Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden"

Transcriptie

1 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Voorkennis V-a Zie de raiek hiernaast. b x + = 8 x = x = c x 6 = 8 x = x = 8 d x+ = x 6 x = 9 x = e ( ) = + = ; ( ) = Het snijpunt is (, ). V-a x x = ( x )( x+ ) = x = o x+ = x = o x = b x x = 6 x x = ( x )( x+ ) = x = o x+ = x = o x = V-a ( x + 7) = x + 7 = x = 7 b ( x + 7) = 6 ( x + 7) = x + 7 = o x + 7 = x + 7= o x + 7= x = o x = x = 7+ o x = 7 V-a Parabool p is een dalparabool, daar hoort unctie bij. Immers het etal voor x is positie. b Parabool p snijdt de xas in (, ) en (, ). ( ) = ( ) = + =, klopt () = = 9 6 =, klopt c x x + = a =, b = en c = eet D = ( ) = + = x = ( ) + 6, o x = ( ) 6, De snijpunten met de x-as zijn (,6; ) en (,6; ). 8 6 O y x 69

2 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d x x + = x x = x x = x x = x(x + ) = (x )(x + ) = x = o x + = x = o x + = x = o x = x = o x = V-a x x 6 = d x + = (x + ) (x )(x + ) = x + = x 6 x = o x + = x = 8 x = o x = x =,6 b (x ) = 6x e x + x = x = 6x x + x = = x (x + )(x ) = x = x + = o x = c 7x + = x x = o x = x + 7x + = x = x(x ) a =, b = 7, c = eet x = x x D = 7 = x + x = x = 7 +, o x(x + ) = x = 7 68, x = o x + = V-6a x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = x = o x = b ( ) = = 6, ( ) = ( ) + = 6 + = 6 dus y = 6 () = =, () = + = 9 + = dus y = V-7a x+ = x+ 6 x = x =,7; ( 7, ) =, 6 ; ( 7, ) =, 6 Het snijpunt is (,7;,6). b x+ 6 = ( x+ ) x+ = ( x+ ) x+ 6 = x + x+ = x+ x = x = x =,8; ( 8, ) = 6, ; h( 8, ) = 6, x = ; ( ) = ; h( ) = Het snijpunt is (,8;,6). Het snijpunt is (, ).

3 V-8 A,] B, [ ] C, D, V-9a x + > d x 6 > x + = x 6 = x = 9 x = x = x = 7 = Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = oplossin: x > o, oplossin: x > 7 o 7, b x < e x + > 7 x = x + = 7 x = x = x = x = = 6 7 = oplossin: x < o, oplossin: x < o, c x < x + 6 (x 6) < x = x + 6 (x 6) = x = 6 x + = x = 8 x = x =, a b c d = oplossin: x < 8 o, Kwadratische onelijkheden 9 =, oplossin: x >, o, ; De rootste hoote is meter. De koel komt na seconden weer op de rond. Na seconde en na seconden is de hoote elijk aan meter. Tussen en seconden is de hoote meer dan meter. a Bij x = en x = is de uitkomst elijk aan. b Voor < x < is de uitkomst roter dan. c x = x = x = o x = d Voor < x < is (x) >. 7

4 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden e Voor x < o x > is (x) <. De rootste uitkomst van de unctie is. Voor een enkele waarde van x is (x) >. a x x = x(x ) = x = o x = x = o x = b/c = = d x =, lit tussen x = en x = en is dus, net als x =, een oplossin van de onelijkheid. Net zo is x =,9 ook een oplossin. x = 7 lit links van x = en is, net als x =, wel een oplossin van de onelijkheid. e De oplossin is alle waarden van x kleiner dan o roter dan. Dus x < o x >. a De bijpassende verelijkin is x x =. b (x )(x + ) = x = o x + = x = o x = c/d = e De oplossin is < x <. a n + 6n + 8 < d x + x + < n + 6n + 8 = x + x + = (n + )(n + ) = x + x = n + = o n + = x x + = n = o n = (x )(x ) = x = dus x = = = = 6 = oplossin:, oplossin: alle waarden x b q + q > e b b> q + q = b b= q + q = b 8b = (q + )(q ) = (b )b + ) = q + = o q = b = o b + = q = o q = b = o b = = = = = oplossin:, en, oplossin:, en, 8

5 c r(r + ) > w + w< r(r + ) = w + w= r + r = w + 6w = (r + )(r ) = w(w + 6) = r + = o r = w = o w = 6 r = o r = = = 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = = oplossin:, en, oplossin: 6, 6 6a x < d x x + < 7 x = x x + = 7 x = x x = x = o x = (x 7)(x + ) = x 7 = o x + = x = 7 o x = = = = = 7 oplossin:, oplossin:, 7 b x + < 9 e x x < x + = 9 x x = x = 8 x x = x = 9 x x = x = o x = (x )(x + ) = x = o x + = x = o x = = = = = oplossin:, oplossin:, c x > 6 x < x = 6 x = x = 8 o x = 8 x = x = o x = = = = = oplossin:, 8 en 8, oplossin:, 8 6 7

6 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 7a x > 9 d x > 9 x = 9 eet x = o x = x = 9 eet x = 7 o x = 7 oplossin: x < o x > oplossin: x < 7 o x > 7 b x < 9 e x < zie opdracht a x = kan niet oplossin: < x < oplossin: een c x < 6 x > x = 6 eet x = 6 o x = 6 zie opdracht e oplossin: 6 < x < 6 oplossin: elke waarde van x 8a a + < d 6(d + ) 8 < a + = 6(d + ) 8 = a = 6d + 8 = a = 6d = d = 6 = 6 = 6 oplossin:, oplossin:, 6 b b b > e e + > b b = e > (b + )(b 6) = e > b + = o b 6 = e = eet e = b = o b = 6 = = oplossin: alle waarden e 6 oplossin:, en 6, c c(c + ) > c(c + ) = c + c = a =, b =, c = D = = 8 x = 8, o x = + 8, = =,, oplossin:,, en,, 7

7 - Parabool en lijn 9a y = b In het snijpunt zijn de waarden van de uncties aan elkaar elijk. c x + x = D = = x = + = x = o = d k( ) = en l( ) = ; k( ) = en l( ) = De snijpunten zijn (, ) en (, ). a x x+ = x x x+ 6 = x 8x+ = (x )(x 6) = x = o x 6 = x = o x = 6 () = en (6) = 7 controle: () = en (6) = 7, klopt De snijpunten zijn (, ) en (6, 7). b x = x x x = x + 6x = x(x + 6) = x = o x + 6 = x = o x = 6 ()= en ( 6) = controle: () = en ( 6) = De snijpunten zijn (, ) en ( 6, ). Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a x + x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = en () = 8 controle: ( ) = en () = 8, klopt De snijpunten zijn (, ) en (, 8). c x x + = x + x x = x,x = (x )(x +,) = x = o x +, = dus x = o x =, () = en (,) =, controle: () = en (,) =,, klopt De snijpunten zijn (, ) en (,;,). b x(x + ) = x + 9 x + x = x + 9 x = 9 eet x = o x = ( ) = en () = controle: ( ) = en () =, klopt De snijpunten zijn (, ) en (, ). 7

8 76 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a Bij x = lit de raiek van boven die van. b Bij x = lit de raiek van onder die van. c Bij x = lit de raiek van boven die van. d Voor x = en x = eldt (x) = (x). e Voor < x < eldt (x) < (x). a b c d e Voor x = en x = eldt (x) = (x). Voor x = is (x) < (x). Voor x = is (x) > (x). Voor x = is (x) < (x). Voor < x < is (x) > (x). a x x = x x x + = (x )(x ) = x = o x = x = o x = b/c = = d De oplossin is x < o x > owel, en,. a b + < b b x > x + 6 b + = b x = x + 6 b b + = x x 6 = b + b = x x = (b + 7)(b ) = (x )(x + ) = b + 7 = o b = x = o x + = b = 7 o b = x = o x = = = = = oplossin:, 7 en, oplossin:, en, c (p + )(p ) < p d t 7t + 8 > t + (p + )(p ) = p t 7t + 8 = t + p p + p = p t 8t + 7 = p p = (t )(t 7) = (p + )(p ) = t = o t 7 = p + = o p = t = o t = 7 p = o p = = = = = 7 oplossin:, oplossin:, en 7, 8

9 - Snijden, raken o missen 6a : x < en x > : een oplossinen : alle waarden van x behalve voor x = b y x O Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 7a x + x = x + x + x = D= = 9; D< ; een snijpunten. b De raiek van is een berparabool. c De raiek van is een berparabool die een snijpunten met de lineaire raiek van heet. De berparabool lit dan eheel onder de rechte lijn (verelijkbaar met de raieken bij opdracht 6b). 8a h y O k x b x + x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = en () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). c x + x = x x + x+ = ( x + ) = x + = x = dus slechts één oplossin 77

10 78 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d Zie de raieken bij opdracht a. e x + x = x x + x+ = D = ( ) = < ; dus een snijpunten. 9a A: x + x = x + B: x + = 6x x = x + 6x+ = x + = D = 6 = ; één oplossin b c x = ; een oplossinen x = 6 + = C: x + x 8 = x D: x + x+ = x + x + x = x = D= = ; D< x = o x = een oplossinen De verelijkin heet een oplossinen, dus de raieken hebben een punten emeenschappelijk. B: bordje want de verelijkin heet één oplossin C: bordje want de verelijkin heet een oplossinen D: bordje want de verelijkin heet twee oplossinen a Als D > dan snijdt de raiek de x-as. b D= 6 = ; D< De raiek snijdt de x-as niet. c x 6x+ = x + x 7x+ = D = ( 7) = d D > ; de raieken snijden elkaar. a x + x+ = x x + x+ 7= D= 7= 7; D< De raieken hebben een punten emeenschappelijk. b x + x+ = x + 6 x + x = D = = 7; D > De raieken snijden elkaar. c x 6, x =, x + 6 x 8x 6 = D = ( 8) 6 = De raieken raken elkaar. d x 6, x =, x + x 8x = D= ( 8) = 6; D< De raieken hebben een punten emeenschappelijk.

11 - Bundels lijnen a x x+ = x x = x(x ) = x = o x = x = o x = De x coördinaat van de top is,. (,) =,7; De top is (,;,7). b x x+ = D= ( ) = ; D< De verelijkin heet een oplossinen. c De y coördinaat van de top is,7. Dus voor p =,7 is er één emeenschappelijk punt. d Voor p >,7 snijdt de lijn y = p de parabool in twee punten. a De lijn die door (, ) aat lijkt de parabool te raken. x = en y = invullen bij y = x + p eet = + p = + p dus p = b x + x+ = x + x + 6x 9 = D = 6 9 = ; dus één oplossin. De raieken raken elkaar voor p =. c Voor p < snijdt de lijn de parabool in twee punten. Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a x x = x 7 x 6x + 7 = D = ( 6) 7 = 8 D > dus er zijn twee snijpunten. In de iuur is y = x 7 de lijn die door (, 7) loopt en die snijdt de parabool inderdaad twee keer. b x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus er zijn een snijpunten. In de iuur is y = x de lijn die door (, ) loopt en die snijdt de parabool inderdaad niet. c Zie de raiek hiernaast. y d De lijn aat door (, 9), dus daar hoort p = 9 bij. e x x = x 9 x 6x + 9 = D = ( 6) 9 = D = dus er is één emeenschappelijk punt. O 6, Voor p > 9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < 9 hebben de lijn en de parabool een punt emeenschappelijk. 8 C x,,,,, 79

12 a 8 b c d Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Zie de raiek hiernaast. Voor p = raakt de lijn de parabool. Immers: x + x = x + x + x = D = =, klopt. Voor p < snijdt de lijn de parabool. Voor p > hebben de parabool en de lijn een punt emeenschappelijk. 6a Het startetal van de ormule y = qx 7 is 7. b Zie de raiek hiernaast. c x + x = 7x 7 x x+ = (x )(x ) = x = o x = x = o x = Er zijn twee snijpunten. d Zie de raiek bij opdracht b. e Het hellinsetal is 6. x + x = 6x 7 x x+ = D = ( ) =, klopt Zie de raiek bij opdracht b; het hellinsetal is. x + x = x 7 x + x+ = D = =, klopt - Werken met parameters 7a x x+ = D = ( ) = 8 b c x = + 8, o x = 8 9, De snijpunten met de x-as zijn (,; ) en (,9; ). De raiek verschuit omhoo o omlaa. y 6 x O p = p = p = x O p = y p = y 8 O x q = q = 7 q = 6

13 d Nee, je moet de parabool no hokje omhoo schuiven. Voor p = raakt de parabool de x-as. e Schui de parabool van opdracht c twee hokjes omhoo. Dan is p =. x x + = x x 6x + 9 = D = ( 6) 9 =, klopt. Dus voor p = raakt de parabool de lijn. x = 6 + = en y = () = Het raakpunt is (, ). 8a x + p= x b x x p + + = D = p D = 9 p c Voor D = is er één oplossin. d 9 p = p = 9a x x = x+ p x x p = D= ( ) p = 9 + p 9 + p = p = 9 p =, x = + =, en y = (,) =,7 Het raakpunt is (,;,7). b x x = x+ p x p= D = p = p p = p = De verelijkin is dan x =. x = en y = () = Het raakpunt is (, ). Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a Voor p = is (x) =. De raiek is dan een horizontale lijn. b Voor p < is de raiek een berparabool met top (, ) die dus de x-as niet snijdt. c px = x px x + = D= ( ) p = 8p 8p = 8p = p = : 8 dus p = 8

14 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d px = x px x = D= ( ) p = + p + p > + p = eet p = = oplossin: p > a Voor elke waarde van p is ( ) = + p + 6 = 6. b Met (x) = bereken je de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as. Als de raiek de x-as raakt is er maar één oplossin dus is D =. x + px + 6 = D= p 6 = p 6 c p 6 = p = 6 dus p= o p= d Voor D < heet de raiek een punten emeenschappelijk met de x-as. D < als p < 6 oplossin: < p < -6 Gemende opdrachten a a + a = a( a+ ) = a = o a + = a = o a = De astand is dus = meter. b De top lit bij a = H( ) = + = De hoote is = 87 meter. c meter hoo betekent dat H(a) = : = 8. d a + a 8 = eet a a+ 6 = (a )(a 8) = a = o a 8 = dus a = o a = 8 Voor < a < 8 is de boo hoer dan meter.

15 a a + < 6 e e + e + 6 > e + 6 a < e + e + 6 = e + 6 oplossin:, e + e = b b + b < 6 e(e + ) = b + b = 6 e = o e + = b + b 6 = e = o e = (b + 6)(b ) = b + 6 = o b = b = 6 o b = = = 7 6 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = = oplossin: 6, oplossin:, en, c c + c > ( + )( ) < c + c = ( + )( ) = c + c = + = o = c +,c, = = o = (c + )(c,) = c + = o c, = c = o c =, = =, = = oplossin:, en, ; oplossin:, d d <,(d + ) + < ( + ) d =,(d + ) + = ( + ) d,d, = + = + (d +,)(d ) = = dus = d +, = o d = d =, o d = = =, oplossin, ; oplossin:, = 6 h h + h 6 > h( h) h + h 6 > h h h > 6 h > oplossin:, en, a x 6x+ = D= ( 6) = ; D> De raiek van heet twee snijpunten met de x-as. x + x 6 = D = 6 < De raiek van heet een punten emeenschappelijk met de x-as. De raiek van unctie h is een rechte lijn en heet dus één snijpunt met de x-as. 8

16 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden b Zie de raiek hiernaast. 6 y c x 6x+ = x + x x = h x(x ) = x = o x = x = o x = O h() = en h() = De snijpunten zijn (, ) en (, ). d x + x 6 = x + x + x = D= = ; D> 6 De raiek van h raakt de raiek van niet. e x 6x+ = x + x 6 x 6x+ = x 8x+ = (x )(x ) = x = o x = x = o x = () = en () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). De raieken snijden elkaar voor x = en x =. Voor x < en voor x > lit de raiek van hoer dan die van h, dus de oplossin is x < o x >. In intervalnotatie:, en,. De raieken snijden elkaar voor x = en x =. Voor x < en voor x > lit de raiek van hoer dan die van, dus de oplossin is x < o x >. In intervalnotatie:, en,. a x + x+ = D= = ; D< De parabool heet een snijpunten met de x-as. b De symmetrie-as is de lijn x =. Dus de x-coördinaat van de top is. y = ( ) = ; top (, ) c x + x+ p = D= p = p p = p = d x + x+ p= x x + x+ p = D= p = 6 p 6 p < 6 p = eet p = 8 = 8 9 oplossin: p > 8 x 6 7

17 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 6a x + x+ = x + 6 x = x + 6 = ; een oplossinen. b x + x+ = x + 6 x + x = x x+ 6 = (x )(x 8) = x = o x 8 = x = ; y = + 6 = x = 8; y = 8+ 6 = De snijpunten zijn (, ) en (8, ). c De horizontale lijn y = 6 raakt de parabool in de top. d x + x px = x + ( p) x = D = ( p) = ( p) D = eet ( p) = p = o p = p = o p = Ja, voor p = is de lijn y = 6. e De lijnen aan allemaal door (, 6). De parabool aat ook door (, 6). Elke lijn heet dus minstens één punt emeenschappelijk met de parabool. Er is één lijn die de parabool raakt in (, 6). De andere lijnen snijden de parabool dus in no een punt. x + x+ 6 = px + 6 x + x px = D= ( p) D= ( p) D = voor p = De lijn raakt de parabool voor p =. 7a p = x + 8x = x x + x+ = D= = ; D> ; twee snijpunten p = x + 8x+ = x x + x+ = D= = ; D> ; twee snijpunten p = x + 8x+ = x x + x+ = D= = 6; D< ; een snijpunten b x + 8x+ p= x x + x+ p + = D= ( p+ ) = 8(p + ) 8(p + ) = 8(p + ) = p + =8 p = 8

18 86 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden c x + 8x+ = x x + x+ 8 = D = 8 = x = = ; y = ( ) = 7 Het raakpunt is (, 7). d Voor p = raakt de dalparabool de raiek van. Voor p < verschuit de dalparabool omlaa en snijdt de rechte lijn in twee punten. oplossin: p < i ICT Bundels lijnen I-a Voor p = raakt de lijn de parabool. b x x+ = x x+ = D = ( ) =, klopt I-a Voor p = raakt de lijn de parabool. b x + x + = x + x + 6x 9 = D = 6 9 =, klopt c Voor p < snijdt de lijn de parabool in twee punten. I-a x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus een snijpunten, klopt b x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus een snijpunten, klopt c Met de schuibutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = 9. d x x = x 9 x 6x + 9 = D = ( 6) 9 = D = dus een emeenschappelijk punt, klopt e Voor p > 9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < 9 zijn er een snijpunten. I-a Met de schuibutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p =. b x + x = x + x + x = D = =, klopt c Voor p < snijdt de lijn de parabool. d Voor p > hebben de parabool en de lijn een punt emeenschappelijk.

19 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden I-a Het startetal van elk van de lijnen uit de bundel is 7. b Met de schuibutton zie je dat de lijn met q = 7 twee snijpunten heet met de parabool. c Voor q = 6 en q = lijken de lijnen de parabool te raken. d q = 6 x + x = 6x 7 x x+ = D = ( ) =, klopt q = x + x = x 7 x + x+ = D = =, klopt Test jezel T-a x + x + = x x = (x 7)(x + ) = x 7 = o x + = x = 7 o x = De snijpunten zijn (, ) en (7, ). b A x + x + = C (x) = als x = o x = x + x = In de raiek zie je dat (x) < als x(x ) = x < o x >. O in intervalnotatie x = o x =, en, x = o x = B x + x + = D (x) = als x = o x = 8 x + x + = In de raiek zie je dat (x) > als x x = < x < 8. O in intervalnotatie (x 8)(x + ) =, 8 x 8 = o x + = x = 8 o x = c A x x < C x > 8 x x = oplossin:, 9 en 9, x x = D x + x < x + (x )(x + ) = x + x = x + x = o x + = x + x = x = o x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = = = 6 = = oplossin:, oplossin:, B x + < 7 x < x < oplossin:, 87

20 88 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden T-a x + x+ = x 6 x + x+ = x x = ( x+ )( x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = ( ) + + = en ( ) = + + = De snijpunten zijn (, ) en (, ). b = = oplossin:, en, 6 T-a Zie de raiek hiernaast. b x x = x + x x = (x + )(x ) = 8 x + = o x = 6 x = o x = y = ( ) = o y = () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). O c (x) = (x) eldt voor x = o x =. In de raiek zie je dat (x) < (x) eldt voor < x < o,. 6 d Zie de raiek bij opdracht a. De lijn y = x 6 raakt de parabool. Dan hebben de raieken van h en m twee snijpunten met de parabool. x x = x x x = x, x x = x x +, = D = ( ) = 6 D = ( ), = D > dus twee snijpunten. D > dus twee snijpunten. e De raiek van l raakt de parabool. x x = x 6 x x + = (x )(x ) = x = dus x = y = l() = Het raakpunt is (, ). T-a Zie de raiek hiernaast. b Voor a = 8 is y = x 8 x x = x 8 x x+ 8 = D = ( ), 8 =, klopt Dus voor a = 8 raakt de lijn de parabool. c Zie de raieken bij opdracht a. Voor a > 8 snijdt de lijn de parabool. y y 8 6 O a = a = a = 6 d x 6 x 6 7 8

21 T-a Het startetal van elke lijn uit de bundel is (, 7). Alle lijnen aan door (, 7). b x + = px 7 x px + 9 = D = ( P) 9 = p 6 p 6 = p = 6 p = 6 o p = 6 T-6a x + x 8 < 7 d x + x > x + 6 x + x 8 = 7 x + x = x + 6 x + x = x + x 6 = (x + )(x ) = D = 6 = 8 x + = o x = x = + 8 6, o x = o x = x = 8 6, = = 6 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = =,6,6 oplossin:, oplossin: ; 6, en, 6; b x > e v + > x = eet x = o x = Omdat v voor elke waarde van v, oplossin:, en, is de oplossin: elke waarde van v. c s > s t + t + < t s = s t + t + = t s s = t + 6t + 9 = (s + )(s ) = (t + )(t + ) = s + = o s = één oplossin: t = s = o s = = = = oplossin:, en, oplossin: een enkele waarde van t T-7a x + x+ 8 = x + x + x = ( x+ )( x ) = x + = o x = x = o x = y = ( ) = en y = () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). b x + x+ 8 = x+ p x + x+ 8 p = D= ( 8 p) = 8 + p D= 8 + p= p = 8 p = 7 c Voor p > 7 zijn er twee snijpunten. 89

22 9 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d x + x+ 8 = r x + x+ 8 r = D= ( 8 r) = 7 + r D= 7+ r = r = 7 r =,7 T-8a Invullen van x = eet voor elke waarde van p l( ) = p + 6 = 6. b px + 6 = x x + px + 8 = D= p 8 D= p 6 c Als een lijn de parabool raakt, dan is D =. Dat eet de verelijkin p 6 = otewel p = 6 en deze verelijkinen heet twee oplossinen. Bij de etekende raieken is te zien dat de lijn zowel links als rechts de parabool raakt. d p 6 = p = 6 p = en p = e Voor twee snijpunten moet D > zijn. D = voor p = o p = = = oplossin: p < o p >

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a 8 V-a Hoodstuk - Transormaties Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde loninhoud in liter,,,,,,,,,, Van t tot t, dus seonden. loninhoud in liter O tijd in seonden 7 Moderne wiskunde 9e editie

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Transformaties

Hoofdstuk 2 - Transformaties Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde V-a, loninhoud in liter,,,,,,,,, tijd in seonden Van t tot t, dus seonden. loninhoud in

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1) Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen Voorkennis V-a Bedrijf A rekent 7 8 + 5 = 6 euro en bedrijf B rekent, 5 8 + 60 = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAVO 06 tijdvak donderdag 3 juni 3:30-6:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 75 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

29 Parabolen en hyperbolen

29 Parabolen en hyperbolen 39 0 1 9 Paraolen en hyperolen 6 5 5 6 3 3 1 5 h = 0,065 0 = 100 meter + (5 ) = 5 6,5 ; 5 ; 56,5 ; 100 meter ( 3 9 ) + (3 ) = 8 16,96.. afstand PE < afstand P tot de x-as Nee! y (alleen als y > 0) 0,065

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014 Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1 We beginnen heel eenvoudig met y = x Een tabel en een grafiek is snel gemaakt. top x - -1 0 1 3 y 0 1 4 + 1 + 3 toename tt + a)

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast.

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast. a G&R havo B deel 9 Allerlei uncies C von Schwarzenber /8 Zie de plo hiernaas b Da zijn de punen (0, 0) en (; 0,5) c Van de raieken van en li een enkel pun onder de -as d De raieken van en hebben de -as

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9

Nadere informatie

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen 08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d a G&R vwo A deel 0 Allerlei uncie C. von Schwarzenber /0 Zie de plo hiernaas. b Alle raiek aan door O (0,0) en (;0,). c d De raieken van y = 0, en y = 0, komen nie onder de -as. De raieken van y = 0, en

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

lesbrief Inverse functie en TI-nspire 6/7N5p

lesbrief Inverse functie en TI-nspire 6/7N5p lesbrie Inverse unctie TI-nspire 6/7N5p GGHM@EE 01-01 De inverse unctie De inverse 1 () van e unctie () doet precies het omgekeerde (inverse) van wat () zel doet Je kunt ook stell dat e inverse unctie

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 30 personen e 50,- 7 3 e 0,- = e 380,-. b n = 0 geeft p = 0 3

Nadere informatie

WISNET-HBO NHL update jan. 2009

WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

Nadere informatie

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1?

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Voorkennis hfst 2 ontbinden in factoren (waarom ook al weer?) kwadratische functies 1 Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 20 mei uur Eamen HV 2015 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde Dit eamen bestaat uit 19 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAVO 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos 9e editie Moderne wiskunde Uitwerkingen Op stap naar 4 havo Dik Bos Inhoud Hoofdstuk Getallen 000 - Rekenen met reuken 000 - Deimale getallen, proenten en fator 000-3 Kwadraten 000-4 Wortels 000-5 Mahten

Nadere informatie

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] 7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x

Nadere informatie

5. berekenen van limieten en asymptoten

5. berekenen van limieten en asymptoten hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten. berekenen van ieten en asymptoten.. inleiding Algebraïsche uncties zijn uncties die geconstrueerd kunnen worden met enkel de constante en identieke unctie,

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden.

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden. Samenvatting H29: Parabolen en Hyperbolen De standaard parabool heeft als formule y = x 2 Deze vorm moet je vlot en netjes kunnen tekenen. De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari 2015 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 7

Tentamen Wiskunde A CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari 2015 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 7 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opaven: 7 Lees onderstaande aanwijzinen s.v.p. oed door voordat u met het tentamen beint.

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I Eindeamen wiskunde - vwo 6-I Sauna m 5. uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vana dat moment,9t wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: St ( ) e. Hierin is S de temperatuur in de sauna

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren.

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren. Herhalingsoefeningen Problemen oplossen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Elk

Nadere informatie

Straal van een curve

Straal van een curve Straal van een curve Arnold Zitterbart Schwarzwald-Gymnasium Triberg Duitsland (Vertaling: L. Sialino) Niveau Vwo-scholieren Hulpmiddelen Grafiek toepassing, Run-Matrix toepassing Doel Bepaal de straal

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Om het edrag in euro s te erekenen vermenigvuldig je het aantal kwh met 0,08 en tel je er vervolgens 14 ij op. De formule is dus verruik 0,08 + 14 = edrag. De formule ij tarief A kun je

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

4 Formules en figuren

4 Formules en figuren 4 Formules en figuren Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten Blok Formules en figuren van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (014) wiskunde B vwo. Opgaven met dit merkteken kun

Nadere informatie

2. Kwadratische functies.

2. Kwadratische functies. Uitwerkingen R-vragen hoofdstuk. Kwadratische functies.. R De term a is bepalend voor zeer grote waardes van. Als a < 0 dan wordt de term a zeer groot en negatief zowel bij. en Er is sprake van een bergparabool

Nadere informatie

Zo n grafiek noem je een dalparabool.

Zo n grafiek noem je een dalparabool. V-a Hoofdstuk - Funties Hoofdstuk - Funties Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in de tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het hellingsgetal is. d

Nadere informatie

Startrekenen Wiskit. Leerwerkboek deel 1 Functies. Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELTE FOLKERTSMA

Startrekenen Wiskit. Leerwerkboek deel 1 Functies. Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELTE FOLKERTSMA Startrekenen Wiskit Leerwerkboek deel 1 Functies Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELE FOLKERSMA JASPER VAN ABSWOUDE CYRIEL KLUIERS RIEKE WYNIA Inhoudsopgave evagposduohni Deel 1

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 19 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 19 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 207 tijdvak vrijdag 9 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Opstap Derdemachten O-1a I r r r 1 De inhoud van een kuus met r is 1 cm 3. Als I 7 geldt r 3 want 3 3 7. Een kuus met I 7 heeft een rie van 3 cm. c r in cm 1 3 d I in cm 3 1 7 6 1 l in cm 3 9 7 6 3 - -1-3

Nadere informatie

worden per stap telkens met 10 vermenigvuldigd. Die as is zo gekozen omdat de getallen erg sterk stijgen en anders wordt de grafiek te hoog.

worden per stap telkens met 10 vermenigvuldigd. Die as is zo gekozen omdat de getallen erg sterk stijgen en anders wordt de grafiek te hoog. 1a b c Verdieping - Verdubbelingstijd De getallen zijn geschreven met komma s zoals dat in Engelse boeken gebeurt. In Nederlandse boeken schijf je bijvoorbeeld 1 miljoen als 1.000.000, maar in Engelse

Nadere informatie

Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus)

Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus) Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus) Met de grafische rekenmachine kun je diverse wiskundige bewerkingen uitvoeren en grafieken tekenen. We geven per toepassing een voorbeeld en vervolgens

Nadere informatie

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

Nadere informatie

log(a) = b a = g Opdracht 1 Opdracht 2 Bereken x: 2 2 =4 2 3 =8 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024 2 11 =2048 Enz...

log(a) = b a = g Opdracht 1 Opdracht 2 Bereken x: 2 2 =4 2 3 =8 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024 2 11 =2048 Enz... Hoofdstuk 6 loaritmen We zaen al eerder dat je bij het vermenivuldien van machten met elijk rondtal de exponenten op ma tellen. Dat is bijzonder, want als je bij een willekeurie vermenivuldiin de etallen

Nadere informatie

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a 4 8 + 4 1,80 + 4 0,60 = 32 + 7,20 + 2,40 = 41,60. Ze is 41,60 kwijt. 4 (8 + 1,80 + 0,60) = 4 10,40 = 41,60. Ze krijgt hetzelfde edrag. c 8 + 1,80 + 0,60 4 = 8 + 1,80 + 2,40 = 12,20. Je

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Rekenen met formules

Hoofdstuk 11B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Voorkennis V-a 6 5 9 = 5 + 5 + 5 = 6 5 = 9 5 + 5 + 5 = 55 800 : 5 + 5 7 = d + 78 9 = + 05 = 7 + 9 = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Kegelsneden uitwerkingen

Hoofdstuk 10 Kegelsneden uitwerkingen Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Kern Kegeldoorsneden a Loodrecht op de as. b Ellips: hoek tussen vlak en as groter dan de halve tophoek en niet door de top. Parabool:

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Kern 1 Lineaire functies

Kern 1 Lineaire functies Kern 1 Lineaire functies 1 a V = 10 kw b V = 0,07 100 + = 7 + = 10 c Alle lijnen beginnen bij V =, alleen het hellingsgetal is verschillend. Bij 15 C geldt V = 0,05 I + Bij 1 C geldt V = 0,06 I + Bij C

Nadere informatie