Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden"

Transcriptie

1 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Voorkennis V-a Zie de raiek hiernaast. b x + = 8 x = x = c x 6 = 8 x = x = 8 d x+ = x 6 x = 9 x = e ( ) = + = ; ( ) = Het snijpunt is (, ). V-a x x = ( x )( x+ ) = x = o x+ = x = o x = b x x = 6 x x = ( x )( x+ ) = x = o x+ = x = o x = V-a ( x + 7) = x + 7 = x = 7 b ( x + 7) = 6 ( x + 7) = x + 7 = o x + 7 = x + 7= o x + 7= x = o x = x = 7+ o x = 7 V-a Parabool p is een dalparabool, daar hoort unctie bij. Immers het etal voor x is positie. b Parabool p snijdt de xas in (, ) en (, ). ( ) = ( ) = + =, klopt () = = 9 6 =, klopt c x x + = a =, b = en c = eet D = ( ) = + = x = ( ) + 6, o x = ( ) 6, De snijpunten met de x-as zijn (,6; ) en (,6; ). 8 6 O y x 69

2 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d x x + = x x = x x = x x = x(x + ) = (x )(x + ) = x = o x + = x = o x + = x = o x = x = o x = V-a x x 6 = d x + = (x + ) (x )(x + ) = x + = x 6 x = o x + = x = 8 x = o x = x =,6 b (x ) = 6x e x + x = x = 6x x + x = = x (x + )(x ) = x = x + = o x = c 7x + = x x = o x = x + 7x + = x = x(x ) a =, b = 7, c = eet x = x x D = 7 = x + x = x = 7 +, o x(x + ) = x = 7 68, x = o x + = V-6a x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = x = o x = b ( ) = = 6, ( ) = ( ) + = 6 + = 6 dus y = 6 () = =, () = + = 9 + = dus y = V-7a x+ = x+ 6 x = x =,7; ( 7, ) =, 6 ; ( 7, ) =, 6 Het snijpunt is (,7;,6). b x+ 6 = ( x+ ) x+ = ( x+ ) x+ 6 = x + x+ = x+ x = x = x =,8; ( 8, ) = 6, ; h( 8, ) = 6, x = ; ( ) = ; h( ) = Het snijpunt is (,8;,6). Het snijpunt is (, ).

3 V-8 A,] B, [ ] C, D, V-9a x + > d x 6 > x + = x 6 = x = 9 x = x = x = 7 = Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = oplossin: x > o, oplossin: x > 7 o 7, b x < e x + > 7 x = x + = 7 x = x = x = x = = 6 7 = oplossin: x < o, oplossin: x < o, c x < x + 6 (x 6) < x = x + 6 (x 6) = x = 6 x + = x = 8 x = x =, a b c d = oplossin: x < 8 o, Kwadratische onelijkheden 9 =, oplossin: x >, o, ; De rootste hoote is meter. De koel komt na seconden weer op de rond. Na seconde en na seconden is de hoote elijk aan meter. Tussen en seconden is de hoote meer dan meter. a Bij x = en x = is de uitkomst elijk aan. b Voor < x < is de uitkomst roter dan. c x = x = x = o x = d Voor < x < is (x) >. 7

4 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden e Voor x < o x > is (x) <. De rootste uitkomst van de unctie is. Voor een enkele waarde van x is (x) >. a x x = x(x ) = x = o x = x = o x = b/c = = d x =, lit tussen x = en x = en is dus, net als x =, een oplossin van de onelijkheid. Net zo is x =,9 ook een oplossin. x = 7 lit links van x = en is, net als x =, wel een oplossin van de onelijkheid. e De oplossin is alle waarden van x kleiner dan o roter dan. Dus x < o x >. a De bijpassende verelijkin is x x =. b (x )(x + ) = x = o x + = x = o x = c/d = e De oplossin is < x <. a n + 6n + 8 < d x + x + < n + 6n + 8 = x + x + = (n + )(n + ) = x + x = n + = o n + = x x + = n = o n = (x )(x ) = x = dus x = = = = 6 = oplossin:, oplossin: alle waarden x b q + q > e b b> q + q = b b= q + q = b 8b = (q + )(q ) = (b )b + ) = q + = o q = b = o b + = q = o q = b = o b = = = = = oplossin:, en, oplossin:, en, 8

5 c r(r + ) > w + w< r(r + ) = w + w= r + r = w + 6w = (r + )(r ) = w(w + 6) = r + = o r = w = o w = 6 r = o r = = = 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = = oplossin:, en, oplossin: 6, 6 6a x < d x x + < 7 x = x x + = 7 x = x x = x = o x = (x 7)(x + ) = x 7 = o x + = x = 7 o x = = = = = 7 oplossin:, oplossin:, 7 b x + < 9 e x x < x + = 9 x x = x = 8 x x = x = 9 x x = x = o x = (x )(x + ) = x = o x + = x = o x = = = = = oplossin:, oplossin:, c x > 6 x < x = 6 x = x = 8 o x = 8 x = x = o x = = = = = oplossin:, 8 en 8, oplossin:, 8 6 7

6 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 7a x > 9 d x > 9 x = 9 eet x = o x = x = 9 eet x = 7 o x = 7 oplossin: x < o x > oplossin: x < 7 o x > 7 b x < 9 e x < zie opdracht a x = kan niet oplossin: < x < oplossin: een c x < 6 x > x = 6 eet x = 6 o x = 6 zie opdracht e oplossin: 6 < x < 6 oplossin: elke waarde van x 8a a + < d 6(d + ) 8 < a + = 6(d + ) 8 = a = 6d + 8 = a = 6d = d = 6 = 6 = 6 oplossin:, oplossin:, 6 b b b > e e + > b b = e > (b + )(b 6) = e > b + = o b 6 = e = eet e = b = o b = 6 = = oplossin: alle waarden e 6 oplossin:, en 6, c c(c + ) > c(c + ) = c + c = a =, b =, c = D = = 8 x = 8, o x = + 8, = =,, oplossin:,, en,, 7

7 - Parabool en lijn 9a y = b In het snijpunt zijn de waarden van de uncties aan elkaar elijk. c x + x = D = = x = + = x = o = d k( ) = en l( ) = ; k( ) = en l( ) = De snijpunten zijn (, ) en (, ). a x x+ = x x x+ 6 = x 8x+ = (x )(x 6) = x = o x 6 = x = o x = 6 () = en (6) = 7 controle: () = en (6) = 7, klopt De snijpunten zijn (, ) en (6, 7). b x = x x x = x + 6x = x(x + 6) = x = o x + 6 = x = o x = 6 ()= en ( 6) = controle: () = en ( 6) = De snijpunten zijn (, ) en ( 6, ). Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a x + x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = en () = 8 controle: ( ) = en () = 8, klopt De snijpunten zijn (, ) en (, 8). c x x + = x + x x = x,x = (x )(x +,) = x = o x +, = dus x = o x =, () = en (,) =, controle: () = en (,) =,, klopt De snijpunten zijn (, ) en (,;,). b x(x + ) = x + 9 x + x = x + 9 x = 9 eet x = o x = ( ) = en () = controle: ( ) = en () =, klopt De snijpunten zijn (, ) en (, ). 7

8 76 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a Bij x = lit de raiek van boven die van. b Bij x = lit de raiek van onder die van. c Bij x = lit de raiek van boven die van. d Voor x = en x = eldt (x) = (x). e Voor < x < eldt (x) < (x). a b c d e Voor x = en x = eldt (x) = (x). Voor x = is (x) < (x). Voor x = is (x) > (x). Voor x = is (x) < (x). Voor < x < is (x) > (x). a x x = x x x + = (x )(x ) = x = o x = x = o x = b/c = = d De oplossin is x < o x > owel, en,. a b + < b b x > x + 6 b + = b x = x + 6 b b + = x x 6 = b + b = x x = (b + 7)(b ) = (x )(x + ) = b + 7 = o b = x = o x + = b = 7 o b = x = o x = = = = = oplossin:, 7 en, oplossin:, en, c (p + )(p ) < p d t 7t + 8 > t + (p + )(p ) = p t 7t + 8 = t + p p + p = p t 8t + 7 = p p = (t )(t 7) = (p + )(p ) = t = o t 7 = p + = o p = t = o t = 7 p = o p = = = = = 7 oplossin:, oplossin:, en 7, 8

9 - Snijden, raken o missen 6a : x < en x > : een oplossinen : alle waarden van x behalve voor x = b y x O Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 7a x + x = x + x + x = D= = 9; D< ; een snijpunten. b De raiek van is een berparabool. c De raiek van is een berparabool die een snijpunten met de lineaire raiek van heet. De berparabool lit dan eheel onder de rechte lijn (verelijkbaar met de raieken bij opdracht 6b). 8a h y O k x b x + x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = en () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). c x + x = x x + x+ = ( x + ) = x + = x = dus slechts één oplossin 77

10 78 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d Zie de raieken bij opdracht a. e x + x = x x + x+ = D = ( ) = < ; dus een snijpunten. 9a A: x + x = x + B: x + = 6x x = x + 6x+ = x + = D = 6 = ; één oplossin b c x = ; een oplossinen x = 6 + = C: x + x 8 = x D: x + x+ = x + x + x = x = D= = ; D< x = o x = een oplossinen De verelijkin heet een oplossinen, dus de raieken hebben een punten emeenschappelijk. B: bordje want de verelijkin heet één oplossin C: bordje want de verelijkin heet een oplossinen D: bordje want de verelijkin heet twee oplossinen a Als D > dan snijdt de raiek de x-as. b D= 6 = ; D< De raiek snijdt de x-as niet. c x 6x+ = x + x 7x+ = D = ( 7) = d D > ; de raieken snijden elkaar. a x + x+ = x x + x+ 7= D= 7= 7; D< De raieken hebben een punten emeenschappelijk. b x + x+ = x + 6 x + x = D = = 7; D > De raieken snijden elkaar. c x 6, x =, x + 6 x 8x 6 = D = ( 8) 6 = De raieken raken elkaar. d x 6, x =, x + x 8x = D= ( 8) = 6; D< De raieken hebben een punten emeenschappelijk.

11 - Bundels lijnen a x x+ = x x = x(x ) = x = o x = x = o x = De x coördinaat van de top is,. (,) =,7; De top is (,;,7). b x x+ = D= ( ) = ; D< De verelijkin heet een oplossinen. c De y coördinaat van de top is,7. Dus voor p =,7 is er één emeenschappelijk punt. d Voor p >,7 snijdt de lijn y = p de parabool in twee punten. a De lijn die door (, ) aat lijkt de parabool te raken. x = en y = invullen bij y = x + p eet = + p = + p dus p = b x + x+ = x + x + 6x 9 = D = 6 9 = ; dus één oplossin. De raieken raken elkaar voor p =. c Voor p < snijdt de lijn de parabool in twee punten. Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a x x = x 7 x 6x + 7 = D = ( 6) 7 = 8 D > dus er zijn twee snijpunten. In de iuur is y = x 7 de lijn die door (, 7) loopt en die snijdt de parabool inderdaad twee keer. b x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus er zijn een snijpunten. In de iuur is y = x de lijn die door (, ) loopt en die snijdt de parabool inderdaad niet. c Zie de raiek hiernaast. y d De lijn aat door (, 9), dus daar hoort p = 9 bij. e x x = x 9 x 6x + 9 = D = ( 6) 9 = D = dus er is één emeenschappelijk punt. O 6, Voor p > 9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < 9 hebben de lijn en de parabool een punt emeenschappelijk. 8 C x,,,,, 79

12 a 8 b c d Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Zie de raiek hiernaast. Voor p = raakt de lijn de parabool. Immers: x + x = x + x + x = D = =, klopt. Voor p < snijdt de lijn de parabool. Voor p > hebben de parabool en de lijn een punt emeenschappelijk. 6a Het startetal van de ormule y = qx 7 is 7. b Zie de raiek hiernaast. c x + x = 7x 7 x x+ = (x )(x ) = x = o x = x = o x = Er zijn twee snijpunten. d Zie de raiek bij opdracht b. e Het hellinsetal is 6. x + x = 6x 7 x x+ = D = ( ) =, klopt Zie de raiek bij opdracht b; het hellinsetal is. x + x = x 7 x + x+ = D = =, klopt - Werken met parameters 7a x x+ = D = ( ) = 8 b c x = + 8, o x = 8 9, De snijpunten met de x-as zijn (,; ) en (,9; ). De raiek verschuit omhoo o omlaa. y 6 x O p = p = p = x O p = y p = y 8 O x q = q = 7 q = 6

13 d Nee, je moet de parabool no hokje omhoo schuiven. Voor p = raakt de parabool de x-as. e Schui de parabool van opdracht c twee hokjes omhoo. Dan is p =. x x + = x x 6x + 9 = D = ( 6) 9 =, klopt. Dus voor p = raakt de parabool de lijn. x = 6 + = en y = () = Het raakpunt is (, ). 8a x + p= x b x x p + + = D = p D = 9 p c Voor D = is er één oplossin. d 9 p = p = 9a x x = x+ p x x p = D= ( ) p = 9 + p 9 + p = p = 9 p =, x = + =, en y = (,) =,7 Het raakpunt is (,;,7). b x x = x+ p x p= D = p = p p = p = De verelijkin is dan x =. x = en y = () = Het raakpunt is (, ). Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a Voor p = is (x) =. De raiek is dan een horizontale lijn. b Voor p < is de raiek een berparabool met top (, ) die dus de x-as niet snijdt. c px = x px x + = D= ( ) p = 8p 8p = 8p = p = : 8 dus p = 8

14 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d px = x px x = D= ( ) p = + p + p > + p = eet p = = oplossin: p > a Voor elke waarde van p is ( ) = + p + 6 = 6. b Met (x) = bereken je de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as. Als de raiek de x-as raakt is er maar één oplossin dus is D =. x + px + 6 = D= p 6 = p 6 c p 6 = p = 6 dus p= o p= d Voor D < heet de raiek een punten emeenschappelijk met de x-as. D < als p < 6 oplossin: < p < -6 Gemende opdrachten a a + a = a( a+ ) = a = o a + = a = o a = De astand is dus = meter. b De top lit bij a = H( ) = + = De hoote is = 87 meter. c meter hoo betekent dat H(a) = : = 8. d a + a 8 = eet a a+ 6 = (a )(a 8) = a = o a 8 = dus a = o a = 8 Voor < a < 8 is de boo hoer dan meter.

15 a a + < 6 e e + e + 6 > e + 6 a < e + e + 6 = e + 6 oplossin:, e + e = b b + b < 6 e(e + ) = b + b = 6 e = o e + = b + b 6 = e = o e = (b + 6)(b ) = b + 6 = o b = b = 6 o b = = = 7 6 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = = oplossin: 6, oplossin:, en, c c + c > ( + )( ) < c + c = ( + )( ) = c + c = + = o = c +,c, = = o = (c + )(c,) = c + = o c, = c = o c =, = =, = = oplossin:, en, ; oplossin:, d d <,(d + ) + < ( + ) d =,(d + ) + = ( + ) d,d, = + = + (d +,)(d ) = = dus = d +, = o d = d =, o d = = =, oplossin, ; oplossin:, = 6 h h + h 6 > h( h) h + h 6 > h h h > 6 h > oplossin:, en, a x 6x+ = D= ( 6) = ; D> De raiek van heet twee snijpunten met de x-as. x + x 6 = D = 6 < De raiek van heet een punten emeenschappelijk met de x-as. De raiek van unctie h is een rechte lijn en heet dus één snijpunt met de x-as. 8

16 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden b Zie de raiek hiernaast. 6 y c x 6x+ = x + x x = h x(x ) = x = o x = x = o x = O h() = en h() = De snijpunten zijn (, ) en (, ). d x + x 6 = x + x + x = D= = ; D> 6 De raiek van h raakt de raiek van niet. e x 6x+ = x + x 6 x 6x+ = x 8x+ = (x )(x ) = x = o x = x = o x = () = en () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). De raieken snijden elkaar voor x = en x =. Voor x < en voor x > lit de raiek van hoer dan die van h, dus de oplossin is x < o x >. In intervalnotatie:, en,. De raieken snijden elkaar voor x = en x =. Voor x < en voor x > lit de raiek van hoer dan die van, dus de oplossin is x < o x >. In intervalnotatie:, en,. a x + x+ = D= = ; D< De parabool heet een snijpunten met de x-as. b De symmetrie-as is de lijn x =. Dus de x-coördinaat van de top is. y = ( ) = ; top (, ) c x + x+ p = D= p = p p = p = d x + x+ p= x x + x+ p = D= p = 6 p 6 p < 6 p = eet p = 8 = 8 9 oplossin: p > 8 x 6 7

17 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 6a x + x+ = x + 6 x = x + 6 = ; een oplossinen. b x + x+ = x + 6 x + x = x x+ 6 = (x )(x 8) = x = o x 8 = x = ; y = + 6 = x = 8; y = 8+ 6 = De snijpunten zijn (, ) en (8, ). c De horizontale lijn y = 6 raakt de parabool in de top. d x + x px = x + ( p) x = D = ( p) = ( p) D = eet ( p) = p = o p = p = o p = Ja, voor p = is de lijn y = 6. e De lijnen aan allemaal door (, 6). De parabool aat ook door (, 6). Elke lijn heet dus minstens één punt emeenschappelijk met de parabool. Er is één lijn die de parabool raakt in (, 6). De andere lijnen snijden de parabool dus in no een punt. x + x+ 6 = px + 6 x + x px = D= ( p) D= ( p) D = voor p = De lijn raakt de parabool voor p =. 7a p = x + 8x = x x + x+ = D= = ; D> ; twee snijpunten p = x + 8x+ = x x + x+ = D= = ; D> ; twee snijpunten p = x + 8x+ = x x + x+ = D= = 6; D< ; een snijpunten b x + 8x+ p= x x + x+ p + = D= ( p+ ) = 8(p + ) 8(p + ) = 8(p + ) = p + =8 p = 8

18 86 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden c x + 8x+ = x x + x+ 8 = D = 8 = x = = ; y = ( ) = 7 Het raakpunt is (, 7). d Voor p = raakt de dalparabool de raiek van. Voor p < verschuit de dalparabool omlaa en snijdt de rechte lijn in twee punten. oplossin: p < i ICT Bundels lijnen I-a Voor p = raakt de lijn de parabool. b x x+ = x x+ = D = ( ) =, klopt I-a Voor p = raakt de lijn de parabool. b x + x + = x + x + 6x 9 = D = 6 9 =, klopt c Voor p < snijdt de lijn de parabool in twee punten. I-a x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus een snijpunten, klopt b x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus een snijpunten, klopt c Met de schuibutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = 9. d x x = x 9 x 6x + 9 = D = ( 6) 9 = D = dus een emeenschappelijk punt, klopt e Voor p > 9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < 9 zijn er een snijpunten. I-a Met de schuibutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p =. b x + x = x + x + x = D = =, klopt c Voor p < snijdt de lijn de parabool. d Voor p > hebben de parabool en de lijn een punt emeenschappelijk.

19 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden I-a Het startetal van elk van de lijnen uit de bundel is 7. b Met de schuibutton zie je dat de lijn met q = 7 twee snijpunten heet met de parabool. c Voor q = 6 en q = lijken de lijnen de parabool te raken. d q = 6 x + x = 6x 7 x x+ = D = ( ) =, klopt q = x + x = x 7 x + x+ = D = =, klopt Test jezel T-a x + x + = x x = (x 7)(x + ) = x 7 = o x + = x = 7 o x = De snijpunten zijn (, ) en (7, ). b A x + x + = C (x) = als x = o x = x + x = In de raiek zie je dat (x) < als x(x ) = x < o x >. O in intervalnotatie x = o x =, en, x = o x = B x + x + = D (x) = als x = o x = 8 x + x + = In de raiek zie je dat (x) > als x x = < x < 8. O in intervalnotatie (x 8)(x + ) =, 8 x 8 = o x + = x = 8 o x = c A x x < C x > 8 x x = oplossin:, 9 en 9, x x = D x + x < x + (x )(x + ) = x + x = x + x = o x + = x + x = x = o x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = = = 6 = = oplossin:, oplossin:, B x + < 7 x < x < oplossin:, 87

20 88 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden T-a x + x+ = x 6 x + x+ = x x = ( x+ )( x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = ( ) + + = en ( ) = + + = De snijpunten zijn (, ) en (, ). b = = oplossin:, en, 6 T-a Zie de raiek hiernaast. b x x = x + x x = (x + )(x ) = 8 x + = o x = 6 x = o x = y = ( ) = o y = () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). O c (x) = (x) eldt voor x = o x =. In de raiek zie je dat (x) < (x) eldt voor < x < o,. 6 d Zie de raiek bij opdracht a. De lijn y = x 6 raakt de parabool. Dan hebben de raieken van h en m twee snijpunten met de parabool. x x = x x x = x, x x = x x +, = D = ( ) = 6 D = ( ), = D > dus twee snijpunten. D > dus twee snijpunten. e De raiek van l raakt de parabool. x x = x 6 x x + = (x )(x ) = x = dus x = y = l() = Het raakpunt is (, ). T-a Zie de raiek hiernaast. b Voor a = 8 is y = x 8 x x = x 8 x x+ 8 = D = ( ), 8 =, klopt Dus voor a = 8 raakt de lijn de parabool. c Zie de raieken bij opdracht a. Voor a > 8 snijdt de lijn de parabool. y y 8 6 O a = a = a = 6 d x 6 x 6 7 8

21 T-a Het startetal van elke lijn uit de bundel is (, 7). Alle lijnen aan door (, 7). b x + = px 7 x px + 9 = D = ( P) 9 = p 6 p 6 = p = 6 p = 6 o p = 6 T-6a x + x 8 < 7 d x + x > x + 6 x + x 8 = 7 x + x = x + 6 x + x = x + x 6 = (x + )(x ) = D = 6 = 8 x + = o x = x = + 8 6, o x = o x = x = 8 6, = = 6 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = =,6,6 oplossin:, oplossin: ; 6, en, 6; b x > e v + > x = eet x = o x = Omdat v voor elke waarde van v, oplossin:, en, is de oplossin: elke waarde van v. c s > s t + t + < t s = s t + t + = t s s = t + 6t + 9 = (s + )(s ) = (t + )(t + ) = s + = o s = één oplossin: t = s = o s = = = = oplossin:, en, oplossin: een enkele waarde van t T-7a x + x+ 8 = x + x + x = ( x+ )( x ) = x + = o x = x = o x = y = ( ) = en y = () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). b x + x+ 8 = x+ p x + x+ 8 p = D= ( 8 p) = 8 + p D= 8 + p= p = 8 p = 7 c Voor p > 7 zijn er twee snijpunten. 89

22 9 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d x + x+ 8 = r x + x+ 8 r = D= ( 8 r) = 7 + r D= 7+ r = r = 7 r =,7 T-8a Invullen van x = eet voor elke waarde van p l( ) = p + 6 = 6. b px + 6 = x x + px + 8 = D= p 8 D= p 6 c Als een lijn de parabool raakt, dan is D =. Dat eet de verelijkin p 6 = otewel p = 6 en deze verelijkinen heet twee oplossinen. Bij de etekende raieken is te zien dat de lijn zowel links als rechts de parabool raakt. d p 6 = p = 6 p = en p = e Voor twee snijpunten moet D > zijn. D = voor p = o p = = = oplossin: p < o p >

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a 8 V-a Hoodstuk - Transormaties Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde loninhoud in liter,,,,,,,,,, Van t tot t, dus seonden. loninhoud in liter O tijd in seonden 7 Moderne wiskunde 9e editie

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen Voorkennis V-a Bedrijf A rekent 7 8 + 5 = 6 euro en bedrijf B rekent, 5 8 + 60 = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

29 Parabolen en hyperbolen

29 Parabolen en hyperbolen 39 0 1 9 Paraolen en hyperolen 6 5 5 6 3 3 1 5 h = 0,065 0 = 100 meter + (5 ) = 5 6,5 ; 5 ; 56,5 ; 100 meter ( 3 9 ) + (3 ) = 8 16,96.. afstand PE < afstand P tot de x-as Nee! y (alleen als y > 0) 0,065

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast.

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast. a G&R havo B deel 9 Allerlei uncies C von Schwarzenber /8 Zie de plo hiernaas b Da zijn de punen (0, 0) en (; 0,5) c Van de raieken van en li een enkel pun onder de -as d De raieken van en hebben de -as

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d a G&R vwo A deel 0 Allerlei uncie C. von Schwarzenber /0 Zie de plo hiernaas. b Alle raiek aan door O (0,0) en (;0,). c d De raieken van y = 0, en y = 0, komen nie onder de -as. De raieken van y = 0, en

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9

Nadere informatie

WISNET-HBO NHL update jan. 2009

WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 30 personen e 50,- 7 3 e 0,- = e 380,-. b n = 0 geeft p = 0 3

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAVO 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari 2015 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 7

Tentamen Wiskunde A CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari 2015 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 7 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opaven: 7 Lees onderstaande aanwijzinen s.v.p. oed door voordat u met het tentamen beint.

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren.

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren. Herhalingsoefeningen Problemen oplossen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Om het edrag in euro s te erekenen vermenigvuldig je het aantal kwh met 0,08 en tel je er vervolgens 14 ij op. De formule is dus verruik 0,08 + 14 = edrag. De formule ij tarief A kun je

Nadere informatie

Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus)

Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus) Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus) Met de grafische rekenmachine kun je diverse wiskundige bewerkingen uitvoeren en grafieken tekenen. We geven per toepassing een voorbeeld en vervolgens

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Opstap Derdemachten O-1a I r r r 1 De inhoud van een kuus met r is 1 cm 3. Als I 7 geldt r 3 want 3 3 7. Een kuus met I 7 heeft een rie van 3 cm. c r in cm 1 3 d I in cm 3 1 7 6 1 l in cm 3 9 7 6 3 - -1-3

Nadere informatie

log(a) = b a = g Opdracht 1 Opdracht 2 Bereken x: 2 2 =4 2 3 =8 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024 2 11 =2048 Enz...

log(a) = b a = g Opdracht 1 Opdracht 2 Bereken x: 2 2 =4 2 3 =8 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024 2 11 =2048 Enz... Hoofdstuk 6 loaritmen We zaen al eerder dat je bij het vermenivuldien van machten met elijk rondtal de exponenten op ma tellen. Dat is bijzonder, want als je bij een willekeurie vermenivuldiin de etallen

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

4 Formules en figuren

4 Formules en figuren 4 Formules en figuren Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten Blok Formules en figuren van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (014) wiskunde B vwo. Opgaven met dit merkteken kun

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1.

Hoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1. Hoofdstuk 9: Allerlei functies 9. Machtsfuncties en wortelfuncties Opgave : a. 0,0, c. y en y d. y en y Opgave : a. de grafiek van y ontstaat uit die van y door T 0, T 0,6 y y 6 Opgave : a. T 6,0 T,0 c.

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde deel 1

Toegepaste Wiskunde deel 1 Toegepaste Wiskunde deel Uitwerkingen etra opgaven hoofdstuk Functies. y f ( ) 4 ( )( ) is minimaal -4 voor 0 y g f ( ) ( ) 4 ( )( ) bestaat wanneer D en B 4, ( )( ) 0, voor het domein en het bereik geldt

Nadere informatie

Formules, grafieken en tabellen

Formules, grafieken en tabellen Formules, grafieken en tabellen Formules invoeren Met Q* kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met» *!:. Ploti W1BX2-4X+2 Krijg je niet een scherm waarop Yl, Y2,... te zien

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007 MINISTERIE VAN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXAMENUREAU UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 007 VAK : WISKUNE ATUM : TIJ : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a 4 8 + 4 1,80 + 4 0,60 = 32 + 7,20 + 2,40 = 41,60. Ze is 41,60 kwijt. 4 (8 + 1,80 + 0,60) = 4 10,40 = 41,60. Ze krijgt hetzelfde edrag. c 8 + 1,80 + 0,60 4 = 8 + 1,80 + 2,40 = 12,20. Je

Nadere informatie

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2012 tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11.

2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11. Uitwerkingen wizbrain 2013 1. E 2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11. 3. C De vetgedrukte kaarsen in de volgende tabel branden na 55 minuten: begin 0 10 20 30

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : De Tabel

Hoofdstuk 1 : De Tabel Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5.

11 ) Oefeningen. a) y = 2x 1 f) y = x 2 + 3x 4. b) y = 1 3 x2 x + 1 8. g) y = 1 x 2. c) y = x 3 x 2 +1 h) y = 6. d) y = x 2 4 i) y = x 2 5. 11 ) Oefeningen 1) Vergelijkingen van functies Welke vergelijkingen stellen een rechte voor? Welke vergelijkingen stellen een parabool voor? Welke vergelijkingen stellen noch een rechte noch een parabool

Nadere informatie

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld.

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld. Windenergie Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 ( ) 2 25 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2. y y x. a 3a. ab b a b b a b. a a. a a. a a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 ( ) 2 25 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2. y y x. a 3a. ab b a b b a b. a a. a a. a a G&R hvo B deel Eponenen en lorimen C von Schwrzenber / y = en y = b komen op hezelde neer = en = c y y komen nie op hezelde neer y = en y = komen op hezelde neer b c 8 = d = = 0 8 = e ( ) ( ) 9 = = 8 8

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1

Examen HAVO. wiskunde B1 wiskunde B1 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit eamen zijn maimaal 83 punten te behalen; het eamen bestaat uit 0 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

5.5 Gemengde opgaven. Gemengde opgaven 159

5.5 Gemengde opgaven. Gemengde opgaven 159 Gemengde opgaven 159 5.5 Gemengde opgaven Opgave 40 a) Teken de lijn l waarvan alle punten dezelfde x- en -coördinaat hebben. Geefdeformulevan l. b) Tekendelijnkloodrechtopl endooro. Geefdeformule van

Nadere informatie

Kern 1 Lineaire functies

Kern 1 Lineaire functies Kern 1 Lineaire functies 1 a V = 10 kw b V = 0,07 100 + = 7 + = 10 c Alle lijnen beginnen bij V =, alleen het hellingsgetal is verschillend. Bij 15 C geldt V = 0,05 I + Bij 1 C geldt V = 0,06 I + Bij C

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A . Bereken zonder rekenmachine: + d. + 0 + 6 6 6 Hogeschool Rotterdam Voorbeeldeamen Wiskunde A 6 6 Oplossingen. Bereken zonder rekenmachine: + 6 b. + 6 0 + 9. Bereken zonder rekenmachine: 9 9 d.. Een supermarkt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e

Nadere informatie

4.1.5 OPLOSSINGEN OEFENINGEN MASSADICHTHEID

4.1.5 OPLOSSINGEN OEFENINGEN MASSADICHTHEID 4.1.5 OPLOSSINGEN OEFENINGEN MASSADICHTHEID P Los de rekenvraastukken op een apart blad op volens de ethode Geeven Gevraad Oplossin Forule Berekenin Antwoord P P Soie vraastukken oet je in eerdere stappen

Nadere informatie

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 tijd in jaren

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 tijd in jaren Beoordelingsmodel VWO 004-I wiskunde A (oude stijl) Antwoorden Kentekens Het aantal mogelijkheden met de letters is 6 Het aantal mogelijkheden met de cijfers is 0 4 Het totaal aantal mogelijkheden is 6

Nadere informatie

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg 5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie

Nadere informatie

2 Vergelijkingen van lijnen

2 Vergelijkingen van lijnen 2 Vergelijkingen van lijnen Verkennen Meetkunde Lijnen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Gebruik de applet! Uitleg Meetkunde Lijnen Uitleg Opgave 1 Bestudeer de Uitleg. Laat zien

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Het edrijf rekent 35 euro voorrijkosten. 3t+ 35 = k Als de monteur 7 uur ezig is kost het 3 7 + 35 = 75 euro. d 3t + 35 = 7 3t = 3 t = 5, De monteur is,5 uur of uur en kwartier ezig geweest.

Nadere informatie

Hoofdstuk 12B - Breuken en functies

Hoofdstuk 12B - Breuken en functies Hoofstuk B - Breuken en funties Voorkennis V-a g V-a h 0 0 i 9 j 0 0 0 9 0 9 e k 0 f l 9 9 Elk stukje wort : 0 0, meter. a 0 0 0 00 L 0, 0, 0,0 0,0 0,0 De lengte van elk stukje wort an twee keer zo klein.

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20

C. von Schwartzenberg 1/20 a G&R vwo B deel Eponenen en loarimen C. von Schwarzenber /0 Ze zijn elkaars spieelbeeld en opziche van de y -as. b Beide raieken hebben de -as (de lijn y = 0) als horizonale asympoo. c B = B = 0,. a b

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89

Tweedegraads functies. Introductie 89. Leerkern 89 Open Inhoud Universiteit leereenheid 3 Wiskunde voor milieuwetenschappen Tweedegraads functies Introductie 89 Leerkern 89 De parabool y = x 89 De grafiek van een tweedegraads functie 9 3 Domein en bereik

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

j (11,51) k (11,-41) l (11,-1011)

j (11,51) k (11,-41) l (11,-1011) H0 COÖRDINATEN 0.1 INTRO 1 a A3, C1, C3 b 3 A3, C1 a d6 of h10 0. DE WERELD IN KAART 3 B 4 a d Zie assenstelsel opgave 6. e b Zie bovenstaande wereldbol. Zie bovenstaande wereldbol. d 90 NB 5 a 7 b b Zie

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vierde leerjaar

oefenbundeltje voor het vierde leerjaar oefenbundeltje voor het vierde leerjaar bevat: 4 werkbladen uit de ap van Wibbel bij Rekenspron Plus 4, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2003-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2003-II Loterij Ter eleenheid van een jubileum oraniseert een rote universiteit een loterij. Elke student krijt één lot. Er vinden twee trekkinen plaats. Bij de eerste trekkin wordt bepaald op welke nummers een

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1?

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Voorkennis hfst 2 ontbinden in factoren (waarom ook al weer?) kwadratische functies 1 pw en eerste 2 uur vanmorgen science plein hw in orde?

Nadere informatie

Waar stond de camera?

Waar stond de camera? Waar stond de camera? Rudi Penne 1 Het probleem Stel dat we een foto in onze handen krijgen. Maar stel dat we de fotograaf niet kennen of niet kunnen bereiken. We kunnen hem dus niet vragen waar hij stond

Nadere informatie

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2008 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare,

Nadere informatie

Analytische meetkunde

Analytische meetkunde Analytische meetkunde Inhoudsopgave Analytische meetkunde Introductie analytische meetkunde. Waar ligt de schat?. Cartesisch assenstelsel.3 Terug naar de schat 4.4 Het begrip vergelijking 5 Meer over lijnen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie