Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09 1
Lineaire combinaties Als x = n i=1 α ix i voor zekere vectoren x 1,..., x n V en scalairen α 1,..., α n F, dan heet x een lineaire combinatie van {x 1,..., x n }. De verzameling van alle lineaire combinaties geven we aan met: x 1,..., x n en heet het lineair opspansel van {x 1,..., x n }. 2
Het opspansel van een verzameling Zij A een niet-lege deelverzameling van vectoren in V. Het lineaire opspansel van A, notatie A, is de verzameling van alle vectoren in V, die uitgedrukt kunnen worden als een eindige lineaire combinatie van vectoren in A. Eigenschappen: A is een lineaire deelruimte van V, A A, A is de kleinste lineaire deelruimte van V, die A omvat. M.a.w. als M een lineaire deelruimte van V is, en A M, dan ook A M. 3
Stelling: Zij T : V W een lineaire afbeelding en A V. Dan geldt T (A) = T ( A ). Gevolg: Als T : V W een surjectieve lineaire afbeelding is, en A een deelverzameling van V, die V opspant, dan spant T (A) de vectorruimte W op. 4
Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid Een eindige lijst x 1,..., x n van vectoren in V heet lineair afhankelijk als er scalairen α 1,..., α n F bestaan zodat: i α i 0 èn n i=1 α i x i = 0 Als uit n i=1 α ix i = 0 voor zekere scalairen α 1,..., α n F volgt α i = 0 voor alle i dan heet de eindige collectie {x 1,..., x n } lineair onafhankelijk. Voorbeelden: (1) {1, t, t 2 } P is onafhankelijk (2) {sin(t), cos(t)} C[0, π] is onafhankelijk (3) { s+1 s 1, s 3 s+5 } onafhankelijk over R en afhankelijk over R(s). 5
Opmerking: Als de verzameling X in V oneindig is dan heet X onafhankelijk als iedere eindige deelcollectie van X lineair onafhankelijk is. Voorbeeld: {e t, 1, t, t 2,...} 6
Stelling: Zij V een vectorruimte over F, en zij x 1,..., x n een eindige lijst van vectoren in V. Definieer de lineaire afbeelding T : F n V door T (a 1,..., a n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n. Dan geldt 1. x 1,..., x n zijn lineair onafhankelijk dan en slechts dan als T injectief is. 2. x 1,..., x n spannen V op dan en slechts dan als T surjectief is. 7
Stelling: Zij V een vectorruimte en x 1,..., x n een eindige lijst vectoren in V (met n 2). Dan geldt x 1,..., x n zijn lineair afhankelijk, er is een k zó dat x k is een lineaire combinatie van de x i met i k, x 1 = 0 of er bestaat k > 1 zó dat x k een lineaire combinatie is van x 1,..., x k 1. 8
Stelling: Zij V een vectorruimte en x 1,..., x n een eindige lijst vectoren in V (met n 2). Dan geldt x 1,..., x n zijn lineair onafhankelijk, er is geen k zó dat x k is een lineaire combinatie van de x i met i k, x 1 0 en er bestaat geen k > 1 zó dat x k een lineaire combinatie is van x 1,..., x k 1. 9
Stelling: Zij V een vectorruimte, en x 1,..., x n een eindige lijst vectoren in V. Zij 1 r < n, M = x r+1,..., x n en Π : V V/M de quotiëntafbeelding. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: (i) x 1,..., x n zijn lineair onafhankelijk, (ii) Πx 1,..., Πx r zijn lineair onafhankelijk in V, en x r+1,..., x n zijn lineair onafhankelijk in V/M. Tevens zijn de volgende uitspraken equivalent: (iii) x 1,..., x n spannen V op, (iv) Πx 1,..., Πx r spannen V/M op 10
Basis Een basis in een vectorruimte V is een verzameling X van lineair onafhankelijke vectoren zodat elke vector in V een lineaire combinatie van elementen van X is. Een vectorruimte V heet eindigdimensionaal als hij een eindige basis heeft. Opmerking: In iedere vectorruimte bestaat een basis (keuzeaxioma) V eindigdimensionale vectorruimte met basis X = {x 1,..., x n }. Dan kan iedere x V op precies één manier geschreven worden als: n x = ξ i x i i=1 11
Stelling: Zij V een eindigdimensionale vectorruimte. Dan bevat elke basis hetzelfde aantal elementen. Definitie: De dimensie van een eindigdimensionale vectorruimte V is gelijk aan het aantal elementen in een basis van V. 12
Lemma: Zij X = {x 1,..., x n } en Y = {y 1,..., y m } deelverzamelingen van V zodat V = X Y lineair onafhankelijk dan geldt n m. 13
Gevolg: Elke verzameling van n + 1 vectoren in een n-dimensionale vectorruimte is lineair afhankelijk. Een verzameling van n vectoren in een n-dimensionale vectorruimte V is een basis d.e.s.d. als de verzameling lineair onafhankelijk is. 14
Stelling: Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en zij {y 1,..., y m } onafhankelijk. Als y 1,..., y m V dan bestaan er y m+1,..., y m+p zodat: {y 1,..., y m } {y m+1,..., y m+p } een basis is. Gevolg: Zij M een lineaire deelruimte van een eindigdimensionale vectorruimte V. Dan geldt: M = V dimm = dimv. 15
Stelling: Zij V een vectorruimte, en M een lineaire deelruimte van V. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: (i) V is eindig-dimensionaal, (ii) M en V/M zijn beide eindig dimensionaal. Als aan de eigenschappen is voldaan, dan geldt bovendien dim(v/m) = dim V dim M. 16
Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte, en T : V W een lineaire afbeelding. Definieer (i) Rang van T : ρ(t ) = dim(im(t )), (ii) Nulliteit van T : ν(t ) = dim(ker(t )). Dan geldt: ρ(t ) + ν(t ) = dim V. Stelling: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn over hetzelfde lichaam F, dan dim(v W) = dim V + dim W. 17
Gevolg: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn, en T : V W een lineaire afbeelding, dan geldt: (i) Als T injectief, dan dim V dim W, (ii) Als T surjectief, dan dim V dim W, (iii) Als T bijectief, dan dim V = dim W. Als dim V = dim W, dan geldt bovendien T injectief T surjectief T bijectief. 18
Gevolg: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten van gelijke dimensie. Laat T : V W en S : W V lineaire afbeeldingen. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: (i) ST = I V, (ii) T S = I W, (iii) T is bijectief en T 1 = S. 19