12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 4 VECTOANALYE 2WA15 2006/2007
Hoofdstuk 4 De stelling van Gauss (divergentie-stelling) 4.1 Inleiding Dit hoofdstuk is gewijd aan slechts één stelling. De stelling van Gauss 1. Deze stelling legt een verband tussen de begrippen flux en divergentie. In dit verband kun je ook denken aan de wet van Gauss uit de elektriciteitsleer. De stelling van Gauss speelt een grote rol in berekeningen maar vooral in het afleiden en interpreteren van allerlei fysische principes. 4.2 De stelling van Gauss Gegeven een gesloten begrensd gebied in E 3 ( 3 ) met randoppervlak dat stuksgewijs glad en oriënteerbaar is; de naar buiten gerichte normaal n op ; een open verzameling D in 3 met D; vectorvelden v en scalarvelden ϕ die continu differentieerbaar zijn op D. 1 Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Duits wiskundige verbonden aan de universteit van Göttingen 1
Er is een assenstelsel zo dat ϕ(p ) = ϕ(x) en v(p ) = v 1 (x)e 1 + v 2 (x)e 2 + v 3 (x)e 3 met P x en n(p ) = n 1 (x)e 1 + n 2 (x)e 2 + n 3 (x)e 3 voor P. Er zijn twee relevante uitspraken TELLING 4.1 grad ϕ dτ = ϕndσ, ofwel voor al dergelijke ϕ. ϕ dτ = x j ϕn j dσ, j = 1, 2, 3 TELLING 4.2 (Divergentiestelling van Gauss) voor al dergelijke v. divv dτ = (v, n)dσ, ofwel ( v1 + v 2 + v ) 3 dτ = x 1 x 2 x 3 (v 1 n 1 + v 2 n 2 + v 3 n 3 )dσ Bovenstaande stellingen zijn equivalent. Dit is eenvoudig te verifiëren. Eén van beide stellingen moeten we dus nog bewijzen. De opbouw van het bewijs is als volgt tap 1: Bewijs van stelling 4.1 voor j = 3 voor een rechthoekig blok B van de vorm B = {x 3 a k x k b k, k = 1, 2, 3} Het bewijs van stelling 4.1 voor j = 1, 2 voor B gaat op dezelfde manier. tap 2: Uit stap 1 volgt dat stelling 4.1 geldt voor = B en daarom is stelling 4.2 waar voor = B. 2
n=(0,0,1) _ n=(0,1,0) _ n=(1,0,0) _ Figuur 4.1: Het blok B met de normaalvectoren. tap 3: telling 4.2 bewijzen voor een blokstapeling en tevens onafhankelijkheid van de stapeling. tap 4: telling 4.2 bewijzen voor algemene met een limietproces. tap 1 Beschouw een blok B in de 3 (zie fig.4.1). De rand van B wordt gevormd door zes gladde oppervlakken waarvan slechts twee (boven- en onderkant) een normaal hebben met n 3 0. Evenzo, = = ϕn 3 dσ = ϕdσ ϕdσ = boven onder b 1 b 2 a 1 a 2 [ϕ(x 1, x 2, b 3 ) ϕ(x 1, x 2, a 3 )]dx 1 dx 2 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 ϕ dx 1 dx 2 dx 3 = x 3 B ϕ x 3 dτ. ϕn 1 dσ = B ϕ dτ, x 1 ϕn 2 dσ = B ϕ x 2 dτ 3
tap 2 Beschouw rechthoekig blok B, dan (tap 1): v j n j dσ = B v j x j dτ, j = 1, 2, 3 en dus (v, n)dσ = B divv dτ. tap 3 Beschouw het deel B van de 3 gevormd door twee aaneengeschakelde blokken B 1 en B 2, d.w.z.b = B 1 B 2, zodanig dat B 1 B 2 = P Q (zie fig.4.2). De rand van B 1 is 1 = 1 P Q en de rand van B 2 is 2 = 2 P Q. Q P Figuur 4.2: B = B 1 B 2, B 1 B 2 = P Q. Er geldt B 1 1 1 P Q divv dτ = (v, n)dσ = (v, n( 1 ))dσ + (v, n( 1 ))dσ én B 2 divv dτ = 2 (v, n)dσ = 2 (v, n( 2 ))dσ + P Q (v, n( 2 ))dσ. 4
Conclusie: met 1 2 = de rand van B èn n( 1 ) = n( 2 ) op P Q volgt div v dτ = div v dτ + div v dτ = B B 1 B 2 = (v, n)dσ + (v, n)dσ = 1 2 (v, n)dσ. Veronderstel nu = B 1 B 2... B N. voor zekere blokken B 1,..., B N met rand. Zij k,l, l = 1,..., 6, de zes randoppervlakken van B k, k = 1,..., N. We kunnen de blokstapeling door verfijning zo kiezen dat voor elke k óf k,l een deel van de rand van is, óf k,l = B k B p voor precies één blok B p met p k. Zij Dan geldt dus D = {(k, l) k,l op de rand van }. (k,l) D k,l divvdτ = N ( k=1 B k ) divvdτ = (v, n)dσ = (v, n)dσ. N k=1 l=1 6 ( k,l ) (b, n)dσ = tap 4 Zij een algemeen gebied met stuksgewijs gladde oriënteerbare rand. Het idee is en te benaderen door blokstapelingen m met rand m, dus formeel m en m. Hieruit volgt dan én lim (v, n)dσ = m m lim (v, n)dσ = m m (v, n)dσ divvdτ en dus het gestelde. 5
4.3 Coördinaatvrije interpretatie van de divergentie van een vectorveld Zij v een vectorveld gedefinieerd op een open verzameling D. zij P D, en ( n ) n N een rij gebieden in D met n {P }, d.w.z. diam( n ) 0 en P n. Zij n, de rand van n. Dan is (onafhankelijk van de rij ( n )) 1 divv(p ) := lim (v, n)dσ. n τ( n ) n Men zegt wel: divv(x) is de flux per eenheid van volume. 4.4 Toepassing van de divergentie-stelling bij berekeningen en afleidingen De divergentiestelling kan een rol spelen bij het berekenen van oppervlakte-integralen. Indien de vraag is: Bepaal voor een stuksgewijs glad oriënteerbaar oppervlak en vectorveld v op, (v, n)dσ. Dan is een mogelijke aanpak: Bepaal een oppervlak add (disjunct) zo dat add een stuksgewijs glad, oriënteerbaar oppervlak is dat de rand is van een gesloten begrensd gebied. Veronderstel bovendien dat v continu differentieerbaar is op. Dan geldt divvdτ = (v, n)dσ + (v, n)dσ add (v, n)dσ. waarbij verondersteld is dat de oriëntatie van zo is dat de normaal op wat betreft naar buiten wijst. Dus (v, n)dσ = divvdτ add 6
Deze aanpak is zinvol, als zodanig gekozen kan worden, dat divvdτ en (v, n)dσ add eenvoudig te berekenen zijn. Zie ook voorbeeld 4.2. Voorbeeld 4.1 Beschouw het vectorveld gegeven door u = x 1 x 3 e 1 + x 2 x 3 e 2 x 2 3e 3 en het oppervlak gegeven door = {x I 3 x 3 = x 1 x 2, 0 x 1 1, 0 x 2 1} met normaal n (0, 0, 0) = (0, 0, 1). Bepaal (u, n) dσ. Merk op: divu = 0. Beschouw de oppervlakken: 1 = {x 0 x 1 1, 0 x 2 1, x 3 = 0} met n 1 = (0, 0, 1). 2 = {x x 1 = 1, 0 x 3 x 2 1} met n 2 = (1, 0, 0). 3 = {x x 2 = 1, 0 x 3 x 1 1} met n 3 = (0, 1, 0). Nu begrenst 1 2 3 een gesloten en begrensd gebied, verder is 1 2 3 stuksgewijs glad. De normaal is naar buiten gericht. u is continu differentieerbaar op. Dus (u, n )dσ + (u, n 1 )dσ + (u, n 2 )dσ + (u, n 3 )dσ = 1 2 3 = divudτ = 0 7
Nu is 1 (u, n 1 )dσ = 1 x 2 3dσ = 0, 2 2 (u, n 2 )dσ = x 1 x 3 dσ = 3 3 (u, n 3 )dσ = x 2 x 3 dσ = 1 x2 0 0 1 x1 0 0 x 3 dx 3 dx 2 = 1 6, x 3 dx 3 dx 1 = 1 6. Dus (u, n )dσ = 1 3. Voorbeeld 4.2 Zij p 3. Definieer op 3 \{p} het vectorveld v(x) = x p x p 3, x p. Dan geldt (zie voorbeld??) divv = 0. Zij een gesloten begrensd gebied in 3 met stuksgewijs gladde, oriënteerbare rand, n de naar buiten gerichte normaal op met p. Als p dan volgt uit de divergentie-stelling (v, n)dσ = divvdτ = 0. Als p bestaat er een r > 0 zo dat U(p, r). Zij (p, r) = {x x p = r} de rand van U(p, r). Dan vormt (p, r) de rand van een gesloten begrensd gebied 1 met p 1. Dus (p,r) (v, n)dσ = divvdτ = 0 1 en hieruit (v, n)dσ (p,r) (v, n)dσ = 0 8
met de normaal n op (p, r) gegeven door n = 1 (x p) r dus af wijzend van p. Op (p, r) geldt v(x) = 1 r 3 (x p), x (p, r) én (v, n) = 1 r 2. Dus (p,r) (v, n)dσ = 1 opp(p, r) = 4π. r2 Een andere aanpak is de volgende: Definieer het vectorveld w op 3 door w(x) = 1 r 3 (x p), x 3. dan geldt (v, n)dσ = (w, n)dσ = divwdτ (p,r) (p,r) = 3 r 3 U(p,r) U(p,r) dτ = 3 r 3 4 3 πr3 = 4π. zo dat inderdaad (v, n)dσ = (v, n)dσ = 4π. (p,r) Voorbeeld 4.3 De continuïteitsvergelijking. We beschouwen de stroming van een vloeistof beschreven door een snelheidsveld v(x, t) op een open verzameling D dat differentieerbaar wordt verondersteld. Zij ρ(x, t) voor x D de massadichtheid ten tijde t. Voor een gesloten begrensd gebied D is de volume integraal 9
M(t) = ρ(x, t)dτ = massa van de vloeistof in ten tijde t en M(t + t) = M(t) uitstroom. Veronderstel dat de rand van stuksgewijs glad en oriënteerbaar is met naar buiten gerichte normaal n. In het tijdsinterval [t 1, t 2 ] is de totale uitstroom gegeven door t 2 t 1 ( ) (ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ dt. Dit leidt tot de massabalans (behoud van massa) en dus ρ(x, t 2 )dτ = ρ(x, t 1 )dτ t 2 [ ρ(x, t2 ) ρ(x, t 1 ) ] dτ = 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 1 ( t 2 t 1 ) (ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ dt ( ) (ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ dt. Door aan beide zijden de limiet t 2 t 1 te nemen vinden we de continuïteitsvergelijking in integraalvorm ρ t (x, t 1)dτ = (ρ(x, t 1 )v(x, t 1 ), n(x))dσ en na toepassing van de divergentie-stelling [ ρ ] t (x, t 1) + div(ρ(x, t 1 )v(x, t 1 )) dτ = 0, t 1 > 0 Omdat een willekeurig deelgebied van D is, vinden we hieruit de continuïteitsvergelijking in differentiaalvorm ρ (x, t) + div(ρ(x, t)v(x, t)) = 0 x D, t > 0. t Als de vloeistof homogeen en incompressibel is, geldt ρ(x, t) = ρ (constant) hetgeen leidt tot de zogenaamde incompressibiliteit-conditie divv = 0. 10
Opmerking 4.1 Deze afleiding van de continuïteitsvergelijking kent een analogon in de elektriciteitsleer. In dat geval beschouwt men niet massa maar lading. Er geldt Q(t) = ρ(x, t)dτ, Q(t) is de lading ten tijde t, ρ(t) is de ladingsdichtheid. De massabalans representeert dan behoud van lading: ρ (x, t)dτ = (J(x, t), n(x))dσ, t met J de het stroomdichtheidsvectorveld. De continuïteitsvergelijking wordt nu ρ (x, t) + div(j(x, t)) = 0 x D, t > 0. t Als ρ constant is, d.w.z. niet van t afhangt, volgt div(j) = 0. Dus de flux van J door ieder willekeurig gesloten oppervlak is nul. 4.5 Opgaven Hoofdstuk 4 4.1. In 3 is gegeven het vectorveld u = (z + x, z, z x). Bereken (u, n)dσ als de cylindermantel voorstelt, gegeven door x 2 + y 2 = 1, 0 z 1. De normaal n wijst van de z-as af. 4.2. Gegeven is het vectorveld u = (x + z y, x z, y x). Bereken (u, n)dσ als de cylindermantel voorstelt, gegeven door x 2 + y 2 = 1, 0 z 1. De normaal n wijst van de oorsprong af. 11
4.3. Gegeven het vectorveld ( x u = r, y 3 r, z ), met r = x 3 r 2 + y 2 + z 2. 3 Bereken (u, n)dσ, waarin de halve bol is, gegeven door x 2 + (y 1) 2 + z 2 = 1, y 1. De normaal n wijst van de oorsprong af. 4.4. In 3 is gegeven het veld ( x u = z, y, 2 ln z). z Bereken (u, n)dσ als de kegelmantel is gegeven door x 2 + y 2 z 2 = 0, 1 z 2, en n de van de z-as af gerichte normaal. 4.5. In 3 is gegeven het vectorveld ( x u = x 2 + y 2 1, y x 2 + y 2 1, 2z ). (x 2 + y 2 1) 2 Bereken (u, n)dσ, waarbij de kegelmantel voorstelt gegeven door x 2 + y 2 = z 2, 0 z 1 2, en de normaal n van de z-as af wijst. 4.6. In 3 is het volgende vectorveld gegeven: a(x) = (cos x, z, y). Bepaal (rot a, n)dσ, waarin het oppervlak voorstelt, gedefinieerd door (x 1) 2 + y 2 + z 2 = 4, x 0, en n de naar (1, 0, 0) gerichte normaal op. 12
4.7. Gegeven is het vectorveld a = (z 2 x 2, 2x 4 2xyz 2, z 1). Het oppervlak in 3 is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0, Bereken (a, n)dσ. De normaal n wijst van de oorsprong af. 4.8. Gegeven is het vectorveld u = (z 2, x 2, y 2 ). Het oppervlak is gegeven door 4x 2 + 4y 2 + z 2 = 1, z 0. Bereken (u, n)dσ. De normaal n wijst van de oorsprong af. 4.9. In 3 is gegeven het vectorveld u = ( 1 2 x2 y xyz, xz + xz 2, 1 2 yz2 xyz). Bereken (u, n)dσ, waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 2, x 0, y 0, z 1, en de normaal n van de oorsprong af wijst. 4.10. In 3 is gegeven het vectorveld u(x, y, z) = (cos z, y z, 1 z). Bereken (u, n)dσ, waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0, en de normaal n van de oorsprong af wijst. 13
4.11. In 3 is gegeven het vectorveld u(x) = (x 2 y 2, z 2, 2xy 2 z + z + 1). Bereken (u, n)dσ, waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0, en de normaal n van de oorsprong af wijst. 4.12. Voor de punten van 3 die niet op de z-as liggen is de functie f gedefinieerd door f(x, y, z) = ln(x 2 + y 2 ). C is het gedeelte van de cylinder met vergelijking x 2 +y 2 = 1 dat gelegen is tussen de vlakken V 1 en V 2 met vergelijkingen z = 1 resp. z = 1. B is het gedeelte van de bol met vergelijking x 2 +y 2 +z 2 = 2 dat gelegen is tussen de vlakken V 1 en V 2. De normalen op C en B wijzen van de z-as af. a. Bereken C (gradf, n)dσ. b. Bewijs dat (gradf, n)dσ = (gradf, n)dσ. B C 4.13. Gegeven is het vectorveld ( x a = r y, y 3 r + x, z ) 3 r + z 3 waarin r = x 2 + y 2 + z 2, en de oppervlakken 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, 2 : x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 4. Bereken de beide integralen (a, n)dσ en (a, n)dσ, waarbij n de naar buiten wijzende normaalvector is. 1 2 14
4.14. In het gebied, gevormd door 3 minus de z-as, is het veld v gegeven door ( x v(x, y, z) = x 2 + y, y ) 2 x 2 + y, 0. 2 Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 2, 1 z 1. De normaal n op wijst van de oorsprong af. Bereken (v, n)dσ. 4.15. In 3 is gegeven het vectorveld Bereken v(x, y, z) = ( x, 0, z). (v, n)dσ waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 1 2. De normaal n wijst van de oorsprong af. 4.16. In het gebied 3 \{0} is het veld u gegeven door u(x, y, z) = (y + x r, x z + y 3 r, y + z ), r = x 3 r 2 + y 2 + z 2. 3 Bereken (u, n)dσ waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z2 9 = 1 z 0 en de normaal n in (0, 0, 3) gelijk is aan (0, 0, 1). 15
4.17. In 3 is gegeven het vectorveld v(x, y, z) = (ye yz, sin(x + z) + y, x 2 z). Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0. De normaal n op wijst van de oorsprong af. Bereken (v, n)dσ. 4.18. In 3 is gegeven het vectorveld v(x, y, z) = ( x 2 + 3z 2, 2xy + 2zy, 3x 2 z 2 ). Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z 0, waarbij a een positief getal is. De normaal n op wijst van de oorsprong af. Bereken (v, n)dσ. 4.19. In het gebied G = {(x, y, z) 3 z > 0} is gegeven het vectorveld v(x, y, z) = (x. z arctan y z, y arctan y z ). Het oppervlak is gegeven door x 2 + (y + 2) 2 + (z 2) 2 = 1 y z. De normaal n op wijst van (0, 2, 2) af. Bereken (v, n)dσ. 16
4.20. In 3 minus de z-as is het vectorveld v gegeven door ( yz v(x, y, z) = x 2 + y, zx ) 2 x 2 + y, 1. 2 Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 = z 2 + 1 0 z 1. De normaal n op wijst van de z-as af. Bereken (v, n)dσ. 4.21. Zij een begrensd gebied in 3 met rand ; n is de naar buiten gerichte normaal op. Bewijs: a. rotvdτ = 0 als op v loodrecht staat op ; b. ϕdivvdτ = (ϕv, n)dσ als v in elk punt van raakt aan het equiscalaire oppervlak ϕ = constant door dat punt. 4.22. Zij een begrensd gebied in 3 met rand ; n is de naar buiten gericht normaal op. Bewijs dat het volume van gelijk is aan x dydz = y dxdz = z dxdy. 4.23. Zij een begrensd gebied in 3 met rand ; n is de naar buiten gerichte normaal op. Bewijs: 17
a. n dσ = 0, b. (x, n)dσ = 3V met V = volume van, c. x 2 (x, n)dσ = 5 x 2 dτ. 4.24. Leid af de continuïteitsvergelijking uit de electriciteitsleer: divj + ρ t = 0, waarin ρ de ladingsdichtheid en j de stroomdichtheid is. 4.25. Een vloeistof stroomt met snelheid v(x, t), waarbij de variabele t de tijd voorstelt. Laat een begrensd gebied zijn dat meebeweegt met de vloeistof. De positie van ten tijde t wordt aangegeven door (t), en het volume van (t) zal V (t) zijn. a. Bewijs dat dv dt = (t) divv dτ. b. Zij ϕ(x, t) een scalarveld; bewijs dat d dt (t) ϕ(x, t)dτ = (t) [ ϕ t + div(ϕv) ] dτ. c. Leid de continuïteitsvergelijking uit de stromingsleer af met behulp van b. 18
Antwoorden Aanvulling 4 4.1. π. 4.2. π. 4.3. π(2 2). 4.4. 8π ln(2). 4.5. π 3. 4.6. 6π. 4.7. 5π 3. 4.8. π 64. 4.9. 4 2 15 13 120. 4.10. π. 4.11. 28π 3. 4.12. a) 8π. 4.13. 16π 3 en 44π 3. 4.14. 4π. 4.15. 3π 8. 4.16. 2π. 4.17. π 4. 4.18. 3 4 πa4. 4.19. π 6 + π2 2 2. 4.20. π. 4.21. rotv dτ = (n v)dσ = 0, want n en v zijn afhankelijk. 4.22. Volgt uit div((x, 0, 0)) = div((0, y, 0)) = div((0, 0, z)) = 1 m.b.v. de stelling van Gauss. 4.23 a. Pas stelling 4.1 toe met ϕ = 1. b. (x, n)dσ = div(x)dτ = 3 dτ = 3V. c. x 2 (x, n)dσ = div(r 2 x)dτ = (r 2 div(x)+(grad(r 2 ), x))dτ = (3r 3 + (2x, x))dτ = 5r 2 dτ. 19