Iegrlrekeig Georg Friedrich Berhrd Riem Breselez 7 sepemer 86 Selsc jui 866 Heri Léo Leesgue Beuvis 8 jui 875 Prijs 6 juli 94 I de wiskudige lyse geef de iegrl v ee posiieve fucie ee uwkeurige eekeis he egrip "oppervlke oder de kromme". He eevoudigse iegrlegrip is geseerd op de formulerig v Berhrd Riem e word drom soms Riem-iegrl geoemd. De Leesgue-iegrl, geoemd r zij edeker Heri Leesgue, is ee cosrucie die ee groere klsse v fucies iegreerr mk; hij k ovedie worde geruik over dere domeie d de reële gelle.
) De differeil ) Defiiie Op de grfiek zie je ee fleidre fucie f sme me hr rklij i pu, f. Voor ee verderlijk pu defiiëre we d d y f ' he differeiequoië e wee d De vergelijkig v de rklij is d y f '. f Op de figuur zie we d dy f '. e y f f. We oeme y lim de fgeleide v f is i.. ee ederig is voor y. Hoe kleier (dus hoe dicher ij lig), hoe eer de ederig. We oeme dy de differeil v fucie f i. ' Algemee defiiëre we dus i ee willekeurig pu : dy df f Voor de ideieke fucie f geld d df d. ' de defiiie d herschrijve ls dydf f d df Deze formule verduidelijk ook de oie v Leiiz: f '.. Op deze mier kue we d He is zo ook meee duidelijk d ee fucie differeieerr is ls ze fleidr is. Alle rekeregels e formules die we kee v ij fgeleide worde dus eevoudig overgedrge r rekeregels e formules v differeiëre. 5d d Bgsi 5 Vooreeld: 5 Toepssig: Beder 6 me ehulp v differeiëre. Noem f, d is f f y f dy f f '. Neem 6 e, d is 6 we krijge: 6,5.6,., f e. f ',5, zod Cursus iegrlrekeig - - S. Meepeige
) Beplde iegrle ) Ileided vooreeld Er word os gevrgd de oppervlke S e erekee usse de grfiek v de fucie f, de -s e de vericle reche. He is duidelijk d de zo ose figuur (og) gee ekede figuur is wrvoor we oppervlkeformules kee e kue geruike. We kue deze oppervlke wel edere door rechhoekjes e geruike. We verdele de sis v de figuur i 5 gelijke sukke, e eme di ls reedes v oze rechhoeke. Op de likerfiguur eme we ls hooge elkes de kleise fuciewrde i he iervl, op de recherfiguur elkes de groose fuciewrde. Zo krijge we liks ls ederig: 5,.,.,4,.,6,.,6,.,64,4 s. De mehode die we liks geruike zl duidelijk lijd e klei zij. We oeme he ee odersom voor de fucie e oere ze me kleie leer s 5 (me ls ide he l rechhoekjes). We krijge rechs ls ederig: S5,.,4,.,6,.,6,.,64,.,44. De mehode die we rechs geruike zl duidelijk lijd e groo zij. We oeme he ee ovesom voor de fucie e oere ze me groe leer S 5 (me ls ide he l rechhoekjes). He gemiddelde v deze wee geef ee zeer goede ederig v de gezoche oppervlke. We s5 S5, 4, 44 sche dus S,4. (De werkelijke oppervlke lijk e zij). We kue deze redeerig herhle voor meer rechhoekjes. He is duidelijk d hoe meer rechhoekjes we eme, hoe dicher de odersom e ovesom ij elkr zulle ligge. Meer og, we kue selle d S lim s lim S. He mg ook duidelijk zij d di ook werk ls we per iervl willekeurige fuciewrde eme (dus ie coseque he miimum of he mimum eme). We krijge d ee ederig voor de oppervlke die usse de odersom e de ovesom lig e dus i de limie voor ook gelijk is de gezoche oppervlke. Cursus iegrlrekeig - - S. Meepeige
) Algemee werkwijze de eplde iegrl Om de oppervlke e erekee egrepe usse de grfiek v ee fucie, de -s e wee vericle reche e, verdele we he iervl, i, gelijke deeliervlle:,,...,, i,...,, i., I elk iervl edere we de oppervlke door de reede v he iervl e vermeigvuldige me ee willekeurig gekoze fuciewrde f c i, me c, i i i. De reede v deze deeliervlle is d gelijk. De gezoche oppervlke word d ederd door: S f ci.. Me k ewijze d voor fucies die coiu zij i, de limie voor v S es e dus gelijk is de werkelijke gezoche oppervlke. We oeme deze limie de eplde iegrl v o v de fucie f. We oere di ls: Cursus iegrlrekeig - 4 - S. Meepeige i lim S f. d Meer lgemee oeme we fucies wrvoor deze limie es iegreerr over d iervl. c) Georiëeerde oppervlke To hieroe gige we er silzwijged v ui d de grfiek v de fucie f volledig ove de -s lg i he gegeve iervl, (dus werkwijze ekome is d uierrd posiief., : f ). De oppervlke die we vi de lgemee Zou je deze werkwijze herhle voor ee fucie die oder de -s lig i, d kom je ee egieve oppervlke ui. We spreke dus logischerwijze f d oppervlkes ove de -s posiief gereked worde, e oppervlkes oder de -s egief. D di uig e relisisch is volg ler ui ekele fysische vooreelde. We ierpreere lgemee de eplde iegrl v ee (coiue) fucie f v o d ook ls de som v de georiëeerde oppervlke usse de grfiek v f, de -s e de vericle reche e. Zo geld i he geekede vooreeld: f dsi S II SII I SI V.
Avullig op de defiiie v eplde iegrl: We me o hieroe lijd ls odergres e ls ovegres om e iegrere, wrij. We kue de defiiie v eplde iegrl verder uireide: Als Als, d selle we f d, d selle we f d f d d) Eigeschppe v de eplde iegrl Ui de defiiie v de eplde iegrl volge omiddellijk de volgede eigeschppe: Eigeschp : opelrheid v de eplde iegrl Als f ee iegreerre fucie is i he iervl p, q, d geld voor lle,, c p, q d: c f d f d f d c Eigeschp : lieriei v de eplde iegrl Als f e g iegreerr zij i he iervl, iegreerr, e voor de eplde iegrl geld: I he ijzoder gelde de eigeschppe:, d is ook de fucie r. f sg. ( r, sr) dr.... r f sg d r f d s g d r. f dr. f d f g d f d g d Eigeschp : ogelijkheidseigeschp Als f e g iegreerr zij i he iervl,, d geld:, : f g f d g d Merk op d deze eigeschp zeker ie geld i de omgekeerde richig! e) Iegrle v veelermfucies Iegrl v ee cose fucie De eplde iegrl cd, me cr is de oppervlke v ee rechhoek me sis e hooge c, zod cdc. Iegrl v de ideieke fucie De eplde iegrl d, is de oppervlke v ee driehoek me sis e hooge, zod d. Cursus iegrlrekeig - 5 - S. Meepeige
Iegrl v de kwdrische fucie De eplde iegrl d, is gee gekede oppervlke. We geruike de defiiie ui de voorgde prgrfe: (verdeel he iervl, i deeliervlle me reede e kies c ls de rechergres v he iervl, dus ci i f c i ), zod i i i f ci i i f. d lim. lim lim *. lim 6 f d (de limie is he quoië v de hoogsegrdserme) ) 6 (* Bewijs zelf me iducie d i 496... Iegrl v veelermfucies i d We eweze hierove d d, i d d e. d Me ehulp v de opelrheid v de eplde iegrl leide we hier ook omiddellijk ui f d: d d d d d, e loog d. d e He lijk dus redelijk om e eme d d e d (me N). We ewijze deze eigeschp ler og. Me ehulp v de lieriei v eplde iegrle kue we u dus veelermfucies iegrere: c c... c cd c c... c c f) De hoofdsellig v de iegrlrekeig We oe i deze prgrf d iegrere i zekere zi de omgekeerde operie is v differeiëre. Iegrlfucies We oeme de fucie I, me I f d, de iegrlfucie v f me odergres. Ze sel dus de verderlijke georiëeerde oppervlke voor egrepe usse de -s e de grfiek v de fucie f i he iervl me verderlijke ovegres,.. Cursus iegrlrekeig - 6 - S. Meepeige
De middelwrdesellig v de iegrlrekeig Sellig: Is f coiu i,, d es er ee Bewijs: We ewijze eers he gevl :, zod:. c f d f c Omd f coiu is i, es er ee kleise e ee groose fuciewrde i d iervl, die we zulle duide me m e M. We volge de lgemee werkwijze voor he erekee v ee eplde iegrl e verdele he iervl i gelijke deeliervlle me reede. I elk v deze iervlle,,,...,,...,,, eme we ee c,., i i i D krijge we chereevolges: i, i i m f c M (lle fuciewrde ligge usse m e M ) m. f c. M. (lles vermeigvuldige me ) i m..... f ci M (sommere over lle deeliervlle) i. f ci.. M (. m i. lim f c.. M m ) i (de limie eme voor ) i. f d. M (defiiie v de eplde iegrl) m f d m M (lles dele door ) Omd f coiu is i, es er volges de sellig v Weiersrss wee gelle zod f p m e p, q, f q M (zie figuur). De ussewrdesellig leer os d d lle fuciewrde usse m e M door mises éé -wrde c usse p e q ereik worde. Omd c usse p e q lig zl he ij uireidig uierrd ook i, ligge. Er es dus mises éé Als Als c,, zod f c d is f c. f d Cursus iegrlrekeig - 7 - S. Meepeige f d. f d f c. d geld c, : f d f c. f d f c. Opmerkig: We kue de fuciewrde f c fuciewrde over d iervl.. f d ierpreere ls de gemiddelde
Meekudige ierpreie: We kue f c f d ook ierpreere ls de hooge v de rechhoek me ls sis he iervl, op de -s wrv de (georiëeerde) oppervlke gelijk is de (georiëeerde) oppervlke usse de grfiek v de fucie e de -s. De hoofdsellig v de iegrlrekeig Sellig: Als f coiu is i,, d geld i, d D f d f. ' Bewijs: Me iegrlfucies kue we di herschrijve ls:, : I f I I I lim (defiiie v fgeleide) ' lim lim lim lim f d f d f Primiieve fucies f d.f c f d f d, me c, (defiiie v iegrlfucie) (iegrlgreze verwissele) (opelrheid v de eplde iegrl) (middelwrdesellig) (ls, d is c ) We oeme F ee primiieve fucie v f ls e slechs ls DF f. He is duidelijk d lle iegrlfucies v ee fucie ook primiieve fucies zij v die fucie. He omgekeerde is echer ie oodzkelijk wr. 4 5 5 Vooreeld: Als f 5 d zij F e F primiieve fucies v f. 4 Sellig: Twee primiieve fucies v eezelfde fucie verschille slechs ee cose v elkr. Bewijs: Sel d F e F eide primiieve fucies zij v f, d is zowel DF f ls DF f. DF DF DF DF D F F F F C, me CR. Dus Iegrere me ehulp v primiieve fucies Sellig: Als F ee primiieve is v f (coiu i, ), d is Bewijs: We eweze reeds d elke iegrlfucie I de sellig i verd me primiieve fucies volg d d I f d F C. f d F F. f d ee primiieve is v f. Ui Cursus iegrlrekeig - 8 - S. Meepeige I F C, of dus og d
Sel je hieri Neem je d word di f d F C C F, d word he f d F C F F Opmerkig: He verschil word ook vk ls volg geoeerd: F F. f d F We hee u eidelijk ee prkische mehode gevode om eplde iegrle e erekee. Vooreeld : 5 5 4 d 5 5 5 5 5 6 e Vooreeld : g) Typeproleme e d l le l De oppervlke oder ee kromme erekee Vooreeld: Bereke de oppervlke egrepe usse de prool p y e de -s. De ulpue v de prool zij oppervlke word dus gegeve door: S d, e,. De gezoche.. De oppervlke usse ee kromme e de -s erekee usse wee wrde We zge l d ee eplde iegrl de georiëeerde oppervlke ereke usse wee greze. Als je de werkelijke oppervlke wil erekee k je deze redeerig omkere door he iegrie-iervl i sukke e verdele wr he eke v de fucie ie verder. Zo geld voor de werkelijke oppervlke S egrepe usse de -s e de grfiek v de fucie usse, 5 e : I II III IV 5. S 5 f d e erekee: S S S S S f d f d f d f d Als je iegreer me je rekemchie k di seller door gewoo Cursus iegrlrekeig - 9 - S. Meepeige
Vooreeld: ereke de (werkelijke) oppervlke egrepe usse de -s e de grfiek v de fucie f over he iervl,. We ekijke eers he ekeverloop: - - + De fucie is dus over he e iegrere iervl zowel egief ls posiief. De gezoche oppervlke is dus: 4 4 oppg d d 4 4 6 8 4 5 oppg 4 4 4 4 De oppervlke usse wee kromme erekee Ook di is ee eevoudig proleem ls je esef d de (georiëeerde) oppervlke usse wee kromme k ereked worde door he verschil v eide fucies e iegrere. Als je de werkelijke oppervlke wil erekee moe je ervoor zorge d de verschilfucie posiief is (dus d je i je iegrdum de oderse fucie v de ovese fucie frek). f Vooreeld: De grfieke v de fucies g 5 sluie wee geiede S I e S II e i zols fgeeeld op de grfiek. Bewijs d SI SII. We ekijke eers he ekeverloop v de verschilfucie v g f 8 8 Dus I - + - + 4 4 S 8 d 4 4 8 E II 4 4 8 4 4. 8, zod iderdd SI SII S d. Cursus iegrlrekeig - - S. Meepeige
) Oeplde iegrle ) Defiiie De verzmelig v lle primiieve fucies v ee gegeve fucie f oeme we de oeplde iegrl v f. We eweze reeds d l deze primiieve fucies slechs op ee cose v elkr verschille. We oere de oeplde iegrl v ee fucie f ls volg: f df C Hierij is dus F ee primiieve fucie v f. De cose CR oeme we de iegriecose. De hoofdsellig v de iegrlrekeig mk duidelijk d differeiëre e iegrere ewerkige zij die elkr opheffe. Zo krijge we dus drie eevoudige eigeschppe: df FC d f d f d ) Fudmeele iegrle D f d f Volgede lijs v iegrle zl os ee houvs iede ij he erekee v moeilijkere oeplde iegrle. Zorg ervoor d je deze lijs heel goed eheers! dc q q d C (me q ) q sidcosc dbgsic dgc e de C cosdsic d C l d dcoc l C si d d c l k C cos k Ekel de lse fudmeele iegrl is ie omiddellijk duidelijk. We ewijze d de formule wel degelijk klop door f e leide: Dl k k k k k k k k k k k Iegrie door splisig Sellig: Voor iegreerre fucies f e g, e reële cose r, sr geld de volgede eigeschp:.. r f sg d r f d s g d Bewijs: He recherlid fleide wr je seu op de gekede eigeschppe v fgeleide, geef: Cursus iegrlrekeig - - S. Meepeige
r f sg, D r f d s g d D r f d D s g d D r f d s g d D r f d s g d wrui volg d r D f d s D g d r. f sg. d r f d s g d C. Mr oeplde iegrle zij gelijk op ee cose, dus hee we eweze w we moese ewijze. 4 Vooreeld : 4 5d d4 d5 d 4 5C 4 Uierrd k je hier de ussesp oversl. Merk op d je slechs éé iegriecose schrijf. Vooreeld : Soms lig de splisig ies mider voor de hd: d Bg d d d d C Vooreeld : co d csc d csc d dcoc Zeer eevoudige differeilvergelijkige Vooreeld: Bereke f ls gegeve is d f " 6, f ' e, mr we wee ook f " 6 f ' C f 4. f '. C C. Zo hee we dus gevode d f ', wrui volg d f C. Omd f 4.C 4C. De gezoche fucie is dus c) Iegrie door susiuie Sellig: Als F ee primiieve is v f, e g is ee fleidre fucie, d geld: ' f g g df g c Bewijs: D F g c D F g f g g' keig regel f. I de prkijk kom he er vk op om i he iegrdum ee fucie e herkee wrv ook de fgeleide (of differeil) i he iegrdum s. Ekele eevoudige vooreelde: Vooreeld : si cos 4 * 4 cos d d C C 4 4 *: Hier is he duidelijk d si de fgeleide is v cos. We voere ee susiuie ui: Sel cos, d is d sid. Vooreeld : si l d * si d cos C cos l C *: Hier is he duidelijk d de fgeleide is v l. We voere ee susiuie ui: Sel l, d is d d. Cursus iegrlrekeig - - S. Meepeige
Vooreeld : *: Hier is he duidelijk d Sel e, d is e e * d e e d d BgsiC Bgsi e C d e d. Apsse v de iegriegreze e de fgeleide is v e. We voere ee susiuie ui: We herekijke eve he eerse vooreeld ui de vorige prgrf, mr u ls eplde iegrl: d. Vooreeld: Bereke de eplde iegrl sicos Mehode : We hee l ee primiieve fucie epld v deze eplde iegrl, dus geld: 4 4 4 4 cos cos 4 cos 5 sicos d 4 4 4 4 4 64 Mehode : We kue ij ee susiuie ook de iegriegreze eevoudig psse. 4 4 4 * 5 sicos d d 4 4 4 64. *: Sel cos, d is d sid. Voor de greze geld Eevoudige susiuies e. He kom soms voor d he iegrdum veel eevoudiger k geschreve worde me ehulp v ee lieire susiuie (sel ). 7 6 7 6 5 Vooreeld : 5 d d C C 7 Omd deze susiuie zo eevoudig is geruike we hier soms ee korere oie: 5 7 6 6 5 d 5 d5 C. d d d Vooreeld : Bg C 9 6 Je k deze korere schrijfwijze overiges ook geruike ij ies lsigere susiuies: si d cos Vooreeld : d d l cos C cos cos Of je deze korere mier om susiuies e oere geruik of ie mk je zelf ui. Je wi er uierrd w ijd mee, mr he mg ie e kose g v ee eer egrip. Ekele hdige formules d Sellig: Bg C e d Bgsi C Cursus iegrlrekeig - - S. Meepeige
Bewijs: Vooreeld: d d d Bg d d d = Bgsi C C, e d d Bgsi C 74 6 4 d) Priële iegrie He is ie lijd mogelijk ee susiuie e vide die os oel ee iegrl e erekee. I d gevl k priële iegrie helpe: Sellig: f dg f g gdf Bewijs: Beide lede fleide geef: ' ' f g' f ' g f g' g f ' D f d g D f g g d f D f g d D f g D g f d Oeplde iegrle zij gelijk op ee cose, dus we hee w we moese ewijze. Opmerkig: De formule voor priële iegrie word vk geschreve ls u dv uv v du Er zij ee l gevlle wr priële iegrie de mees effecieve weg is: Verlge v de grd. Als he iegrdum es ui he produc v ee veelermfucie (of simpelweg ee mch v ) me ee epoeiële of ee goiomerische fucie (v de vorm e, si of k je me priële iegrie de grd v de veelerm verlge. P. I. Vooreeld: cosd sisi d... d si cos ), d Iderdd, de veelerm is verlgd v de weede r de eerse grd. We psse og ees P.I. oe:... si d cos si cos cos.d... E deze lse iegrl is fudmeeel geked, zod we uieidelijk krijge: cos cosd si cossic d si cosc Terugkeer v he iegrdum I specile gevlle k he zij d je (meerdere kere) priële iegrie je oorsprokelijke iegrl zie weerkere. I d gevl spreke we v ee weerkered iegrdum. Di is ijvooreeld Cursus iegrlrekeig - 4 - S. Meepeige
he gevl ls he iegrdum he produc is v ee epoeiële e ee goiomerische fucie (v de vorm e, si of cos ). Vooreeld: Bereke de iegrl 5 e 5 cos d d P. I. 5 5 5 5 e cosd e si e sid e si dcos 5 5 cosd si cos cos dsi 5 5 5 e e e 5 5 5 5 e cosd e i e cos e cos dsi 5 5 s 4 4 d d Deze lse iegrl is e de iegrl wr we mee egoe zij, dus hierui volg: 9 5 5 5 5 cos si cos 4 e d e e 4 5 5 5 5 e cosd e si e cosc 9 9 Alijd ee opie... Soms is he ie lijd meee duidelijk w je me he iegrdum k doe. Mr w je lijd k f d. doe is fleide. Ee priële iegrie die dus lijd k is: f d f ' Vooreeld: ld l e) Iegrle v riole fucies dlc Oeplde iegrle v riole fucies zij heel eevoudig e erekee mr ze vrge eorm veel rekewerk. De Euclidische delig leer os A D Q R gr R gr D. A R Q D D, wrij geld A R Voor de iegrl geld dus ook: d Qd d D. D We moge os dus voor de res cocerere op eche veelermreuke, wrij de grd v de eller kleier is d de grd v de oemer. Vk zulle deze riole moee worde gesplis i prieelreuke. We hee drvoor wee sellig odig: De hoofsellig v de lger: Elke reële veelerm v grd mises éé k oode worde i ee produc v eersegrdsfcore e weedegrdsfcore (me ee egieve discrimi). De sellig v Jcoi: Elke eche veelermreuk k geschreve worde ls som v prieelreuke. We ekijke u i deil de mehode v Jcoi om ee riole fucie e schrijve ls som v prieelreuke: Cursus iegrlrekeig - 5 - S. Meepeige
Schrijf de fucie ls som v ee veelerm e ee eche veelermreuk (Euclidische delig). Oid de oemer i zoveel mogelijk reële fcore v de eerse of weede grd. Zorg ervoor d er i de oemer ekel og fcore voorkome v de vorm e c. ) Elke fcor i de oemer veroorzk ee som prieelreuke v de vorm A B C N ) Elke fcor c... i de oemer veroorzk ee som prieelreuke v de vorm PQ RS TU YZ... c c c c De oekede ellers worde cherf ereked me de mehode v de oeplde coëfficiëe. 5 4 5 6 5 Vooreeld : Bereke d 4 We schrijve he iegrdum eers ls som v ee veelerm e prieelreuke (Jcoi): Sp : 5 4 5 6 5 8 4 5 4 4 Sp : 4 Sp : E dus geld: AB C D (Euclidische delig) ABC D ACD ABCD ABCDBCD 4 ACD A A B C D 8 B ABCD4 C BCD5 D 5 4 5 6 5 4 5 4 5 6 5 d d d d d 4 5 4 5 6 5 d d d d 4 5 4 5 6 5 d l l l C 4 Zols je zie heel eevoudig, mr redelijk w rekewerk. 6 4 Vooreeld : Bereke d 4 4 4 Di is l ee eche veelermreuk. De oemer is 4 4 4 6. Cursus iegrlrekeig - 6 - S. Meepeige
AB C 6D 6 AB C D 6 6 AC AB5CD AB4C6DBCD Dus 4 4 4 AC6 A4 A B 5C D B AB4C6D 4 C BCD D 6 4 4 d d d d 4 4 4 6 Hierij geld: 4 6 5 6 d d d d5 6 6 6 6 d 4 d d 5 6 6 4 d 6 d d l C l 6 5Bg e C d d C 6 4 l C 4 4 4 De eige moeilijke(re) iegrl die je he splise i prieelreuke k ekome is de iegrl v de vorm d (me i de oemer ee egieve discrimi, e ). Di ype c Zod d l 6 5 Bg iegrle k ereked worde me ehulp v prieeliegrie of ee recursieformule (of ee goiomerische susiuie). Ze zulle echer op oese of emes ie gevrgd worde. f) Goiomerische iegrle Bij goiomerische iegrle kom he vk eer op he correc geruike v de gekede goiomerische formules. Zo k je me de formules v Simpso ee produc v (co)siusse schrijve ls ee som (w veel mkkelijker iegreer). De grd verlge k je doe me ehulp v de formules v Cro. De formule voor de iegrl v de secs e de cosecs leer je es v uie, w die is ie zo eevoudig e erekee: Sellig: secd l sec C e cscdl cscco C si d cos cos d * d d Bewijs: sec d d d... cos cos si A B AB AB A (*: ) AB B Cursus iegrlrekeig - 7 - S. Meepeige
d d si... l l l l... C C C si Me ehulp v w eevoudige goiomerie word di: si si si si... l C l C l C l sec C si si cos cos Selle we hieri, d word di: sec d l sec C cscd l csc co C. csc d csc co We erekee ee l dere goiomerische iegrle ls illusrie: 5 7 4 4 cos cos Vooreeld : cos si d cos cos dcos C 5 7 (deze mehode werk lijd ij ee produc v mche v sius e of cosius ls mises éé epoe oeve is) 4 Vooreeld : 4 4 cos4 si cos d si d si d d 6 6 6 si 4 cos8 cos4 cos 4 64d d 64 d 64 8 64 d si4 si8 si4 si8 C C 64 8 8 4 8 8 4 (deze mehode ij gelijke mche e om de grd verlge k ook lijd op deze mier) si 4 si cos 4 cos Vooreeld : si7 cosd d C 8 g) Iegrle v irriole fucies Ee voor de hd liggede susiuie Kom ee lieire uidrukkig y oder ee l worels voor voer d de susiuie ui wrij he kleise gemee veelvoud is v de worelepoee. Vooreeld: 5 5 6 5 * d 5 9 5 6 d d 5 4 7 5 5 6 7 C 5 5 5 C 8 7 8 7 6 6 5 5 *:5 d d Goiomerische susiuies Sommige iegrle zij ie vi eevoudige e herleide r fudmeele iegrle. I d gevl zij goiomerische susiuies geweze. Cursus iegrlrekeig - 8 - S. Meepeige
Type : Kom de vorm W d zl (e ook zl Vooreeld: voor (me ), d is de susiuie, me, si cos d cosd e Bgsi ) * d cos. 9 d 9 coc C 9si.cos 9 9 *: si 9 cos e d cos Type : Kom de vorm W d zl: (e ook zl Vooreeld:, me,. voor (me ), d is de susiuie si geweze. 9 ( co ) sec geweze., ls, e dus sec, ls, e dus d secd e Bgsec Bgcos ) * 4 d d sec d 8sec si si cos si d d d C 4 4 8 sicosc Bgcos C 4 4 4 4 Bgcos C 4 (geseld d ) *: sec 4 e d secd Type : Kom de vorm W d zl (e ook zl Vooreeld: d voor (me ), d is de susiuie, me, sec sec d e Bg ) d d * sec d 4 5 6 64sec cosd sic C 4 5 *:4 6 4sec e d sec d ( cos e si ) geweze. ( si 4 5 ) Cursus iegrlrekeig - 9 - S. Meepeige