Integreren 3 INTEGREREN

Transcriptie

1 Iegrere INTEGREREN

2 Iegrere 4. Iegrere. Bsispricipe Voorbeed : Er oop ee cose sroom i() = c C/s gedurede ee ijdsierv T v begi = o eid = b. Hoevee dig is er gedurede he ijdsierv gersporeerd? Bsiswe Q() = c Tijdsduur = c (b- ) Pje v de grfiek v i(): i() c b -s Figuur. Sroom-ijd grfiek Q o = oppervke usse de grfiek v i() e de -s usse begi = o eid = b = c (b - ) Merk op: me de keuze v ee fucie F () = c dus me F '() = i( ) = c ged ook: Q o = F (b) - F () = c (b - ) b: Er oop ee sroom i() = c eid = b. C/s gedurede ee ijdsierv T v begi = o Hoevee dig is er gedurede he ijdsierv gersporeerd? Pje v de grfiek v i(): i() f g b -s Figuur. Sroom-ijd grfiek

3 Iegrere 5 Q o = oppervke usse de grfiek v i() e de -s usse begi = o eid = b. = som v e rechhoeke s breede r g = oppervke driehoek bf - oppervke driehoek g = im i = i( i ) /') = im i = c i /') = c b b - c = c b - c Merk op: me de keuze v ee fucie ged ook: F () = c dus me Q o = F (b)- F () = c b - c F '() = i( ) = c c: Er oop ee sroom i() = c eid = b. C/s gedurede ee ijdsierv T v begi = o Hoevee dig is er gedurede he ijdsierv gersporeerd? Pje v de grfiek v i() : i() b -s Figuur. Sroom-ijd grfiek Q o = oppervke usse de grfiek v i() e de -s usse begi = o eid = b = som v e rechhoeke s breede r g = im i( i ) /') = im c ( i ) /') i = i = Merk op: me de keuze v ee fucie ged ook: F () = c dus me F '() = i( ) = c Q o = F (b) - F () = c b - c

4 Iegrere 6 Agemee: Prkisch wie we: Ee fysische grooheid G berekee, wrbij G = oppervke usse de grfiek v f() e -s usse begi = o eid = b. Grfisch beeke di: G = de oppervke usse de grfiek v f() e de -s v = o =b y-s bijdrge: f( i )Δ e posiief mee f( i ) = i i+ + = b-s bijdrge: f( j )Δ e egief mee Figuur.4 oppervke usse de grfiek e de -s Grooheid G = oppervke usse de grfiek v f ( ) e -s v begi = o eid = b. Hoe berekee we de oppervke? Mk ee verdeig i geijke dee v he ierv [,b], breede /') = b -, Di ever ee verdeig: = + /') =, = + /'), = + /'),..., + = + /') = b I he gemee ged dus: i = + (i -) /'), me s; i s; + D ged: Fysische grooheid G = im f ( i ) /') = im De imie is ee erg sig ui e rekee grooheid. f ( + (i -) b - ) b - i = i = De wiskude zeg u d (we zue di i de vogede prgrf oe): Fysische grooheid G = im i = b f ( i ) /') = [ ] f ( ) d = F ( ) b = F (b)- F () =

5 Iegrere 7 Cocusie: As:. Ee fysische grooheid G bepd moe worde e. We kue oe d de grooheid G geijk is de oppervke usse de -s e de grfiek v ee fucie f(). Dus we kue oe d grooheid G = im i = f ( i ) /') b D moge we voges de wiskude G berekee me G = f ( ) d Opgve Teke de vogede fucies op he opgegeve gebied e bereke de oppervke usse de grfiek v f ( ) e de -s op he opgegeve gebied. : f ( ) = + usse = e = 6. b: f ( ) = 6 - usse = - e = 7. c: f () = usse = -5 e = -. d: f ( ) = - 7 usse = e = 4. Opgve Too d de gegeve fucie F ( ) differeiëre de f ( ) v opgve opever. Coroeer d F (b) - F () de gevrgde oppervke v opgve opever. : F ( ) = + usse = e = 6. b: F ( ) = usse = - e = 7. c: F ( ) = usse = -5 e = -. d: F ( ) = - 7 usse = e = 4.

6 Iegrere 8 Opgve We hebbe ee voorwerp d beweeg me cose seheid, v() = k m/s. De fgeegde weg, s(),gedurede ee ijdsduur T geijk is s() = k T = k (b- ). k m/s b -- T De fgeegde weg is d de oppervke usse de grfiek v v() e de -s op [, b ]. v( ) k b -s : Leid ee imie v ee som f wrmee we de fgeegde weg op [, b ] kue bepe, s de seheid v he voorwerp is v( ) = m/s. Merk op: de seheid is ie cos. We moee he ierv [, b, ] opdee i geijke dee er breede /'), zod op ek sukje [ i, i + ] bij bederig v() we cos is e geijk v( i ) = 6 i + 4. b: Herschrijf deze imie zodig d dri ee,b,i, og voorkome. Opgve 4 We hebbe ee sf me cose mssdichheid, p () = k kg/m. De oe mss v de sf me ege L is d geijk m = k L = k (b- ). k kg /m L b -- De oe mss is d de oppervke usse de grfiek v p ( ) e de -s op [, b ]. p ( ) k b -s : Leid ee imie v ee som f wrmee we de oe mss op [, b, ] kue bepe, s de mssdichheid v de sf is p () = 6 kg/m. Merk op: zie opgve b: Herschrijf deze imie zodig d dri ee,b,i, og voorkome.

7 Iegrere 9. Begrippe e oies Defiiie: F() is ee primiieve v de (gegeve) fucie f(): F '( ) = f ( ) Begrip: Iegrd Fucie f ( ), wrv de primiieve gevode moe worde Begrip: De obepde iegr v f(): Beekeis: Di is de verzmeig v primiieve v f ( ) ) Noie f ( ) d = F ( ) + C Immers se d je wee primiieve heb: f () d = F ( ) e f ( ) d = F ( ). D ged: F ' ( ) = f ( ) e F ' ( ) = f ( ), dus F ' ( ) - F ' ( ) = ( F ( ) - F ( )) ' =. Dus F ( ) - F ( ) = C. Dus e primiieve verschie hoogui ee cose me ekr. Begrip: De bepde iegr v f() v o b: Noie b [ ] f ( ) d = F ( ) b = F (b)- F () = Merk op d de eveuee cose bij de bepde iegr ie reev is. Drom eme we bij he berekee v ee bepde iegr de primiieve me cose. We oe u d de gevrgde oppervke im i = b f ( i ) /') = [ ] f ( ) d = F ( ) b = = F (b) - F (). Drvoor moee we eers ee ussefucie defiiëre. We defiiëre de oppervke fucie O( ), voor de oppervke usse de grfiek v f() e de -s vf = o ee wiekeurige, erges usse e b, dus O( ), me s; s; b. Zie he gerceerde gedeee i de figuur hier.

8 Iegrere y-s +Δ b -s f() Er ged u: Figuur.5 oppervke. O() = e O(b) = gevrgde oppervke.. O( + /')) - O( ) f ( )/'), dus O( + /')) - O( ) /') f ( ), dus Lim O( + /')) - O( ) = f ( ), dus O( ) is ee primiieve v f ( ) /') /'). O( ) = F () + C e O() = F () + C = -:: -F () = C b Dus de gevrgde oppervke O(b) = F (b) + C = F (b) - F () = f ( ) d Opgve 5 : Gegeve is f ( ) = - si() + 6e. G of F ( ) = 5 + cos() + e ee primiieve is v f ( ). b: Gegeve is f ( ) = cos ( ) - + ( ). G of F ( ) = ( ) - ( ) + ee primiieve is v f ( ).

9 Moduewerkboek Wiskude T. Primiieve F() bepe De primiieve me behup v de sdrdprimiieve, rekereges e herschrijve... Sdrdprimiieve Sdrdfucie f() Sdrdprimiieve F() +, voor ::f - + ( ) cos( ) si( ) si( ) - cos( ) cos ( ) ( ) e e b (b) b rc( ) + Tbe. Sdrd primiieve Voorbeede : As f ( ) = cos(5), d is F ( ) = 5 si(5) + C. b: As g ( ) = e, d is G( ) = e + C. c: As h( ) =, d is H ( ) = + C.

10 Moduewerkboek Wiskude T Opgve 6 Bep de primiieve v: - : f ( ) = si( ) d: f ( ) = e - g: f ( ) = e b: f ( ) = c: f ( ) = cos(7 ) e: f ( ) = e f: f ( ) = h: f () = i: f ( ) = cos (5 ) 4 +

11 Moduewerkboek Wiskude T.. Rekereges bsis Nm v de rege Formue v de rege. m ee cose: f () d = f ( ) d. somrege e verschirege: ( f ( ) + g ( )) d = f ( ) d + ( f ( ) - g ( )) d = f ( ) d - g ( ) d e g ( ) d Voorbeede : 4 cos(5)d = 4 cos(5)d = 4 si(5) + C = 4 si(5) + C b: (e- + 4 )d = e- d + 4 d = - e C c: ( - e )d = d - e d = ( ) - e + C (m ee cose) (somrege) (verschirege) Opgve 7 Bereke de primiieve v: : f ( ) = + b: f ( ) = 6 - c: f () = d: f ( ) = - 7 e: f ( ) = - si() + 6e Opgve 8 Berekede primiieve v fucies i 8 /m 8 (vervog op bz. 49): : f ( ) = 6 e - b: f (s) = 8 s 6 c: f ( ) = 4-5

12 Moduewerkboek Wiskude T d: f ( ) = e: f ( ) = si(4) f: f ( ) = si(e) + e si( ) + si(e) g: f ( ) = si(4 ) - 4 cos() h: f () = - i: f ( ) = j: f ( ) = e - e - k: f ( ) = -e - + : f ( ) = s e ( \ m: f ( ) = - cos ) : f () = -

13 Moduewerkboek Wiskude T 4.. Rekerege subsiuie We kue op bsis v de reges ui.. e.. hee w iegre berekee. Toch zu je merke, d er og hee vee iegre zij die me de voorgde reges ie bereked kue worde. We zue i deze prgrf ee ieuwe rege bespreke, wrmee we he e berekee iegre verder zue uibreide. Deze rege is gebseerd op de keigrege voor he differeiëre, deze rege hee de subsiuierege. We g de iegr vereevoudige, door subsiuie (vervgig) ui e voere. Veroderse u d y ee fucie v is, dus y = g ( ), d is de verderig i y dy = = y ' = g '( ) e de verderig i d (de verderig i y ) is geijk g '() (de verderig i ), dus dy = g '( )d. Veroderse u d we de vogede iegr moee berekee: f ( g ( )) g '( ) d Op bsis v de subsiuie v y = g ( ), is dy = g '( )d. Dus vog u: f ( g ( )) g '( ) d = f ( y) dy. Vk is de weede iegr, i de vribee y, vee eevoudiger. Deze is vk me de sdrdbe of de bsisreges /m op e osse. Ui he voorgde vog de rege:. subsiuierege: f ( g ( )) g '( ) d = Subsiuie v e f ( y) dy y = g ( ) dy = g '( )d

14 Moduewerkboek Wiskude T 5 Op bsis v weke overwegige moee we u deze rege kieze bij he uirekee v ee iegr?. De iegr is ie sdrd. De iegr is ie e herschrijve me de bsisreges /m.. Je heb ee fucie g ( ) igevud i ee dere fucie f ( ) e de fgeeide g '( ) kom ook voor Vodoe de iegr de voorgde drie crieri d hebbe we groe ks d me de subsiuierege deze iegr e vereevoudige is. Voorbeede subsiuie zoder greze: : e d = e y dy = e y + C = e + C y = e dy = d y = b: cos( + 5) d = cos( y)dy = si( y) + C = si( + 5) + C y = + 5 e dy = d y = + 5 Bij sommige iegre s de iegr weiswr ie i bovesde vorm, mr w ie is, ku je we mke, b.v.: cos( + ) d We wie de subsiuierege oepsse, we hebbe immers + igevud i de fucie cos( ), mr de fgeeide v + kom ie voor. Omd sechs ee cose obreek, kue we die och brege. cos( + ) d = cos( + ) d = cos( y)dy = si( y) + C = si( + ) + C y = + e dy = d y = + Le op: Je mg ee cose voor de iegr he, of er bie brege, bsisrege. W dus ie mg is: cos( +) d = cos( + ) d

15 Moduewerkboek Wiskude T 6 Heb je e mke me ee bepde iegr, ee iegr me greze, d moe je deze greze psse bij de subsiuie. Hierbij is he beer om i éé keer de subsiuie e doe, je hoef d ie eers erug e subsiuere r om dr de greze v i e kue vue. Voorbeed me greze: 4 e d = y e dy = ee y = e dy = d = y = = = y = = 4 4 y J = y = e4 - e Opgve 9 Bep de vogede iegre : ( + ) d 6 b: cos( ) si ()d c: + 4 d d: d cos ( + 4) e: ( + )d f: cos( + )d g: ( + + ) d

16 Moduewerkboek Wiskude T 7..4 Rekerege priëe iegrie We breide oze gereedschpskis, om iegre op e osse verder ui, me de rege voor priëe iegrie. Deze rege is i feie gebseerd op de producrege v he differeiëre. We gebruike hierbij: As F ( ) ee primiieve v f ( ), d is F '( ) = f ( ) e e de producrege bij he differeiëre. f ( )d = F ( ). ( f ( ) g ( )) ' = f '( ) g ( ) + f ( ) g '( ), Ui he voorgde kue we dus cocudere: f ( ) g ( ) is ee primiieve v f '( ) g ( ) + f ( ) g '( ). Dus ( f '( ) g ( ) + f ( ) g '( ))d = f ( ) g ( ). Deze rege is echer i de prkijk ie werkzm. We moee zede ee iegr uirekee die bes ui ee som v wee produce, wrbij i de produce de fucies e hu fgeeide op de gesede mier voorkome. Herschrijve we de rege d is deze we bruikbr. ( f '( ) g ( ) + f ( ) g '( ))d = f ( ) g ( ). Dus ( f '( ) g ( )d + f ( ) g '( ))d = f ( ) g ( ). Dus f ( ) g '( )d = f ( ) g ( ) - f '( ) g ( )d Ui he voorgde vog de rege: 4. Priëe iegrie f ( ) g '( ) d = f ( ) g ( ) - f '( ) g ( ) d Op bsis v weke overwegige moee we u deze rege kieze bij he uirekee v ee iegr? 4. De iegr is ie sdrd 4. De iegr is ie e herschrijve me de bsisreges /m. 4. Je heb ee produc v wee fucies, wrbij je de ee s gewoe fucie f ( ) e de der s fgeeide g '( ) ku zie.

17 Moduewerkboek Wiskude T 8 Bedek we d je f ( ) e g '( ), e verkeerd k kieze e de iegr moeiijker word, of d je f '( ) of g ( ) ie k bepe. Dri d je keuze om e probeer he opieuw. Voorbeede: : Zoder greze: e d = e - e d = e - e d = e - e + C 4 f ( ) = -:: f '( ) = g '() = e -:: g ( ) = e b: Me greze: e d = e e - e d = e e - e e = e 4 - e - e 4 + e = e 4 - e J = J = 4 J = f ( ) = -:: f '( ) = g '() = e -:: g ( ) = e Opgve Bep de vogede iegre : si( )d b: ( )d c: e d d: ( + )e d e: ()d f: ( + ) e d

18 Moduewerkboek Wiskude T 9..5 Rekerege herschrijve De fucie die we moee differeiëre kue we op bsis v rekereges voor vermeigvudige e / of dee e / of mche e/ of ogrime e / of voor goiomerie e /of ez. zodig herschrijve d we dr de be of de rekereges kue oepsse. Ui he voorgde vog de rege: 5. Herschrijve f ( ) d = g () d, wrbij door rekereges ged f ( ) = g ( ) Op bsis v weke overwegige moee we u herschrijve bij he uirekee v ee iegr? 5. De iegr is ie sdrd 5. De iegr is ie e herschrijve me de bsisreges /m 4. Voorbeede : si(5) cos(5)d = si( )d = - cos() + C (goiorege) si(5) cos(5) = f ( ) = g ( ) = si() b: e- e 5 d = e d = e + C e - e 5 = f ( ) = g ( ) = e (mchrege) c: + d = ( + )d = d + d = + + C (rege voor he dee) + = f ( ) = g ( ) = + d: d = d = + C = + C = f ( ) = g ( ) = (mchrege) Opgve Bereke: : ( + e )d c: d b: ( + 5) d d: (e- )d

19 Moduewerkboek Wiskude T Opgve Bereke ( + 5) : d si() - cos() g: d b: d h: d 4 cos( c: ) d i: (si () + cos ( )) d d: cos( )d - si j: d cos e: d + k: si cos d + si f: d + : si cos d Opgve Iemd ee ciidervormige emmer ( ier ihoud) voope me ee voumesroom v(): s; s; 5 sec: v() =, ier/s kr voedig ope 5 s; s; 5 sec: v() =, - -5 e 5 ier/s kr word gesoe : Bep he igesroomde voume V usse e 5 sec. b: Bep he igesroomde voume V usse 5 e 5 sec. Tips: dee de ijd op i deeierve /') e beschouw v() op zo' deeierv cos. werk vi ee som v deevoumes /')V r ee iegrrekeig oe. Jij ku de iegr oposse me de subsiuierege.

20 Moduewerkboek Wiskude T.4 Iegr versus eche oppervke I prgrf. hebbe we gezie d de bepde iegr = oppervke. Bedek d hier de oppervke egief k zij. f ( )d = de oppervke usse de grfiek v f() e de -s v = o = b. Hierbij ged d oppervke wi zegge d ee oppervke oder de -s egief meee. y-s bijdrge e posiief mee c b -s bijdrge e egief mee Figuur.7 oppervke = iegr Weer we u de eche oppervke wie bepe d moe de oppervke oder de -s posiief meeee. Hoe kue we u me ee iegr de eche oppervke berekee? To = c ig de grfiek bove de -s, dus de oppervke = eche oppervke. Dus oppervke = c f ( )d Vf = c ig de grfiek oder de -s, dus de oppervke = -(eche oppervke). Dus oppervke = b - f ( )d c b c b c b De oe oppervke is d: f ( ) d = f ( )d + - f ( )d = f ( )d - f ( )d c c

21 Moduewerkboek Wiskude T Weer we dus de eche oppervke moee bepe v = o = b pkke we d s vog :. We g eers de pue bepe wr de fucie f() =.. Pk voor de sukke wr f() > de iegr e pk voor de sukke wr f()< he egegesede v de iegr.. Te e sukke op. Voorbeed: Bereke de oppervke usse de -s e de fucie f ( ) = si( ) v = - o = 4 We moee de eche oppervke berekee (gee higsekes). We kijke eers wr de fucie posiief is e zie d he omsgpu bij = ig. Figuur.8 sius Dus oppervke = si( ) d = - si( )d + si( )d = -[- cos( )] + [- cos( )] = =- = = - ( - cos() -- cos(- ) \ + ( - cos( )-- cos() \ = - 4 ) ) + +, 9 Opgve 4 Bereke de eche oppervke usse de -s e : de fucie f ( ) = - e ( -) v = o =. b: de fucie f ( ) = v = o = 4.

22 Moduewerkboek Wiskude T Opgve 5 Bereke de eche oppervke usse de -s e : de fucie f ( ) = si( ) v = o =. b: de fucie f ( ) = si( ) v = o =. c: de fucie f ( ) = v = - o = 4 d: de fucie f ( ) = cos( ) v = o = Opgve 6 Bereke de eche oppervke usse v he gebied igesoe door de fucies y = y = 8 e Opgve 7 Gegeve is d de oppervke usse de grfiek y = , de -s, de y-s e de ij = geijk is 6. Verder is gegeve d posiief is. Bereke de wrde v

23 Moduewerkboek Wiskude T 4.5 Oeigeijke iegre W moee we doe s de iegrd f() of de primiieve F() i éé of meerdere pu op he iegriegebied ie bes? We pkke di s vog : We vervge i de iegr de probeemwrde door ee eer. We rekee de iegr me de eer s prmeer. We e dr de eer r de probeemwrde g, Dus we rekee ee imie ui voor Lim... of Lim... of Lim As de imie eidig is, d zegge we d de iegr bes. As de imie ie eidig is zegge we d de iegr ie bes Voorbeede: : De iegrd f ( ) = bes ie i =, Dus d is ee oeigeijke iegr. We moee u uirekee: Lim d = Lim [( )] = Lim(() - ()) = -- = =, dus bes de iegr ie. b: I de iegrd f ( ) = moge we ie ivue. Dus d is ee oeigeijke iegr. We moee u uirekee: Lim d = Lim [( )] = Lim(() - ()) = = - =, dus bes de iegr ie. c: De iegrd f ( ) = bes ie i =. Dus d is ee oeigeijke iegr. We moee u uirekee: e J Lim d = Lim - = Lim(- -- ) = =, dus bes de iegr ie.

24 Moduewerkboek Wiskude T 5 d: I de iegrd f ( ) = moge we ie ivue. Dus d is ee oeigeijke iegr. We moee u uirekee: Lim d = Lim e - = Lim(- -- ) =, dus bes de iegr we. J = Opgve 8 Bereke: : e- d b: e d c: ( )d si( ) d: cos( ) d

25 Moduewerkboek Wiskude T 6.6 Gemegde opgve Opgve 9 Gegeve zij de vogede obepde of bepde iegre. : ( + ) d : e- d : + d 4: ( )d 5: d 6: cos()d 7: si ( )d 8: e d 9: e-5 d + : d ( ) : 5 cos()d : d : d 4: e d 5: + d ( ) 6: d 7: si( )d 8: rc( )d - 4 9: cos ( ) si( )d : e e + d : (si()- cos())d 4 : ( + e 4 )d : ( )d 4: ( + 4) + 4 d : G bij eke iegr weke echiek je s eerse wi oepsse om hem op e osse. Aee he ummer v de echiek geve is vodoede, bijv,.,.,.,.4 of.5. b: b: Probeer eke iegr op e osse me de gegeve echiek. G eke sp, weke echiek d weer oegeps moe worde. b: As di ie uk g wrom ie. Bep d ee dere echiek e probeer hem drmee opieuw op e osse.

26 Moduewerkboek Wiskude T 7 Opgve Ee voorwerp v v ee hooge v 49 meer r beede. De seheid v he voorwerp v( ) = 9, 8. : Bereke de fgeegde weg 5 secode. Bedek d s '() = v() b: Bereke de fgeegde weg s() s fucie v de ijd. Bedek d s '() = v() c: Hoe g duur he om de 49 meer f e egge? Gebruik je woord v b. Opgve Ee uo rijd m/s: De secode drop rek de uo op me m/s² : W is v(), () e s()? b: W is de fgeegde weg i deze secode? Tip: v( )- v() = ( )d e s() - s() = v( )d

27 Moduewerkboek Wiskude T 8

28 Moduewerkboek Wiskude T 9 Uiwerkige Hoofdsuk Opgve : ekee zef doe. Oppervke = rechhoek + driehoek = = = 6 b: ekee zef doe. Oppervke = driehoek + driehoek = = 6-6 = c: ekee zef doe. Oppervke = rechhoek = 4 = d: ekee zef doe. Oppervke = driehoek + driehoek = = - Opgve ' ' : F '( ) = ( + \ = ( ) '+ ( \ = ( ) '+ ( ) ' = + = + = f ( ) ) ) F (b)- F () = F (6)- F () = ( \ - ( + ) = 6 ) b: F '( ) = ( ) ' = (6 ) '- ( ) '+ (5) ' = 6 ( ) '- ( ) '+ (5) ' = = 6 - = f ( ) F (b) - F () = F (7) - F (-) = ( ) - (6 c: F '( ) = ( ) ' = ( ) ' = = = f ( ) F (b) - F () = F (-) - F (-5) = = - - (-) + 5) = - + = d: F '( ) = ( - 7 ) ' = ( ) '- (7 ) ' = ( ) '- 7 ( ) ' = - 7 = - 7 = f ( ) F (b) - F () = F (6) - F () = (4-7 4) - ( - 7 ) = - Opgve : Grooheid s() = oppervke usse de grfiek v v( ) e -s v begi = o eid = b. Mk ee verdeig i geijke dee v he ierv [,b], breede Δ = (b-)/, Di ever ee verdeig: =, = +Δ, = + Δ,..., + = b, ( gemee i = + (i-) Δ ) D ged: Bijdrge v [ i, i+ ] is : v( i )/') = (6 i + 4)/') Dus s() i = v( i ) /') = i = (6 i + 4)/') Dus s() = Lim v( i ) /') = Lim (6 i + 4)/') i = i = b - b - b: i = + (i -)/') e /') =, dus i = + (i -) b - b - s() = Lim v( i ) /') = Lim (6 i + 4)/') = Lim (6( + (i -) ) + 4) i = i = i = Opgve 4 : Grooheid m( ) = oppervke usse de grfiek v p ( ) e -s v begi = o eid = b. Mk ee verdeig i geijke dee v he ierv [,b], breede Δ = (b-)/, Di ever ee verdeig: =, = +Δ, = + Δ,..., + = b, ( gemee i = + (i-) Δ)

29 Moduewerkboek Wiskude T D ged: Bijdrge v [ i, i+ ] is : Dus m( ) i = Dus m( ) = Lim p ( i ) /') = i = p ( i )/') = 6 i /') i = 6 i /') p ( i ) /') = Lim i = 6 i /') b - b: i = + (i -)/') e /') =, dus i = + (i -) b - b - b - m() = Lim p ( i )/') = Lim 6 i /') = Lim 6( + (i - ) ) Opgve 5 i = i = : F '( ) = (5 + cos() + e ) ' = (5 ) ' + (cos()) '+ (e ) ' = 5 ( ) ' + (cos()) '+ (e ) ' = 5 - si() + e = - si() + 6e = f ( ). J dus. i = ' ( \ ( \ b: F '( ) = ( ) - ( ) + ) cos ( ) ) = ( ( )) '- ( ( )) '+ ' = - - ::f f ( ) Opgve 6 : F ( ) = - cos() + C d: F ( ) = - e - + C g: F ( ) = -e + C b: F ( ) = + C e: F ( ) = e + e+ + C h: F () = (5) + C 5 c: F () = si(7 ) + C f: F () = + C i: F ( ) = rc( ) + C 7 Opgve 7 : F ( ) = + + C b: F ( ) = C c: F ( ) = + C d: F ( ) = C e: F ( ) = 5 + cos() + e Opgve 8 : F () = 6 e- d = -e - + C 8 b: F (s) = 8 s 6 ds = s 7 + C 7 c: F ( ) = 4-5 d = C = C 4 5 d: F () = 5 d = 5 rc( ) + C = rc( ) + C + e: F ( ) = si(4)d = - cos(4) + C = cos(4) + C f: F) = si(e)d + e si( )d + si(e) d = - e cos(e) - e cos( ) + si(e) + C

30 Moduewerkboek Wiskude T g: F ( ) = si(4)d - 4 cos()d = - cos(4) si() + C h: F () = d = () + C i: F ( ) = d = + C = + C 6 j: F () = e d - e- d = e + e - + C k: F () = - e- d + d =e- + ( ) + C s : F ( ) = s e d = e + C m: F () = d d - cos ( \ = ( ) - ) si ( \ + C ) : F () = d = ( ) + C Opgve 9 : ( + ) d = y dy = y 4 + C = ( +) 4 + C b: cos( ) si ( )d = y dy = e y ( \ y = si() e dy = cos( )d = -:: y = si() = = -:: y = si( ) = 6 6 = - = J y = ) 4 c: d =... = [( y)] 8 =... = ( 8 ).47 y = y = + 4 e dy = d = -:: y = 5 = -:: y = 8 d: d = dy = ( y) + C = ( + 4) + C cos ( + 4) cos ( y) y = + 4 e dy = d

31 Moduewerkboek Wiskude T e: ( + )d = ydy = y + C = ( + ) + C y = + e dy = d y = + f: cos( + )d = cos( + )d = cos( y)dy = si( y) + C = si( + ) + C y = + e dy = d g: ( + + ) d = ( ) d = y = e dy = ( ) d y dy = y + C = ( ) + C Opgve : si()d = - cos( ) - - cos()d = - cos( ) + f ( ) = -:: f '( ) = g '() = si( ) -:: g ( ) = - cos( ) cos( )d = - cos( ) + si( ) + C b: ( )d = e e ( ) - d = e () - d = () - e = J = J = J = 4 J = f ( ) = () -:: f '() = g '() = -:: g () = ( () - () \ - ( - \ = () ) ) 4 ( \ c: e d = e e J = - e d = e e J = - ee J = - e d = ) f ( ) = -:: f '( ) = f ( ) = -:: f '( ) = g '( ) = e -:: g ( ) = e g '( ) = e -:: g ( ) = e e e J - ee + ee = (4e - e) - (4e - e) + (e - e) = e - e = J = J =

32 Moduewerkboek Wiskude T d: ( + )e d = ( + )e - e d = ( + )e - e + C 4 f ( ) = + -:: f '( ) = g '( ) = e -:: g ( ) = e [ ] [ ] ] [ ] e: ()d = () d = [() - = d = () - = d = f ( ) = () -:: f '( ) = g '( ) = -:: g ( ) = () - = ( () - ) - (-) = () - = = f: ( + ) e d = e( + ) e J - = ( + ) e d = Opgve f ( ) = ( + ) -:: f '( ) = ( + ) g '( ) = e -:: g ( ) = e ( \ e e ( + ) e J - e e = ( + ) e J - = e d = ( + ) e J - = ( + ) e J + = e( + ) e - e ( + ) e f ( ) = ( + ) -:: f '( ) = g '( ) = e -:: g ( ) = e ) J = J = J = 5e - e + e -6e + 8e - e = 7e - e : d + (e ) d = + ee = ( 5e -6e ) - (e - 8e ) + (e - e) = e d = d + e d = + e + C = + e + C b: d d = ( ) C = ( ) C c: d = ( ) + C d: e e- d = e - e - + C = - e - + C Opgve : F () = + 5 d = d + 5 d = C = C b: F ( ) = d = + C = + C 4 c: cos( ) d = [ ] cos( y)dy = si( y) = si() - si() y =

33 Moduewerkboek Wiskude T 4 y = e dy = = -:: y = = 4 -:: y = d d: cos()d = si( ) - si( )d = si( ) - (- cos( ) - f ( ) = -:: f '( ) = f ( ) = -:: f '( ) = g '( ) = cos( ) -:: g ( ) = si( ) g '( ) = si( ) -:: g () = - cos( ) si( ) + cos( ) - si( ) + C - cos( )d ) = e: d = dy = [( y)] + y y = y = + e dy = d = -:: y = = -:: y = = () f: 5 + y y = d = dy = [( y)] 5 =... = ( 5 ) y = + e dy = d = -:: y = = -:: y = 5 g: F () = si( )d - cos()d = - cos( ) - si( ) + C 9 h: F () = d = + C i: (si () + cos ()) d = d = + C j: - si d = dy = [( y)] =... = - () cos y y = y = cos( ) e dy = - si( )d = -:: y = = -:: y =

34 Moduewerkboek Wiskude T 5 k: si cos d = dy = [( y)] + si y y = = () y = + si ( ) e dy = si( ) cos( )d = -:: y = = -:: y = e : si cos d = si()d = - cos() = - cos() + J = Opgve : s; s; 5 sec: v() =, ier/s We hebbe ee cose sroom dus voume = v*ijd=.*5=5 ier b: 5 s; s; 5 sec: v() =, e ier/s We hebbe u gee cose sroom dus: Verdee [5, 5] i geijke dee er breede /') Opgve 4 Di ever ee verdeig: = 5,,,... i,..., + = 5 - i -5 5 Bijdrge v srookje i is: v( i )/') =, e /') Voume = Lim v( i )/') = Lim, i = - i -5 e 5 5 /') =, i = 5-5 Berekee we deze iegr me subsiuie v y = - 5 : Teke de fucie f ( ) = - e ( - ) v = o = : - -5 e 5 d d vide we,8647 ier. Bereke de upue ec: Eche oppervke = f ( ) = - e - = e - = - = =. - e - d = (- e - e )d- (- e - e )d = e - e - e J - e - e - e = J = = e - e - J - e - e - = ((-) -(- e - = J = ))- ((- e) - (-)) = (- + e - )-(- e -) = e + e b: Teke de fucie f ( ) = v = o = 4.

35 Moduewerkboek Wiskude T 6 Bereke de upue ec: f ( ) = = -( ) = -( -)( - ) = = of =. Eche oppervke = d = - ( )d + ( )d - ( )d = 4 - e e e = J = J = J = -((- + - ) - ()) + (( ) - (- + - )) - (( ) - ( )) = 4 Opgve 5 : de fucie f ( ) = si( ) is over posiief v = o =. Dus oppervke = 4 si( )d = [- cos( )] b: de fucie f ( ) = si( ) is over egief v = o [ ] 4 = Dus oppervke = - si( )d = - - cos( ) = - ( ) = - - = = - cos( ) - - cos() = = =. = - ( - cos( ) - - cos( )) = c: de fucie f ( ) = is posiief v = - o = egief v = - o = - e v = o = Dus de oppervke is = - (- + + )d + (- + + )d - (- + + )d = ( \ = + 8 = + 4 = 5 ) - - (- + + )d = e = - J =- ( - (-) + (-) + - \ - ( - (-) + (-) + - \ = ( + - \ - ( \ = ) ) ) ) (- + + )d = e = - J =- ( - () + () + \ - ( - (-) + (-) + - \ = ( \ - ( + - \ = + = 9 ) ) ) ) (- + + )d = e = ( \ - ( \ = J = ) ) = ( \ - ( \ = = - 6 ) ) d: de fucie f ( ) = cos( ) posiief v = o = e egief v = o =. Dus oppervke = cos( )d - cos( )d = cos( y)dy - cos( y)dy =

36 Moduewerkboek Wiskude T 7 [si( y)] - [si( y)] = ( si( ) - si() \ - ( si( ) - si( ) \ = + = = = ) ) Opgve 6 Teke de grfieke e bereke de sijpue v de fucies, deze bepe de iegriegreze. 8 = 8 = = ( - 8) = = of = 8 = of = Dus igesoe oppervke is 8d - d = 8 d - d = e 8 - e ( 8 \ ( \ = = : J J = = ) ) = - = Merk op d de oppervke is hezefde s ( 8 - )d Opgve 7 De fucie is ee dprboo zoder upue, Dus de oppervke = D = b - 4c = (-4) = 6 - = -4. ( )d = e = ( \ - = = 6 J = ) Dus = = = N probere vog d = ee opossig is. Dus is deebr door -. Me srdeig vide we: - / \ Dus = ( - )( - + 6) = = of = = Immers de weedegrds vergeijkig heef gee opossige w: D = b - 4c = (-) = 9-4 = -5.

37 Moduewerkboek Wiskude T 8 Opgve 8 J = : e - d = Lim e - d = Lim e-e - = Lim (-e - - -e - ) = Lim ( - e - ) = J = b: e d = Lim e d = Lim ee = Lim (e - e ) = Lim (e -) = ( e \ - d = ) J = c: ( )d = Lim ( )d = Lim () ( e \ ( e Lim ( ) - d = Lim ( ) - e = J J J = ) = 4 = ) \ = Lim ( ( () - () \ - ( - \\ = () - = 4 ) ) ) keer priëe iegrie oepsse, zie ook b d: si( ) d = - cos( ) y y y = Subsiuie, zie ook opgve j dy = Lim dy = Lim [( y)] = Lim ( () - () ) = Opgve 9 : Eers echiek:.5 e d. e d. e d e ( + ) d = ( + ) d = y dy = y dy = y 4 = 5 y = + e dy = d = y = e = y = J y = : Eers echiek.4 e d. e d J = J = J = J = e - d = e- e - - -e - d = e- e - + e - d = e- e - + e-e - = - e - f ( ) = -:: f '( ) = g '( ) = e - -:: g ( ) = -e - : Eers echiek. e d. e d + d = ydy = 5 5 y = + e dy = d = y = e = y = 5 5 e ydy = y = J y = 4: Eers echiek.4 e d.5 e d. e d ( )d = ( ) - d = ( ) - d = ( ) - + C 4 f ( ) = ( ) -:: f '( ) = g '( ) = -:: g ( ) =

38 Moduewerkboek Wiskude T 9

39 Moduewerkboek Wiskude T 4 5: Techiek d = e 4 = 4 J = 4 6: Eers echiek.4 e d cos( )d = si( ) - si( )d = si( ) + cos( ) + C f ( ) = -:: f '( ) = g '( ) = cos( ) -:: g ( ) = si( ) 7: Eers echiek.4 e d. e d. e d cos( )d = si ( )d = ( - cos( ))d = ( - cos())d = d - e J = - e si() 4 J = = : Eers echiek.4 e d.5 e d.4 e d. e d e d = e e e - e d = e - e d = J = J = f ( ) = -:: f '( ) = f ( ) = -:: f '( ) = g '() = e -:: g ( ) = e e ( e e - e - e d \ = e e - = = ) - e e + e d = + d = ( + \ d = d + d = d + [( )] - d = + = e- - J = () + ) = g '( ) = e -:: g ( ) = e = = J J J J e e J = 9: Techiek - e e J = e -5 d = - e -5 + c 5 + e e 4 J = = 5 e 4 - e 4 4 : Eers echiek.5 e d. e d.5 e d : Eers echiek. e d 5 5 cos( )d = 5 cos( )d = si() + C : Eers echiek. e d ( ) ( ) d = Lim d = Lim( () - ()) = - dus bes ie ( ) ( ) ( ) d = ydy = e y = () - () ( ) J y =( ) y = ( ) e dy = d = y = () e = y = ()

40 Moduewerkboek Wiskude T 4 Vervog opgve 9 : Eers echiek. e d.5 e d. e d ( y -) y d = - y + dy = dy = ( y y y y y y = + e dy = d e ( y -) = = y = e = y = y dy = e y ydy - d y + )dy = ydy - dy + dy = -[ y ] [ ] J + ( y) = - - (4- ) + () - = () - y = y = y = 4: Eers echiek.4 e d. e d.4 e d e d = e - e d = e - e d = e - ( e - e d) = f ( ) = -:: f '( ) = f ( ) = -:: f '( ) = g '() = e -:: g ( ) = e e - ( e - e ) + C = e - e + e + C 5: Eers echiek. e d d = ( ) dy = ( y) + C = (( )) + C y y = ( ) e dy = d 6: Eers echiek. e d. e d g '( ) = e -:: g ( ) = e d = Lim d = Lim( ) = = ( + 4)( - ) e - - J = d = d = ( + 4)d = d + 4d = + [4] = 7: Eers echiek.4 e d. e d si( )d = [- cos( )] cos( )d = [- cos( )] 4 + cos( )d = = = f ( ) = -:: f '( ) = g '( ) = si( ) -:: g ( ) = - cos( ) [- cos( )] 4 + [si( )] 4 = = ( - ) = = 4 8 = 8: Eers echiek.4 d. e d. e d rc( )d = [ rc( )] - d = [ rc( )] - dy = =4 =4 + y f ( ) = rc( ) -:: f '( ) = y = + e dy = d + g '( ) = -:: g ( ) = = 4 y = 7 e = y = 5 [ rc()] - dy = [ rc( )] - e ( y) = = 4 y =4 4 5 J y =7

41 Moduewerkboek Wiskude T 4 rc() - 4 rc(4) + ( 7 ) = 5 9: Eers echiek. e d. e d cos ( ) si()d = - y dy = - y dy = - y = cos( ) e dy = - si( )d y + C = - cos ( ) + C : Eers echiek. e d e d = dy = ( y) + C = (e + ) + C e + y y = e + e dy = e d : Eers echiek. e d e ( + e 4 )d = d + e4 d = + e e 4 = e 8 - e 4 ) = 7 + (e 8 - e 4 ) J = 4 J = e ( )d = e ( ) J = J = f ( ) = ( ) -:: f '( ) = e e y dy = ( z) - 4 rc( ) = J J e 4 e 4 (si() - cos())d = si()d - cos()d = - cos() - si() = - J = J = 6 6 : Eers echiek. e d : Eers echiek.4 e d g '() = -:: g ( ) = - d = ( ) - d = e ( ) - e = 8 () - - ( 8 - ) = 8 () - 7 J = J = : Eers echiek. e d.5 e d. e d.5 e d 5 d = y y dy = dy - 4 dy = dz - 4 dy = ( + 4) + 4 y + 4 y + 4 y + 4 z y y = + 4 e dy = d e y - 4 = z = y + 4 e dz = ydy = y = 4 e = y = 5 y = 4 z = e y = 5 z = z dz - 4 y z = y = 4 (9) - () - ( rc( 5 ) - rc()) = ( 9 ) - rc( 5 ) + rc()

42 Moduewerkboek Wiskude T 4 Opgve 5 5 : s '() = v() -:: s(5) = v()d = 9, 8d = e 4, 9 5 J = = 4, 9 5 =, 5 meer b: s '() = v() -:: s( ) = v( )d = 9, 8d = e 4, 9 J = = 4, 9 c: 4, 9 = 49 = 49 = = - = - of = = secode. 4, 9 = - v f, dus secode op de grod. Opgve : v() =, () = e s() is obeked b: v( ) - v() = ( )d v( ) = + [ ] d = + = + = de fgeegde weg i deze secode = s() - s() = v( )d = ( + )d = e + = ( + ) - ( + ) = meer J = =