Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere spreke we over ee differetievergelijkig u oemt met de toeame Uit het recursief voorschrift kue we het volgede expliciete voorschrift afleide: expliciet voorschrift: u= u + b= ( u + b) + b= u + b = ( u 3+ b) + b= u 3+ 3b = = u0 + b Rekekudige rije kue opgebouwd worde met de iteratiefucite F: x F( x) = x+ b Meetkudige rije Het recursieve voorschrift va ee meetkudige rij is: u = a u Dit geeft als differetievergelijkig: u = u u = a u u = ( a ) u Het expliciete voorschrift is: u= a u = a( au ) = a u 3 = a ( a u 3) = a u 3 = = a u Voor meetkudige rije gebruike we als iteratiefuctie F( x) Het vast put va F is: ax = x x = 0 E Voorbeeld 0 F ' ( x) = a = ax We belegge ee kapitaal va 000 euro tege % samegestelde itrest per jaar Noem u het kapitaal a jaar recursievergelijkig: u = u + u =, 0u 00 differetievergelijkig: u = u = 0,0u 00 expliciet voorschrift: u = (,0) 000 De oplossig va de recursievergelijkig is de rij u = (, 0) u0 met als begivoorwaarde u 0 = 000 Zoder begivoorwaarde heeft de recursievergelijkig oeidig veel oplossige maar voor iedere begiwaarde is er ee uieke oplossig die me ee particuliere oplossig oemt
Hieroder volgt ee grafische voorstellig va de recursievergelijkig TIJDGRAFIEK WEBGRAFIEK 0 is het eige vast put e bovedie afstoted, F '(0) =,0 > 3 Ekele adere voorbeelde Voorbeeld We passe het vorige voorbeeld als volgt aa: 000 belegge tege % samegestelde itrest per jaar e op het eide va elk jaar 00 toevoege u is het kapitaal a jaar Wat komt er het e jaar bij? u0= u u0 = 00u + 00 Wat komt er het e jaar bij? u= u u = 00u + 00 Algemee: u = u u 0,0 00 = u + zodat u =,0 u + + 00 + Voor deze tweede beleggig bekome we de iteratiefuctie F: x,0x+ 00 0 Ook hier kue we het vast put berekee: F( x) = x x= 0000 Wat betreft os voorbeeld heeft dit vast put gee realistische betekeis Voorbeeld De begidosis va ee bepaalde medicatie bedraagt 00 mg Per dag wordt 30% door het lichaam afgebroke e dagelijks wordt 0 mg i éé keer extra toegedied u = 0,7u + 0 De recursievergelijkig bij dit voorbeeld is met als vast put: u0 = 00 0 00 x 0 = = 0,7 3 Ga a dat i dit geval het expliciete voorschrift 00 00 u = 0, 7 (00 ) + is 3 3
GRAFISCHE ANALYSE TIJDGRAFIEK WEBGRAFIEK Wat stel je vast idie je met ee grafische aalyse verschillede startwaarde bestudeert Neem bijvoorbeeld 0 e 300 mg BESLUIT De dosis 00 mg is ee stabiel evewicht daar, oafhakelijk va de begiwaarde, het 3 proces steeds aar dit evewicht evolueert Het is ee dyamisch evewicht wat elke dag wordt 0 mg afgebroke e vervage door ee ieuwe hoeveelheid va 0 mg Veroderstel dat 00 mg ovoldoede is voor de bestrijdig va ee ziekte e dat 00 mg 3 vereist is Hoe ka me deze dosis opbouwe met ee miimale iame per dag? Opdat 00 mg het ieuwe evewicht zal zij, moet: F(00) = 0,700 + b= 00 b= 60 Maw ee dagelijkse dosis va 60 mg eme leidt tot ee evewicht va 00 mg Het ka ook als volgt: F(00) = a00 + 0 = 00 a= 0,7, maw ee gelijkaardig medicamet met % afbraak per dag 4 De recursievergelijkig u = a u + b Bij de recursievergelijkig: u = a u + b met ab, e begivoorwaarde u 0 hore: de differetievergelijkig: u = ( a ) u, de iteratieve fuctie: F( x) = ax+ b, het vast put: b ax + b = x x =, a 3
het expliciet voorschrift: = + = ( + ) + = + + 3 = a au 3+ b + ab+ b= a u 3+ b + a+ a u au b a au b b a u ab b ( ) ( ) = 0 0 0 = au + b( + a+ a + + a ) a b b = au + b = a u + a a a b Merk op dat de evewichtswaarde gelijk is aa a Oefeige a Op jui 004 zij er 30 karpers i ee kweekvijver Elk jaar worde op jui 0% karpers gevage e 0 karpers bijgezet Me eemt aa dat per jaar eveveel karpers sterve als gebore worde (i) Stel ee recursievergelijkig op (ii) Maak ee tijd e ee webgrafiek (iii) Is er ee stabiel dyamisch evewicht? b We sluite ee leig af va 000 euro (leig is spaarpla met egatieve startwaarde) We betale maadelijks 0 euro e de bak reket % samegestelde itrest per maad (i) Stel ee recursievergelijkig op (ii) Maak ee tijdgrafiek (iii) Na hoeveel maade is de leig afbetaald? 6 Meervoudige lieaire recursie Bij recursie va de e orde wordt elke term bereked i fuctie va de voorgager Maar ee term ka ook bereked worde uit meerdere voorafgaade terme De rij va Fiboacci,,,, 3,, 8, 3,, 34,, is ee voorbeeld va de e orde: u = u + u met u0 = u = Het i detail bestudere va dergelijke recursievergelijkige gaat verder da de bedoelig va deze tekst We toe eve dat het afleide va ee expliciteit voorschrift voor de rij va Fiboacci iet zo evidet is De volgede afleidig is gebaseerd op het artikel Ekele eevoudige toepassige va groepe e rige va Prof dr Foy Ooms (UHasselt) We otere het het e Fiboaccigetal met F e beschouwe de matrix A = 0 4
Je ka met de grafische rekemachie agaa dat: A = 0 = 0 Zo otdek je dat de machte va A als volgt opgebouwd worde met de getalle va F+ F Fiboacci: A = F F voor We bepale de oplossige va de karakteristieke veelterm va A, de eigewaarde, als volgt: λ PA ( λ) = 0 det( λ I A) = 0 = 0 λ λ = 0 λ De discrimiat is zodat de eigewaarde va A gelijk zij aa: λ Opmerkig + ϕ = oemt met ook het goude getal of de gulde sede F Bovedie geldt: lim + = ϕ F = + e λ = De Euclidische delig va λ door PA ( λ ) geeft ee quotiët Q( λ) e ee rest R( λ) zodat λ = PA ( λ) Q( λ) + R( λ) Uit de berekeig voor PA ( λ ) volgt dat de graad va R( λ ) kleier moet zij da twee, R( λ) = b λ + c, zodat λ = P ( λ) Q( λ) + b λ+ c (*) Uit de stellig va Hamilto-Cayley, die zegt dat iedere matrix A voldoet aa zij karakteristieke veelterm ( PA ( A ) = 0) volgt voor uitdrukkig (*) : 0 b+ c b A = PA ( A) Q( A) + b A+ c I = b A+ c= b c 0 + = 0 b c F+ F E vermits A = F F geldt dat b= F A A A A 3 4 6 3 = = 0 A 3 3 = = 0 3 3 8 = 3 = 0 3 8 3 8 = 3 = 0 8
Het ivulle va de eigewaarde λ e λ i vergelijkig (*) geeft het volgede stelsel: λ = 0 Q( λ) + b λ+ c λ = b λ+ c λ = 0 Q( λ) + b λ + c λ = b λ + c λ λ Uit dit stelsel berekee we b: b = λ λ Ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci is: F + = Merk op dat uit dit expliciet voorschrift volgt dat + : 7 Samehagede lieaire recursie 7 Ee bevolkigsmodel Elk jaar verhuize % iwoers va stad A aar de buitewijke B va de stad e 0% iwoers va de rad B gaa i stad A woe De begisituatie bestaat uit 800 000 mese i de stad e 600 000 i de rad We veroderstelle dat het totaal aatal iwoers costat blijft Bovestaad probleem geeft lieaire recursievergelijkige waarbij de iwoers va de stad, u, e va de rad, v, afhage va de iwoers va de stad e de rad éé jaar eerder: u = 0,8u + 0,v u0 = 800000 met v = 0,u + 0,9v v0 = 600000 I matrixotatie bekome we: u 0,8 0, u v = 0, 0,9 v Er geldt duidelijk: u 0,8 0, 0,8 0, u 0,8 0, u 0,8 0, u0 v = 0, 0,9 0, 0,9 v = = = 0, 0,9 v 0, 0,9 v 0 Met ee tijdsgrafiek verkrijge we al ee eerste idee va de evolutie va dit bevolkigsmodel Met ee tabel kue we de toestad jaar a jaar afleze Het aatal iwoers va de stad e va de rad evolueert aar ee evewicht 6
Dit is ee dyamisch evewicht dat stabiel is Adere begiwaarde evoluere weer aar hetzelfde evewicht Ee uv-diagram (u-waarde op de x-as e v-waarde op de y-as) verduidelijkt ook mooi de evolutie va dit bevolkigsmodel Bepaal, gebruikmaked va de tabel, de grootste e de kleiste waarde va u e v om de vesteristellige te kee e verhoog Max om de evolutie grafisch te explorere Bepale va het expliciet voorschrift Grafisch otdekte we dat het aatal iwoers va de stad evolueert va 800 000 aar ee evewicht va 60 000 Gebruikmaked va de resultate va lieaire recursievergelijkige va de e orde formulere we het volgede model u = a (800000 60000) + 60000 = 40000 a + 60000 () Daar u + v = 400000 is v = 400000 u = 840000 40000 a () We vulle () e () i de eerste recursievergelijkig i e bekome zo: 40000a + 60000 = 0,8(40000a + 60000) + 0,(840000 40000 a ) E a vereevoudigig: 8 3 a = a a= = 0,7 4 4 Het expliciet voorschrift voor dit bevolkigsmodel is: u = 40000, 7 + 60000 v = 840000 400000,7 Vazelfspreked ka dit expliciet voorschrift ook algebraïsch exact afgeleid worde door de voorwaarde u + v = 400000 rechtstreeks i de recursievergelijkige i te vulle Deze uitdrukkig geeft amelijk de samehag weer tusse u e v 7
7 Ee prooi- roofdiermodel Veroderstel dat het aatal koije i ee bepaald gebied afhakelijk is va het geboortepercetage va de koije e va het aatal dat door de aawezige vosse wordt gevage Het aatal vosse hagt af va het aatal koije e va het sterftepercetage va de vosse Ekele vrage als itro: (i) Als het aatal vosse zal toeeme, wat zal er da met het aatal koije gebeure? Toeame of afame? (ii) Wat is de ivloed va je eerste atwoord op het voedsel voor de vosse? Toeame of afame? (iii) Welke ivloed heeft dit weer op het aatal vosse? Toeame of afame? (iv) E wat beteket dit voor de koije, het voedsel voor de vosse? Toeame of afame? (v) Wat zal er da weer gebeure met het aatal vosse? Toeame of afame? We gaa ee wiskudig prooi-roofdiermodel opstelle Stel dat gk = 0,0 Per jaar worde koije op 00 koije gebore, maw op u zij dat 0,0u koije sk = 0,00 Per jaar e per aawezige vos wordt koij op 000 opgegete, maw op u koije zij er dat 0,00u e op v vosse 0,00u v gv = 0,000 Per per jaar e per koij worde op 0000 vosse gebore, maw op v vosse zij er dat 0,000v e op u koije 0,000v u sv = 0,03 Per jaar sterve 3 op 00 vosse e op v vosse 0,03v Dit resulteert i de volgede recursievergelijkige u = u + 0,0u 0,00 u v u = u (,0 0,00 v ) v = v 0,03v + 0,000 v u v = v (0,97 + 0,000 u ) Ook zoude we os de vraag kue stelle of er ee evewichtstoestad, u = v= 0, bestaat I geval va ee evewichtstoestad speelt de tijdidex gee belag De bovestaade recursievergelijkige bepale de volgede voorwaarde voor evewicht: u = 0,0u 0,00uv= 0 (0,0 0,00 v) u = 0 v= 0, 03v+ 0, 000vu = 0 ( 0, 03+ 0, 000 u) v= 0 u = 0, v = 0 is ee oplossig maar duidelijk gee zivolle situatie om te bestudere De adere oplossig u = 0, v = 0 is voor dit model ee evewichtstoestad 8
Het grafisch bestudere va dit model, toot ee goed beeld va de evolutie va het prooiroofdiermodel We plotte ee uv-diagram e ee tijdsdiagram voor de begisituatie u0 = 00 e v0 = 0 uv-diagram Tijdgrafiek Bestudeer grafisch het effect va de variatie va de begivoorwaarde op de evolutie va dit model 8 Logistisch groeimodel De eevoudigste maier om de evolutie va ee populatie te voorspelle is het expoetiële groeimodel 3 0 0 3 0 0 P = ap P = ap = a P P = ap = a P P = ap = a P waarbij a > 0 ee costate is die afhagt va ecologische factore zoals voedselvoorraad, water, roofdiere, jagers, Voor dit expoetieel groeimodel geldt: a > steeds sellere toeame va de populatie, ee vlucht aar oeidig 0< a < uitsterve va de populatie a = populatie veradert iet Zo expoetieel model is echter iet realistisch 8 Opstelle logistisch model Beschouw ee populatie fruitvliegjes die gebore worde e sterve i hetzelfde jaar Bij ee te sterke groei va de fruitvliegjes zal er voedseltekort optrede of zulle vogels meer fruitvliegjes vage De groei zal oorsprokelijk expoetieel toeeme e vaaf ee bepaald momet ombuige e afgeremd worde aar ee evewichtswaarde Als ee leefgebied teveel vliegjes bevat zorgt voedseltekort e adere factore voor die afremmig I het volgede model houde we hiermee rekeig met de term bp : P = ap bp Voor kleie waarde va P is er gee voedseltekort e als b veel kleier is da a, is bp relatief klei Voor grote waarde va P wordt de term steeds belagrijker 9
De populatiegrootte blijft iet stijge, zoals bij expoetiële groei, maar ka i ee begresd gebied ee maximale waarde iet overschrijde De maximale populatiegrootte otere we met P max e op elk tijdstip geldt P < Pmax We schrijve het kwadratisch model i de vorm P = mp ( Pmax P ) Dit model heeft veel iteressate toepassige i oa de biologie e het ostaa gaat terug tot het werk va de Belgische wiskudige Pierre Fraçois Verhulst (804-849) rod 84 a P = ap bp = P ( a bp ) = bp ( P ) b Idie we veroderstelle dat beide modelle hetzelfde proces voorstelle, vide we dat a Pmax = waarbij de parameters a e b e P max afhakelijk zij va ecologische factore b P Idie we bovedie stelle dat x =, ee fractie va P max, kue we os model als Pmax volgt schrijve: P P max P P P = b P P = b P P P P ( max ) max max max max het volgede model x = λx ( x ) met λ > 0 e 0 x De iteratiefuctie behorede bij dit model is F( x) = λx( x), maw bekome we Voor x = 0 e x = is de populatie 0, bijvoorbeeld bij x = treedt verzadigig va de ruimte op waari de populatie leeft Ee adere aapak We kue os model ook als volgt otere: P = P + P = P + g r P met P de toeame, g de groeivoet e r de remfactor We veroderstelle weer dat de toeame va de populatie wordt afgeremd met ee factor P Pmax Dit geeft als model: waarbij P max de verzadigigswaarde va de populatie is P P = P + g P P Het overgaa aar relatieve getalle met x max P = resulteert i: x x g x x Pmax = + ( ) 0
8 Grafische aalyse va het logistisch groeimodel De fuctie F( x) = ax( x) heeft vaste pute als: ax( x) = x x = 0 of a ax= x= 0 of a x = a I de situatie va het groeimodel geldt dat 0 x Voor 0< a < is er éé vast put l x = 0 F'( x) = a ax zodat F'(0) = a< e het vast put aatrekked is Voor iedere startwaarde voor de populatie zal i dit geval de populatie uitsterve De startwaarde va 07 op de bovestaade figuur beteket 70% va P max Voor a > heeft het model twee vaste pute x = 0 e a x = a Het evewichtput x = 0 wordt vaaf a > afstoted Voor het tweede vast put geldt dat a F' = a a zodat het aatrekked is voor < a < 3 De begipopulatie va 0, ( max 0 P ) evolueert aar ee evewichtstoestad va 3 Voor a > 3 worde beide vaste pute afstoted Grafische aalyse toot dat voor a = 33 de populatie ee periodiek gedrag, periode, vertoot De - cyclus is i dit geval aatrekked Algemee zal er voor 3< a < 34 steeds ee aatrekkede -cyclus bestaa Voor a > 34 zal de twee cyclus afstoted worde Voor bijvoorbeeld a = 3 bestaat er ee aatrekkede 4-cylus
Het verder zette va de grafische aalyse leidt tot ee c 34 zodat voor 34 < a < 34 het dyamisch systeem wordt aagetrokke door ee 4-cyclus Het steeds verder zette va deze procedure geereert ee rij getalle c0 = < c = 3 < c = 34 < zodat voor c < a< c + geldt dat het systeem wordt aagetrokke door ee -cyclus Al deze c -waarde zij kleier da 369946, ee Feigebaum-getal geoemd De studie va het gedrag va het systeem voor 369946 < a < 4 valt ver buite de greze va deze tekst Voor heel wat va deze a -waarde vertoot het systeem ee chaotisch gedrag Zelfs het complete gedrag voor 369946 < a < 4 is og iet geked Voor de bovestaade aalyse is computeralgebra opieuw ee hulpmiddel bij uitstek om alles aalytisch a te gaa We late deze uitdagig over aa de lezer e beperke os hier tot de grafische aalyses Het Feigebaum-diagram voor het logistisch groeimodel F( x) = ax( x) ziet er als volgt uit Ook hier ka je spreke va ee periode-verdubbeligs-weg tot chaos
83 Voorbeelde va ee logistisch groeimodel VOORBEELD We starte met ee begipopulatie harige va x = i ee leefomgevig waarvoor a = 3 Dit beteket ee populatie va 3 va de verzadigigswaarde P max a De vaste pute zij 0 e = waarbij 0 afstoted is e 0, aatrekked Maw elke a begipopulatie, tusse 0 e, evolueert aar de evewichtswaarde 0, max 3 P evolueert aar max P, de begipopulatie stijgt, e P max evolueert ook aar 3 P max maar de begipopulatie daalt Idie de leefomgevig va de harige veradert, veradert ook de voorspellig Voor a = 3 toot ee tijdsgrafiek dat de populatiegrootte steeds hee e weer sprigt tusse 4 pute De evolutie is periodiek met periode 4 Maar voor a -waarde dicht bij 4 is het iet altijd zo eevoudig om voorspellige te doe VOORBEELD Om de verspreidig va AIDS af te remme is het belagrijk dat de bevolkig weet wat veilig vrije is We veroderstelle dat bij het begi va de verspreidig va de ziekte slechts % va de gezie weet wat dit beteket De overheid beslist om ee voorlichtigscampage te voere Uit ervarig met eerdere gelijkaardige campages weet me dat hierdoor per jaar 80% toeame is tov va het vorige jaar va gezie met keis va zake Ee eerste idee is het volgede model, uitgedrukt i percetages: P = 08* P of P P P P 08P = + = + Dit model, expoetiële groei, ka i de praktijk iet daar a ekele jare me meer da 00% gezie zou bereike e uit ervarig weet me dat waeer ogeveer de helft geïformeerd is het proces steeds lagzamer verloopt We voere ee remfactor ( P = 08* P * remfactor) i met hoe groter de populatie, hoe kleier de remfactor 3
Het model wordt 08 = 80% P P = P + 08* P *( ) met begiwaarde P 0 = (%) e groeivoet 00 Ee tijdsgrafiek va dit model toot dat a +/- jare alle gezie zij igelicht De grafiek op de oderstaade plot oemt me ee S-kromme VOORBEELD 3 Het aatal aidsslachtoffers i ee Afrikaase streek bedraagt i: 98 8000, 990 000, 99 8000 Hoe zal dit verder evoluere idie we veroderstelle dat de evolutie zich gedraagt volges ee logistisch model? We bepale a e b voor het logistisch model u = au + bu Daar u0 = 8, u = e u = 8 (i duizedtalle) bekome we het volgede stelsel: = 8a+ 64b 8 = a+ b met als oplossige a =, 9 e b = 0,00 Ee tijdsgrafiek toot dat het dyamisch systeem covergeert aar 70000 aidsslachtoffers, ee expoetiële groei afgeremd aar de verzadigigswaarde 70 (duized) De vergelijkig als,9 0, 00 u = u u of u = 0,9u 0, 00u kue we og volgt herschrijve: 0, 00 u u 0,9 0,9 u u u = = 0,9 70 4