RC-KRING. Vakoverschrijdend Practicum. 2 de Kandidatuur Burgerlijk Ingenieur. Prof. dr. Gaston Van Den Berge

Transcriptie

1 2 d Kandidatuur Burgrlijk Ingniur Vakovrschrijdnd Practicum Prof. dr. Gaston Van Dn Brg -KRING Practicumopstlling nr. 4 dondrdag 03 maart 2005 Kon Vrdgm 152 Knny Van Huvrswijn 151 Wrktuigkund-Elktrotchnik Wrktuigkund-Elktrotchnik Practicumbglidstr: Nathali D Gytr

2 Inhoudsopgav 1. Dol Inliding op wrstandn, condnsatorn n d oscilloscoop Wrstandn Condnsatorn Oscilloscoop Thortisch bschouwingn bij d -kring Opladn van n condnsator Ontladn van d condnsator kring mt n kantlspanningsbron kring mt n sinusoïdal spanningsbron Studi van n -kring mt kantlspanning Mtopstlling Mtingn n brkningn Studi van n -kring mt sinusspanning Mthod 1: fasvrschil bpaln vanuit tijd tussn nuldoorgangn Mtmthod Mtingn Brkningn Mthod 2: fasvrschil bpaln mt Lissajousfigurn Mtmthod Mtingn Brkningn Algmn bsluit Rfrntis Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 1

3 1. Dol Ht dol van dit practicum is d spanning t bpaln voor vrschillnd aanglgd frquntis in n lktrisch ntwrk mt n wrstand n condnsator in sri, n kring gnaamd, n dit zowl mt n kantl- als sinusoïdal spanningsbron. Bovndin wordt d tijdsconstant xprimntl bpaald. Erst gvn w n inliding op wrstandn, condnsatorn n d oscilloscoop. Daarna volgn voor bid spanningsbronnn (rst kantlspanning n daarna sinusoïdal spanning) n bschrijving van ht bstudrd ntwrk n n aantal lmntair brkningn van formuls n vrbandn. Daarna volgn d mtopstllingn, d mtrsultatn n brkningn voor bid spanningsbronnn. Tot slot formulrn w n bsluit. 2. Inliding op wrstandn, condnsatorn n d oscilloscoop 2.1 Wrstandn Aangzin wrstandn haast gnog bknd zijn bij lk wtnschappr kunnn w hir kort ovr zijn n slchts karaktristikn aanhaln di w gbruikn in dit practicum. Als w n wrstand in n ntwrk schakln, zorgt dz rvoor dat d klm waar d stroom uit d wrstand vloit op n lagr potntiaal komt t staan als d klm waar d stroom in d wrstand vloit. W kunnn d wrstand dfiniërn als d vrhouding van ht potntiaalvrschil tussn d klmmn tot d stroom in door d wrstand: V R= I Uit dz vrglijking kan ook d afnam in potntiaal wordn afglid. Wrstandn kan mn in lk vorm makn uit n hlbol matrialn. In d industri komn gstandaardisrd wrstandn voor (zoals in d figuur hir rchtsbovn wrggvn). Op dz wrstandn is n klurcod aanggvn n zo kan mn aan d hand van ondrstaand dtrminrtabl d wrstandswaard bpaln. D nhid van wrstand is Ohm 1Ω= 1V 1A. Figuur 1: Industriël gstandaardisrd wrstandn Figuur 2: Dtrminrtabl wrstandn Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 2

4 2.2 Condnsatorn Ht is nit ons bdoling condnsatorn uitgbrid t bsprkn maar slchts nkl ignschappn van condnsatorn aanhaln di w bij dit practicum hbbn gbruikt. Condnsatorn wordn gbruikt om lktrisch lading op t slaan. D capacitit van n condnsator wordt gdfinird als d vrhouding van d hovlhid opgslagn lading tot ht potntiaalvrschil aanglgd tussn d klmmn van d condnsator: Q Figuur 3: Enkl typisch C= V condnsatorn D nhid van capacitit is d farrad F (1F = 1C V ). Typisch capacititn di hl vaak voorkomn gaan van microfarads tot nanofarads. Op figuur 3 zijn nkl typisch condnsatorn afgbld. 2.3 Oscilloscoop En oscilloscoop (hir rchts in figuur 4 wrggvn) is n in d lktrotchnik vlgbruikt instrumnt n wordt gbruikt om lktrisch signaln zichtbaar t makn. Dz lktrisch signaln kunnn op zich afkomstig zijn van transducrs di ondrmr trillingn, druk n kracht in n lktrisch signaal kunnn omzttn. En oscilloscoop is bijzondr vlzijdig, krachtig n univrsl wrkinstrumnt. D klassik uitvoring zoals dz jarn gbruiklijk was bstaat voor d bldvorming Figuur 4: Oscilloscoop uit n kathodstraalbuis n n luminscrnd schrm. D uitindlijk opwkking van ht bld gburd doordat d lktronnstraal horizontaal n vrticaal kan wordn afgbogn. D wrking is hirondr in figuur 5 vrdr gïllustrrd. D informati di n oscilloscoop vrzamld wordt vaak rchtrks ovrgbracht naar computrs voor vrdr vrwrking. Mt n oscilloscoop kan ondr mr spanning, frqunti n tijdsafstand wordn gmtn. D invor kan gburn op mstal tw kanaln. Figuur 5: Wrking oscilloscoop Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 3

5 Karl Frdinand Braunn ( ) was d uitvindr van d rst oscilloscoop mt princip zoals hirbovn vrmld. In 1909 krg hij samn mt Marconi d Noblprijs voor d fysica voor zijn inbrng in d ontwikkling van d radio. 3. Thortisch bschouwingn bij d -kring Figuur 6: K.F. Braun 3.1 Opladn van n condnsator W bschouwn rst n vrnvoudiging n nmn n constant spanningsbron V zodat ht potntiaalvrschil tussn d tw klmmn van d spanningsbron constant blijft. Uitraard kunnn w achtraf d aflidingn di hir gmaakt wrdn topassn op d -kring mt kantlspanning. Ovr n bprkt tijd blijft d aanglgd spanning immrs constant. D schakling is hirondr in figuur 1 wrggvn. D constant spanningsbron kan zowl in als uit dit ntwrk wordn gschakld. Als mn d spanningsbron in ht ntwrk wil schakln, plaatst mn schaklaar S in positi b. Als mn d spanningsbron uit ht ntwrk wil schakln, plaatst mn schaklaar S in positi a. In strikt zin kan n lktrisch stroom nit door n condnsator stromn. Toch zal n tijdlijk stroom in d kring optrdn totdat d platn van d condnsator volldig gladn zijn. Figuur 7: -kring mt constant spanningsbron V W trachtn aan d hand van spannings-, stroom n I-V-wttn d -kring mt constant spanningsbron V op t lossn naar d spanning ovr d condnsator (v C ) n d wrstand (v R ). D rst wt van Kirchoff stlt dat in n knooppunt d som van d aankomnd stromn glijk is aan d som van d stromn di vrtrkkn vanuit ht knooppunt. Uitraard dint vooraf n stroomzin t wordn gkozn. W kizn d omloopzin van d stroom in wijzrzin. Aangzin all lmntn in sri staan is d stroom in d -kring ovral glijk. Als w d schaklaar in positi b plaatsn, volgt uit d spanningswt van Kirchoff dat: Dit is op zich glijk aan V V + v + v = 0 C q = R i+, aangzin vr = R i n vc C R q =. C Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 4

6 V (in Volt) staat voor d bronspanning, v C (vnns in Volt) voor d spanning ovr d condnsator, v R (ook in Volt) voor d spanning ovr d wrstand, R (in Ohm) voor d numrik waard van d wrstand, i (in Ampèr) voor d stroom in d ktn, q (in Coulomb) voor d lading op d condnsorplatn n C (in Farad) voor d capacitit van d condnsator. Mrk op dat w klin lttrs gbruikn voor waardn di vrandrn in d tijd. Om d uitdrukking voor V nu vrdr op t lossn stlln w d platn van d condnsator) n bkomn: dq q V = R + dt C dq i= (q staat voor d lading op dt Uitindlijk bkomn w als oplossing van dz diffrntiaalvrglijking (mt bginvoorwaard q(0) = 0 want d condnsator is initil ongladn): t q( t) CV 1 = Daaruit kunnn w d stroom door d kring aflidn: t dq V i( t) = = dt R En uitindlijk kunnn w uit dz uitdrukking voor d stroom in d kring v C n v R vindn: t t V vr( t) = i( t) R= R= V R t CV 1 t q( t) vc( t) = = = V 1 C C Uit dz uitdrukkingn kunnn w ht gdrag van d kring aflidn voor t = 0 n voor t gaand naar onindig. Voor t = 0 mrkn w dat v R = V n v C = 0. W hbbn dus n spanning ovr d wrstand alsof d condnsator nit in ht ntwrk aanwzig was. D lading op d condnsator is bij aanvang glijk aan nul. Voor t gaand naar onindig mrkn w dat v R = 0 n v C =V. Er staat gn spanning mr ovr d wrstand n r is gn stroom mr in d kring. D lading op d condnsatorplatn is glijk aan ht product van capacitit C n ht potntiaalvrschil V dat tussn d klmmn van d constant spanningsbron hrst. Figuur 8 toont ht vrloop van v R n v C als functi van d tijd. Figuur 8: Vrloop van spanning ovr wrstand n condnsator in functi van d tijd bij opladn Aangzin r na vrloop van tijd n stds grotr lading op d condnsatorplatn ontstaat, is ht gprmittrd ovr opladn van n condnsator t sprkn. Dit is ook mtn d vrantwoording van d titl van dz paragraaf. Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 5

7 Ht product van wrstand C n capacitit R hft n tijdsdimnsi n wordt d tijdsconstant τ van d -ktn gnomd. W trachtn nu na t gaan wat ht gdrag is van d -kring op ht tijdstip τ. W substiturn t = τ in d uitdrukking voor d spanning ovr d condnsator. τ 1 ( τ) ( ) vc = V 1 = V 1 = V 1 0, 6321V τ is blijkbaar d tijd nodig om n condnsator tot 63,21 % van zijn total ladingscapacitit (bij n bpaald spanning) op t ladn. Op ht tijdstip τ is d spanning v C ovr d condnsator C tognomn tot ongvr 63 % van zijn indwaard V. In figuur 8 hbbn w aangduid dat ht snijpunt van d raaklijn aan d v R -curv mt d tijdsas t glijk is aan d tijdsconstant τ. En forml bwijs volgt hirondr. W bpaln rst d vrglijking voor d raaklijn. Uit d uitdrukking voor v R kunnn w gmakklijk n punt van d raaklijn n d richtingscoëfficiënt van d raaklijn bpaln. v 0 = V R ( ) t dvr V dvr V ( t) = ( 0) = dt dt (0,V) is n punt van d raaklijn n d richtingscoëfficiënt is V/. D vrglijking van d raaklijn in punt (0,V) is dan: V V( t) = t+ V W lossn nu d vrglijking op naar t voor V(t) = 0: V t + V = 0 t = = τ Uit figuur 8 blijkt dat d spanning ovr d condnsator asymptotisch naar V strft. Houdn w d schaklaar in stand b voor n tijd t di vl grotr is dan d tijdsconstant, dan wordt d condnsator volldig opgladn. 3.2 Ontladn van d condnsator Als w na n volldig oplading van d condnsator (dit wil zggn dat d schaklaar S lang tijd in positi b hft gstaan) d schaklaar S in positi a plaatsn, zal d condnsator zich ontladn ovr d wrstand n zal gn stroom mr door d spanningsbron vloin. D ontlaadstroom loopt nu in tgngstld zin aan d oplaadstroom omdat d plaat van d condnsator di mt d positiv pool van d spanningsbron vrbondn was bij ht opladn ngatif gladn is n d plaat van d condnsator di mt d ngativ pool van d spanningsbron vrbondn was bij ht opladn van d plaat positif gladn is. Mt d wttn van Kirchoff kunnn w opniuw d -kring oplossn naar d spanning v r ovr d wrstand n d spanning v c ovr d condnsator. W vindn voor d kring mt schaklaar in positi a: v + v = 0 R C dq q R + = 0 dt C Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 6

8 q (in Coulomb) staat hir voor d lading op d condnsatorplatn, R (in Ohm) voor d wrstand, C (in Farad) voor d capacitit van d condnsator, v R (in Volt) voor d spanning ovr d wrstand n v C (vns in Volt) voor d spanning ovr d condnsator. Als w t = 0 ht omschakltijdstip stlln, dan luidt d oplossing van dz diffrntiaalvrglijking (mt bginvoorwaard q(0)=q 0 =CV d bginlading van d condnsator): q( t) = q Uitindlijk vindn w op analog manir als bij ht opladn van d condnsator uitdrukking voor d spanning ovr d wrstand R n d condnsator C in functi van d tijd t: R ( ) 0 t v t = V C ( ) v t = V W kunnn opniuw nagaan wat d spanning ovr d condnsator is na vrloop van tijd glijk aan d tijdsconstant τ: v τ = V 0,3678V C ( ) 1 W zin dat na vrloop van tijd τ d spanning ovr d condnsator gdaald is tot ongvr 37 % van zijn uitgangsspanning V. t t In ondrstaand figuur (figuur 9) wordt ht vrloop van v R n v C grafisch wrggvn. Figuur 9: Vrloop van spanning ovr wrstand n condnsator in functi van d tijd bij ontladn 3.3 -kring mt n kantlspanningsbron Uitraard zijn w in all vorig bschouwing ovr opladn n ontladn van d condnsator uitggaan van n constant spanningsbron. Ht is chtr d studi van n aanglgd kantlspanning di ons in bijzondr intrssrt. D ovrstap van constant spanningsbron V naar kantlspanningsbron is gmakklijk t makn n dit door d schaklaar S afwisslnd in d standn a n b t schakln gdurnd n aantal kr d tijdsconstant τ. D condnsator wordt nu afwisslnd opgladn n ontladn. Ht kan zijn dat d condnsator nit voldond tijd hft om volldig op t ladn of t ontladn. In figuur 10 kan U ht vrband zin tussn d aanglgd kantlspanning V n d spanning v R ovr d wrstand. D hirbovn afglid formuls kunnn praktisch volldig wordn ovrgnomn voor ht ladn n ontladn van d condnsator. Uitraard dint rkning t wordn ghoudn mt d kantlspanning. Als d priod van d kantlspanning grotr is dan d tijdsconstant τ krijgn w ondrstaand figuur. Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 7

9 Figuur 10: Vrloop van spanning ovr d wrstand R bij aanlg van kantlspanning 1 Als w d gnratorfrqunti instlln op f = 0 9, 2τ, dan is d klinst waard di v R brikt vooralr n spanningssprong optrdt glijk aan 1 % van d amplitud V van d kantlspanning (bwijs hirondr wrggvn). D priod van dz gnratorfrqunti is dan T0 = 9, 2τ. D condnsator hft d hlft van dz tijd om t ontladn. W bpaln d spanning ovr d condnsator op tijdstip t= 9,2 τ / 2 : 9,2 2 9, 2τ vr = V 0,01V 2 Ht vooropgstld blijkt t kloppn kring mt n sinusoïdal spanningsbron W wnsn ook n -kring mt n sinusoïdal spanningsbron t bstudrn aangzin d mst lktrisch tostlln wrkn op ntstroom. Dz ntstroom kan gzin wordn als n grot sinusoïdal spanningsbron mt n amplitud van 230V n n frqunti van 50 Hrtz in d mst Europs landn. In ondrmr d Vrnigd Statn n Canada bdraagt d v t = V cos ωt aanlgt ovr d frqunti 60 Hrtz. Als mt n sinusoïdal spanning ( ) m ( ) -ktn, dan loopt d stroom i( t) I cos( ωt ϕ ) = + in faz voor op d aanglgd m spanning. i ϕ is dus grotr dan nul. Voor n fasorvoorstlling vrwijzn w naar ondrstaand figuur (figuur 11). i Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 8

10 Figuur 11: Fasorvoorstlling aanglgd spanning n rsultrnd spanningn ovr wrstand n condnsator Voor d xact analys n bwijzn btrffnd stroom n spanning in n -kring kunnn w vrwijzn naar hoofdstuk 33 in ht bok Physics for Scintists and Enginrs 1 van Srway. W zulln hir nit alls ovrnmn, nkl d thori di van topassing is op d kring. D impdanti Z van d -kring is glijk aan Z = R +. D maximal spanning is ωc V m (= d amplitud van d aanglgd sinusoïdal spanning). Dan is d maximal stroom I max in d kring glijk aan: Vm Vm Imax = = Z R + ωc 2 1 Hiruit kunnn w d groott van d vctorn VR n V C (d maximumspanningn ovr wrstand n condnsator) bpaln: Vm R Vm ω Vm VR = Imax R= = = ( ω) R + 1+ ωc ω 1 Vm Vm VC = Imax = = ωc ( ω) + 1 R + ωc ωc W dfiniërn φ als ht fasvrschil tussn stroom n spanning: ϕ = ϕv ϕi. W nmn hir φ V glijk aan nul. D fashok φ tussn stroom n spanning vindn w dan als volgt: 1 ϕ = arctan ω W nmn n paar bijzondr frquntis f ( ω= 2π f ) n wrkn ondrstaand limitn uit (mt n symbolisch rknprogramma zoals Mapl of mt d hand): 2 1 Srway, A. Raymond (2004). Physics for Scintists and Enginrs. Blmont (USA): Brooks/Col-Thomson Larning. Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 9

11 1 - voor lag frquntis (dit wil zggn voor ω ): τ ( ) 1 lim V R = 0 lim arctan = 90 ω 0 ω 0 ω 1 - voor d frqunti f glijk aan 2πτ (dit wil dus zggn voor ω= 1 ): τ Vm 1 lim ( V ) 0, R = Vm lim arctan 45 1 = ω 2 ω ω - voor hog frquntis (dit wil zggn voor 1 ω ): τ ( V ) lim R = Vm ω 1 lim arctan = 0 ω ω 3. Studi van n -kring mt kantlspanning 3.1 Mtopstlling W makn d opstlling zoals hirondr in figuur 12 wrggvn. W makn gbruik van n functignrator di d bnodigd kantlspanning zal gnrrn. Op dz functignrator kunnn w kizn voor vrschillnd soortn spanning: kantlspanning, sinusoïdal spanning, tc. Tvns kunnn w d frqunti (n dus onrchtstrks d priod n hokfrqunti) instlln. Om d aanglgd spanning n d spanning ovr d wrstand wr t gvn, makn w gbruik van n oscilloscoop. En spanning mtn w door d oscilloscoop in paralll t schakln mt d tak van d kring waarovr w d spanning wnsn t brknn. D zwart ingang van ht rst kanaal van d oscilloscoop is d aarding. D mting van d glvrd spanning door d functignrator plaatsn w op kanaal 1 van d oscilloscoop. D mting van d spanning ovr d wrstand R schakln w aan ht twd kanaal van d oscilloscoop (zi CH1 n CH2 op figuur 6 CH staat voor channl, Engls voor kanaal ). W hovn slchts één draad van d aanggvn positi (figuur 12 links) mt ht twd kanaal van d oscilloscoop t vrbindn. Figuur 12: Vrnvoudigd mtopstlling links, rchts foto van actul schakling in practicum Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 10

12 3.2 Mtingn n brkningn W stlln d gnrator in op kantlspanning n w stlln d oscilloscoop in zoals bschrvn op d figurn in bijlag 1 van dit vrslag (figuur a,b,c n d). Vooralr t bginnn mt mtingn dinn w rst nog d wrstand n capacitit van d condnsator t bpaln. D capacitit van d condnsator rchtstrks af t lzn op d condnsator: 6 C= 0,1µ F± 10% = 0,1 10 F± 10%. Voor d bpaling van d wrstand makn w gbruik van d klurcod op d wrstand (dit wrd rds uitglgd in paragraaf 2.1). Uitindlijk 3 bkomn w voor d wrstand: R= 10kΩ± 5% = Ω± 5%. Uitindlijk bkomn w n tijdsconstant τ = R C= 0, 001s = 1ms = 1000µ s. W stlln d gnratorfrqunti in op f 0 zoals hirondr wrgvn: 1 f0 = 108,7s 9, 2τ D amplitud van d kantlspanning bdraagt V m = 22,2V. D maximal spanning ovr d wrstand bdraagt 20,2V. Normaalgzin zou d maximal spanning ovr d wrstand motn glijk zijn aan d amplitud van d kantlspanning. Toch zin w in d praktijk dat dit nit zo is. En moglijk vrklaring hirvoor is dat d glidrs di dinn als vrbinding tussn d vrschillnd lmntn in d kring nit prfct glidnd zijn n ook optrdn als wrstand in d kring. En bijkomnd vrklaring is dat d condnsator nit volldig ontlaadt maar dat r n lading aanwzig blijft op d condnsatorplatn. Hirondr is n oscillogram (figuur 13) wrggvn mt gnratorfrqunti f 0. Figuur 13: Oscillogram mt f0 = 108,7 Hz Figuur 14: Oscillogram mt f0 = 1085 Hz Om xprimntl d tijdsconstant τ t bpaln gaan w als volgt t wrk. W plaatsn d oscilloscoop in d stand om d spanning t mtn. W plaatsn cursor 1 op d basislijn van ht signaal n plaatsn cursor 2 op d 1/ -waard van d pikspanning. Dus op spanning 8,16V. W vrplaatsn ht signaal tot d dalnd xponntiël (afkomstig van d gmtn spanning ovr d wrstand) d cursor in ht schrmmiddn snijdt. W plaatsn nu d oscilloscoop in d mtstand tim n w mtn ht tijdsintrval tussn d pik n 1/ - waard (d afliding van dz tchnik wrd rds in paragraaf 3.1 ggvn). D gmtn tijdsconstant bdraagt 900, 0µ s. W zin dat dz xprimntl gmtn tijdsconstant d thortisch zr strk bnadrd. Er is slchts n vrschil van 100, 0µ s. Tw moglijk vrklaringn hirvoor zijn: - d wrstand n condnsator hbbn nit xact d aangduid waard Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 11

13 - klin aflsfout bij ht xprimntl aflzn op d oscilloscoop W vrgrotn nu langzaam d gnratorfrqunti tot n frqunti van 10 f0. Hirbovn is n oscillogram wrggvn (figuur 14) waarbij d frqunti 10 f0 1,1kHz bdraagt. W kunnn dz figuur vrglijkingn mt d vorig figuur. W stlln vast dat d spanningssprong di optrdt bij d wrstand vrr van glijk is aan d amplitud van d kantlspanning. Aangzin d som van d spanningn ovr condnsator n wrstand glijk mot zijn aan d maximal spanning van d spanningsbron kunnn w aflidn dat d condnsator nit mr volldig ontlaadt. Er blijft n constant lading op d condnsatorplatn aanwzig. D prmannt lading is tvns hogr dan d constant lading di bij n gnratorfrqunti f 0 blijkbaar op d platn aanwzig was. In ht concrt gval van d ondrstaand figuur kunnn w nu d prmannt lading op d condnsator gaan bpaln. Aan d hand van d spanning spanningssprongn van d xponntiël functi kunnn w d minimal spanning ovr d wrstand bpaln. Dz bdraagt: vr 12V. V m bdraagt ongvr 22V. W wrkn mt bnadrnd waardn omdat dz aflzingn tot stand zijn gkomn door ht tlln vakjs. D mtfout bdraagt dus 1V. D prmannt lading op d 6 condnsator bdraagt: q = 1µ C= 1 10 C. D brkning volgt hirondr: prmannt q C 6 Vm = vr+ vc 22V = 12V + vc 10V = vc = 10V q= 10V C q= 1 C= 1 10 C µ 4. Studi van n -kring mt sinusspanning Ht dol van dit dl van ht practicum is ht xprimntl ondrzokn van ht gdrag van d -kring bij sinusoïdal spanning. In ht bijzondr gaan w ht fasvrschil op tw manirn zokn. 4.1 Mthod 1: fasvrschil bpaln vanuit tijd tussn nuldoorgangn Mtmthod Voor dz prof makn w vnns gbruik van n functignrator voor ht opwkkn van ht nodig spanningsvrschil n om ht spanningsvrloop ovr d wrstand wr t gvn makn w gbruik van n oscilloscoop. W bginnn d prof mt ht makn van d schakling wrggvn in figuur 12, volldig analoog aan d schakling gbruikt bij d studi van d -kring mt kantlspanning. Nu stlln w d gnrator in op sinusoïdal spanning n w bginnn mt n frqunti van 5 Hz. Voor ht bpaln van d spanningsvrhouding v R /V m (dit is d vrhouding van d maximal spanning (d topwaard) ovr d wrstand op d maximal spanning opgwkt door d gnrator) gbruikn w oscilloscoop in d mtstand om spanning t mtn. W lzn mt bhulp van d cursor d topwaardn van d gnratorspanning v n van d spanning ovr d wrstand v R af. Om n zo nauwkurig moglijk waard t bkomn, stlln w d oscilloscoop in zodat w n zo groot moglijk uitwijking in d Y-richting vrkrijgn. W notrn vrdr nog d frqunti n d bijhornd priod di w vnns mt d oscilloscoop kunnn bpaln. Vrvolgns zttn w d oscilloscoop in stand Tim n mtn w mt d cursor ht tijdsvrschil tussn d nuldoorgangn van d grafikn v n v R. Ook hir probrn w n zo groot moglijk nauwkurighid na t strvn n gaan w dus d oscilloscoop zo instlln dat w n zo duidlijk moglijk bld hbbn van d Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 12

14 nuldoorgangn. W zoomn in op tw nuldoorgangn. Zkr voor vrdr mtingn (bij hogr frquntis) blijkt dit hl nuttig omdat d bid curvn, di van v n di van v R, hl dicht tot lkaar nadrn bij hog frquntis. Mt d waard van d tijdsvrschilln tussn d nuldoorgangn kunnn w ht fasvrschil bpaln. Na d notati van al dz mtwaardn bij n frqunti van 5 Hz vrhogn w d frqunti van d gnrator tot 8 Hz n don w dzlfd mtingn opniuw. W hrhaln dz mtingn opniuw voor hogr frquntis zodat w ongvr 20 waardn hbbn glijk vrdld (volgns n logaritmisch schaal) ovr n intrval van 5 Hz tot Hz (voor d spcifik waardn: zi d tabl mt rsultatn vrdr). W vorn n xtra mting uit voor n d frqunti f = 1 2πτ n w vrglijkn voor dz mting v R /v n φ mt d thortisch waardn (zi brkningn). Voor lk van dz frquntis mtn w dus V m, v R n ht tijdsvrschil tussn d nuldoorgangn. Uit dit tijdsvrschil kunnn w d fasvrschilln bpaln. Dz mtingn zijn trug t vindn in d volgnd paragraaf. Daar staat ook n grafik van d vrhoudingn V R /V m als functi van d frqunti. Bovndin staat in d volgnd paragraaf ht fasvrschil in functi van d frqunti Mtingn frqunti [1/s] V m [V] V R [V] V R /V m t nuldoorgang [s] fasvrschil φ [rad] priod [s] 5 10,6 3,40E-01 3,21E-02 5,0E-02-1,6E+00 2,00E ,6 5,36E-01 5,06E-02 2,8E-02-1,4E+00 1,25E ,6 6,72E-01 6,34E-02 2,4E-02-1,5E+00 1,00E ,6 1,00 9,43E-02 1,6E-02-1,5E+00 6,67E ,6 1,36 1,28E-01 1,2E-02-1,5E+00 5,00E ,6 1,96 1,85E-01 7,5E-03-1,4E+00 3,33E ,6 2,64 2,49E-01 5,4E-03-1,4E+00 2,50E ,6 3,80 3,58E-01 3,3E-03-1,2E+00 1,67E ,6 4,80 4,53E-01 2,2E-03-1,1E+00 1,25E ,6 5,76 5,43E-01 1,6E-03-9,8E-01 1,00E ,6 6,64 6,26E-01 1,1E-03-8,6E-01 8,00E ,6 7,36 6,94E-01 8,8E-04-8,3E-01 6,67E ,6 7,40 6,98E-01 7,8E-04-7,8E-01 6,29E ,6 8,20 7,74E-01 5,0E-04-6,3E-01 5,00E ,6 9,60 9,06E-01 1,5E-04-3,8E-01 2,50E ,6 10,0 9,43E-01 6,8E-05-2,6E-01 1,67E ,6 10,2 9,62E-01 3,4E-05-1,7E-01 1,25E ,6 10,2 9,62E-01 2,4E-05-1,5E-01 1,00E ,6 10,4 9,81E-01 8,0E-06-1,0E-01 5,00E ,6 10,4 9,81E-01 8,0E-07-3,0E-02 1,67E ,6 10,4 9,81E-01 4,0E-07-2,5E-02 1,00E-04 voor spcifik waard f = (1/(2*Pi*R*C)) ,6 7,40 6,98E-01 7,8E-04-7,8E-01 6,29E-03 Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 13

15 V R /V m in functi van d frqunti 1,20E+00 1,00E+00 VR/Vm 8,00E-01 6,00E-01 4,00E-01 2,00E-01 0,00E frqunti [1/s] fasvrschil in functi van d frqunti fasvrschil [rad] 0,0E+00-2,0E-01-4,0E-01-6,0E-01-8,0E-01-1,0E+00-1,2E+00-1,4E+00-1,6E+00-1,8E frqunti [1/s] Brkningn Ht fasvrschil φ in functi van d frqunti f n d tijd tussn d nuldoorgangn t wrd gvondn door topassing van d formul: ϕ f, t = 2π f t ( ) Er is bij d mtingn n xtra mting gdaan voor d frqunti f = 1 2πτ. In thori zou bij dz frqunti ht fasvrschil φ glijk motn zijn aan -45 of π/4 rad ( -0,7854 rad). D vrhouding V m /V R zou glijk motn zijn aan 1/ 2 of 0,71 (zi paragraaf 3.4). Als w in d Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 14

16 tabl mt mtwaardn hirbovn kijkn naar d xprimntl gvondn waardn voor ht fasvrschil, zijnd -0,78 rad n voor V m /V R, zijnd 0,698, komn dz vrij god ovrn mt d thortisch waardn. Exact hbbn w d thortisch waard nit bnadrd mt xprimntl waardn maar dit komt vooral door mtfoutn n bijkomnd wrstand van d kabls. D idal thortisch tostand is uitraard nit t ralisrn in d praktijk. 4.2 Mthod 2: fasvrschil bpaln mt Lissajousfigurn Mtmthod En andr mthod om ht fasvrschil t bpaln is door gbruik t makn van Lissajousfigurn. Hirvoor zt mn d oscilloscoop in X,Y-stand. D X-ingang van d oscilloscoop wordt vrbondn mt d sinusspanning v. Op ht schrm van d oscilloscoop vrkrijgt mn dan, in tgnstlling tot d sinusfunctis in d vorig mthod, n lliptisch bld. Dit is n Lissjousfiguur (zi figuur 15, d klassik oscilloscoopvoorstlling van bid spanningn is tr vrglijking in figuur 16 wrggvn). W probrn d llips in ht middn van ht schrm t cntrrn zodat d nullijn van d X- n Y-vrstrkr samnvalln mt rspctivlijk d cntral x- n y-as op ht schrm. Om nu ht fasvrschil t vindn bpaln w voor n aantal frquntiwaardn (di bij voorkur nog nit in vorig mtingn zijn gbruikt) d afstand CD n d afstand AB mtn. D afstand CD is d afstand tussn d tw snijpuntn (C n D)van d Lissajousfiguur mt d y-as n d afstand AB is d afstand tussn ht hoogst n ht laagst punt van d Lissajousfiguur, dit is ht stuk op d y-as als w ht X- signaal ondrbrkn(zi figuur 15). D gmtn waardn voor n tintal godgkozn frquntis zijn t vindn in d tabl in d volgnd paragraaf mt d mtingn. Na dz mtingn don w alwr n xtra mting voor f = f = 1 2πτ n w vrglijkn opniuw mt d thortisch vrwachtingn. In d volgnd paragraaf staat ook d vorig grafik van d φ-waardn in functi van d aanglgd frquntis, maar nu aangvuld mt d gvondn waardn via dz mthod zodat j god visul d bid mthods kan vrglijkn. Figuur 15: Lissajousfiguur Figuur 16: Normal voorstlling Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 15

17 4.2.2 Mtingn frqunti [1/s] CD [V] AB [V] CD/AB (=sin(-φ)) φ [rad] 6 4,00E-01 4,00E-01 1,00E+00-1,57E ,60E-03 1,70E-03 9,41E-01-1,23E ,20 3,60 8,89E-01-1,09E ,00 8,80 9,09E-01-1,14E ,80 12,00 6,50E-01-7,08E ,00 18,0 3,89E-01-3,99E ,00 20,0 3,00E-01-3,05E ,00 21,0 1,90E-01-1,92E ,00 21,0 9,52E-02-9,54E ,40 22,0 6,36E-02-6,37E ,20 22,0 5,45E-02-5,46E-02 fasvrschil in functi van d frqunti fasvrschil [rad] 0,0E+00-2,0E-01-4,0E-01-6,0E-01-8,0E-01-1,0E+00-1,2E+00-1,4E+00-1,6E+00-1,8E frqunti [1/s] mthod 1 mthod Brkningn D snijpuntn C n D mt d y-as wordn bkomn voor d hok ωt 1 = 0 n voor d hok ωt 2 = -90. Mt d hok 0 corrspondrn x 1 =0 n y 1 =Ysinφ 1 n mt 90 komn x 2 =0 n y 2 =- Ysinφ 1 ovrn. Als w d bid van lkaar aftrkkn krijgn w d bwrking: wat ovrnkomt mt (zi figuur): y y = 2Y sin( ϕ ) CD= ABsin( ϕ) Hiruit kunnn w dus ht fasvrschil φ brknn uit d xprimntl bkomn waardn voor AB n CD. D rsultatn zijn opgnomn in d tabl hirbovn. Ook hir kunnn w d xprimntl gvondn waard van φ bij d spcifik frqunti van 159 Hz vrglijkn mt d thortisch waard. Als w dat don zin w dat onz xprimntl waard (-0,707 rad) mindr god ovrnkomt mt d thortisch waard Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 16

18 (-0,785 rad) als bij d vorig mthod. Dit komt door n mindr nauwkurighid van d twd mthod tgnovr d rst mthod (zi ook vrdr in algmn bsluit). 4.3 Algmn bsluit Als w kijkn naar d tw mthods di w gbruikt hbbn om ht fasvrschil xprimntl t bpaln kunnn w opmrkn dat d twd mthod (Lissajousfigurn) mr schommlingn of afwijkingn gft voor lag frquntis n dat, wat d hog frquntis btrft, d tw mthods rdlijk god ovrnkomn. D rdn voor n grotr onnauwkurighid bij d twd mthod ligt in d gbrkn van ht oog om d afstandn CD n AB corrct in t schattn (d oscilloscoop hft gn mchanism om automatisch afstandn t mtn als w mt Lissajousfigurn wrkn), maar ook in d fout waar d oscilloscoop zlf voor zorgt. D lijnn zijn tamlijk dik n dus nit cht nauwkurig. Als w op ons xprimnt afgaan, lijkt d rst mthod voor lagr frquntis vl gschiktr dan d twd mthod. Voor hog frquntis dot ht r nit zo vl to. En laatst opmrking is ovr d topassing van onz gbruikt schakling. D vrhouding VR/Vm vrklint naarmat d frqunti lagr wordt n dus als logisch gvolg wordt ht grotr bij hog frquntis (dit is god t zin in d grafik). Dz ktn filtrt als ht war d lag frquntis uit n bpaald signaal n wordt ook n hoog-doorlaatfiltr gnomd. En hoog- of laag-doorlaatfiltr wordt bijvoorbld gbruikt om bastonn van hog tonn t schidn in n gluidssignaal om z dan naar vrschillnd soortn spcifik luidsprkrs voor hog of lag tonn t sturn. 5. Rfrntis Cursussn/naslagwrkn: Srway, A. Raymond (2004). Physics for Scintists and Enginrs. Blmont (USA): Brooks/Col-Thomson Larning. (Algmn thori ovr wrstand, condnsator, ntwrkn mt sinusspanning, tc.) Wim-Lnarts, J.; Sanctorum, C.; Isrntant, C. (2003). Cursus Algmn Natuurkund: Mchanica Trillingn n Golvn. Univrsitit Gnt/Facultit Togpast Wtnschappn. (Lissajousfigurn) Wbbronnn: (dtrminrtabl wrstandn) (figuur condnsatorn) (filtrs) (wrking van d oscilloscoop) (gschidnis van d oscilloscoop) (foto opstlling) + practicumnota s Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 17

19 BIJLAGE 1: Instlling van d oscilloschoop Vakovrschrijdnd practicum: -Kring (K-nr ) Kon Vrdgm n Knny Van Huvrswijn - 2 kandidatuur Burg.-Ir. Wrktuigkund-Elktrotchnik 18