Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen stuiten we steeds op gewone differentiaalvergelijkingen met één of meer randvoorwaarden. In veel gevallen een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking met twee randvoorwaarden, een zogenaamd tweepunts randwaardeprobleem. Zoals al eerder opgemerkt is de methode van scheiden van variabelen niet alleen bruikbaar in de drie gevallen van de warmte-, de golf- en de Laplace of potentiaalvergelijking. De methode kan ook worden toegepast bij veel algemenere vormen van partiële differentiaalvergelijkingen, zoals r(x)u t = p(x)u x ] x q(x)u + F (x, t). () Dit is een veel algemenere vorm van een warmtevergelijking. Zie ook Appendix A van hoofdstuk. Ook kan men veel algemenere randvoorwaarden beschouwen, zoals u x (, t) h u(, t) = en u x (L, t) + h u(l, t) = met h, h R. () Dergelijke randvoorwaarden treden bijvoorbeeld op als de mate van temperatuurverandering in de eindpunten evenredig is met de dan heersende temperatuur. Voor h = en h = beschrijven deze randvoorwaarden de situatie met geïsoleerde uiteinden. Neem aan dat de differentiaalvergelijking () homogeen is, dat wil zeggen : F (x, t) =. Stel dan dat u(x, t) = X(x)T (t), dan volgt : Delen door r(x)x(x)t (t) geeft dan : r(x)x(x)t (t) = p(x)x (x) ] T (t) q(x)x(x)t (t). T (t) T (t) = p(x)x (x)] q(x) r(x)x(x) r(x) = σ (separatieconstante). Dit leidt tot de gewone differentiaalvergelijkingen T (t) σt (t) = en p(x)x (x) ] q(x)x(x) σr(x)x(x) =. Uit de randvoorwaarden () volgt verder dat X () h X() = en X (L) + h X(L) =. Hierbij stuiten we dus op het tweepunts randwaardeprobleem p(x)x (x)] q(x)x(x) σr(x)x(x) =, X () h X() =, X (L) + h X(L) =. < x < L We zijn dan weer geïnteresseerd in de waarden van σ waarvoor dit homogene tweepunts randwaardeprobleem niet-triviale oplossingen heeft.
Voorbeeld. Beschouw het homogene randwaardeprobleem y + λy =, < x < y() =, y () + y() =. Dit randwaardeprobleem treedt bijvoorbeeld op bij een warmteprobleem voor een metalen staaf, waarbij het ene uiteinde (x = ) op een vaste temperatuur wordt gehouden terwijl de mate van temperatuurverandering aan het andere uiteinde (x = L) evenredig is met de temperatuur aldaar. We onderscheiden weer drie gevallen :. λ = : y = = y(x) = a x + a. Uit y() = volgt dan dat a =. Dus : y(x) = a x en y (x) = a. Uit y () + y() = volgt dan dat a =. Dus : λ = is geen eigenwaarde.. λ = µ < : y µ y = = y(x) = b cosh µx + b sinh µx. Uit y() = volgt dan dat b =. Dus : y(x) = b sinh µx en y (x) = µb cosh µx. Uit y () + y() = volgt dan dat µ cosh µ + sinh µ] b =. Er kunnen dus alleen niet-triviale oplossingen optreden als µ cosh µ + sinh µ = µ = tanh µ. Dit heeft echter geen oplossingen voor µ > omdat tanh x stijgend is voor x >. Immers : tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x = ex e x + en dus tanh x = ex (e x + ) e x (e x ) (e x + ) = 4e x (e x + ) >. Merk op dat µ = een oplossing is van µ = tanh µ. Maar voor µ > is µ zelf stijgend en dus positief, terwijl tanh µ dalend en dus negatief is voor alle µ >. 3. λ = µ > : y + µ y = = y(x) = c cos µx + c sin µx. Uit y() = volgt dan dat c =. Dus : y(x) = c sin µx en y (x) = µc cos µx. Uit y () + y() = volgt dan dat µ cos µ + sin µ] c =. In dit geval kunnen er alleen niet-triviale oplossingen optreden als µ cos µ + sin µ = µ = tan µ. Dit heeft oneindig veel oplossingen voor µ >. De grafiek van µ doorsnijdt de grafiek van tan µ precies eenmaal in elk interval (n π/, n + π/) met n =,, 3,.... De snijpunten kunnen we niet exact bepalen, maar met behulp van (bijvoorbeeld) Maple kunnen we ze wel stuk voor stuk benaderen met iedere gewenste nauwkeurigheid. Als we deze snijpunten met n =,, 3,... noemen, dan zijn de positieve eigenwaarden van het randwaardeprobleem gelijk aan λ n = µ n met n =,, 3,.... De eigenfuncties zijn dan y n (x) = sin x met n =,, 3,.... Dit voorbeeld toont dat bij meer algemene randwaardeproblemen de eigenwaarden en eigenfuncties wat ingewikkelder kunnen zijn dan we tot nu toe gezien hebben. De principes blijven echter gelijk.
.. Sturm-Liouville randwaardeproblemen. We beschouwen homogene randwaardeproblemen van de vorm p(x)y ] q(x)y + λr(x)y =, < x < (3) a y() + a y () =, b y() + b y () =. Een dergelijk randwaardeprobleem wordt een Sturm-Liouville randwaardeprobleem genoemd. Het is soms handig om gebruik te maken van de lineaire homogene differentiaaloperator L gedefinieerd door Ly] := p(x)y ] + q(x)y. De differentiaalvergelijking kan dan geschreven worden in de vorm Ly] = λr(x)y. We nemen aan dat de functies p, p, q en r continu zijn op het interval, ] en dat p(x) > en r(x) > voor alle x, ]. De randvoorwaarden in (3) worden wel gescheiden randvoorwaarden genoemd. Voor een tweede orde differentiaalvergelijking zijn dit de meest algemene gescheiden randvoorwaarden die men kan opleggen. Voor een randwaardeprobleem van de vorm (3) is een uitgebreide theorie ontwikkeld, de Sturm-Liouville theorie. We zullen hier enkele belangrijke resultaten uit deze theorie de revue laten passeren. Met de notatie zoals hierboven hebben we Lu]v dx = Met behulp van partiële integratie vinden we (pu ) v dx = (pu ) v + quv ] dx. v d(pu ) = p(x)u (x)v(x) pu dv = p(x)u (x)v(x) pv du = p(x)u (x)v(x) p(x)u(x)v (x) + u d(pv ) = p(x) u (x)v(x) u(x)v (x) ] Hieruit volgt de identiteit van Lagrange : + (pv ) u dx {Lu]v ulv]} dx = p(x) u (x)v(x) u(x)v (x) ]. Stel nu dat de functies u en v voldoen aan de randvoorwaarden in (3), dat wil zeggen : a u() + a u () = b u() + b u () = en a v() + a v () = b v() + b v () =. Als a en b, dan volgt hieruit dat {Lu]v ulv]} dx = p(x) u (x)v(x) u(x)v (x) ] 3
= p() u ()v() u()v () ] + p() u ()v() u()v () ] = p() b u()v() + b ] u()v() b b + p() a u()v() + a ] u()v() =. a a Als a = en/of b =, dan volgt hetzelfde resultaat. Ga na! Als we nu weer de notatie < u, v > = u(x)v(x) dx voor het standaard inwendig product van twee reële functies op, ] gebruiken, dan geldt dus de symmetrierelatie < Lu], v > = < u, Lv] >. (4) Voor complexwaardige functies u en v dient men gebruik te maken van < u, v > = u(x)v(x) dx, waarbij v de complex geconjugeerde van v is. Ook in dat geval geldt de symmetrierelatie (4). Hiermee kunnen we de volgende stelling bewijzen : Stelling. Alle eigenwaarden van het Sturm-Liouville randwaardeprobleem (3) zijn reëel. Bewijs. Stel dat λ C een eigenwaarde van (3) is en dat φ een bijbehorende eigenfunctie is. We schrijven nu λ = µ + iν en φ(x) = U(x) + iv (x), waarbij µ, ν R en U en V reële functies zijn. Voor u = v = φ in de symmetrierelatie (4) volgt nu dat Nu geldt dat Lφ] = λr(x)φ(x) en dus < Lφ], φ > = < φ, Lφ] >. < λrφ, φ > = < φ, λrφ >. Uitschrijven met behulp van de definitie van het inwendig product geeft dan oftewel r(x)φ(x)φ(x) dx = (λ λ) φ(x)λr(x)φ(x) dx r(x)φ(x)φ(x) dx =, want r(x) is reëel. Omdat nu φ(x)φ(x) = {U(x)} +{V (x)} is de integraal hierboven ongelijk aan nul en dus is λ = λ. Dat betekent dat λ R. Men kan ook aantonen dat de eigenfuncties reëel moeten zijn. Het bewijs hiervan laten we achterwege. Zie ook opgave 3. Bij het zoeken naar eigenwaarden van een Sturm-Liouville randwaardeprobleem kunnen we ons dus beperken tot reële waarden van λ zoals we ook steeds gedaan hebben. De eigenfuncties behorende bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal in de volgende zin : 4
Stelling. Als φ en φ twee eigenfuncties zijn van het Sturm-Liouville randwaardeprobleem (3) behorende bij de eigenwaarden λ en λ respectievelijk, dan geldt r(x)φ (x)φ (x) dx =, λ λ. Merk op dat als < f, g > = r(x)f(x)g(g) dx, dan geldt : < φ, φ > =. Men noemt φ en φ dan orthogonaal ten opzichte van of met betrekking tot de gewichtsfunctie r(x). Bewijs. Er geldt dus Lφ ] = λ rφ en Lφ ] = λ rφ. Met u = φ en v = φ volgt uit de symmetrierelatie (4) dat < λ rφ, φ > = < φ, λ rφ >. Uitschrijven met behulp van de definitie van het standaard inwendig product van functies op, ] geeft dan λ r(x)φ (x)φ (x) dx = λ φ (x)r(x)φ (x) dx. Aangezien λ R en de functies r en φ reëel zijn, volgt hieruit dat Dus geldt en dat bewijst de stelling. (λ λ ) r(x)φ (x)φ (x) dx =. r(x)φ (x)φ (x) dx, λ λ Een ander belangrijk resultaat uit de theorie van Sturm-Liouville randwaardeproblemen is : Stelling 3. Alle eigenwaarden van het Sturm-Liouville randwaardeprobleem (3) zijn enkelvoudig, dat wil zeggen : bij elke eigenwaarde van (3) behoort slechts één lineair onafhankelijke eigenfunctie. Bovendien geldt dat de eigenwaarden een oneindige reeks vormen die in grootte gerangschikt kunnen worden als λ < λ < λ 3 < < λ n < waarbij bovendien geldt dat λ n voor n. Het bewijs van deze stelling laten we achterwege (geen tentamenstof). In voorbeeld hebben we ook gezien dat er oneindig veel enkelvoudige eigenwaarden zijn. Ook daar geldt dat λ n voor n zoals eenvoudig is in te zien. 5
De eigenfuncties zijn dus orthogonaal met betrekking tot de gewichtsfunctie r(x). We kunnen deze functies normeren zodat r(x){φ n (x)} dx =, n =,, 3,.... In dat geval spreekt men van orthonormale eigenfuncties of genormeerde eigenfuncties omdat de orthogonaliteit vanzelfsprekend is. Voor elk Sturm-Liouville randwaardeprobleem kan men dus een verzameling {φ n (x)} n= van genormeerde eigenfuncties vinden. Hiervoor geldt dus {, m n r(x)φ m (x)φ n (x) dx = δ mn =, m = n met m, n {,, 3...}. Stel dat {φ n (x)} n= een verzameling van genormeerde eigenfuncties van het Sturm-Liouville randwaardeprobleem (3) is en dat Dan volgt dat en dus r(x)f(x)φ m (x) dx = c n = f(x) = c n φ n (x). n= c n r(x)φ m (x)φ n (x) dx = c m, m =,, 3,... n= r(x)f(x)φ n (x) dx, n =,, 3,.... Dit leidt tot de volgende generalisatie van de stelling van Fourier : Stelling 4. Stel dat {φ n (x)} n= genormeerde eigenfuncties zijn van het Sturm-Liouville randwaardeprobleem (3). Dan geldt : als f en f stuksgewijs continu zijn op, ] dan is f(x) = c n φ n (x) met c n = n= r(x)f(x)φ n (x) dx, n =,, 3,.... Deze reeks convergeert bovendien naar f(x+) + f(x )]/ voor iedere x (, ). Voorbeeld. In voorbeeld hebben we de eigenwaarden en bijbehorende eigenfuncties bepaald van het homogene randwaardeprobleem y + λy =, < x < y() =, y () + y() =. De eigenwaarden zijn λ n = µ n met n =,, 3,..., waarbij voldoet aan cos + sin =, n =,, 3,.... 6
De bijbehorende eigenfuncties zijn φ n (x) = k n sin x, n =,, 3,... met k n willekeurig. In dit geval is r(x) =. Normeren geeft dus : Nu geldt : = sin x dx = {φ n (x)} dx = k n = sin x dx, n =,, 3,.... cos x] dx = ] sin x sin µ ] nx = sin cos = sin cos = + cos = + cos. Hierbij hebben we gebruikt dat sin = cos. We kunnen dus kiezen k n = + cos, n =,, 3,.... De genormeerde eigenfuncties van dit randwaardeprobleem zijn dan φ n (x) = + cos sin x, n =,, 3,.... Stel nu bijvoorbeeld dat dan volgt We vinden nu c n = xφ n (x) dx = x sin dx = x = c n φ n (x), n= + cos x sin x dx, n =,, 3,.... x d cos x = x cos x µ + n = cos + µ sin = cos + sin n µ n = cos + sin µ n = sin µ, n waarbij we dus ook weer gebruiken dat cos = sin. Hieruit volgt dat c n = + cos sin µ = sin n + cos en dus x = sin c n φ n (x) = 4 µ n( + cos ) sin x. n= n= cos x dx 7