Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden"

Transcriptie

1 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Voorkennis V-a Zie de raiek hiernaast. b x + = 8 x = x = c x 6 = 8 x = x = 8 d x+ = x 6 x = 9 x = e ( ) = + = ; ( ) = Het snijpunt is (, ). V-a x x = ( x )( x+ ) = x = o x+ = x = o x = b x x = 6 x x = ( x )( x+ ) = x = o x+ = x = o x = V-a ( x + 7) = x + 7 = x = 7 b ( x + 7) = 6 ( x + 7) = x + 7 = o x + 7 = x + 7= o x + 7= x = o x = x = 7+ o x = 7 V-a Parabool p is een dalparabool, daar hoort unctie bij. Immers het etal voor x is positie. b Parabool p snijdt de xas in (, ) en (, ). ( ) = ( ) = + =, klopt () = = 9 6 =, klopt c x x + = a =, b = en c = eet D = ( ) = + = x = ( ) + 6, o x = ( ) 6, De snijpunten met de x-as zijn (,6; ) en (,6; ). 8 6 O y x 69

2 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d x x + = x x = x x = x x = x(x + ) = (x )(x + ) = x = o x + = x = o x + = x = o x = x = o x = V-a x x 6 = d x + = (x + ) (x )(x + ) = x + = x 6 x = o x + = x = 8 x = o x = x =,6 b (x ) = 6x e x + x = x = 6x x + x = = x (x + )(x ) = x = x + = o x = c 7x + = x x = o x = x + 7x + = x = x(x ) a =, b = 7, c = eet x = x x D = 7 = x + x = x = 7 +, o x(x + ) = x = 7 68, x = o x + = V-6a x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = x = o x = b ( ) = = 6, ( ) = ( ) + = 6 + = 6 dus y = 6 () = =, () = + = 9 + = dus y = V-7a x+ = x+ 6 x = x =,7; ( 7, ) =, 6 ; ( 7, ) =, 6 Het snijpunt is (,7;,6). b x+ 6 = ( x+ ) x+ = ( x+ ) x+ 6 = x + x+ = x+ x = x = x =,8; ( 8, ) = 6, ; h( 8, ) = 6, x = ; ( ) = ; h( ) = Het snijpunt is (,8;,6). Het snijpunt is (, ).

3 V-8 A,] B, [ ] C, D, V-9a x + > d x 6 > x + = x 6 = x = 9 x = x = x = 7 = Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = oplossin: x > o, oplossin: x > 7 o 7, b x < e x + > 7 x = x + = 7 x = x = x = x = = 6 7 = oplossin: x < o, oplossin: x < o, c x < x + 6 (x 6) < x = x + 6 (x 6) = x = 6 x + = x = 8 x = x =, a b c d = oplossin: x < 8 o, Kwadratische onelijkheden 9 =, oplossin: x >, o, ; De rootste hoote is meter. De koel komt na seconden weer op de rond. Na seconde en na seconden is de hoote elijk aan meter. Tussen en seconden is de hoote meer dan meter. a Bij x = en x = is de uitkomst elijk aan. b Voor < x < is de uitkomst roter dan. c x = x = x = o x = d Voor < x < is (x) >. 7

4 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden e Voor x < o x > is (x) <. De rootste uitkomst van de unctie is. Voor een enkele waarde van x is (x) >. a x x = x(x ) = x = o x = x = o x = b/c = = d x =, lit tussen x = en x = en is dus, net als x =, een oplossin van de onelijkheid. Net zo is x =,9 ook een oplossin. x = 7 lit links van x = en is, net als x =, wel een oplossin van de onelijkheid. e De oplossin is alle waarden van x kleiner dan o roter dan. Dus x < o x >. a De bijpassende verelijkin is x x =. b (x )(x + ) = x = o x + = x = o x = c/d = e De oplossin is < x <. a n + 6n + 8 < d x + x + < n + 6n + 8 = x + x + = (n + )(n + ) = x + x = n + = o n + = x x + = n = o n = (x )(x ) = x = dus x = = = = 6 = oplossin:, oplossin: alle waarden x b q + q > e b b> q + q = b b= q + q = b 8b = (q + )(q ) = (b )b + ) = q + = o q = b = o b + = q = o q = b = o b = = = = = oplossin:, en, oplossin:, en, 8

5 c r(r + ) > w + w< r(r + ) = w + w= r + r = w + 6w = (r + )(r ) = w(w + 6) = r + = o r = w = o w = 6 r = o r = = = 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = = oplossin:, en, oplossin: 6, 6 6a x < d x x + < 7 x = x x + = 7 x = x x = x = o x = (x 7)(x + ) = x 7 = o x + = x = 7 o x = = = = = 7 oplossin:, oplossin:, 7 b x + < 9 e x x < x + = 9 x x = x = 8 x x = x = 9 x x = x = o x = (x )(x + ) = x = o x + = x = o x = = = = = oplossin:, oplossin:, c x > 6 x < x = 6 x = x = 8 o x = 8 x = x = o x = = = = = oplossin:, 8 en 8, oplossin:, 8 6 7

6 7 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 7a x > 9 d x > 9 x = 9 eet x = o x = x = 9 eet x = 7 o x = 7 oplossin: x < o x > oplossin: x < 7 o x > 7 b x < 9 e x < zie opdracht a x = kan niet oplossin: < x < oplossin: een c x < 6 x > x = 6 eet x = 6 o x = 6 zie opdracht e oplossin: 6 < x < 6 oplossin: elke waarde van x 8a a + < d 6(d + ) 8 < a + = 6(d + ) 8 = a = 6d + 8 = a = 6d = d = 6 = 6 = 6 oplossin:, oplossin:, 6 b b b > e e + > b b = e > (b + )(b 6) = e > b + = o b 6 = e = eet e = b = o b = 6 = = oplossin: alle waarden e 6 oplossin:, en 6, c c(c + ) > c(c + ) = c + c = a =, b =, c = D = = 8 x = 8, o x = + 8, = =,, oplossin:,, en,, 7

7 - Parabool en lijn 9a y = b In het snijpunt zijn de waarden van de uncties aan elkaar elijk. c x + x = D = = x = + = x = o = d k( ) = en l( ) = ; k( ) = en l( ) = De snijpunten zijn (, ) en (, ). a x x+ = x x x+ 6 = x 8x+ = (x )(x 6) = x = o x 6 = x = o x = 6 () = en (6) = 7 controle: () = en (6) = 7, klopt De snijpunten zijn (, ) en (6, 7). b x = x x x = x + 6x = x(x + 6) = x = o x + 6 = x = o x = 6 ()= en ( 6) = controle: () = en ( 6) = De snijpunten zijn (, ) en ( 6, ). Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a x + x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = en () = 8 controle: ( ) = en () = 8, klopt De snijpunten zijn (, ) en (, 8). c x x + = x + x x = x,x = (x )(x +,) = x = o x +, = dus x = o x =, () = en (,) =, controle: () = en (,) =,, klopt De snijpunten zijn (, ) en (,;,). b x(x + ) = x + 9 x + x = x + 9 x = 9 eet x = o x = ( ) = en () = controle: ( ) = en () =, klopt De snijpunten zijn (, ) en (, ). 7

8 76 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a Bij x = lit de raiek van boven die van. b Bij x = lit de raiek van onder die van. c Bij x = lit de raiek van boven die van. d Voor x = en x = eldt (x) = (x). e Voor < x < eldt (x) < (x). a b c d e Voor x = en x = eldt (x) = (x). Voor x = is (x) < (x). Voor x = is (x) > (x). Voor x = is (x) < (x). Voor < x < is (x) > (x). a x x = x x x + = (x )(x ) = x = o x = x = o x = b/c = = d De oplossin is x < o x > owel, en,. a b + < b b x > x + 6 b + = b x = x + 6 b b + = x x 6 = b + b = x x = (b + 7)(b ) = (x )(x + ) = b + 7 = o b = x = o x + = b = 7 o b = x = o x = = = = = oplossin:, 7 en, oplossin:, en, c (p + )(p ) < p d t 7t + 8 > t + (p + )(p ) = p t 7t + 8 = t + p p + p = p t 8t + 7 = p p = (t )(t 7) = (p + )(p ) = t = o t 7 = p + = o p = t = o t = 7 p = o p = = = = = 7 oplossin:, oplossin:, en 7, 8

9 - Snijden, raken o missen 6a : x < en x > : een oplossinen : alle waarden van x behalve voor x = b y x O Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 7a x + x = x + x + x = D= = 9; D< ; een snijpunten. b De raiek van is een berparabool. c De raiek van is een berparabool die een snijpunten met de lineaire raiek van heet. De berparabool lit dan eheel onder de rechte lijn (verelijkbaar met de raieken bij opdracht 6b). 8a h y O k x b x + x = x + x + x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = en () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). c x + x = x x + x+ = ( x + ) = x + = x = dus slechts één oplossin 77

10 78 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d Zie de raieken bij opdracht a. e x + x = x x + x+ = D = ( ) = < ; dus een snijpunten. 9a A: x + x = x + B: x + = 6x x = x + 6x+ = x + = D = 6 = ; één oplossin b c x = ; een oplossinen x = 6 + = C: x + x 8 = x D: x + x+ = x + x + x = x = D= = ; D< x = o x = een oplossinen De verelijkin heet een oplossinen, dus de raieken hebben een punten emeenschappelijk. B: bordje want de verelijkin heet één oplossin C: bordje want de verelijkin heet een oplossinen D: bordje want de verelijkin heet twee oplossinen a Als D > dan snijdt de raiek de x-as. b D= 6 = ; D< De raiek snijdt de x-as niet. c x 6x+ = x + x 7x+ = D = ( 7) = d D > ; de raieken snijden elkaar. a x + x+ = x x + x+ 7= D= 7= 7; D< De raieken hebben een punten emeenschappelijk. b x + x+ = x + 6 x + x = D = = 7; D > De raieken snijden elkaar. c x 6, x =, x + 6 x 8x 6 = D = ( 8) 6 = De raieken raken elkaar. d x 6, x =, x + x 8x = D= ( 8) = 6; D< De raieken hebben een punten emeenschappelijk.

11 - Bundels lijnen a x x+ = x x = x(x ) = x = o x = x = o x = De x coördinaat van de top is,. (,) =,7; De top is (,;,7). b x x+ = D= ( ) = ; D< De verelijkin heet een oplossinen. c De y coördinaat van de top is,7. Dus voor p =,7 is er één emeenschappelijk punt. d Voor p >,7 snijdt de lijn y = p de parabool in twee punten. a De lijn die door (, ) aat lijkt de parabool te raken. x = en y = invullen bij y = x + p eet = + p = + p dus p = b x + x+ = x + x + 6x 9 = D = 6 9 = ; dus één oplossin. De raieken raken elkaar voor p =. c Voor p < snijdt de lijn de parabool in twee punten. Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a x x = x 7 x 6x + 7 = D = ( 6) 7 = 8 D > dus er zijn twee snijpunten. In de iuur is y = x 7 de lijn die door (, 7) loopt en die snijdt de parabool inderdaad twee keer. b x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus er zijn een snijpunten. In de iuur is y = x de lijn die door (, ) loopt en die snijdt de parabool inderdaad niet. c Zie de raiek hiernaast. y d De lijn aat door (, 9), dus daar hoort p = 9 bij. e x x = x 9 x 6x + 9 = D = ( 6) 9 = D = dus er is één emeenschappelijk punt. O 6, Voor p > 9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < 9 hebben de lijn en de parabool een punt emeenschappelijk. 8 C x,,,,, 79

12 a 8 b c d Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden Zie de raiek hiernaast. Voor p = raakt de lijn de parabool. Immers: x + x = x + x + x = D = =, klopt. Voor p < snijdt de lijn de parabool. Voor p > hebben de parabool en de lijn een punt emeenschappelijk. 6a Het startetal van de ormule y = qx 7 is 7. b Zie de raiek hiernaast. c x + x = 7x 7 x x+ = (x )(x ) = x = o x = x = o x = Er zijn twee snijpunten. d Zie de raiek bij opdracht b. e Het hellinsetal is 6. x + x = 6x 7 x x+ = D = ( ) =, klopt Zie de raiek bij opdracht b; het hellinsetal is. x + x = x 7 x + x+ = D = =, klopt - Werken met parameters 7a x x+ = D = ( ) = 8 b c x = + 8, o x = 8 9, De snijpunten met de x-as zijn (,; ) en (,9; ). De raiek verschuit omhoo o omlaa. y 6 x O p = p = p = x O p = y p = y 8 O x q = q = 7 q = 6

13 d Nee, je moet de parabool no hokje omhoo schuiven. Voor p = raakt de parabool de x-as. e Schui de parabool van opdracht c twee hokjes omhoo. Dan is p =. x x + = x x 6x + 9 = D = ( 6) 9 =, klopt. Dus voor p = raakt de parabool de lijn. x = 6 + = en y = () = Het raakpunt is (, ). 8a x + p= x b x x p + + = D = p D = 9 p c Voor D = is er één oplossin. d 9 p = p = 9a x x = x+ p x x p = D= ( ) p = 9 + p 9 + p = p = 9 p =, x = + =, en y = (,) =,7 Het raakpunt is (,;,7). b x x = x+ p x p= D = p = p p = p = De verelijkin is dan x =. x = en y = () = Het raakpunt is (, ). Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden a Voor p = is (x) =. De raiek is dan een horizontale lijn. b Voor p < is de raiek een berparabool met top (, ) die dus de x-as niet snijdt. c px = x px x + = D= ( ) p = 8p 8p = 8p = p = : 8 dus p = 8

14 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d px = x px x = D= ( ) p = + p + p > + p = eet p = = oplossin: p > a Voor elke waarde van p is ( ) = + p + 6 = 6. b Met (x) = bereken je de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as. Als de raiek de x-as raakt is er maar één oplossin dus is D =. x + px + 6 = D= p 6 = p 6 c p 6 = p = 6 dus p= o p= d Voor D < heet de raiek een punten emeenschappelijk met de x-as. D < als p < 6 oplossin: < p < -6 Gemende opdrachten a a + a = a( a+ ) = a = o a + = a = o a = De astand is dus = meter. b De top lit bij a = H( ) = + = De hoote is = 87 meter. c meter hoo betekent dat H(a) = : = 8. d a + a 8 = eet a a+ 6 = (a )(a 8) = a = o a 8 = dus a = o a = 8 Voor < a < 8 is de boo hoer dan meter.

15 a a + < 6 e e + e + 6 > e + 6 a < e + e + 6 = e + 6 oplossin:, e + e = b b + b < 6 e(e + ) = b + b = 6 e = o e + = b + b 6 = e = o e = (b + 6)(b ) = b + 6 = o b = b = 6 o b = = = 7 6 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = = oplossin: 6, oplossin:, en, c c + c > ( + )( ) < c + c = ( + )( ) = c + c = + = o = c +,c, = = o = (c + )(c,) = c + = o c, = c = o c =, = =, = = oplossin:, en, ; oplossin:, d d <,(d + ) + < ( + ) d =,(d + ) + = ( + ) d,d, = + = + (d +,)(d ) = = dus = d +, = o d = d =, o d = = =, oplossin, ; oplossin:, = 6 h h + h 6 > h( h) h + h 6 > h h h > 6 h > oplossin:, en, a x 6x+ = D= ( 6) = ; D> De raiek van heet twee snijpunten met de x-as. x + x 6 = D = 6 < De raiek van heet een punten emeenschappelijk met de x-as. De raiek van unctie h is een rechte lijn en heet dus één snijpunt met de x-as. 8

16 8 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden b Zie de raiek hiernaast. 6 y c x 6x+ = x + x x = h x(x ) = x = o x = x = o x = O h() = en h() = De snijpunten zijn (, ) en (, ). d x + x 6 = x + x + x = D= = ; D> 6 De raiek van h raakt de raiek van niet. e x 6x+ = x + x 6 x 6x+ = x 8x+ = (x )(x ) = x = o x = x = o x = () = en () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). De raieken snijden elkaar voor x = en x =. Voor x < en voor x > lit de raiek van hoer dan die van h, dus de oplossin is x < o x >. In intervalnotatie:, en,. De raieken snijden elkaar voor x = en x =. Voor x < en voor x > lit de raiek van hoer dan die van, dus de oplossin is x < o x >. In intervalnotatie:, en,. a x + x+ = D= = ; D< De parabool heet een snijpunten met de x-as. b De symmetrie-as is de lijn x =. Dus de x-coördinaat van de top is. y = ( ) = ; top (, ) c x + x+ p = D= p = p p = p = d x + x+ p= x x + x+ p = D= p = 6 p 6 p < 6 p = eet p = 8 = 8 9 oplossin: p > 8 x 6 7

17 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden 6a x + x+ = x + 6 x = x + 6 = ; een oplossinen. b x + x+ = x + 6 x + x = x x+ 6 = (x )(x 8) = x = o x 8 = x = ; y = + 6 = x = 8; y = 8+ 6 = De snijpunten zijn (, ) en (8, ). c De horizontale lijn y = 6 raakt de parabool in de top. d x + x px = x + ( p) x = D = ( p) = ( p) D = eet ( p) = p = o p = p = o p = Ja, voor p = is de lijn y = 6. e De lijnen aan allemaal door (, 6). De parabool aat ook door (, 6). Elke lijn heet dus minstens één punt emeenschappelijk met de parabool. Er is één lijn die de parabool raakt in (, 6). De andere lijnen snijden de parabool dus in no een punt. x + x+ 6 = px + 6 x + x px = D= ( p) D= ( p) D = voor p = De lijn raakt de parabool voor p =. 7a p = x + 8x = x x + x+ = D= = ; D> ; twee snijpunten p = x + 8x+ = x x + x+ = D= = ; D> ; twee snijpunten p = x + 8x+ = x x + x+ = D= = 6; D< ; een snijpunten b x + 8x+ p= x x + x+ p + = D= ( p+ ) = 8(p + ) 8(p + ) = 8(p + ) = p + =8 p = 8

18 86 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden c x + 8x+ = x x + x+ 8 = D = 8 = x = = ; y = ( ) = 7 Het raakpunt is (, 7). d Voor p = raakt de dalparabool de raiek van. Voor p < verschuit de dalparabool omlaa en snijdt de rechte lijn in twee punten. oplossin: p < i ICT Bundels lijnen I-a Voor p = raakt de lijn de parabool. b x x+ = x x+ = D = ( ) =, klopt I-a Voor p = raakt de lijn de parabool. b x + x + = x + x + 6x 9 = D = 6 9 =, klopt c Voor p < snijdt de lijn de parabool in twee punten. I-a x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus een snijpunten, klopt b x x = x x 6x + = D = ( 6) = D < dus een snijpunten, klopt c Met de schuibutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = 9. d x x = x 9 x 6x + 9 = D = ( 6) 9 = D = dus een emeenschappelijk punt, klopt e Voor p > 9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < 9 zijn er een snijpunten. I-a Met de schuibutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p =. b x + x = x + x + x = D = =, klopt c Voor p < snijdt de lijn de parabool. d Voor p > hebben de parabool en de lijn een punt emeenschappelijk.

19 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden I-a Het startetal van elk van de lijnen uit de bundel is 7. b Met de schuibutton zie je dat de lijn met q = 7 twee snijpunten heet met de parabool. c Voor q = 6 en q = lijken de lijnen de parabool te raken. d q = 6 x + x = 6x 7 x x+ = D = ( ) =, klopt q = x + x = x 7 x + x+ = D = =, klopt Test jezel T-a x + x + = x x = (x 7)(x + ) = x 7 = o x + = x = 7 o x = De snijpunten zijn (, ) en (7, ). b A x + x + = C (x) = als x = o x = x + x = In de raiek zie je dat (x) < als x(x ) = x < o x >. O in intervalnotatie x = o x =, en, x = o x = B x + x + = D (x) = als x = o x = 8 x + x + = In de raiek zie je dat (x) > als x x = < x < 8. O in intervalnotatie (x 8)(x + ) =, 8 x 8 = o x + = x = 8 o x = c A x x < C x > 8 x x = oplossin:, 9 en 9, x x = D x + x < x + (x )(x + ) = x + x = x + x = o x + = x + x = x = o x = (x + )(x ) = x + = o x = x = o x = = = 6 = = oplossin:, oplossin:, B x + < 7 x < x < oplossin:, 87

20 88 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden T-a x + x+ = x 6 x + x+ = x x = ( x+ )( x ) = x + = o x = x = o x = ( ) = ( ) + + = en ( ) = + + = De snijpunten zijn (, ) en (, ). b = = oplossin:, en, 6 T-a Zie de raiek hiernaast. b x x = x + x x = (x + )(x ) = 8 x + = o x = 6 x = o x = y = ( ) = o y = () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). O c (x) = (x) eldt voor x = o x =. In de raiek zie je dat (x) < (x) eldt voor < x < o,. 6 d Zie de raiek bij opdracht a. De lijn y = x 6 raakt de parabool. Dan hebben de raieken van h en m twee snijpunten met de parabool. x x = x x x = x, x x = x x +, = D = ( ) = 6 D = ( ), = D > dus twee snijpunten. D > dus twee snijpunten. e De raiek van l raakt de parabool. x x = x 6 x x + = (x )(x ) = x = dus x = y = l() = Het raakpunt is (, ). T-a Zie de raiek hiernaast. b Voor a = 8 is y = x 8 x x = x 8 x x+ 8 = D = ( ), 8 =, klopt Dus voor a = 8 raakt de lijn de parabool. c Zie de raieken bij opdracht a. Voor a > 8 snijdt de lijn de parabool. y y 8 6 O a = a = a = 6 d x 6 x 6 7 8

21 T-a Het startetal van elke lijn uit de bundel is (, 7). Alle lijnen aan door (, 7). b x + = px 7 x px + 9 = D = ( P) 9 = p 6 p 6 = p = 6 p = 6 o p = 6 T-6a x + x 8 < 7 d x + x > x + 6 x + x 8 = 7 x + x = x + 6 x + x = x + x 6 = (x + )(x ) = D = 6 = 8 x + = o x = x = + 8 6, o x = o x = x = 8 6, = = 6 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden = =,6,6 oplossin:, oplossin: ; 6, en, 6; b x > e v + > x = eet x = o x = Omdat v voor elke waarde van v, oplossin:, en, is de oplossin: elke waarde van v. c s > s t + t + < t s = s t + t + = t s s = t + 6t + 9 = (s + )(s ) = (t + )(t + ) = s + = o s = één oplossin: t = s = o s = = = = oplossin:, en, oplossin: een enkele waarde van t T-7a x + x+ 8 = x + x + x = ( x+ )( x ) = x + = o x = x = o x = y = ( ) = en y = () = De snijpunten zijn (, ) en (, ). b x + x+ 8 = x+ p x + x+ 8 p = D= ( 8 p) = 8 + p D= 8 + p= p = 8 p = 7 c Voor p > 7 zijn er twee snijpunten. 89

22 9 Hoodstuk - Graieken, verelijkinen en onelijkheden d x + x+ 8 = r x + x+ 8 r = D= ( 8 r) = 7 + r D= 7+ r = r = 7 r =,7 T-8a Invullen van x = eet voor elke waarde van p l( ) = p + 6 = 6. b px + 6 = x x + px + 8 = D= p 8 D= p 6 c Als een lijn de parabool raakt, dan is D =. Dat eet de verelijkin p 6 = otewel p = 6 en deze verelijkinen heet twee oplossinen. Bij de etekende raieken is te zien dat de lijn zowel links als rechts de parabool raakt. d p 6 = p = 6 p = en p = e Voor twee snijpunten moet D > zijn. D = voor p = o p = = = oplossin: p < o p >

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a 8 V-a Hoodstuk - Transormaties Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde loninhoud in liter,,,,,,,,,, Van t tot t, dus seonden. loninhoud in liter O tijd in seonden 7 Moderne wiskunde 9e editie

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/18

C. von Schwartzenberg 1/18 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 Ga je naar rechts, dan kom je (op de lijn) hoer uit. Het etal eet aan dat de lijn de y -as in het punt (0, ) snijdt. Stel l : y = a + b; het snijpunt met de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Transformaties

Hoofdstuk 2 - Transformaties Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde V-a, loninhoud in liter,,,,,,,,, tijd in seonden Van t tot t, dus seonden. loninhoud in

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1) Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen Voorkennis V-a Bedrijf A rekent 7 8 + 5 = 6 euro en bedrijf B rekent, 5 8 + 60 = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).

Nadere informatie

Hoofdstuk 12A - Grafieken en vergelijkingen

Hoofdstuk 12A - Grafieken en vergelijkingen Moderne Wiskunde Hoofdstuk Uitwerkingen 1A - Grafieken bij 3B havo en vergelijkingen Hoofdstuk 5 Voorkennis V-1a De formule is van de vorm y = ax + b. De grafiek is een rechte lijn. b y = 0,5 7 + 3 dus

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

wiskunde B havo 2019-II

wiskunde B havo 2019-II Een logaritmische en een eponentiële unctie De uncties en g worden gegeven door: 1 en g 1 ( ) 4 3 ( ) 8 log 4 1 p de graiek van ligt een punt met -coördinaat 13. Dat is het punt. p de graiek van g ligt

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAVO 06 tijdvak donderdag 3 juni 3:30-6:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 75 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

29 Parabolen en hyperbolen

29 Parabolen en hyperbolen 39 0 1 9 Paraolen en hyperolen 6 5 5 6 3 3 1 5 h = 0,065 0 = 100 meter + (5 ) = 5 6,5 ; 5 ; 56,5 ; 100 meter ( 3 9 ) + (3 ) = 8 16,96.. afstand PE < afstand P tot de x-as Nee! y (alleen als y > 0) 0,065

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Blok 5 - Vaardigheden

Blok 5 - Vaardigheden Extra oefening - Basis B-a De richtingscoëfficiënt is 7 = 8 =. 7 x = en y = 7 invullen in y = x + b geeft 7 = + b 7 = + b dus b =. Een vergelijking is y = x. b De richtingscoëfficiënt is =. 8 5 x = 8 en

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

= 5, t 7. = 36 en t 8. e 32, 64, 128 f 8 3 4, , = 13, t 9. = 8, t 8. = 21, t 10. = 37, t 8

= 5, t 7. = 36 en t 8. e 32, 64, 128 f 8 3 4, , = 13, t 9. = 8, t 8. = 21, t 10. = 37, t 8 Blok - Keuzemenu Verdieping - Getallenrijen a De getallenrij bestaat uit de kwadraten b De volgende drie getallen van de rij zijn t 6 =, t 7 = 6 en t 8 = 9 a, 0, 7 b 8, 9, 0 c 8, 6 6, 79 6 d,, e, 6, 8

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014

opdracht 1 opdracht 2 opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 2014 Algebra Anders Parabolen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1 We beginnen heel eenvoudig met y = x Een tabel en een grafiek is snel gemaakt. top x - -1 0 1 3 y 0 1 4 + 1 + 3 toename tt + a)

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast.

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast. a G&R havo B deel 9 Allerlei uncies C von Schwarzenber /8 Zie de plo hiernaas b Da zijn de punen (0, 0) en (; 0,5) c Van de raieken van en li een enkel pun onder de -as d De raieken van en hebben de -as

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 30 personen e 50,- 7 3 e 0,- = e 380,-. b n = 0 geeft p = 0 3

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms

Kwadratische verbanden - Parabolen klas ms Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen 08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p

Nadere informatie

Oefentoets uitwerkingen

Oefentoets uitwerkingen Vak: Wiskunde Onderwerp: Hogere machtsverb., gebr. func=es, exp. func=es en logaritmen Leerjaar: 3 (206/207) Periode: 3 Oefentoets uitwerkingen Opmerkingen vooraf: Geef je antwoord al=jd mét berekening

Nadere informatie

lesbrief Inverse functie en TI-nspire 6/7N5p

lesbrief Inverse functie en TI-nspire 6/7N5p lesbrie Inverse unctie TI-nspire 6/7N5p GGHM@EE 01-01 De inverse unctie De inverse 1 () van e unctie () doet precies het omgekeerde (inverse) van wat () zel doet Je kunt ook stell dat e inverse unctie

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Transformaties

Hoofdstuk 3 - Transformaties Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1

Oef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1 Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Formules en grafieken

Hoofdstuk 1 - Formules en grafieken Voprkennis aantal minuten 0 1 2 3 4 5 6 aantal graden Celsius 20 28 36 44 52 60 68 V_y V_y toename +8 +8 +8 +8 +8 +8 b Bij deze tabel hoort een lineaire formule want de toename in de onderste rij van de

Nadere informatie

WISNET-HBO NHL update jan. 2009

WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het

Nadere informatie

wiskunde B havo 2016-II

wiskunde B havo 2016-II Drie snijpunten 3 3 De unctie is gegeven door ( ) = + 3 +. De graiek van snijdt de -as in drie punten. Zie de iguur. iguur O p Bereken de -coördinaten van de drie snijpunten van de graiek van met de -as.

Nadere informatie

Paragraaf 6.1 : Toppen en Buigpunten

Paragraaf 6.1 : Toppen en Buigpunten Hoodstk Dierentiaalrekenin V4 Wis B Paina van Pararaa : Toppen en Bipnten Les Toppen Een top is een pnt waar de ellin elijk is aan nl Stappenplan etremen / toppen Los op = 0 ellin is nl in een top Scets

Nadere informatie

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel: 13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Kwadratisch verband vmbo-kgt34

Kwadratisch verband vmbo-kgt34 Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres VO-content 30 august 2017 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie https://maken.wikiwijs.nl/74225 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

Nadere informatie

Uitwerkingen huiswerk week 4

Uitwerkingen huiswerk week 4 Calculus/analyse najaar 007 Uitwerkinen huiswerk week 4 Opave 1. Bepaal de hoote en het volume van de rootste cilinder qua volume) die in een koel van straal r past. Oplossin. We noemen de hoote van de

Nadere informatie

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1?

Programma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Voorkennis hfst 2 ontbinden in factoren (waarom ook al weer?) kwadratische functies 1 Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over

Nadere informatie

Deel 1 Zesde, herziene druk

Deel 1 Zesde, herziene druk drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Toegepaste Wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Zesde, herziene druk Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk Functies ThiemeMeulenhoff, Amersfoort,

Nadere informatie

Blok 5 - Keuzemenu. Verdieping - Veeltermen. genoemd zijn. met de functie van Brend: f(0) = = 288. niet gelijk aan 72.

Blok 5 - Keuzemenu. Verdieping - Veeltermen. genoemd zijn. met de functie van Brend: f(0) = = 288. niet gelijk aan 72. Verdieping - Veeltermen a De oplossingen zijn x = 6, x =, x = 4 en x = 6. Als je (x + 6)(x + )(x 4)(x 6) = 0 oplost krijg je de oplossingen die ij opdracht a genoemd zijn. c Met de gegeven functie: f(0)

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 0 personen e 50,- 7 e 0,- 5 e 80,-. b n 5 0 geeft p 5 0 0 980

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d a G&R vwo A deel 0 Allerlei uncie C. von Schwarzenber /0 Zie de plo hiernaas. b Alle raiek aan door O (0,0) en (;0,). c d De raieken van y = 0, en y = 0, komen nie onder de -as. De raieken van y = 0, en

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen

Nadere informatie

Wiskunde voor bachelor en master. Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht. Uitwerkingen hoofdstuk 9

Wiskunde voor bachelor en master. Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht.   Uitwerkingen hoofdstuk 9 Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 0, Sntax Media, Utrecht www.sntaxmedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk 9 9.. = x = x 0 0 a. b. =, 0 0 = x + c. d. Uitwerkingen 9.. = x

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Om het edrag in euro s te erekenen vermenigvuldig je het aantal kwh met 0,08 en tel je er vervolgens 14 ij op. De formule is dus verruik 0,08 + 14 = edrag. De formule ij tarief A kun je

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAVO 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

wiskunde B havo 2015-I

wiskunde B havo 2015-I Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a 4 8 + 4 1,80 + 4 0,60 = 32 + 7,20 + 2,40 = 41,60. Ze is 41,60 kwijt. 4 (8 + 1,80 + 0,60) = 4 10,40 = 41,60. Ze krijgt hetzelfde edrag. c 8 + 1,80 + 0,60 4 = 8 + 1,80 + 2,40 = 12,20. Je

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

Transformaties Grafieken verschuiven en vervormen

Transformaties Grafieken verschuiven en vervormen Wiskunde LJ2P4 Transformaties Grafieken verschuiven en vervormen 1. Ver'cale verschuiving We hebben bij wiskunde al verschillende grafieken leren kennen: rechte lijn, parabool, sinus, cosinus. Voor de

Nadere informatie

Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen

Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!

Nadere informatie

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos 9e editie Moderne wiskunde Uitwerkingen Op stap naar 4 havo Dik Bos Inhoud Hoofdstuk Getallen 000 - Rekenen met reuken 000 - Deimale getallen, proenten en fator 000-3 Kwadraten 000-4 Wortels 000-5 Mahten

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 20 mei uur Eamen HV 2015 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde Dit eamen bestaat uit 19 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

3.4. Antwoorden door N woorden 24 januari keer beoordeeld. Wiskunde B. wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden 1.

3.4. Antwoorden door N woorden 24 januari keer beoordeeld. Wiskunde B. wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden 1. Antwoorden door N. 8825 woorden 24 januari 2013 3.4 17 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Uitwerkingen wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden 1. I, II, IV, V 2. a. x 2 + 6 = 5x

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2003-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2003-II Loterij Ter eleenheid van een jubileum oraniseert een rote universiteit een loterij. Elke student krijt één lot. Er vinden twee trekkinen plaats. ij de eerste trekkin wordt bepaald op welke nummers een

Nadere informatie

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] 7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x

Nadere informatie

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden.

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden. Samenvatting H29: Parabolen en Hyperbolen De standaard parabool heeft als formule y = x 2 Deze vorm moet je vlot en netjes kunnen tekenen. De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren.

Oef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren. Herhalingsoefeningen Problemen oplossen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Elk

Nadere informatie

Kern 1 Lineaire functies

Kern 1 Lineaire functies Kern 1 Lineaire functies 1 a V = 10 kw b V = 0,07 100 + = 7 + = 10 c Alle lijnen beginnen bij V =, alleen het hellingsgetal is verschillend. Bij 15 C geldt V = 0,05 I + Bij 1 C geldt V = 0,06 I + Bij C

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

5. berekenen van limieten en asymptoten

5. berekenen van limieten en asymptoten hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten. berekenen van ieten en asymptoten.. inleiding Algebraïsche uncties zijn uncties die geconstrueerd kunnen worden met enkel de constante en identieke unctie,

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Antwoorden Veranderingen van functies vwo5a

Antwoorden Veranderingen van functies vwo5a Antwoorden Veranderingen van functies vwo5a Hoofdstuk 0: Veranderingenn Opgave 1 a. b. c. Opgave 2 a. rechte lijn b. x 0 1 2 3 4 5 6 toename 909 1276 1792 2516 3532 4959 c. (17,5 5) / 15 = 0,83 miljoen

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie