Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 9 April uur

Transcriptie

1 Tntmn Simultis vn Biochmisch Systmn - 8C0 n 8CB9 9 April uur Vir lgmn opmrkingn: Ht tntmn bstt uit 7 opgvn vrdld ovr 3 pgin s Op pgin 4 stt voor idr opgv ht mximl ntl puntn dt voor d opgv bhld kn wordn Ht gbruik vn bokn, ntkningn, collgdicttn, notbooks, smrtphons d rknmchins is bij dit tntmn nit togstn of Bij dit tntmn mg u gbruik mkn vn ht bijgvogd formulbld All ntwoordn dinn duidlijk gformulrd n gmotivrd t wordn Bschouw d chmisch rctis E + S k k C C k E + P Stl dt s(t), p(t), c(t) n f(t) d concntrtis vn rspctivlijk d stoffn S, P, C, E op tijd t zijn Ggvn is dt ll rctis mss-ction kintik hbbn () Gf d diffrntilvrglijkingn di ht gdrg vn s(t), p(t), c(t) n f(t) bschrijvn (b) Lt zin dt c(t) + f(t) constnt is D Vrhulst vrglijking is wrbij k n positiv constntn zijn ( c (t) = k c(t) c(t) ), () Brkn mt d schiding vn vribln mthod d oplossing vn d Vrhulst vrglijking mt strtwrd c(0) = c 0, wrbij 0 < c 0 < U mg gbruikn dt voor 0 c(t)( c(t)) = c(t) + c(t)

2 3 Bschouw tw gnn Y n Y Gn Y rmt d trnscripti vn Y volgns n Hill vrglijking mt n = n constnt K D mximl productisnlhid vn Y is V Gn Y ctivrt d trnscripti vn Y volgns n Hill vrglijking mt ook n =, constnt K n mximl productisnlhid V W nmn ls vrnvoudiging n dt d trnscripti vn n gn mtn tot ht bijbhornd iwit lidt D iwittn Y n Y wordn bid fgbrokn mt vrvlconstntn γ rspctivlijk γ Er is voor bid iwittn gn bsl constnt producti Stl dt y = [Y] n y = [Y] () Gf d diffrntilvrglijkingn voor d dynmic vn y n y Stl dt in gschikt nhdn K = K =, V = 3, V = 4 n γ = γ = (b) Ht stlsl diffrntilvrglijkingn hft tw sttionir puntn (ŷ, ŷ ) n (ỹ, ỹ ) Brkn bid sttionir puntn (c) En vn d tw sttionir puntn is biologisch nit zinvol, omdt d concntrtis ngtif zijn Anlysr d stbilitit vn ht biologisch wl zinvoll sttionir punt 4 Om d diffrntilvrglijking y = f(y) op t lossn gbruikn w d volgnd één-stps mthod: ŷ(t + t) = y(t) + t ( 3 f(y(t)) + 3 f(ŷ(t + t))) Hirin is y(t) d bknd wrd op tijd t n ŷ(t+ t) d numrik bndring voor y(t+ t) () Is dit n xplicit of implicit mthod? (b) Stl dt f(y) = 0y, t = 0 n dt d strtwrd y(0) = numrik bndringn voor y(t) op t = t n op t = t Brkn dn d (c) Brkn d incrmntfuncti Ψ(z) voor dz mthod Hint: d incrmntfuncti wordt uitgrknd voor d vrglijking y = λy (d) Stl dt f(y) = 0y Wt is d mximl stpgroott t wrbij dz mthod nog stbil is? 5 () Gf d dfiniti vn n consrvtiv krcht Ggvn is n krcht F in d dridimnsionl ruimt, mt xy + z F(x, y, z) = yz + x xz + y (b) Lt zin dt d krcht F n consrvtiv krcht is Hint: Zok n potntil functi U(x, y, z) mt F(x, y, z) = U(x, y, z)

3 6 () Wt bdolt mn bij molculir simultis mt d Minimum Img Convnti? Bschouw n molculir simulti mt N dltjs mt mss s m i, positis r i n snlhdn v i D totl potntiël nrgi U N is d gbruiklijk som vn d potntiël nrgiën tussn tw dltjs: U N (r,, r N ) = i<j U(r ij ) Stl bij n molculir simulti mt priodik rndvoorwrdn vrlt n dltj d simulti doos door n wnd n (n kopi) komt wr binnn door d tgnovrliggnd wnd (b) Wt btknt dit voor d totl impuls P = N i= m iv i vn ht systm? Vrklr uw ntwoord (c) Wt btknt dit voor d totl kintisch nrgi K = N i= m iv i vn ht systm? Vrklr uw ntwoord (d) Wt btknt dit voor d totl potntiël nrgi U N (r,, r N ) vn ht systm? Vrklr uw ntwoord 7 D knsdichthid om knonik systm bstnd uit N dltjs in n tostnd mt positis r N n impulsn p N n t trffn is Ψ ( r N, p N) = βe(rn,p N ) βe(r N,p N ) dr N dp N Hirin is E ( r N, p N) d nrgi vn ht systm n β = hbbn n d totl potntiël nrgi U(r N ) is, wordt dit k B T Als ll dltjs mss m Ψ ( r N, p N) = β N p i i= m β N p i i= m dp N βu(r N ) βu(r N ) dr N () Brkn d vrwchtingswrd vn d bsolut wrd vn d x-componnt vn d inpuls vn dltj, dwz brkn p,x U mg gbruikn dt x dx = π 3

4 Honorring: (totl 00 puntn) Opgv : 6 puntn Opgv : 7 puntn Opgv 3: 6 puntn Opgv b: 4 puntn Opgv 3b: 6 puntn Opgv 3c: 6 puntn Opgv 4: 4 puntn Opgv 5: 5 puntn Opgv 6: 6 puntn Opgv 4b: 6 puntn Opgv 5b: 7 puntn Opgv 6b: 6 puntn Opgv 4c: 6 puntn Opgv 6c: 6 puntn Opgv 4d: 6 puntn Opgv 6d: 6 puntn Opgv 7: 7 puntn 4

5 Simultis vn biochmisch systmn - 8C0, 8CB0 Formulbld - 03/04 D Tylorrks bndring vn d functi f rond ht punt x is ggvn door f(x + x) = f(x) + f (x) x + f (x) ( x) + + f (n) (x) ( x) n + n! Hirm kn wordn fglid dt voor ll x n voor x < x = + x + x! + x3 3! + x4 4! + x = + x + x + x 3 + x 4 + Voor n diffrntilvrglijking vn d vorm y = f(y) zijn d volgnd numrik mthodn mt tijdstp t moglijk: Explicit Eulr (Forwrd Eulr): ŷ(t + t) = y(t) + t f(y(t)) Implicit Eulr (Bckwrd Eulr): ŷ(t + t) = y(t) + t f(ŷ(t + t)) Crnk-Nicholson: ŷ(t + t) = y(t) + t (f(y(t)) + f(ŷ(t + t))) Hun (Improvd Eulr): y (t + t) = y(t) + t f(y(t)) ŷ(t + t) = y(t) + t (f(y(t)) + f(y (t + t))) Rung-Kutt: k = f(y(t)) k = f(y(t) + t k ) k 3 = f(y(t) + t k ) k 4 = f(y(t) + t k 3 ) ŷ(t + t) = y(t) + 6 t (k + k + k 3 + k 4 ) D chtrwrds diffrntis (Bckwrd Diffrncs) zijn gdfinird door y n+ = y n+ y n y n+ = y n+ y n 3 y n+ = y n+ y n Ht p grds polynoom Q p door d puntn (t n p+, y n p+ ),, (t n+, y n+ ) is dn Q (t) = y n+ + t t n+ y n+ t Q (t) = y n+ + t t n+ y n+ + (t t n+)(t t n ) t t y n+ Q 3 (t) = Q (t) + (t t n+)(t t n )(t t n ) 3! t 3 3 y n+

6 D BDFp mthod voor ht oplossn vn y = f(y) volgt dn uit Q p(t n+ ) = f(y n+ ) D Lnnrd Jons potntil mt prmtrs ɛ n σ tussn tw dltjs mt fstnd r is ( (σ ) ( σ ) ) 6 U vdw (r) = 4 ɛ, r r D totl nrgi vn n systm bstnd uit N dltjs mt positis r,, r N, impulsn p,, p N n potntiël nrgi U(r N ) is E(r N, p N ) = N i= p i m i + U(r,, r N ), wrbij r N n fkorting is voor (r,, r N ) n p N n fkorting is voor (p,, p N ) D kns om n knonik systm mt nrginivus E ν (ν =,, ) in n nrginivu E ν n t trffn is P ν = βeν Z wrbij Z = ν βeν n β = k B T D knsdichthid om knonik systm bstnd uit N dltjs in n tostnd mt positis r N n impulsn p N n t trffn is Ψ ( r N, p N) = βe(rn,p N ) βe(r N,p N ) dr N dp N Hirin is E ( r N, p N) d nrgi vn ht systm n β = k B T Ht vrbnd tussn gmiddld kwdrtisch impuls vn dltj i n d tmprtuur T is p i = 3mi k B T

7 Uitwrking tntmn Simultis vn biochmisch systmn - 8C0 9 April uur () D diffrntilvrglijkingn voor s(t), p(t), c(t) n f(t) zijn s (t) = k f(t)s(t) + k c(t) p (t) = k c(t) c (t) = k f(t)s(t) k c(t) k c(t) f (t) = k f(t)s(t) + k c(t) + k c(t) (b) c(t) + f(t) is constnt wnt c (t) + f (t) = k f(t)s(t) k c(t) k c(t) k f(t)s(t) + k c(t) + k c(t) = 0 () D Vrhulst vrglijking is c = kc( c ) Hrschrijvn gft Schiding vn vribln lvrt ofwl Gbruik mknd vn d hint krijgn w Intgrrn vn bid zijdn lvrt dc dt = kc( c ) dc c( c ) = kdt dc c( c) = kdt ( c + ) dc = kdt c log c log( c) = kt + K, wrbij w nnmn dt 0 c (Dt gldt in idr gvl voor d strtwrd c 0 ) D ltst vrglijking kn hrschrvn wordn ls htgn lidt tot log wrbij d constnt K = K Dit lvrt n hiruit kn c(t) opglost wordn: c c = kt + K, c c = kt+k = K kt, c = K kt K kt c, c(t) = K kt + K kt D onbknd constnt K kn bpld wordn uit d bginvoorwrd c(0) = c 0 Dit lvrt c 0 = c(0) = K, + K

8 wruit volgt dt K ggvn wordt door K = c 0 c 0 Substituti in d uitdrukking voor c(t) hirbovn gft n n vrnvoudiging c(t) = c(t) = c 0 c 0 kt + c 0 c 0 kt, c 0 ( c 0 ) kt + c 0 Mrk op dt voor t, c(t) c 0 c 0 = Dt is d nig symptotisch stbil stdy stt 3 () D diffrntilvrglijkingn voor y (t) n y ( t) zijn y (t) = V K K + y γ y y (t) = V y K + y γ y (b) Invulln vn d ggvn constntn lvrt d diffrntilvrglijkingn y (t) = 3 y + y y (t) = 4 y + y y En sttionir punt (y, y ) voldot dus n 3 y = 0 () + y 4 y + y y = 0 () Uit () volgt y = 4y +y Invulln hirvn in () lvrt ofwl Dit lvrt dn d kwdrtisch vrglijking 3 + 4y = y, +y 3( + y ) + y + 4y = y 5y y 3 = 0, mt oplossingn y = of y = 3/5 D bijbhornd wrdn vn y volgn dn uit () W vindn dus d tw sttionir puntn (ŷ, ŷ ) = (, ) n (ỹ, ỹ ) = ( 3/5, 6) (c) Alln ht sttionir punt (ŷ, ŷ ) = (, ) is biologisch zinvol D Jcobin vn ht stlsl diffrntilvrglijkingn in n punt (y, y ) is ( ) 3 (+y J(y, y ) = ) 4 (+y ) D Jcobin, brknd in ht sttionir punt (ŷ, ŷ ) is dn ( ) 3 ( (+) J(, ) = 4 = 3 (+) )

9 D ignwrdn vn dz Jcobin zijn d oplossingn vn d vrglijking ofwl D ignwrdn zijn dn ( λ)( λ) + 3 = 0, λ + λ = 0 λ, = ± 3 i 3 Bid ignwrdn hbbn - ls rël dl Dus ht sttionir punt (ŷ, ŷ ) = (, ) is symptotiosch stbil 4 () In d ggvn xprssi voor ŷ(t + t) komt ŷ(t + t) ook in ht rchtrlid voor Om ŷ(t + t) t vindn mot dus n vrglijking opglost wordn Dit is dus n implicit mthod (b) Mt f(y) = 0y n t = 0 wordt d rgl ŷ(t + t) = y(t) + ( 3 y(t) 3ŷ(t + t)) Hrschrijvn vn dz vrglijking voor ŷ(t + t) lvrt mt oplossing 4 3ŷ(t + t) = 3 y(t), ŷ(t + t) = 4 y(t) Als y(0) =, dn volgt n n stp d bndring ŷ( t) = 4 = N nog n stp vindn w dn ŷ( t) = 4ŷ( t) = 8 (c) Om d incrmnt functi t bpln, kizn w f(y) = λy D mthod wordt dn ofwl mt ls oplossing ŷ(t + t) = y(t) + t ( 3 λy(t) + 3 λŷ(t + t)), ( 3 λ t)ŷ(t + t) = ( + 3 λ t)y(t), ŷ(t + t) = + 3 λ t = Ψ(λ t)y(t) 3λ ty(t) D incrmntfuncti vn dz mthod is dus Ψ(z) = + 3 z 3 z (d) D mthod is stbil ls Ψ(z) wrbij z = λ t = 0 t W bpln rst voor wlk wrdn vn z r gldt dt Ψ(z) = Erst Ψ(z) = Dt lvrt + 3 z = 3z, mt ls oplossing z = 0 Dn Ψ(z) = Dt lvrt + 3 z = ( 3z), mt ls oplossing z = 6 Om t ondrzokn wr nu Ψ(z) < n wr Ψ(z) > brknn w bijvoorbld Ψ( 3) = Dus Ψ(z) voor 6 z 0 n Ψ(z) > voor z < 6 of z > 0 D mthod is dus stbil ls 6 0 t 0 Hrschrijvn lvrt 0 0 t 6 ofwl 0 t 06 D mximl stpgroott wrbij dz mthod nog stbil is, is dus t = 06 5 () En krcht F is consrvtif ls d hovlhid rbid di d krcht vrricht om n dltj vn n positi r nr n positi r t brngn onfhnklijk is vn ht gvolgd pd In formulvorm btknt dit dt W = r r F dr onfhnklijk is vn ht pd dt gvolgd wordt vn r nr r 3

10 (b) Om t ltn zin dt F n consrvtiv krcht is zokn w n potntilfuncti U(x, y, z) zodt F = U Opmrking: ht hft gn zin om d rbid di F lngs tw vrschillnd pdn vrricht t brknn n t ltn zin dt dr htzlfd uitkomt En krcht is consrvtif ls d rbid lngs idr twtl pdn (mt dzlfd bgin- n indpuntn) glijk is Dt d rbid lngs tw pdn glijk is zgt dus nits D potntil U(x, y, z) mot dus voldon n U = xy z x U = yz x y U z = xz y Intgrrn vn dz dri vrglijkingn lvrt U(x, y, z) = x y xz + C (y, z) U(x, y, z) = y z x y + C (x, z) U(x, y, z) = xz y z + C x (x, y), wrbij C, C n C 3 nog t kizn functis zijn Ht is nu nvoudig in t zin dt d kuz U(x, y, z) = x y xz y z n ll dri d vrglijkingn voldot Dn is U(x, y, z) dus n potntil voor d krcht F n drm is F n consrvtiv krcht 6 () D Minimum Img Convnti is d fsprk dt bij simultis mt priodik rndvoorwrdn bij ht brknn vn d potntiël nrgi tussn tw dltjs ls ondrling fstnd d miniml fstnd tussn ll moglijk kopiën vn d tw dltjs gbruikt wordt (b) Als bij n simulti mt priodik rndvoorwrdn n dltj mt mss m d simultidoos mt n snlhid v vrlt, komt r op htzlfd momnt n kopi vn dt dltj mt snlhid v door d tgnovrliggnd wnd nr binnn Zowl ht dltj dt d simultidoos vrlt ls ht dltj dt binnnkomt hbbn impuls mv D totl impuls vrndrt dus nit (c) D totl kintisch nrgi vrndrt ook nit, bid dltjs hbbn kintisch nrgi mv (d) D potntiël nrgi tussn tw dltjs hngt f vn d miniml fstnd tussn ll moglijk kopiën vn d dltjs Dz miniml fstnd vrndrt nit ls n vn bid dltjs door n wnd gt (D miniml fstnd is n continu functi vn d tijd t) D totl potntiël nrgi vrndrt dus ook nit 4

11 7 () D vrwchtingswrd vn p,x is glijk n p,x = p,x Ψ ( r N, p N) dr N dp N = p,x β N p i i= m β N p i i= βu(rn ) m dp N βu(r N ) dr N drn dp N = p,x β N p i i= m dp N β N p i i= m dp N βu(r N ) dr N βu(r N ) dr N = p,x β N p i i= m dp N β N p i i= m dp N D intgrl ovr ll momntn (dp N ) kn wr gsplitst wordn in n product vn intgrln ovr d componntn vn d momntn vn d individul dltjs Di intgrln komn bijn llml zowl in d tllr ls in d nomr voor n vlln dus tgn lkr wg, nt ls in prgrf 73 vn ht collgdictt Alln d intgrln ovr p,x blijvn stn: p,x = p,x β p,x m dp,x p,x β m dp,x Invorn vn = β m n n niuw intgrti vribl x lvrt p,x = x x dx x dx D intgrl in d nomr is ggvn in d opgv ls π D intgrl in d tllr gt ovr n vn functi ( x x ) n kn dus hrschrvn wordn ls p,x = 0 x x dx π Omdt krijgn w uitindlijk 0 x x dx = x 0 = p,x = π = m = π πβ = mkb T π D bsolut wrd vn d impuls in d x-richting vn dltj is dus vnrdig mt d wortl uit d bsolut tmprtuur T Dit gldt uitrrd ook voor d y n z componntn n voor ndr dltjs 5