr mn (in ) hngn f vn ht ntl lminutn. J vrglijkt tw nirs vn moil tlfoni n j ht n tlfoon wrm j lln kunt lln (gn sms, gn intrnt, t.). > Brijf A: onnmnt 9,90 pr mn n 0,25 pr lminuut. > Brijf B: gn onnmntskostn n 0,36 pr lminuut. Gf voor i rijvn n formul voor ht vrn tussn kostn u n ht ntl lminutn u. Mk n tl zols i hironr n tkn ij i formuls n grfik in één ssnstlsl. lminutn u rijf A u (in ) rijf B u (in ) Bij wlk vn i rijvn zijn kostn rht vnrig mt ht ntl lminutn? Wrom is ij i rijvn sprk vn n linir vrn? Gf ij lk vn i grfikn rihtingsoëffiiënt. J lt pr mn 85 minutn. Bij wlk rijf nm jij n onnmnt n wrom? Thori n voorln Voorl 1 J kunt ook pr-pi tlfonrn: j koopt n voorf n ltgo vn ijvoorl 50,00. Als lk minuut lln n 0,25 kost, hngt j ltgo B nog uitsluitn f vn ht ntl lminutn u. Er glt: B = 50 0,25 u Ook hir is sprk vn n linir vrn. Ht strtgtl is 50. D rihtingsoëffiiënt is 0,25. D ijhorn grfik is n ln rht lijn. N 50 /0,25 = 200 minutn is ht ltgo op. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 Opgv 4 Bkijk in Voorl 1 op pgin 13 ho j ltgo fhngt vn ht ntl minutn u t j ht gl. Brkn j ltgo n 60 minutn lln. Controlr mt n rkning t n 60 minutn lln j ltgo op is. Wrom nmn ours vk zo n onnmnt voor hun kinrn? Wt tknt n ngtiv rihtingsoëffiiënt voor n linir grfik? Wt gurt r mt formul n grfik ls z nir vn moil tlfoni zijn lkostn pr minuut vrhoogt nr 0,30? Opgv 5 En ilinrvormig krs rnt glijkmtig op, u is rntij in urn. Hij wort lk uur 1,5 m kortr. D krs is op zkr momnt (u = 0) nog 25 m lng. Wrom is lngt vn ht stuk krs t is opgrn rht vnrig mt rntij? Wrom is krslngt L (in m) nit rht vnrig mt rntij? Gf n formul voor L fhnklijk vn u. Lt mt n rkning zin t z krs n 16 uur rnn nog nit op is. Ho zit grfik vn L fhnklijk vn u r uit? Wlk strtgtl n wlk rihtingsoëffiiënt hft hij? Voorl 2 J zit hir ho tmprtuur T fhngt vn hoogt h ovn zspigl. Wlk formul hoort ij ht linir vrn tussn T n h? PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 Ht strtgtl is 20 C. Om ht hllingsgtl t wtn t komn zok j tw mooi puntn op grfik. Hir zijn t (0, 20) n (5, 10). Als hoogt tonmt vn h = 0 tot h = 5, n nmt tmprtuur f vn 20 C nr 10 C. Bij lk hoogtstijging vn 5 0 = 5 km, nmt tmprtuur to mt = 30 C. Pr km us mt 30 /5 = 6 C. Ht hllingsgtl pr km is rom 6. D gvrg formul is: T = 20 6 h mt h in km n T in C. Nu kun j n nuwkurig tl mkn... Opgv 6 In Voorl 2 op pgin 14 h j n grfik vn ht vrn tussn tmprtuur T n hoogt h ovn zspigl. J wilt r n formul ij mkn om op pl hoogts tmprtuur toh minstns op n gr nuwkurig t kunnn rknn. Wrom nm j tw mooi puntn op grfik? Wt wort r ignlijk m ol? Wrom is ht flzn vn ht snijpunt vn grfik mt vrtil T-s rg hnig? Ho is in ht voorl ht hllingsgtl rkn? Brkn mt hulp vn gvonn formul tmprtuur op 1,5 km hoogt. Stl zlf n formul op voor ht vrn tussn tmprtuur T (in C) n hoogt h (in km) ovn zspigl ls op h = 0 tmprtuur 15 C is n h = 4 tmprtuur 9 C is? Opgv 7 J ht nu n mnir gzin om n formul op t stlln ij n linir vrn ls vn ijhorn grfik ht punt op vrtil s n nog n nr punt is ggvn. In ht Prtium trf j n pplt n om it m t ofnn. Door niuw puntn A n B t kizn, krijg j sts n niuw linir vrn. Lt punt A op u -s liggn. Nm rst A(0, 6) n B(4, 8). Stl n ijpssn formul op. Nm rst A(0, 6) n B(4, 2). Stl n ijpssn formul op. Ofn it mt n mlrling. Ho zit j formul r uit ls A(0, 6) n B(4, 6) kist? Ho groot is rihtingsoëffiiënt vn n horizontl lijn? En wnnr lukt ht mkn vn n formul vn vorm u =... nit? Ho komt t? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 Opgv 8 J kunt ook wl n formul vn n linir vrn opstlln ls ht snijpunt vn grfik mt vrtil s nit go is f t lzn. Hirnst zi j zo n situti. Er zijn ri puntn go f t lzn, mr ht strtgtl nit. D puntn A(2, 3) n B(6, 8) liggn op grfik. Brkn mt hulp vn z tw puntn ht hllingsgtl vn lijn. Als j vnuit punt A één roostrlijn nr links gt, wlk punt op i roostrlijn ligt n op grfik? Bpl nu ht punt vn grfik op vrtil s. Wlk strtgtl hft grfik? Shrijf nu n pssn formul voor it linir vrn op. Controlr of j formul orrt is oor ht punt C t sustiturn. Opgv 9 In ht Prtium trf j n pplt n om ht opstlln vn n formul ij n linir vrn t ofnn. Door niuw puntn A n B t kizn, krijg j sts n niuw linir vrn. Nm rst A(2, 6) n B(4, 8). Stl n ijpssn formul op. Nm rst A( 2, 6) n B(4, 2). Stl n ijpssn formul op. Ofn it mt n mlrling. Ho zit j formul r uit ls A(2, 6) n B(4, 6) kist? Ho groot is rihtingsoëffiiënt vn n horizontl lijn? En wnnr lukt ht mkn vn n formul vn vorm u =... nit? Ho komt t? Vrwrkn Opgv 10 Voor ht vrruik vn wtr tl j tw soortn kostn: > n vst rg pr jr, ht vstrht; > n rg pr m 3 wtr i j vrruikt. Di rgn kunnn pr gi vrshilln zijn, fhnklijk vn lvrnir vn ht wtr. In tl worn tw gin vrglkn: vrruik u (in m 3 ) kostn K in gi A (in ) 36,00 126,00 216,00 kostn K in gi B (in ) 48,00 125,50 203,00 In i gvlln is r sprk vn n linir vrn tussn K n u. Lg uit wrom n vul tl vrr in. PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 Uit tl kun j flin hovl j in i gvlln pr m 3 tlt. Do t voor i gin n stl formuls op voor K fhnklijk vn u. Tkn grfikn vn K voor i gin in één figuur. Brkn kostn voor n wtrvrruik vn 120 m 3 in i gin. Ho kun j n tw hllingsgtlln zin in wlk gi j ht gokoopst uit nt ls j vl wtr vrruikt? Opgv 11 J zit hir ri grfikn i lk n vrn tussn vriln u n u wrgvn. Bij wlk vn z grfikn is u rht vnrig mt u? Ho groot is ij i grfik ht hllingsgtl? Bij wlk vn z grfikn is ht hllingsgtl ngtif? Mk ij lk grfik n formul voor u fhnklijk vn u. Opgv 12 Zuivr ilinrvormig krsn rnn glijkmtig op. J zit hir grfikn vn lngt L (in m) vn tw vn i krsn fhnklijk vn rntij u (in uur). Wlk grfik hoort ij ikst krs? Wrom? Wrom is r ij i grfikn sprk vn n linir vrn? Stl formuls op voor ht vrn tussn L n u. J stkt i krsn tglijk n. Wlk is ht lngst n 4 rnurn? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 Opgv 13 D grfik vn n linir vrn tussn u n u gt oor puntn A(0, 10) n B(5, 12). Stl n formul op voor u fhnklijk vn u. D grfik vn n linir vrn tussn u n u gt oor puntn A(0, 10) n C(5, 0). Stl n formul op voor u fhnklijk vn u. D grfik vn n linir vrn tussn u n u gt oor puntn O(0, 0) n B(5, 12). Stl n formul op voor u fhnklijk vn u. D grfik vn n linir vrn tussn u n u gt oor puntn A(0, 10) n D(5, 10). Stl n formul op voor u fhnklijk vn u. Opgv 14 D grfik vn n linir vrn tussn u n u gt oor puntn A(2, 10) n A(5, 12). Stl n formul op voor u fhnklijk vn u. D grfik vn n linir vrn tussn u n u gt oor puntn C( 10, 120) n D(13, 51). Stl n formul op voor u fhnklijk vn u. Opgv 15 Ht gwiht vn n klhspl hngt f vn lngt vn kl i r omhn gwonn is. Zo n grot klhspl vt niuw wl 1000 m kl. Hij wgt n 800 kg. Als r 200 m kl f is, wgt hspl mt kl nog 650 kg. Hovl wgt n lg hspl? Gf n uilijk rkning. Topssn Opgv 16: Bnzin of isl Bkijk vi > > 1/2 HAVO/VWO > Linir vrnn > Topssn shttingn vn ivrs kostn i j mkt ls j in n ign uto wilt rijn. G in z opgv uit vn i ggvns. Wlk vn z kostn zijn vst kostn pr jr? Hovl rgn rnstofkostn pr kilomtr voor uto op nzin? En voor uto op isl? Stl voor uto op nzin n formul op vn totl kostn pr jr (K in uro) fhnklijk vn ht ntl grn kilomtrs pr jr (u in km). Do it ook voor uto i op isl rijt. Brkn hirm kostn voor n jr wrin uto ongvr km rijt. Do it zowl voor uto op nzin ls i op isl. PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 Mk grfikn ij ht vrn tussn K n u n pl rm vnf hovl km pr jr j gokopr uit nt mt n uto i op isl rijt. Opgv 17: Auto op nzin, op isl, op gs, of ltrish? J ht in voorgn opgv ht vrshil in kostn kkn vn n uto i op nzin rijt n n uto op isl. Ntuurlijk is ht tr ls j zlf tul ggvns zokt n gruikt voor rkning. J kunt rij ook nkn n ht vrglijkn mt n uto op gs of n uto i n lktromotor n oor hft. Hou n vrglijkn onrzok nr jrlijks kostn vn uto s uit zlf prijsklss i op vrshilln rnstoffn rijn. Zok zovl moglijk ht ggvns n/of zok op intrnt. Kis zlf n prijsklss. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 1.3 Linir vrglijkingn Vrknnn Opgv 1 D prouti vn n niuw soort vrf kost 3,50 pr litr. Vrr zijn r vst kostn (mhins, gouwn, t.). Voor prouti vn z vrf zijn i rkn op 24000,00. D friknt vn z vrf wil z vrkopn voor 7,20 pr litr. Hovl litr mot hij vrkopn om winst t gn mkn? Stl n formul op voor kostprijs K vn u likkn vrf. Stl ook n formul op voor oprngst R ls ll u likkn vrf zijn vrkoht. Bij wlk vn i formuls is sprk vn n rht vnrig vrn? Lg uit t vrg vn friknt kn worn vrtl in 7,20 u > ,50 u. Ho zou j onglijkhi ij oplossn? Uitlg D prouti vn n niuw soort vrf kost 3,50 pr litr. Vrr zijn r vst kostn (mhins, gouwn, t.). Voor prouti vn z vrf zijn i rkn op 24000,00. D friknt vn z vrf wil z vrkopn voor 7,20 pr litr. Hovl litr mot hij vrkopn om winst t gn mkn? J kunt it prolm oplossn oor n vrglijking op t stlln... D proutikostn K hngn f vn ht gprour ntl litr u : K = ,50 u. Als hij ll gprour vrf vrkoopt, hngt oprngst R ook f vn u : R = 7,20 u. Dn zijn oprngst n kostn glijk ls 7,20 u = ,50 u. Omt hir tw linir vrnn worn vrglkn is it n linir vrglijking. Zo n vrglijking kun j oplossn mt lnsmtho. Dit lvrt op u Er wort winst gmkt ij n vrkoop vn 6487 litr of mr. Dit is oplossing vn linir onglijkhi 7,20 u > ,50 u Opgv 2 Bkijk ht prolm in Uitlg op pgin 20 nog ns. Er wort gstl t j vrglijking 7,20 u = ,50 u kunt oplossn mt lnsmtho. Hir zi j n onvollig uitwrking rvn. Mk z uitwrking vollig. = = = Wrom hoort ij n ht gin vn uitlg gstl vrg ignlijk n onglijkhi? D oplossing vn ht prolm is t ht ntl gprour litrs 6487 litr of mr zou motn zijn. G n t ij 6487 litr inr winst wort gmkt n ij 6486 nit. PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 Opgv 3 Bij ht oplossn vn vrglijkingn n onglijkhn ij linir vrnn splt lnsmtho n grot rol. Di mot j go hrsn. Los volgn vrglijkingn op i mnir op n ontrolr oplossing. 15u + 38 = 10u u 36 = 96 3u 25u 150 = 18u ,8u = u Thori n voorln Voorl 1 Dz grfikn ltn zin ho tw ilinrvormig krsn oprnn. L is lngt vn krs in m n u is rntij in urn. Brkn in minutn nuwkurig ht momnt wrop i krsn vn lng zijn. Stl ij lk grfik n formul op: > krs I: L = 20 2u > krs II: L = 25 3,125u Bi krsn zijn vn lng ls: 20 2u = 25 3,125u. Oplossn gft: = = = = Bi krsn zijn vn lng n ongvr 4 uur n 27 minutn. (Omrknn nr minutn!) Opgv 4 Bkijk in Voorl 1 op pgin 21 ho j kunt rknn op wlk tijstip tw vrshilln ilinrvormig krsn (i glijkmtig oprnn) vn lng zijn ls z tglijk worn ngstokn. Ho zi j n grfik t i krsn tglijk worn ngstokn? Stl zlf formuls op voor lngt L vn z krsn. Mt lnsmtho wort ht tijstip rkn wrop i krsn vn lng zijn. Brkn it tijstip in sonn nuwkurig. Dz nuwkurighi is ij oprnn krsn nit rg zinnig, op minuut nuwkurig is l ijn ovrrvn, mr vooruit... Hovl minutn (us fronn op hl minutn) is krs II lngr n krs I? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 Opgv 5 Hir zi j tw nr ilinrvormig krsn i tglijk worn ngstokn. N hovl minutn is krs I lngr n krs II? Opgv 6 Lijn u gt oor puntn A(3, 60) n B(7, 40) n lijn u gt oor puntn C(4, 50) n D(9, 60). Brkn xt oörintn vn ht snijpunt vn i lijnn. Voorl 2 Hir zi j nkl voorln vn ht oplossn vn wt lstigr linir vrglijkingn. Kijk go wt r lk stp gurt. Dit is ht rst voorl. = = = = En it is ht tw voorl. = = = = = Opgv 7 Bkijk in Voorl 2 op pgin 22 tw uitwrkingn vn wt lstigr linir vrglijkingn. In rst vrglijking komn rukn voor, in tw vrglijking hkjs. Bkijk rst rst vrglijking. Wt gurt r in rst stp vn oplossing? In tw stp gurn r tw ingn tglijk, wlk tw? Is volgor rij lngrijk? Bkijk vrvolgns tw vrglijking. Zowl links ls rhts vn ht isglijktkn worn hkjs uitgwrkt. PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 Lg uit ho it gurt. Loop rst vn uitwrking n. Controlr ht ntwoor. Opgv 8 Los volgn vrglijkingn op. 2u = (12 u ) = u (27 u ) (5 2u ) (u + 4) = u 0,8 = u Opgv 9 In ht Prtium kun j ofnn mt ht oplossn vn linir vrglijkingn. Ofn jzlf rm. Vrwrkn Opgv 10 Los volgn vrglijkingn op: u = u = u 6u + 55 = 4u ,5u = ,5u Opgv 11 Los volgn vrglijkingn op: u 3 25 = u 25 = u 5(4 2u ) = 5u (3 + u ) 6 u 3 = 2(4 u ) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 Opgv 12 J zit hir grfikn vn tw linir vrnn, nggvn mt u 1 n u 2. Los op: u 1 = u 2. Los op: u 1 < u 2. Controlr j ntwoor ij voor nkl wrn vn u. Opgv 13 D tmprtuur ovn ht ropprvlk hngt onr nr f vn hoogt wrop j j vint. Voorl voor rgklimmrs is ht lngrijk om t wtn t lk 100 m stijgn n ling vn tmprtuur vn ongvr 0,6 C tknt. Dz rgklimmrs mtn n tmprtuur vn 16 C. Wlk tmprtuur mtn zij ls z nog 120 m omhoog klimmn? Ht ntl m t z omhoog gn kun j h nomn. Wlk formul gft n ht vrn wr tussn tmprtuur T (in C) n h? Wlk onglijkhi hoort r ij vrg: N hovl m stijgn komt tmprtuur i z mtn onr ht vrispunt? Los onglijkhi ij op. Gf j ntwoor in tintlln m nuwkurig. Opgv 14 Voor jrlijks kostn K (in ) voor ht wtrvrruik u in tw gin A n B gln formuls: > in gi A: K = ,80 u > in gi B: K = ,55 u Shrijf ij volgn vrgn sts ijhorn onglijkhi op n los hm op. Gf j ntwoor in m 3 nuwkurig. Bij wlk vrruik zijn kostn in gi A lgr n in gi B? Bij wlk vrruik zijn kostn in gi B hogr n 200? Opgv 15 Tw uto s rijn lkr op snlwg tgmot. Op n zkr momnt zijn z nog 120 km vn lkr vrwijr. Auto A rijt mt n snlhi vn 115 km/uur n uto B mt n snlhi vn 105 km/uur. Ovr hovl tij pssrn z lkr? Gf j ntwoor in sonn nuwkurig. PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 Topssn Opgv 16: Bnzin of isl Bkijk vi > > 1/2 HAVO/VWO > Linir vrglijkingn > Topssn formuls i imn hft opgstl voor kostn vn ht rijn op nzin of ht rijn op isl in n vrglijkr uto. Wlk onglijkhi mot r worn opglost? Los z onglijkhi op. Wlk ntwoor gf j nu op vrg i utomoilist zihzlf hft gstl. Opgv 17: Gstnk inouwn? J wilt in n uto i op nzin rijt n gstnk inouwn. Dt kost Gs kost 0,40 pr litr n j rijt 16 km op één litr gs. D nzinkostn zijn 0,08 pr km. D totl kostn K u voor ht rijn op gs hngn f vn ht ntl km u t j rijt. Stl n formul op voor K u. Stl ook n formul op voor K u, rnstofkostn n nzin ij htzlf ntl grn km u. N hovl grn km h j kostn vn gstnk trug vrin? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 1.4 Omgkr vnrig Vrknnn Opgv 1 J rijt mt uto 16 km ovr snlwg. Ho snllr j (gmil) rijt, ho kortr j ovr i 16 km ot: rij j (gmil) tw kr zo snl, n h j hlft vn ristij noig. Als j 16 km mt 120 km/uur rijt, ho lng o j r n ovr? Gf j ntwoor rst in urn n n in minutn. Als j 16 km mt 60 km/uur rijt, ho lng o j r n ovr? Gf j ntwoor rst in urn n n in minutn. Nom snlhi in km/uur u n ristij in urn u. Wrom is hir gn sprk vn n rht vnrig vrn? Wlk formul gft ht vrn tussn u n u wr? Opgv 2 Vn n rhthok is opprvlkt 24 m 2. Ho groot is rt ls lngt 8 m is? Ho groot is rt ls lngt 4 m is? Ho groot is rt ls lngt u m is? Wrom wort n vrn zols t tussn lngt n rt vn n rhthok mt opprvlkt 24 m 2 wl omgkr vnrig gnom? Uitlg Op Afsluitijk ligt n snlwg vn 32 km lngt. Ho snllr j rijt, ho kortr j ovr i 32 km ot. D tij i j noig ht is omgkr vnrig mt snlhi: rij j tw kr zo snl, n h j hlft vn ristij noig. > J rijt 120 km/h op snlwg. J nt n 32 / = 16 minutn onrwg. > Bij grot rukt rijt j 60 km/h. J nt n 32 /60 60 = 32 minutn onrwg. J zit t j ristij u in minutn kunt rknn oor fstn vn 32 km t ln oor snlhi u (in km/h) n mt 60 t vrmnigvulign: u = u 60 = u. D grfik vn zo n omgkr vnrig vrn zi j hirnst. Voor snlhn iht ij 0 wort ristij hl rg groot. Voor hl grot snlhn wort ristij vrijwl 0. Applt: grfik omgkr vnrig vrn Tw vriln u n u zijn omgkr vnrig ls ht vrmnigvulign vn u mt n gtl u tot gvolg hft t u mt 1 u wort vrmnigvulig. Bijvoorl: wort u tw kr zo groot, n wort PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 u n hlf kr zo groot. Bij n omgkr vnrig vrn hoort n formul vn vorm u = u u mt u onstnt. J kunt i formul ook shrijvn ls u u = u. D grfik vn zo n omgkr vnrig vrn is n hyprool. Opgv 3 J rijt 32 km ovr snlwg. Ho lng (in minutn) o j r ovr ls j 80 km/h rijt? Ho lng (in minutn) o j r ovr ls j 40 km/h rijt? Als ht go is h j ij n ontkt t ij n tw kr zo grot snlhi n hlf kr zo grot ristij hoort. Lt nu mt hulp vn formul in Uitlg op pgin 26 zin t it ltij wr is oor formuls ij u n ij 2u mt lkr t vrglijkn. Tkn n grfik vn u = 1920 u. Mk rst n tl mt voor u wrn 10, 20,..., 120. f Wt tknt ht voor ristij ls j snlhi ijn 0 wort? Wt tknt it voor grfik? Wt tknt ht voor ristij ls j snlhi hl groot wort? Wt tknt it voor grfik? Opgv 4 In pplt in Uitlg op pgin 26 zi j grfik vn ht omgkr vnrig vrn u = u u wrin u n onstnt is. J kunt u npssn mt n shuiflkj. En pplt mt grfik vn vn ht omgkr vnrig vrn u = u u mt u onstnt zi j vi > > 1/2 HAVO/VWO > Omgkr vnrig > Uitlg In pplt kun j u npssn mt n shuiflkj. Nm u = 1 n kijk grfik. D grfik gt oor puntn (1, 1), (2, 0,5) n (0,5, 2). Lt zin t z puntn ook n formul volon. Wlk wr hft u ls u = 100? En ls u = ? Bij wlk wr vn u glt u = 100? En wlk ls u = ? Voor vrshilln wrn vn u krijg j vrshilln grfikn. Ht zijn llml hyproln. Bij wlk wr vn u gt i hyprool oor ht punt (2, 3)? Wrom hn l z grfikn gn punt mt u = 0? Opgv 5 Ht omgkr vn n gtl u is ht gtl t mt u vrmnigvuligt 1 oplvrt. Lt zin t ht omgkr vn u glijk is n 1 u. Wt is ht omgkr vn 3? En vn 3 7? Wrom hft 0 gn omgkr? Lg uit wrom omgkr vnrig htzlf tknt ls rht vnrig mt ht omgkr. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 Thori n voorln Voorl 1 Applt: rhthok mt vst opprvlkt Als n rhthokig tfll n opprvlkt vn 1 m 2 hft, kunnn lngt u n rt u nog vriërn. Lt zin t u n u omgkr vnrig zijn n stl n pssn formul op mt u n u in m. Voor opprvlkt vn rhthok glt: u u = m 2. Dit kun j shrijvn ls: u = u. > Bij u = 100 hoort u = = 100. > Bij u = 200 hoort u = = 50. Wort u tw kr zo groot, n wort u ghlvr. En it kun j gmkklijk ook voor nr wrn ngn. Inr zijn u n u omgkr vnrig. Opgv 6 Bkijk in Voorl 1 op pgin 28 ho r uilijk wort gmkt t lngt u n rt u omgkr vnrig zijn. Gf zlf nog n nr voorl. Wrom h j hirm nog nit ht ngtoon t it ltij opgt? Vrglijk formuls voor u = u n u = 2u. Kun j nu wlk onlurn t u n u omgkr vnrig zijn? Tkn n grfik vn u fhnklijk vn u. Mk rst n tl mt voor u wrn 10, 20,..., 100. f Nm n t omtrk vn rhthok 410 m is. Lg uit, t it tknt t u = 205 u. Tkn in grfik i j ij ht gmkt nu ook grfik ij formul vn. Zok uit wlk lngt n rt rhthok hft i n i formuls volot. Opgv 7 Bij prouti vn ijvoorl vrf is r sprk vn proutikostn pr litr, mr ook vn vst kostn (mhin, rijfshl, nzovoorts) i nit vn ht gprour ntl litr vrf fhngn. Bij ht rknn vn prijs i friknt pr litr vrf gt rknn mot hij ook mt z vst kostn rkning houn. Nm n t i vst kostn rgn. Lt mt n voorl zin t vst kostn pr litr grkn (u in uro/litr) omgkr vnrig zijn mt ht ntl gprour litr u. Wlk formul kun j opstlln voor u fhnklijk vn u? Vrglijk formuls voor u = u n u = 2u. Kun j nu wlk onlurn t u n u omgkr vnrig zijn? Bij wlk wr vn u worn vst kostn pr litr klinr n 0,50? PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 Vrwrkn Opgv 8 Bij ht rijn in n uto h j hlv mt rnstofkostn pr grn km ook t mkn mt vst jrlijks kostn voor onr nr wgnlsting, vrzkring, grgkostn n fshrijving. Wnnr j wilt uitrknn hovl n uto kost pr grn km n mot j ook mt i vst kostn rkning houn. Mvrouw Jnsn sht hr vst kostn op 3800 pr jr. Als z it wil omrknn nr vst kostn pr km, n mot z ln oor ht ntl km t z pr jr rijt. Hovl rgn hr vst kostn pr km ls z km rijt in n jr? Lg uit t hr vst kostn pr km u omgkr vnrig zijn mt ht jrlijks ntl grn km u. Stl n formul op voor u fhnklijk vn u n tkn n ijpssn grfik. Bij wlk jrlijks grn ntl km zijn hr vst kostn pr km minr n 0,10? Opgv 9 En rhthok mt hft lngt u n rt u n opprvlkt A. Stl j voor t u = 10, mr u nog kn vriërn. Wlk formul glt n voor A fhnklijk vn u? Is A rht vnrig of omgkr vnrig mt u? Stl j voor t u = 200, mr u n u kunnn nog vriërn. Wlk formul glt n voor u fhnklijk vn u? Is u rht vnrig of omgkr vnrig mt u? Stl j voor t u = 2 u. Wlk formul glt n voor A fhnklijk vn u? Is r nu sprk vn rht of omgkr vnrig? Opgv 10 En or wil voor zijn pr n rhthokig wiln vn 1200 m 2 fzttn. Hij hft nog zovl pln n r, t omhining 182 m lng kn worn. D opprvlkt vn ht wiln wort 1200 m 2. Lg uit, t lngt u n rt u rom omgkr vnrig zijn. Stl n ijpssn formul op. Omt omhining 182 m wort kun j nog n formul vn vorm u =... flin. Shrijf i formul op. Tkn grfikn ij z formuls in één ssnstlsl. Bpl nu mt hulp vn grfik n inklmmn wlk fmtingn ht wiln krijgt. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 Opgv 11 J zit hir tw hyproln n tw rht lijnn. Shrijf ij lk vn z grfikn n pssn formul op, gruik nggvn roostrputn. Zt r ij of vriln rht vnrig of omgkr vnrig zijn, of gn vn i. Opgv 12 D hr Rit rijt lk wrkg 60 km nr zijn rijf. Omt hij ijn hl wg op utosnlwg rijt, hft hij vrijwl voorturn zlf snlhi. Hovl minutn ristij hft hij ls hij 100 km pr uur rijt? Hovl minutn ristij hft hij ls hij 80 km pr uur rijt? Wrom is ristij u (in minutn) omgkr vnrig mt rijsnlhi u (in km/h)? Stl n ijpssn formul op. Donrg hft hr Rit 25 minutn ovr trugris vn zijn rijf nr huis gn. Ho hr hft hij grn? PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 Topssn Opgv 13: Hijskrn Bkijk vi > > 1/2 HAVO/VWO > Omgkr vnrig > Topssn formul voor ht gwiht n n hijskrn fhnklijk vn rmlngt. Wlk onglijkhi mot r worn opglost? Los ijhorn vrglijking op. Wlk ntwoor gf j nu op vrg i wort gstl? Om n stpl stnn nr go plk t hijsn mot hij 23 m vn ht stunpunt vn rirm kunnn hngn. Ho zwr mg i stpl stnn hoogstns zijn? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 1.5 Hyprolish vrnn Vrknnn Opgv 1 J rijt mt uto 16 km ovr snlwg. J ht n onstnt (gmil) snlhi. Mr j mot onrwg wl vn stoppn om t tnkn n t kost 5 minutn. Als j 16 km mt 120 km/uur rijt, ho lng o j r n ovr? Gf j ntwoor rst in urn n n in minutn. Als j 16 km mt 60 km/uur rijt, ho lng o j r n ovr? Gf j ntwoor rst in urn n n in minutn. Nom snlhi in km/uur u n ristij in urn u. Wrom is hir gn sprk vn n omgkr vnrig vrn? Wlk formul gft ht vrn tussn u n u wr? Uitlg Op Afsluitijk ligt n snlwg vn 32 km lngt. Ho snllr j rijt, ho kortr j ovr i 32 km ot. J gruikt onrwg 5 minutn voor ht tnkn vn rnstof. > J rijt 120 km/h op snlwg. J nt n 32 / = 21 minutn onrwg. > Bij grot rukt rijt j 60 km/h. J nt n 32 / = 37 minutn onrwg. Nu tknt vruling vn snlhi NIET n hlvring vn ristij. Snlhi n ristij zijn NIET omgkr vnrig. J zit t j ristij u in minutn kunt rknn oor fstn vn 32 km t ln oor snlhi u (in km/h), mt 60 t vrmnigvulign n tnslott nog 5 ij uitkomst op t tlln: u = u 60 = u + 5. J sprkt vn n hyprolish vrn. Voor snlhn iht ij 0 wort ristij hl rg groot. Voor hl grot snlhn komt ristij in uurt vn 5 minutn. Applt: hyprolish vrn Tussn tw vriln u n u stt n hyprolish vrn ls r n formul vn vorm u = u u + u mt u n u onstnt ij hoort. D grfik vn zo n hyprolish vrn is n hyprool. Er zijn tw lijnn i grfik sts ihtr nrt zonr hm ooit t snijn: u -s n lijn u = u. Drglijk lijnn nom j symptotn. > D u -s is vrtil symptoot vn grfik. > D lijn u = u is horizontl symptoot vn grfik. PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 Opgv 2 J rijt 32 km ovr snlwg n j stopt onrwg 5 minutn om t tnkn. Ho lng (in minutn) o j ovr z 32 km ls j 80 km/h rijt? Ho lng (in minutn) o j r ovr ls j 40 km/h rijt? Lg mt hulp vn j ntwoorn ij n uit wrom nu ristij u n onstnt snlhi u nit omgkr vnrig zijn. Tkn n grfik vn u = 1920 u + 5. Mk rst n tl mt voor u wrn 10, 20,..., 120. f Wt tknt ht voor ristij ls j snlhi ijn 0 wort? Wt tknt it voor grfik? Wt tknt ht voor ristij ls j snlhi hl groot wort? Wt tknt it voor grfik? Opgv 3 In pplt in Uitlg op pgin 32 zi j grfik vn ht omgkr vnrig vrn u = u u +u wrin u n u onstntn zijn. J kunt z onstntn npssn mt shuiflkjs. En pplt mt grfik vn vn ht omgkr vnrig vrn u = u u + u mt u n u onstnt zi j vi > > 1/2 HAVO/VWO > Hyprolish vrnn > Uitlg J kunt z onstntn npssn mt shuiflkjs. Nm u = 1 n u = 2 n kijk grfik. D grfik gt oor puntn (1, 3), (2, 2,5) n (0,5, 4). Lt zin t z puntn ook n formul volon. Wlk wr hft u ls u = 100? En ls u = ? Wlk wr hft u ls u = 0,01? En wlk ls u = 0,00001? Voor vrshilln wrn vn u n u krijg j vrshilln grfikn. Ht zijn llml hyproln. Nm u = 2. Bij wlk wr vn u gt i hyprool oor ht punt (2, 3)? f Wrom hn l z grfikn gn punt mt u = 0? Glt it ook voor nr wrn vn u? Nm nu u = 1. Wt gurt r mt grfik ls u vrnrt? Opgv 4 J kunt zowl ij linir ls hyprolish vrnn ook hl go wrkn mt ngtiv gtlln. In pplt vn ht Prtium trf j grfikn n ij z vrnn. Door shuiflkjs t gruikn kun j grfikn npssn. Bkijk rst grfik ij formul vn vorm u = u u + u. Kis zlf wrn voor u n u n voorspl ho grfik r uit komt t zin voort j i wrn instlt in pplt. (Mk ijvoorl n shts.) Controlr vrvolgns j ntwoor. Vn wlk soort vrn is hir sprk? Wt gurt r mt grfik ls j onstnt u vrnrt? En ls j onstnt u vrnrt? Bkijk nu grfik ij formul vn vorm u = u u + u. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 f Stl rst in u = 1 n u = 2. Rkn n t puntn (1, 3), ( 1, 1), (4, 2,25), ( 4, 1,75), (0,25, 6) n ( 0,25, 2) op grfik liggn. Ho komt ht t grfik uit tw loss ln stt? Wlk symptotn zijn r? Kis zlf wrn voor u n u n voorspl ho grfik r uit komt t zin voort j i wrn instlt in pplt. (Mk ijvoorl n shts.) Controlr vrvolgns j ntwoor. Vn wlk soort vrn is hir sprk? Wt gurt r mt grfik ls j onstnt u vrnrt? En ls j onstnt u vrnrt? Thori n voorln Voorl 1 Voor ht ltn rukkn vn folrs tl j n vst rg vn 10,00 n r ovnop 0,04 pr folr. D kostn pr folr zijn rom hoog ls j mr winig lt rukkn. Nom ht ntl folrs t j wilt ltn rukkn u n kostn pr folr u. Mk n ijpssn formul vn u fhnklijk vn u n tkn grfik. Voor wlk wr vn u rgn kostn pr folr 6 nt? Pr folr tl j in ir gvl 0,04. Vrr tl j pr folr 10 u uro. In totl us u = 0, u uro pr folr. Om n go ijpssn grfik t mkn mot j nkn t j vl folrs wilt ltn mkn om kostn pr folr lg t houn. Misshin wl zo n 1000 stuks. u komt op horizontl s n lt j rom ijvoorl lopn vnf 0 tot n mt Voor 1000 folrs tl j 0,05 pr stuk, mr voor 100 folrs tl j 14 pr stuk. J kunt zlf wl n go tl n grfik mkn... J mot vrvolgns oplossn 0, u mr j kunt ook slim rknn. = 0,06. Dt kun j on mt hulp vn grfik n inklmmn, Opgv 5 Bkijk wlk prolm r in Voorl 1 op pgin 34 n or wort gstl. Kijk nog nit mtn nr ht ntwoor. Pror rst zlf n pssn formul t vinn. Gruik formul uit ht voorl. Vn wlk soort vrn is r sprk? Mk zlf n tl (in ri imln nuwkurig) n n grfik ij z formul. J wilt wtn ij wlk ntl folrs u glt u < 0,06. Wlk wr voor u lvrt pris 0,06 op? En wt wort us j ntwoor? In ht voorl stt t j it ook kunt vinn oor slim t rknn. Lg uit ho j n vrglijking 0, u = 0,06 oplost. Opgv 6 Bij prouti vn ijvoorl vrf is r sprk vn proutikostn pr litr, mr ook vn vst kostn (mhin, rijfshl, nzovoorts) i nit vn ht gprour ntl litr vrf fhngn. Bij ht rknn vn prijs i friknt pr litr vrf gt rknn mot hij ook mt z vst kostn rkning houn. Nm n t i vst kostn rgn. D proutikostn pr litr rgn 5,60. PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 Stl n formul op voor totl kostn pr litr (K in uro/litr) fhnklijk vn ht ntl gprour litr u. Brkn hirm totl kostn pr litr ij n prouti vn litr vn z vrf. Bij wlk wr vn u worn vst kostn pr litr klinr n 6,00? Voorl 2 Voor ht ltn rukkn vn folrs tl j n vst rg vn 10,00 n r ovnop 0,04 pr folr. D kostn pr folr zijn rom hoog ls j mr winig lt rukkn. Nom j ht ntl folrs t j wilt ltn rukkn u n kostn pr folr u, n glt: u = 0, u Brkn voor wlk wr vn u kostn pr folr 6 nt rgn. J mot oplossn 0, u = = = = 0,06. Dt kun j systmtish zo on. Dus ij 500 folrs rgn kostn 0,06 pr stuk. Opgv 7 J rijt 32 km mt n vrijwl onstnt snlhi ovr snlwg n j stopt onrwg 5 minutn om t tnkn. Voor j ristij u in minutn glt n u = 1920 u + 5, wrin u snlhi in km/h is. J ristij is 25 minutn. Mt wlk vrglijking kun j nu j snlhi rknn? Los z vrglijking systmtish op. Mt wlk snlhn mot j rijn ls j nit lngr n 25 minutn ovr z rit wilt on? Opgv 8 Los volgn vrglijkingn op: 600 u + 10 = u = 4, u 20 = 15 2u ,4 = 0,1 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 Opgv 9 J wilt systmtish onglijkhi 960 u + 5 < 17 oplossn. Mk rst n shts vn grfik vn u = 960 u + 5 n gf rin n ho j wr vn u kunt vinn wrvoor u = 17. Brkn wr vn u wrvoor 960 u + 5 = 17 Ls uit j shts oplossing vn onglijkhi f. Opgv 10 J wilt systmtish onglijkhi 960 u + 5 < 0 oplossn. Mk rst n shts vn grfik vn u = 960 u + 5 n gf rin n ho j wr vn u kunt vinn wrvoor u = 0. Hout hirij ook rkning mt ngtiv wrn vn u. Brkn wr vn u wrvoor 960 u + 5 = 0 Ls uit j shts oplossing vn onglijkhi f. Vrwrkn Opgv 11 Op vl sholn kun j ook ls lrling kopiën mkn. D kostn voor shool zijn: > huur n ht onrhou vn kopirmhin: 150,00; > kostn pr kopi: 0,02; Nom mnlijks kostn pr kopi K n ht ntl kopiën u. Wlk formul glt voor K fhnklijk vn u? Wrom zijn K n u nit omgkr vnrig? Tkn n grfik ij z formul. Stl t j ls lrling 0,05 pr kopi tlt. Hovl kopiën motn r n mnlijks minstns worn gmkt ls shool r nit ij in wil shitn? Los ijhorn onglijkhi systmtish op. Opgv 12 Los volgn vrglijkingn op: 2400 u + 3,6 = 6, u = 450 u ,5 = 0,8 800 u 5 = 50 Opgv 13 J zit hir grfikn ij formuls > u 1 = 4 u > u 2 = 6 0,5u > u 3 = 3 u + 1 > u 4 = 0,2u + 4 PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

39 Wlk formul hoort ij wlk grfik? Opgv 14 J wilt vrglijking 4 u + 2 = u + 1 oplossn. En vrglijking zols z kun j op it momnt lln grfish oplossn. Tkn grfikn vn u 1 = 4 u + 2 n u 2 = u + 1 in één figuur. Hou ook rkning mt ngtiv wrn vn u. An grfikn zi j t r tw snijpuntn zijn. Brkn oörintn vn i snijpuntn oor inklmmn in één iml nuwkurig. Shrijf oplossingn vn z vrglijking op in één iml nuwkurig. Shrijf oplossingn vn z onglijkhi 4 u + 2 > u + 1 op in één iml nuwkurig. Opgv 15 Los volgn vrglijkingn op: 2 4 u = ,5u = u 2 = 6 Opgv 16 Bij n hyprolish vrn tussn u n u hoort n formul vn vorm u = u u + u. Hirin zijn u n u onstntn. Brkn wr vn u i hoort ij u = 10 ls grfik ij it hyprolish vrn ls horizontl symptoot u = 5 hft n oor ht punt (2, 7) gt. Brkn wr vn u i hoort ij u = 10 ls grfik ij it hyprolish vrn oor puntn (2, 9) n (4, 8) gt. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 37

40 Topssn Opgv 17: Kilomtrvrgoing Bkijk vi > > 1/2 HAVO/VWO > Hyprolish vrnn > Topssn shttingn vn ivrs kostn i j mkt ls j in n ign uto wilt rijn. G in z opgv uit vn i ggvns. In z opgv g j op zok nr n formul voor kostn pr jrlijks grn kilomtr. J vrglijkt n uto op nzin mt n uto op isl. D kostn pr km nom j u n ht jrlijks ntl grn km nom j u. G rst uit vn n uto i op nzin rijt. Stl op gron vn shttingn n formul op voor u fhnklijk vn u. Vnf hovl grn km pr jr is kilomtrvrgoing kostnkkn? G nu uit vn n uto i op isl rijt. Stl op gron vn shttingn n formul op voor u fhnklijk vn u. Vnf hovl grn km pr jr is kilomtrvrgoing kostnkkn? Opgv 18: Rht vnrig n omgkr vnrig mt n kwrt J ht tot nu to grippn rht vnrig n omgkr vnrig glr. Onthou z grippn go, z komn rglmtig voor in topssingn vn wiskun. En vril kn htr ook wl rht vnrig zijn mt ht kwrt vn n nr vril. Of omgkr vnrig mt n kwrt... Wnnr u rht vnrig is mt ht kwrt vn u, n hoort rij n formul vn vorm u = u u 2. Hirin is u n onstnt. Nm rst u = 1. Mk n tl voor ghl wrn vn u vnf 3 tot n mt 3 n tkn n ijpssn grfik. J kunt z grfik ook mkn in GoGr oor op invorlk formul in t vorn. Do t n g n of j grfik ovrn komt mt grfik i j ij ht gtkn. Onrzok nu mt hulp vn GoGr of grfik ij nr wrn vn u zlf vorm hft. Pror t shrijvn ho grfik vrnrt fhnklijk vn gkozn wr voor u. Wnnr u omgkr vnrig is mt ht kwrt vn u, n hoort rij n formul vn vormu = u. Hirin is u n onstnt. u 2 Nm rst u = 1. Mk n tl zols z n tkn n ijpssn grfik. u ,5 0,25 0 0,25 0, u f J kunt z grfik ook mkn in GoGr oor op invorlk formul in t vorn. Do t n g n of j grfik ovrn komt mt grfik i j ij ht gtkn. Onrzok nu mt hulp vn GoGr of grfik ij nr wrn vn u zlf vorm hft. Pror t shrijvn ho grfik vrnrt fhnklijk vn gkozn wr voor u. PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

41 1.6 Totll Smnvttn Vk is ht zo t ls j vn its tw kr zovl ht, t it n ook tw kr zovl wr is (of hft gkost). J zgt n t hovlhi n wr (kostn) rht vnrig zijn. Mr ht komt ook wl voor t r ijkomn vst kostn zijn zols n tlfoononnmnt, n onnmnt op gs, wtr n lktr, n rglijk. Dn zijn hovlhi n kostn nit mr rht vnrig. En n kun j hlv nr totl wr (kostn) ook nog kijkn nr wr (kostn) pr nhi, pr stuk. Dn mot r worn gl n krijg j formuls mt rukn r in. Ovr z zkn gt it onrwrp. D volgn opgvn zijn ol om ovrziht ovr ht onrwrp Linir n hyprolish t krijgn. Dit trft onrln 1, 2, 3, 4 n 5 vn it onrwrp. Ht is nuttig om r n ign smnvtting ij t mkn. D opgvn hironr zijn ol om j rij t hlpn. J ht glr > formuls n grfikn ij rht vnrig vrnn mkn n gruikn ( Uitlg op pgin 6); > formuls n grfikn ij linir vrnn mkn n gruikn ( Uitlg op pgin 12); > vrglijkingn n onglijkhn ij linir vrnn oplossn ( Uitlg op pgin 20); > formuls n grfikn ij omgkr vnrig vrnn mkn n gruikn ( Uitlg op pgin 26); > formuls n grfikn ij hyprolish vrnn mkn n gruikn ( Uitlg op pgin 32); Voorknnis > rknn mt iml (ook ngtiv) gtlln (Rknn n Ngtiv gtlln); > wrkn mt rukn (Brukn); > wrkn mt tlln n grfikn (Grfikn); > wrkn mt formuls ij vrnn (Vrnn). > vrglijkingn systmtish oplossn (Vrglijkingn). Opgv 1 Hirnst zi j tw rht lijnn in n ssnstlsl. Ht zijn grfikn vn u fhnklijk vn u. Bij wlk vn i grfikn is sprk vn n rht vnrig vrn tussn u n u? En wrom? Bij in ol grfik hoort n formul vn vorm u = u u. Wlk wr hft vnrighisonstnt u? Als wr vn u tin kr zo groot wort, hovl kr zo groot wort wr vn u n? Toon it n oor wrn vn u ij u n ij 10u mt lkr t vrglijkn. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39

42 Opgv 2 In vorig opgv zi j tw rht lijnn in n ssnstlsl. Ht zijn grfikn vn u fhnklijk vn u. Bij i grfikn is sprk vn n linir vrn tussn u n u. Wrom? Bpl rihtingsoëffiiënt (ht hllingsgtl) vn grfik II. Stl n formul op ij z grfik. G mt hulp vn n rkning n of ht punt (41, 16) op grfik II ligt. Opgv 3 Gruik wr grfikn uit opgv 1 op pgin 39. Mt wlk vrglijking kun j u -wr vn ht snijpunt vn i grfikn rknn? Los in ol vrglijking op. Brkn oörintn vn ht snijpunt vn i grfikn. Ofn ht oplossn vn linir vrglijkingn in ht Prtium. Opgv 4 Als j ll wrn vn u wilt pln wrvoor 1,5u < 4,5 0,5u, n los j n onglijkhi op. Drij gruik j grfikn vn u 1 = 1,5u n u 2 = 4,5 1,5u. Di vin j ij opgv 1 op pgin 39. Wrom mot j rst vrglijking 1,5u = 4,5 0,5u oplossn? Los onglijkhi op. Opgv 5 Hir zi j n l vn grfik ij formul u = 8 u. Wrom is hir sprk vn n omgkr vnrig vrn? Wlk punt op grfik hft u -wr 16? Wlk punt op grfik hft u -wr 32? f Wt gurt r mt grfik ls u sts grotr wort? Wt gurt r mt grfik ls u sts ihtr ij 0 komt? J kunt in z formul ook ngtiv wrn voor u invulln. D grfik is rom nit omplt. Ho zit omplt grfik r uit? Opgv 6 Ggvn is formul u = 8 u + 2. Tkn n grfik ij z formul. Wlk soort vrn shrijft z formul? Wlk punt op grfik hft u -wr 16? Wlk punt op grfik hft u -wr 34? Wt gurt r mt grfik ls u sts grotr wort? Wt gurt r mt grfik ls u sts ihtr ij 0 komt? PAGINA 40 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

43 f Bkijk vrglijking 8 u + 2 = 5. Lt uilijk zin ho j z vrglijking oplost. g Wlk oplossing hft onglijkhi 8 u + 2 > 5. Tstn D volgn opgvn zijn ol om n t gn of j onrln 1 tot n mt 5 vn ht onrwrp Linir n hyprolish volon hrst. Opgv 7 Mng rgnt ht vnf 8:00 uur voorturn. Ht wtr in rgnmtr (n ilinrvormig uis) stijgt lk 10 minutn glijkmtig mt 6 mm. Om 8:00 uur ws rgnmtr lg. D wtrhoogt wort nggvn oor h (in mm) n tij oor u (in minutn). Wrom is h rht vnrig mt u? Wlk formul gft ht vrn tussn h n u? Tkn n grfik vn h fhnklijk vn u. Wlk hllingsgtl hft z grfik? N hovl minutn rgnn is wtrhoogt 20 mm? Opgv 8 s Mngsvons wort rgnmtr vn opgv 7 op pgin 41 glg. Ht rgnt s nhts nog wl n tj. Om 8:00 uur volgn g stt r 21 mm wtr in mtr. Dn rgnt ht zo hr t r lk 10 minutn 5,5 mm wtr ijkomt. D wtrhoogt wort ook nu nggvn oor h (in mm) n tij oor u (in minutn). f Wlk formul gft ht vrn tussn h n u? Tkn n grfik vn h fhnklijk vn u. Wrom is nu h nit rht vnrig mt u? Wlk hllingsgtl hft z grfik? Ho kun j n grfik zin t ht insg minr hr rgnt n ht mng? Ho lng n 8:00 uur lijft wtrhoogt in rgnmtr onr 50 mm? Gf j ntwoor in minutn nuwkurig. Opgv 9 Los volgn vrglijkingn systmtish op u = u 150 2,5 u = 300 5(u 6) = 36 (4 u ) 2 2u 5 3 u 4 = 6 Opgv 10 Los onglijkhi 6 2u < 0,5u 1 systmtish op. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41

44 Opgv 11 En shool huurt voor 2500 pr jr n kopirmhin voor lrlingn. Om kostn t kkn motn lrlingn n pl rg pr kopi tln. Hovl mot lrlingn pr kopi tln ls r 5000 kopiën pr jr worn gmkt? En ls r kopiën pr jr worn gmkt? Lg uit wrom ht rg pr kopi omgkr vnrig is mt ht ntl kopiën. D shool hft uitgrkn t lk kopi n ppir n inkt 0,05 kost. Dt komt ij ht rg t lrlingn pr kopi motn tln. u is ht ntl kopiën pr jr. Stl n formul op voor ht rg B t n lrling pr kopi mot tln fhnklijk vn u. Vn wlk soort vrn is r nu sprk? Tkn r n ijpssn grfik ij. Hovl kopiën pr jr motn r worn gmkt om mt n prijs voor lrlingn vn 0,20 pr kopi uit kostn t komn? Opgv 12 Los volgn vrglijkingn op: u = u = 6 u u = = 12 u 2 Opgv 13 Stl ij volgn vrnn n pssn formul op. En linir vrn tussn u n u wrvn grfik gt oor A(20, 16) n B(25, 6). En hyprolish vrn tussn u n u wrvn grfik gt oor A(20, 16) n lijn u = 10 ls horizontl symptoot hft. En hyprolish vrn tussn u n u wrvn grfik gt oor A(20, 16) n B(25, 6). Topssn Opgv 14: Grootvrruiktrif Als j mr n 600 m 3 gs pr jr vrstookt, n j n grootvrruikr. Dt glt ijvoorl voor glstuinouw. Om zijn kssn wrm t houn vrstookt n tuinr nogl wt gs. Om it tlr t houn hft ht gsrijf n grootvrruiktrif. In grfik zi j wt ggvns (in ). Wrom vrtoont grfik n knik? Hovl rgn vst kostn pr jr n prijs pr m 3 voor n klinvrruikr? Shrijf j rkning op. Bntwoor zlf vrg voor n grootvrruikr. Als u ht ntl vrruikt m 3 gs is n K zijn jrlijks kostn (in ) ij grootvrruik, wlk formul kun j n opstlln voor K? PAGINA 42 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

45 Bij wlk grootvrruik komn jrlijks kostn ovn 200? Opgv 15: Shl vn Rihtr D krht vn n rving wort gmtn op shl vn Rihtr. En krht vn 6 op shl vn Rihtr is l n hoorlijk rshok. Mr i krht nmt snl f ls j vrr vn ht ntrum vn rving f nt. Stl t voor krht u vn n pl rving glt: u = u Hirin is u fstn in km vnf ht ntrum vn ving. Hovl rgt krht vn z rving in ht ntrum? Ron f op één iml nuwkurig. Hovl rgt krht vn z rving op 5 km vn ht ntrum? Bij wlk gtl op shl vn Rihtr is r gn sprk vn n rving? Lg uit ho j n it ntwoor komt. Tkn n grfik vn u fhnklijk vn u. Nm voor u gtlln vn 0 tot n mt 0. Als u < 1,1 is rving nit volr. Brkn in één iml nuwkurig hovl km j rvoor vn ht ntrum f mot zittn. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43