Heftig jojoën. Signaal 27 Digitaal mei2005 1

Transcriptie

1 Hefti jojoën Wil je een uitdaender onderwerp voor leerlinen dan een voorwerp dat valt onder invloed van de zwaartekracht, han het object dan eens aan een touw dat je op een as rolt (maak er dus een jojo van) De combinatie van valbewein, rotatie en de beperkte lente van het touw maakt de uiteindelijke bewein niet alleen inewikkelder, maar ook spannender om te bestuderen Met videometen kun je experimentele eevens van de jojo verzamelen, met wis- en natuurkunde kun je de verschijnselen proberen te berijpen en te beschrijven, en met een modelleerproramma kun je model en werkelijkheid met elkaar verelijken We doen dit voor een zelfemaakte jojo van buitenewoon formaat Videometen met Coach In bovenstaande schermafdruk van een videometin zie je linksboven de videoclip waarin een docent een zelfemaakte jojo op en neer laat aan De jojo is emaakt uit twee zittinen van laboratoriumkrukken en door de abnormale rootte van het voorwerp eloven leerlinen hun eien oen niet als de jojo traa af- en oprolt Je ziet ze denken hoe kan de jojo zo traa beween en weer omhoo oprollen? Welk trucje zit hier achter? Niks een trucje! Natuurkunde helpt dit verschijnsel te berijpen en te beschrijven Maar om theorie en praktijk oed met elkaar te kunnen verelijken is het handi eerst maar eens eevens van de op- en neeraande bewein te verzamelen De posities van de volende twee punten op de jojo worden in de videoclip opemeten: de draaias en het punt dicht bij de rand emarkeerd met een sticker In het diaram rechtsboven zie je de verticale posities van deze twee punten teen de tijd uitezet We hebben hier te ma- Sinaal 7 Diitaal mei005 1

2 ken met een verticale verplaatsin van het zwaartepunt (dat samenvalt met de draaias), waarvan uit het diaram linksonder blijkt dat deze oed te beschrijven is met een parabool Dit lijkt in teenspraak met het diaram rechtsonder, waarin de verticale snelheid van de draaias is uitezet teen de tijd, maar de olvende bewein heeft te maken met een lichte slinerbewein van de jojo Dit kun je ook emakkelijk achterhalen of controleren door de video te scannen terwijl de rafiekenvensters in uitleesmodus ezet zijn De verticale snelheid van de draaias is dus een superpositie van een rechte lijn met een sinusoïde en deze rechte lijn past bij de paraboolbeschrijvin van de neerwaartse bewein van de draaisas van de jojo De verplaatsin van het punt aan de rand van de schijf is een superpositie van de verplaatsin van het zwaartepunt van de jojo en de verticale projectie van een versnelde cirkelbewein Het is een versnelde cyloïde Wis- en natuurkundie beschrijvin van de jojobewein Tijdens het omlaa aan van de jojo zijn in het ideale eval teelijkertijd twee beweinen te onderscheiden: een draaiende bewein om de as (rotatie) en de verplaatsin lans een rechte, verticale lijn (translatie) In het eval van een jojo is er een direct verband tussen de rotatie en de translatie Hoe precies en wat dit betekent voor de totale bewein kun je door toepassin van mechanicawetten uitzoeken Het is hierbij verstandi om over de volende vormen van enerie Sinaal 7 Diitaal mei005 na te denken: enerie tv zwaartekracht (E p ), enerie tv de verticale bewein (E t ) en enerie tv de draaibewein (E r ) Laten we eerst notationele afspraken maken (zie onderstaande fiuur) Onze jojo heeft massa m, een draaias met straal r, bestaat uit twee cirkelvormie schijven met staal R en is opehanen aan een touwtje met spankracht F s Deze teenkracht van het touw rijpt aan in het punt D Dit is het punt waar rondom de jojo momenteel af- en oprolt Het krachtmoment ten evole waarvan de jojo draait is M = F s r Ons assenstelsel kiezen we, net als in de videoclip te zien is, zodani dat de y-as door het ophanpunt van het touw, dwz door de vaste positie van onze hand waarmee we het touw vasthouden (y 0 ) loopt We kijken alleen naar de verticale bewein en oriënteren ons assenstelsel zodani dat de positieve y-as opwaarts is en de positieve x-as naar rechts is De snelheid en versnellin van het zwaartepunt noteren we zoals ebruikelijk met v en a (let op: in onze keuze van oriënterin van het y-richtin P 1 R P y 0 r touw F s D F = m

3 assenstelsel zijn deze rootheden neatief bij een neeraande jojo) De hoek van het lijnstuk van het zwaartepunt P naar het punt P 1 bij de rand van de schijf met de horizontale as noteren we met (dus: ( t = 0) = 90 o ) De hoeksnelheid en hoekversnellin van de schijf noteren we zoals ebruikelijk met de symbolen en De letter staat voor ravitatieconstante Het traaheidsmoment van de jojo even we aan met de letter I We laten de jojo los op tijdstipt = 0 en nemen aan dat het punt P 1 op de rand op dat moment verticaal boven het zwaartepunt P lit, in zijn hooste stand De wetten van Newton even: (1) som van krachten = maoftewel m + Fs = ma () M = I oftewel Fr s = I (3) v= r en dus a= r Ia Uit () en (3) volt F s = Substitutie in (1) eeft: r (4) a = 1 + I mr Voor de jojo met twee cirkelvormie schijven met straal R, onderlin verbonden met een as eldt I = 1 mr Invullen in (4) levert op: (5) a = 1 + R r De versnellin is een neatieve constante en dit betekent dus voor de snelheid dat v= r= aten dat de hoeksnelheid lineair van de tijd afhant volens de formule (6) t = r R r ( 1+ ) Kijken we nu no eens naar de drie enerievormen die in het spel zijn Voor de zwaarte-enerie eldt: E my m y at 1 p = = ( 0 + ) (7) 1 = my m t 1+ R r Voor de rotatie-enerie eldt overeenkomsti: (8) 1 0 r = 1 1 = E I m t R ( + ) r 1 R r Tot slot eldt voor de kinetische translatie-enerie: (9) E = mv = m t 1 1 t 1 ( 1+ R r ) Optellin van verelijkinen (7), (8) en (9) levert inderdaad op dat de som van de drie enerieën op elk tijdsmoment constant is, namelijk (10) E + E + E = m y = E ( t = 0) p r t 0 p Omdat de enerievormen kwadratisch van tijd afhanen en er ook een kwadratisch verband is tussen de verticale positie van het zwaartepunt en 1 de tijd ( y= y0 + at ) zijn alle enerieën evenredi met de verticale positie van het zwaartepunt van de jojo Sinaal 7 Diitaal mei005 3

4 De verticale verplaatsin van ons punt P 1 aan de rand van de schijf, ze enoteerd met, is een superpositie van de verticale verplaatsin y van het zwaartepunt P en de verticale projectie y rot van de cirkelbewein Er eldt: yrot = Rsin met y0 y at = + = +, maw r r (11) 1 at = y+ yrot = y0 + at + Rcos r met a = 1 + R r Voor de totale verticale snelheid van het punt P 1 aan de rand van de schijf eldt na differentiatie dus: R at (1) va = at1 sin r r We zijn dus in staat om de neeraande jojo op natuurkundie ronden in formulevorm te beschrijven De opwaartse bewein aat net zo: het is alleen nodi om op diverse plaatsen tekens te veranderen De formules zijn er niet alleen als hobby voor de leraar, maar aan ook erens over en helpen bij het berijpen van verschijnselen Bijvoorbeeld, als de cirkelschijven van de jojo roter zouden zijn, dan volt uit formule (6) dat de hoeksnelheid kleiner is Formule (10) is niets anders dan de wet van behoud van enerie Het moe duidelijk zijn dat er bij de emaakte afleidinen ook een root beroep edaan wordt op de formulevaardiheden en kennis van oniometrie We kunnen dus best spreken over een wiskundie en natuurkundie beschrijvin van de jojo Model en realiteit De formules uit de vorie sectie kunnen ebruikt worden in een modelleeromevin om de bewein van de jojo te simuleren Maar niet alleen de formules in hun volledi uitewerkte versie spelen een rol bij het construeren van het computermodel: met name de formules bij basale natuurkundewetten zoals Ekin = 1 mv of verbanden zoals a= dv dt en = d dt doen hun intrede in computerproramma s (zie het kader met een frament van de Coach code) Wat het model van de jojobewein lasti maakt is de eindiheid van het touw zodat er op eni moment een omsla is van neeraande naar omhooaande bewein Je moet dan dv := a*dt v := v + dv w := abs(v) als w > vmax dan vmax := w eindals omea := abs(v/r_i) dy := v*dt y := y + dy s := y0 - y phi := s / r_i + pi/ x := 0 + r_p*cos(phi) y := y + r_p*sin(phi) E_p := m**y E_r := 0,5*I*omea^ E_t := 0,5*m*v^ E_tot := E_p + E_r + E_t t : = t + dt 4 Sinaal 7 Diitaal mei005

5 in je formules en overeenkomsti in het computermodel op diverse plaatsen tekens veranderen Bijvoorbeeld moet je bij een opaande bewein de relatie v= r en a= r (verelijk met formule (3)) nemen Dit speelt door in de rest van het formulewerk Voordat we het (computer)model met de werkelijkheid kunnen verelijken maken we no een aanpassin van het model: totnotoe verwaarlozen we wrijvin, maar zoals we allemaal weten komt de jojo in werkelijkheid niet tot zijn oorspronkelijke hoote teru We passen het model aan door te veronderstellen dat bij elke spron van de jojo in het laaste punt een fractie van de enerie verloren aat Ook het kantelen van de jojo in zijn laaste stand om het draaipunt D is in ons computermodel verwerkt In onderstaande schermafdruk staan de resultaten van onze computersimulatie, steeds teen de achterrond van de meetresultaten van de videometin In de vier kwadranten staan rafieken van de hoote van het zwaartepunt van de jojo, de hoote van het punt op de rand van de jojoschijf, verschillende enerievormen (potentiële enerie tv zwaartekracht, kinetische translatie-enerie en de totale enerie), en de snelheid van het zwaartepunt In de simulatie is ekozen voor een verlies van 5% aan enerie tijdens de overan van neerwaartse in opwaartse bewein De resultaten van de simulatie en de videometin stemmin wonderbaarlijk oed overeen Onderstaande schermafdruk toont rafieken van de snelheid van het zwaartepunt en van de verticale positie van het randpunt die berekend zijn in een simulatie waarin rekenin ehouden is met enerieverlies en op een lanere tijdschaal doorerekend is Hierover kun je vraen stellen als hoe neemt de maximale snelheid van de jojo (in zijn laaste punt) af bij elk omslapunt? of hoe verklaar je de verschillen in rafiekvorm van het randpunt op het moment dat de jojo steeds in de buurt van zijn bovenste punt komt?" Sinaal 7 Diitaal mei005 5

6 Wat valt er no meer te ontdekken? In het werk dat we totnotoe besproken hebben is er sprake van een sterke wisselwerkin tussen modelvormin estoeld op natuurkundie principes, computersimulatie, experimenteel onderzoek en het ebruik van wiskundie methoden Wat no een beetje onderbelicht is ebleven is de combinatie met het zelf formule ren door leerlinen van onderzoeksvraen die je met het arsenaal aan experimentele en theoretische methoden kunt proberen te beantwoorden Met de modellen kun je bijvoorbeeld antwoord proberen te vinden op de vraa of je kunt jojoën op de maan of in de ruimte, en zo ja, waarin dit verschilt van jojoën op aarde Over de bevestiin van het touw aan de as hebben we no niets ezed, maar dit is van rote invloed op de bewein van de jojo (kijk eens op de website wwwhowstuffworkscom/yoyohtm) Ook de vorm van de jojo speelt een belanrijke rol: kun je ook met jojo s met een vierkante vorm ipv een cirkelvorm oed jojoën en hoe verhoudt zich de bewein tov een ewone jojo? Wat ebeurt er als je het pad van de jojo berenst, bijvoorbeeld door de jojo lans een schuine hellin te laten af- en oprollen? Kortom, de ideeën voor profielwerkstukken lien voor het oprapen Mastercourse De FNWI, Faculteit der Naturwetenschappen, Wiskunde en Informatica van de de Universiteit van Amsterdam oraniseert een Mastercourse voor docenten natuurwetenschappen, wiskunde en informatica In een van deze cursussen wordt er ook ejojo ed Mastercourses zijn eendaase cursussen in diverse vakebieden met als doel eersteraads docenten de eleenheid te bieden zich op de hoote te stellen van recente ontwikkelinen in hun vakebied Meer informatie vindt op de website 6 Sinaal 7 Diitaal mei005 wwwscienceuvanl/mastercourses mastercourse@scienceuvanl