De Grassmann-variëteit
|
|
- Bart van den Velde
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De Grassmann-variëteit Timo Baas 31 oktober 2009 Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. Gerard van der Geer KdV Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
2 Samenvatting Deze scriptie gaat over de Grassmann-variëteit. We beginnen met de definitie van de Grassmann-variëteit en gaan vervolgens in op aantal voorbeelden. Met behulp van wat multilineaire algebra en de Plücker-afbeelding proberen we vervolgens een beter beeld te krijgen van de Grassmann-variëteit en werken we een speciaal voorbeeld hiervan helemaal uit. We besluiten met de celdecompositie van de Grassmann-variëteit en kijken wat voor nut deze celdecompositie heeft. Gegevens Titel: De Grassmann-variëteit Auteur: Timo Baas, Begeleider: prof.dr. Gerard van der Geer Tweede beoordelaar: prof.dr. onbekend Einddatum: 2 november 2009 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam
3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 De Grassmann-variëteit Multilineaire algebra De Plücker-afbeelding Plücker-coördinaten De Grassmann-variëteit als deelvariëteit De celdecompositie De Schubert-variëteit Populaire samenvatting Over de Grassmann-variëteit Over de Plücker-afbeelding Over de celdecompositie
4 Hoofdstuk 1 Inleiding Een centraal begrip in de wiskunde is de variëteit. Er zijn verschillende soorten variëteiten, zoals analytische variëiteten. Dit zijn ruimtes die lokaal glad zijn, oftewel lokaal zien ze eruit als R n. Wij gaan het echter hebben over een algebraïsche varieteit. Deze variëteit ziet eruit als een nulpuntsverzameling van een stelsel veeltermen, bijvoorbeeld: een cirkel is de verzameling punten (x, y) in het vlak waarvoor x 2 + y 2 1 gelijk is aan 0. In deze scriptie gaan wij het hebben over de Grassmann-variëteit. De Grassmann-variëteit is een belangrijk onderwerp in de algebraïsche meetkunde. Deze variëteit is vernoemd naar Hermann Günther Grassmann (15 april 1809, Stettin (Szczecin) - 26 september, 1877, Stettin). Dit was een Duitse wiskundige. Hij werd in zijn tijd niet erkend door zijn collega-wiskundigen, maar na zijn dood bleek dat hij in 1844 al een beeld had wat een vectorruimte is en dat hij in zijn werk al het uitproduct gebruikte. De definitie van een vectorruimte werd pas in 1920 algemeen bekend, hij liep zijn tijd dus ver voorruit. De Grassmann-variëteit is een onderwerp dat door wiskundigen uitgebreid is onderzocht en als zeer belangrijk wordt gezien. Het is de meest voor de hand liggende generalisatie van de projectieve ruimte. In het eerste hoofdstuk van deze scriptie gaan we in op de definitie van de Grassmannvariëteit en proberen we die te begrijpen door een aantal voorbeelden uit te werken. In het tweede hoofdstuk hebben we als hoofddoel te laten zien dat de Grassmann-variëteit is in te bedden in een projectieve ruimte. Dit doen we door middel van de Plücker-afbeelding en vervolgens rekenen we van één speciaal voorbeeld de Plücker-relaties it. In het laatste hoofdstuk laten we zien dat de Grassmann-variëteit een natuurlijke celdecompositie heeft met behulp van Schubert-Variëteiten. 2
5 Hoofdstuk 2 De Grassmann-variëteit Het doel van dit hoofdstuk is de definitie te geven de Grassmann-variëteit en vervolgens die daadwerkelijk te begrijpen. Dit doen we door een aantal voorbeelden uit te werken en met behulp van multilineaire algebra laten we vervolgens zien wat de Grassmann-variëteit precies is. We geven nu eerst de definitie die afkomstig is uit [1]. Definitie 2.1. Laat V een vectorruimte zijn over een lichaam K. Met Gr(k, V ) bedoelen we de verzameling van alle k-dimensionale lineaire deelruimtes van V. Als V = R n, dan schrijven we Gr(k, n). Gegeven een lineaire deelruimte Λ R n van dimensie k. We kunnen Λ beschrijven door een basis in Λ te kiezen, zeg {v 1,, v k } die lineair onafhankelijk zijn en samen Λ opspannen. Deze basis kunnen we vervolgens in coördinaten uitschrijven door de k n matrix v 11 v 1n M =.. v k1 v kn (2.1) van rang k. Deze matrix representeert een element van Gr(k, n) en twee van deze matrices M en M representeren hetzelfde element, dan en slechts dan als Λ = AΛ voor A een lineaire transformatie in GL(Λ). Voor elke multi-index I = {i 1,, i k } {1,, n} van cardinaliteit k, laat V I o R n het opspansel zijn van de vectoren {e j : j / I} en laat U I = {Λ Gr(k, n) : Λ V I o = {0}} (2.2) U I bestaat dus uit elementen Λ Gr(k, n) zodat de I-de k k minor niet nul is. Nu kunnen we de matrixrepresentatie van Λ normaliseren zodat de I-de k k minor de identiteitsmatrix is, waarbij de overige (n k) rijen nog vrij te kiezen zijn. 3
6 Voorbeeld 2.2. Het eerste voorbeeld van een Grassmann-variëteit is Gr(1, n). Deze ruimte bestaat uit alle lijnen door de oorsprong in V. Dus Gr(1, n) = P(V ) We bekijken eerst het allersimpelste voorbeeld hiervan, namelijk Gr(1, 2). De open deelverzamelingen U I uit (2.2) die we hierbij kunnen krijgen, zien er als volgt uit: U 1 = {L V door 0 : L e 2 = {0}} = P 1 (0 : 1) U 2 = {L V door 0 : L e 1 = {0}} = P 1 (1 : 0) Het volgende voorbeeld waarvoor we de U I gaan bekijken is Gr(1, 3). We hebben hierbij drie open deelverzamelingen, die er als volgt uit zien: U 1 = {L V door 0 : L e 2, e 3 = {0}} = P 2 P 1 U 2 = {L V door 0 : L e 1, e 3 = {0}} = P 2 P 1 U 3 = {L V door 0 : L e 1, e 2 = {0}} = P 2 P 1 Voorbeeld 2.3. Het tweede voorbeeld is logischerwijs Gr(2, n). Omdat V = R n, worden hiermee alle vlakken door de oorsprong bedoeld. We bekijken weer een makkelijk voorbeeld, namelijk Gr(2, 4). Stel we hebben twee vectoren x en y die samen een vlak opspannen. Dan geeft dit aanleiding tot een matrixrepresentatie Λ met: ( ) x1 x Λ = 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 In dit geval hebben we hebben we zes open deelverzamelingen, die er als volgt uit zien: U 1,2 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 3, e 4 = 0} met matrixrepresentatie Λ 1,2 = x3 x 0 1 y 3 y 4 U 1,3 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 2, e 4 = 0} met matrixrepresentatie Λ 1,3 = 4 1 x2 0 x 0 y 2 1 y 4 U 1,4 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 2, e 3 = 0} met matrixrepresentatie Λ 1,4 = x2 x 0 y 2 y 3 1 4
7 U 2,3 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 1, e 4 = 0} met matrixrepresentatie Λ 2,3 = 4 x1 1 0 x y y 4 U 2,4 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 1, e 3 = 0} met matrixrepresentatie Λ 2,4 = 3 0 x1 1 x y 1 0 y 3 1 U 3,4 = {Vlakken L ( V door 0 ) : L e 1, e 2 = 0} met matrixrepresentatie Λ 3,4 = x3 x 0 1 y 3 y 4 We kunnen hieruit concluderen dat twee matrices Λ en Λ hetzelfde element representeren als ze een lineaire transformatie A van elkaar verschillen, oftewel: Λ = AΛ, met A GL(2, R). Hieruit volgt dat: 1 i<j 4 U i,j = Gr(2, 4), omdat elk element in Gr(2, 4) via een lineaire transformatie kan worden geschreven als één van de U i,j. Dit laatste voorbeeld is erg belangrijk en komt in de rest van deze scriptie uitgebreid aan bod. Om de Grassmann-variëteit beter te kunnen begrijpen, moeten we nu eerst wat multilineaire algebra invoeren. Als we dit gedaan hebben, kunnen we inzien dat Gr(2, 4), oftewel lijnen in P 3, een 1-1 correspondentie heeft met de Klein-kwadriek. Dit is een bijzondere kwadriek vernoemd naar Felix Klein. 2.1 Multilineaire algebra Definitie 2.4. Een alternerende multilineaire vorm van graad p op een vectorruimte V is een afbeelding M : V p = V... V K, met K een lichaam, zodat M(u 1,..., u i,..., u j,..., u p ) = M(u 1,..., u j,..., u i,..., u p ) als i j en verder geldt dat: M(λ 1 v 1 + λ 2 v 2, u 2,..., u p ) = λ 1 M(v 1, u 2,..., u p ) + λ 2 M(v 2, u 2,..., u p ). Definitie 2.5. Het p-de machts uitproduct p V van een eindig-dimensionale vectorruimte is de duale ruimte van de vectorruimte van alle alternerende multilineaire vormen van graad p op V. Elementen hiervan heten p-vectoren. 5
8 Definitie 2.6. Zij gegeven u 1,..., u p V. Dan is het uitwendig product u 1 u 2... u p p V de lineaire afbeelding naar K die op een alternerende multilineaire vorm M de waarde (u 1... u p )(M) = M(u 1,..., u p ) aanneemt. Het uitwendig product heeft drie belangrijke eigenschappen: Het is lineair in elke variabele u i afzonderlijk. Het wisselen van twee variabelen gaat ten koste van een tekenwisseling. Als u i = u j voor i j, dan is het uitwendig product nul. Lemma 2.7. Het uitwendig product u 1 u 2... u p van p-vectoren u i V is nul dan en slechts dan als de vectoren lineair afhankelijk zijn. Bewijs. : Als er een niet triviale lineaire relatie is met λ 1 u λ p u p = 0 met zeg λ 1 0, dan is u 1 een lineaire combinatie van u 2,..., u p, zeg u 1 = p i=1 α iu i. Maar dan is: u 1 u 2... u p = ( p α i u i ) u 2... u p = 0, i=1 want in elke term komt een u i op twee plekken voor, dus is het uitwendig product nul. : Als de vectoren u i lineair onafhankelijk zijn, kunnen ze worden uitgebreid tot een basis en is u 1 u 2... u p een basisvector voor p V die niet nul is. Dus is er een lineaire afbeelding van V p naar K die niet nul is op deze basisvector. We willen verderop bewijzen dat Gr(2, 4) een 1-1 correspondentie heeft met een bijzondere kwadriek en daarvoor moeten we dit generaliseren. Daarvoor moeten we eerst definiëren wat een splitsbare vector is en daarna de algebraïsche conditie aangeven. Definitie 2.8. Zij a 2 V met a 0. We noemen a splitsbaar als a te schrijven is a = x y. Stelling 2.9. Zij a 2 V met a 0. Dan is a splitsbaar dan en slechts dan a a = 0 4 V. 6
9 Bewijs. : Zij a = x y voor twee vectoren x en y. Dan geldt dat: a a = x y x y = x y y x = 0 : Dit gaan we bewijzen door middel van inductie naar de dimensie van V. Stel de dimensie van V = 0 of 1, dan is 2 V = 0, dus het eerste geval wat we bekijken is als de dim(v ) = 2. In dit geval is dim( 2 V ) = 1. Verder geldt dat v 1 v 2 0 als v 1, v 2 een basis zijn voor V, dus elke a is splitsbaar. Om de inductie te laten werken als de dim(v ) = n, moet we nu eerst bekijken wat er gebeurd als dim(v ) = 3. Zij a 0 en a 2 V. We definiëren de afbeelding A : V 3 V zodat A(v) = a v. De dim( 3 V ) = 1, dus is dim(ker(a)) 2. We kunnen dus lineair onafhankelijke vectoren u 1, u 2 in de kern kiezen en die uitbreiden naar een basis u 1, u 2, u 3 van V. Nu kunnen we a schrijven als a = λ 1 u 2 u 3 + λ 2 u 3 u 1 + λ 3 u 1 u 2. Omdat u 1 in de kern van A zit volgt nu dat a u 1 = λ 1 u 2 u 3 u 1 = 0, dus λ 1 = 0 en op analoge wijze volgt dat λ 2 = 0. Dus geldt dat a = λ 3 u 1 u 2 en dus is a een splitsbare vector. Nu nemen we aan dat de stelling waar is voor dim(v ) n 1 en gaan we hiermee bewijzen dat de stelling ook waar is voor dim(v ) = n. We kiezen een basis v 1,..., v n en schrijven a als a = n 1 i<j i=1 a ij v i v j n 1 = ( a in v i ) v n + = u v n + a, n 1 1 i<j a ij v i v j waarbij u U en a 2 U en U is de (n 1)-dimensionale deelruimte opgespannen door v 1,..., v n 1. Gegeven was dat a a = 0. Als we a a nu uitschrijven met behulp van bovenstaande uitdrukking krijgen we: 0 = a a = (u v n + a ) (u v n + a ) = 2(u v n + a ) a. Omdat v n niet voorkomt in de expansie van u a of a a, volgt nu dat u a = 0 en ook dat a a = 0. Met inductie volgt nu dat a een splitsbare vector is, dus zeg a = u 1 u 2 en dus volgt dat u u 1 u 2 = 0. Uit Lemma 2.7 volgt nu dat er een lineaire relatie is zodat: λu + µ 1 u 1 + µ 2 u 2 = 0. 7
10 Als λ = 0 volgt dat u 1 en u 2 lineair afhankelijk zijn zodat a = u 1 u 2 = 0. Dit betekend dat u = u v n, dus u is splitsbaar. Als λ 0, dan is u = λ 1 u 1 +λ 2 u 2, dus a = λ 1 u 1 v n + λ 2 u 2 v n + u 1 u 2. Dit is het 3-dimensionale geval van de stelling en we hebben al laten zien dat a dan splitsbaar is. Conclusie is dat a altijd splitsbaar is. We gaan nu deze stelling toepassen om in te zien dat lijnen in P 3 een 1-1 correspondentie heeft met de een bijzondere kwadriek, genaamd de Kleinkwadriek. We kiezen de dimensie van V gelijk aan vier. Stel de basis van V is v 0, v 1, v 2, v 3. Dan is de dimensie van 4 V gelijk aan 1 met een basisvector v 0 v 1 v 2 v 3. We kunnen a 2 V dan schrijven als: a = λ 1 v 0 v 1 + λ 2 v 0 v 2 + λ 3 v 0 v 3 + µ 1 v 2 v 3 + µ 2 v 3 v 1 + µ 3 v 1 v 2 en omdat cv i v j = 0 als i = j, volgt dat a a gelijk is aan: Cv 0 v 1 v 2 v 3 met C = 2(λ 1 µ 1 + λ 2 µ 2 + λ 3 µ 3 ) Als we deze vergelijking gelijkstellen aan nul krijgen we de Klein-kwadriek Q die dus ligt in P( 2 V ), met coördinaten Λ i, µ i horend bij een basis basis v i v j met 1 i < j 4 van 2 V. Een andere basiskeuze herschaalt C en dus is Q welgedefinieerd. De vorige stelling vertelt ons nu dat elk punt in Q gerepresenteerd wordt door een splitsbare 2-vector, dus is er 1-1 correspondentie tussen lijnen in een 3-dimensionale projectieve ruimte P 3 en punten in de 4-dimensionale kwadriek Q P( 2 V ). Deze Q is zoals gezegd erg belangrijk en wordt de Klein-kwadriek genoemd. Hij wordt uitgebreid behandelt in [3]. Hoe deze Klein-kwadriek er nu precies uitziet weten we nog niet, want daarvoor hebben we Plücker-coördinaten nodig. In het volgende hoofdstuk komen deze coördinaten uitgebreid aan bod. 8
11 Hoofdstuk 3 De Plücker-afbeelding In dit hoofdstuk gaan we ons bezig houden met de de Plücker-afbeelding. Deze afbeelding is vernoemd naar Julius Plücker, een Duitse wiskundige die in de negentiende eeuw deze afbeelding heeft bedacht. De Plücker-afbeelding is een manier om de Grassmann-variëteit in te bedden in een projectieve ruimte. Zo kunnen we inzien dat de Grassman-variëteit eigenlijk een projectieve variëteit is. Maar voor het zo ver is geven we eerst de definitie van de Plücker-afbeelding. Definitie 3.1. Zij U een k-dimensionale deelruimte van V met een basis u 1,..., u k. Defineer p(u) als het punt van de projectieve ruimte P( k V ) die bepaald wordt door u 1... u k. De afbeelding p, p : Gr(k, n) P( k V ), heet de Plücker-afbeelding. {u 1,..., u p } u 1... u p We moeten nu eerst laten zien dat deze afbeelding welgedefinieerd is. Zij {u 1,..., u k } en {v 1,..., v k } twee verschillende keuzes van een basis van U, die een coördinatie-transformatie van elkaar verschillen, dus: (v 1,..., v k ) = A(u 1,..., u k ) met A een k k matrix. Dan geldt dat: v 1... v k = det(a)u 1... u k, waarbij geldt dat det(a) 0. Dus volgt dat de Plücker-afbeelding welgedefinieerd is. 9
12 Stelling 3.2. De Plücker-afbeelding p is een injectieve afbeelding. Bewijs. Dit volgt direct uit Lemma 2.7. Dit Lemma zegt dat u 1... u k = 0 dan en slechts dan als de vectoren u 1,..., u k lineair afhankelijk zijn. Als u 1,..., u k een basis is voor U V, geldt dat deze vectoren lineair onafhankelijk zijn, dus is u 1... u k 0, dus is p injectief. Om in te zien wat de Plücker-afbeelding precies doet, gaan we eerst kijken wat er gebeurd bij Gr(2, 4). Hiervoor moeten we eerst Plücker-coördinaten invoeren, die door Julius Plücker in de 19de eeuw ingevoerd zijn. Hij bekeek Gr(2, 4) als lijnen in een 3-dimensionale projectieve ruimte en bedacht de volgende definitie. 3.1 Plücker-coördinaten Definitie 3.3. Zij x, y R 3. Als homogene coördinaten krijgen we dan x = [x 0 : x 1 : x 2 : x 3 ] en y = [y 0 : y 1 : y 2 : y 3 ]. De lijn die door zowel x als y gaat heeft Plücker-coördinaten: ( ) p 01 p 02 p 03 p 23 p 31 p 12 gegeven door de minoren van de matrix ( ) ( ) x x0 x M = = 1 x 2 x 3 y y 0 y 1 y 2 y 3 Dus: p 01 = x 0 y 1 x 1 y 0 p 23 = x 2 y 3 x 3 y 2 p 02 = x 0 y 2 x 2 y 0 p 31 = x 3 y 1 x 1 y 3 p 03 = x 0 y 3 x 3 y 0 p 12 = x 1 y 2 x 2 y 1 Als x 0 0 en y 0 0, dan kunnen we x en y normaliseren en dit geeft x 0 = y 0 = 1. Dus geldt dat: p 01 = y 1 x 1, p 02 = y 2 x 2, p 03 = y 3 x 3 De Plücker-afbeelding p gaat in dit geval dus van Gr(2, 4) naar P 5. In Stelling 3.2 hebben we gezien dat de Plücker-afbeelding een injectieve afbeelding is. Dit kunnen we mooi illustreren in Gr(2, 4) door gebruik te maken van Plücker-coördinaten. Stel we hebben twee elementen in Gr(2, 4) met matrixrepresentaties ( ) ( ) x0 x Λ = 1 x 2 x 3 u0 u en M = 1 u 2 u 3 y 0 y 1 y 2 y 3 v 0 v 1 v 2 v 3 10
13 waarvoor geldt dat Λ Plücker-coördinaten ( ) p 01 p 02 p 03 p 23 p 31 p 12 heeft en M Plücker-coördinaten ( ) q 01 p 02 q 03 q 23 q 31 q 12 heeft. We stellen nu dat de Plücker-coördinaten hetzelfde zijn en willen bewijzen dat Λ en M hetzelfde element representeren. Λ heeft rang twee, dus er is een minor die niet nul is. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we dus stellen dat de minor x 0 x 1 y 0 y 1 0. Stel ( ) x0 x A = 1 GL(2). Dan representeert Λ y 0 y := A 1 Λ hetzelfde element als ( 1 ) 1 0 x Λ en Λ = 2 x y 2 y 3. Hieruit volgt dat p 01 = 1. Omdat de Plückercoördinaten ( van ) Λ en M gelijk zijn, volgt nu ook dat q 01 = 1, dus M = 1 0 u 2 u v 2 v 3 representeert hetzelfde element als M. Nu geldt dat y 2 = v 2, omdat: x 0y 2 x 2y 0 = y 2 = p 02 = q 02 = u 0v 2 u 2v 0 = v 2. Dezelfde redenering kunnen we toepassen bij de overige coördinaten van Λ en M, dus Λ = M. Hieruit volgt dat Λ en M hetzelfde element representeren en dus is de Plücker-afbeelding met p : Gr(2, 4) P 5 een injectieve afbeelding. Dat het geen surjectieve afbeelding is, volgt omdat de Plückercoördinaten moeten voldoen aan de kwadratische vergelijking 0 = p 01 p 23 p 02 p 13 + p 03 p 12 (3.1) wat we impliciet al hebben bewezen in het vorige hoofdstuk bij stelling 2.9, maar nu ook expliciet kunnen aantonen, wederom met behulp van Plückercoördinaten. Er geldt namelijk dat w w = 0 4 V dan en slechts dan als (3.1) geldt. Om dit in te zien kiezen we een splitsbare vector w 2 V oftewel, w = v 1 v 2. Dan is: w w = v 1 v 2 v 1 v 2 = v 1 v 2 v 2 v 1 = 0. (3.2) We kunnen w in termen van een basis schrijven als: w = a 01 e 0 e 1 + a 02 e 0 e 2 + a 03 e 0 e 3 + a 12 e 1 e 2 + a 13 e 1 e 3 + a 23 e 2 e 3. Als we vervolgens w w uitrekenen krijgen we: 2(a 01 a 23 a 02 a 13 + a 03 a 12 )e 0 e 1 e 2 e 3. Er geldt dat a a = 0, dus moet gelden dat (a 01 a 23 a 02 a 13 + a 03 a 12 ) = 0. 11
14 Conclusie is dat w w = 0 4 V is als (3.1) geldt. Van de andere kant bekeken, moeten we w een vector uitgeschreven in termen van een basis, dus w = a 01 e 0 e 1 + a 02 e 0 e 2 + a 03 e 0 e 3 + a 12 e 1 e 2 + a 13 e 1 e 3 + a 23 e 2 e 3. waarbij (3.1) geldt. Dan geldt natuurlijk dat w w = 0. We hebben in de eerste sectie van dit hoofdstuk gezien dat Gr(k, n) ingebed kan worden in de projectieve ruimte P( k V ) via de Plücker-afbeelding p. In de komende sectie willen we aantonen dat p(gr(k, n)) een gesloten deelruimte van P N met N = ( n k) 1. Dit wordt ook beweerd in [1], maar daar niet bewezen. 3.2 De Grassmann-variëteit als deelvariëteit Definitie 3.4. Zij w k V en v V met v 0. We noemen v een deler van w als er een u k 1 V is zodat w = v u. Lemma 3.5. Zij w k V en v V met v 0. Dan is v een deler van w dan en slechts dan w v = 0 Bewijs. : Stel v is een deler van w, dan is w v = u v v = 0. : Zij {e 1, e 2,..., e k } een basis van V met e 1 = v. De kanonieke basis voor k V is: {e i1... e ik i 1 <... < i k n}. Zij e i1... e ik = e i1,i 2,...,i k w = Elke w k V kan dan worden geschreven als: a i1,i 2,...,i k e i1,..., e ik. 1 i 1 <...<i k n Als we nu v w uitschrijven in termen van deze basis, krijgen we: v w = e 1 a i1,i 2,...,i k e i1,..., e ik. 1 i 1 <...<i k n We weten dat w v = 0, dus volgt dat a i1,i 2,...,i k = 0 voor alle i 1,..., i k met 1 < i 1. Dus geldt dat er een u k 1 V is zodat w = v u en dus is v een deler van w. Bovenstaand lemma kunnen we toepassen om aan te tonen dat de collectie van alle vectoren v V die een deler zijn van een vaste vector w k V, een deelruimte van V zijn. Stel v 1 en v 2 zijn delers van w, dan geldt dat: (v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w = 0. 12
15 Dus volgt dat v 1 + v 2 een deler is van w. Ook geldt dat v w = 0 impliceert dat αv w = 0 voor elke α, dus de collectie van vectoren v die een deler van w zijn is echt een linieare deelruimte van V. We gaan nu een splitsbare vector definiëren. Deze term zijn we ook al tegengekomen in het vorige hoofdstuk, maar toen we bekeken we een splitsbare vector in 2 V. Nu hebben we het over een splitsbare vector in p V, dus moeten we de definitie iets aanpassen. Definitie 3.6. We noemen w k V splitsbaar als er vectoren v 1,... v k V zijn zodat w = v 1 v k. Lemma 3.7. Zij w k V. Dan is w splitsbaar dan en slechts dan als de ruimte van vectoren die een deler zijn van w van dimensie k is. Bewijs. : Stel w is een splitsbare vector. Zij w = v 1... v k voor lineair onafhankelijke vectoren v i V. Dan volgt uit Lemma 3.5 dat de ruimte opgespannen door de vectoren die een deler zijn van w is gegeven door: U = {v V v 1... v k v = 0}. Dus volgt dat v U dan en slechts dan v lineair afhankelijk is van v 1,..., v k, oftewel U heeft een basis {v 1,..., v k }. : Zij U = {v V : v deler van w}. Stel dat dim(u) = k, dan heeft U dus een basis v 1,..., v k. We breiden deze basis uit tot een basis {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } voor V. We kunnen nu w schrijven als w = a i1,i 2,...,i k v i1,i 2,...,i k. 1 i 1 <...<i k n Voor j {1,..., k} weten we dat v j w = 0, dus geldt dat: 0 = v j w = a i1,i 2,...,i k v j v i1,i 2,...,i k = 1 i 1 <...<i k n 1 i 1 <...<i k n i r j a i1,i 2,...,i k v j v i1,i 2,...,i k. Hieruit volgt dat a i1,i 2,...,i k = 0 of i r = j voor een i r. Gegeven was dat v 1 w = = v k w = 0, dus volgt dat a i1,i 2,...,i k = 0 of er geldt dat {1,..., k} {i 1,..., i k }. Dan geldt natuurlijk dat w = a i1,i 2,...,i k v 1... v k en dus is w splitsbaar. Lemma 3.8. Zij w k V. Zij φ w : V k+1 V de lineaire afbeelding gegeven door φ w (v) = w v. Dan is w splitsbaar dan en slechts dan als de kern van φ w dimensie k heeft. 13
16 Bewijs. Dit lemma volgt direct uit de vorige twee lemma s. De kern van φ w wordt gegeven door ker(φ w ) = {v V w v = 0}. Uit Lemma 3.5 volgt dat dit de ruimte van vectoren is bestaande uit delers van w. Uit Lemma 3.7 volgt dat deze ruimte splitsbaar is dan en slechts dan deze ruimte dimensie k heeft. Stelling 3.9. Het beeld van Gr(k, n) via de Plücker-afbeelding p is een algebraïsche deelverzameling van de projectieve ruimte P N = P( k V ). Bewijs. Het beeld p(gr(k, n)) is de verzameling van alle splitsbare vectoren w in k V. Volgens Lemma 3.8 kan p(gr(k, n)) geïdentificeerd worden met de verzameling vectoren w k V zodat dim(ker(φ w )) = k. Ook volgt dan dat de dimensie van het beeld van φ w gelijk is aan n k. Nu is de afbeelding k V Hom(V, k+1 V ) die w stuurt naar φ w een lineaire afbeelding. De coëfficiënten in de matrix φ w Hom(V, k+1 V ) zijn homogene coördinaten in P( k V ). Dus de deelverzameling p(gr(k, n)) P( k V ) kan worden beschouwd als deelvariëteit gedefinieerd door het nul zijn van de (n k + 1) (n k + 1) minoren van de matrix. Dit is de simpelste manier om Gr(k, n) te zien als deelvariëteit van P( k V ). Het is interessant om te onderzoeken of er bij de Grassmann-variëteit een natuurlijke celdecompositie mogelijk is en dit gaan we bekijken in het volgende hoofdstuk. 14
17 Hoofdstuk 4 De celdecompositie Uit de projectieve meetkunde weten we dat er bij een projectieve ruimte een natuurlijke celdecompositie is. In zo n celdecompositie wordt de ruimte verdeeld in kleinere ruimtes, de cellen. In dit hoofdstuk gaan we onderzoeken of er ook zo n natuurlijke celdecompositie is bij de Grassmann-variëteit en kijken we vervolgens of we daar iets aan hebben. Definitie 4.1. Een vlag V is een stijgende rij van deelruimtes van een vectorruimte V. Met stijgend bedoelen we hier dat elke deelruimte bevat is in de volgende deelruimte. Er geldt dus dat: {0} = V 0 V 1 V 2... V k = V In de projectieve meetkunde hebben we de recursieve relatie P n = C n P n 1 voor P n. Als we dit voortzetten krijgen we dus een volledige decompositie: P n = C n C n 1... C 1 C 0 Uit Definitie 2.1 weten we nog dat P n = Gr(1, n + 1). Deze celdecompositie is verkregen door een vlag: V = (V 1 V 2... V n 1 V n C n+1 ) bestaande uit 1-dimensionale lineaire deelruimtes l van C n+1 te kiezen en daarna de Ω i te defineren door: Ω i = C i 1 en Ω i = {l C n+1 : l V i, l V i 1 } Dezelfde techniek gaan we nu gebruiken om een celdecompositie te maken van de Grassmann-variëteit. Dit doen we met behulp van Schubert-Variëteiten, deelvariëteiten van de Grassmann-variëteit. 15
18 4.1 De Schubert-variëteit Om de celdecompositie van de Grassmann-Variëteit te maken, hebben we eerst de definitie van een Young-diagram nodig. Definitie 4.2. Een dalende rij λ = (λ 1 λ 2... < λ k ) van niet negatieve getallen kan geaccocieerd worden met een Young-diagram, bestaande uit k rijen van vierkanten, waarbij rij i λ i vierkanten heeft. Voorbeeld 4.3. Als een voorbeeld van een Young-diagram kiezen we λ = (3, 2, 1, 1). We krijgen dan dit figuur: We gaan nu deze Young-diagrammen gebruiken om een celdecompositie van de Grassmann-Variëteit te maken. Definitie 4.4. Zij V een vlag in C n en λ een Young-diagram, met k rijen en hoogstens bestaande uit n k blokken. Dan is de Schubert-cell Ω o λ (V ) de verzameling van Λ Gr(k, n) zodat de dim(λ V j ) = i als j tussen n + i λ i en n + i λ i+1 ligt. Er geldt dus dat: Ω o λ(v ) = {Λ Gr(k, n) : dim(λ V n+i λi ) = i, 1 i k} De Grassmann-Variëteit Ω λ (V ) is de afsluiting van Ω o λ (V ). Opmerking. Stel λ en µ zijn twee Young-diagrammen zodat λ < µ, oftewel er geldt dat λ i µ i voor alle i. Dan is Ω µ (V ) een deelverzameling van Ω λ (V ). Er geldt zelfs nog iets sterkers, wat we zullen formuleren in het volgende Lemma. Lemma 4.5. De Grassmann Schubert-variëteit Ω λ (V ) is de disjuncte vereniging van de Schubert-cellen Ω o µ(v ) voor alle µ > λ. Bewijs. Dat Ω o µ(v ) Ω λ (V ) volgt onmiddellijk uit bovenstaande opmerking. Hieruit volgt dat als Λ voldoet aan dim(λ V n+i λi ) i, we λ i laten stijgen tot de dimensie gelijk is aan i. Als we dit voor elke i doen, krijgen we dat voor µ > λ geldt dat Λ Ω o µ(v ). 16
19 Nu moeten we nog inzien dat de Schubert-cellen disjunct zijn. Stel Λ (Ω o µ(v ) Ω o µ (V )). We weten dan dat Λ twee matrixrepresentaties heeft, noem deze M µ en M µ. De coëfficiënten in deze matrix zijn willekeurig, behalve op de (i, n + 1 λ i )-de plaats. Daar staat 1 en in de rest van deze kolom staan nullen. We kijken nu naar de eerste i, zodat µ i µ i en stellen zonder verlies van algemeenheid dat µ i µ i. Dan geldt voor M u dat voor alle k > n + 1 λ i de (i, k)-de coëfficiënt nul is. Deze coëfficiënt is ook de (i, n + 1 µ i)-de coëfficiënt, dus er staat ook een 1. Maar dit is een tegenspraak, dus geldt dat Ω o µ(v ) Ω o µ (V ) =. Met deze twee Lemma s hebben we nu bewezen dat de Schubert-cellen een celdecompositie van de Grassmann-Variëteit geven. Om goed inzicht te krijgen wat deze celdecompositie is, keren we weer terug naar ons belangrijke voorbeeld Gr(2, 4) en bekijken daarvan de celdecompositie. Voorbeeld 4.6. We gaan in dit voorbeeld de celdecompositie van Gr(2, 4) bekijken. Zij gegeven een vlag V = V 1 V 2 V 3. We krijgen bij deze celdecompositie zes Schubert-cellen, die samen Gr(2, 4) vormen. Hieronder zijn ze expliciet opgeschreven in termen van elementen en bovenstaande vlag, met oplopende dimensies. Daarachter staat de matrixrepresentatie, met daarbij een uitleg wat de cel precies is, maar dan wel met het idee dat Gr(2, 4) lijnen in P 3 is. ( ) dim(0) : Ω (2,2) = {V 2 } =. We hebben hier alleen een gegeven lijn. ( ) dim(1) : Ω (2,1) = {Λ : V 1 Λ V 3 } =. Dit zijn lijnen in een vlak door een punt. ( ) 0 1 dim(2) : Ω (1,1) = {Λ : Λ V 3 } =. Lijnen in een vlak ( ) dim(2) : Ω (2,0) = {Λ : V 1 Λ} =. Lijnen door een punt ( ) 0 1 dim(3) : Ω (1,0) = {Λ : dim(λ V 2 ) 1} =. Lijnen die een gegeven lijn snijden in één punt. ( ) 1 0 dim(4) : Ω (0,0) = Gr(2, 4) =. Lijnen in P
20 Onderstaand plaatje geeft een schets van de celdecompositie. De tekening is wel zo gemaakt dat we lijnen in P 3 bekijken, want anders valt het lastig te tekenen. Bovenaan staat Ω (0,0), dus enkel een gegeven lijn door een vast punt. Als we dan naar onderen gaan, krijgen we steeds een hogere dimensie, met in het midden twee cellen van gelijk dimensie. Daaronder hebben we een cel die gegeven is door alle lijnen door één vast gegeven punt en onderaan alle lijnen in P 3. Met dit voorbeeld besluiten we dit hoofdstuk en daarmee deze scriptie. Met bovenstaande Schubert-cellen vallen allerlei combinatorieke problemen op te lossen, zoals hoeveel lijnen snijden vier gegeven lijnen in algemene positie. Maar hiervoor hebben we Schubert-calculus nodig, wat we niet in deze scriptie zullen behandelen. 18
21 Hoofdstuk 5 Populaire samenvatting In deze scriptie heb ik gekeken naar drie belangrijke onderwerpen in de algebraïsche meetkunde. De algebraïsche meetkunde is zoals de naam al doet vermoeden een combinatie tussen abstracte algebra en meetkunde. De algebraïsche meetkunde houdt zich bezig met de studie van stelsels veeltermvergelijkingen in meerdere onbekenden, meer specifiek met de meetkundige eigenschappen van de nulpunten van dergelijke stelsels. De invoering van cartesische coördinaten (door Descartes) in de zeventiende eeuw, toen een duidelijk verband tussen de algebra en meetkunde werd gelegd, was het begin van deze tak van de wiskunde. 5.1 Over de Grassmann-variëteit Het eerste belangrijke onderwerp is de naam van deze scriptie, de Grassmannvariëteit. De Grassmann-variëteit is een generalisatie van het begrip projectieve ruimte, maar daarvoor moeten we natuurlijk eerst weten wat een projectieve ruimte is. Een projectieve ruimte is een bijzondere ruimte, want het is een ruimte met punten op oneindig. Dit kunnen we ons als volgt voorstellen. Als we twee lijnen hebben die evenwijdig lopen, zeggen we normaal dat ze elkaar niet snijden. Maar zoals we uit de kunst weten lijkt het net alsof die twee lijnen elkaar snijden in het oneindige, zoals de treinrails bij onderstaand figuur. 19
22 In een projectieve ruimte gaan we er dus van uit dat alle lijnen elkaar snijden, ook die lijnen die evenwijdig lopen, want die snijden elkaar in het oneindige. De Grassmann-variëteit is zoals eerder gezegd dus een generalisatie van de projectieve ruimte en wel op de volgende manier. De eerste en meest simpele Grassmann-variëteit met de notatie Gr(1, n) is gewoon een projectieve ruimte. Er is in deze ruimte en oorsprong gekozen en de ruimte bestaat uit alle lijnen door deze oorsprong, in alle mogelijke richtingen. Nu gaan we dit dus generaliseren naar een hogere dimensie. Dan komen we uit bij Gr(2, n). Hiermee worden vlakken in alle mogelijke richtingen bedoeld. Als we nog een dimensie hoger gaan, kunnen we helaas ruimtelijk niet meer goed voorstellen wat we aan het doen zijn, maar met Gr(3, n) worden dus alle 3-dimensionale deelruimte van een n-dimensionale deelruimte bedoeld. We kunnen dit nog verder generaliseren, namelijk met Gr(k, n) worden alle k-dimensionale deelruimte in een n-dimensionale ruimte bedoeld. 5.2 Over de Plücker-afbeelding Het tweede belangrijke onderwerp wat er behandeld is in deze scriptie is de de Plücker-afbeelding. Een afbeelding is precies wat het woord zegt, het beeldt iets af. Het koppelt een element uit de ene verzameling aan precies één ander element van een andere (of dezelfde) verzameling. Een voorbeeld van een afbeelding is α : R R met α(x) = x. Deze afbeelding stuurt elk reeël getal naar de absolute waarde van dat getal. De Plücker-afbeelding blijkt injectief te zijn. Een injectieve afbeelding is een bijzonder soort afbeelding waarbij geen twee verschillende elementen hetzelfde beeld hebben, oftewel elk element uit het beeld heeft een uniek origineel. Dit hoeft niet te betekenen dat het hele beeld bereikt wordt, want dit heet een surjectieve afbeelding. Het origineel van de Plücker-afbeelding is de Grassmann-variëteit en hij beeldt af in de projectieve ruimte. In deze scriptie wordt bewezen dat het 20
23 echt een injectieve afbeelding is, dus dat elk bereikt beeldpunt één uniek origineel heeft. Verder wordt er voor een speciaal geval bewezen dat niet het hele beeld bereikt wordt, oftewel het is geen surjectie. 5.3 Over de celdecompositie Het laatste onderwerp wat in deze scriptie behandeld wordt is de celdecompositie. De celdecompositie deelt een ruimte op in kleinere ruimtes, de cellen. In dit geval wordt er met cellen delen van de Grassmann-variëteit bedoeld. Maar het kan ook om andere cellen gaan. Zo is er ook een celdecompositie van de projectieve ruimte. We hebben in de projectieve ruimte namelijk de recursieve relatie P n = C n P n 1 voor P n. Als we dit voortzetten krijgen we dus een decompositie: P n = C n C n 1... C 1 C 0 Zo n soort celdecompositie is er dus ook bij de Grassmann-variëteit. Sterker nog, die celdecompositie die gebruikt wordt bij de projectieve ruimte wordt ook op een slimme manier gebruikt bij de Grassmann-variëteit. Als er eenmaal zo n celdecompositie is, is het veel makkelijker om te onderzoeken hoe de ruimte er precies uit ziet. 21
24 Bibliografie [1] Joe Harris, Algebraic Geometry: A First Course, 2nd edition, Springer, [2] Phillip Griffiths, Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, 1st edition, John Wiley and sons, [3] Nigel Hitchin, Projective geometry, [4] Sheldon Katz, Enumerative geometry and string theory, 1st edition, American Mathematical Society,
Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieDualiteit. Raymond van Bommel. 6 april 2010
Dualiteit Raymond van Bommel 6 april 2010 1 Inleiding Op veel manieren kan meetkunde worden bedreven. De bekendste en meest gebruikte meetkunde is de Euclidische meetkunde. In dit artikel gaan we kijken
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieGrassmannianen en Bruhatdecompositie
Grassmannianen en Bruhatdecompositie Ella van der Maas 20 juli 2012 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Ben Moonen KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatie4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieDe dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
Nadere informatieVincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith
Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieHet karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
Nadere informatieEen korte beschrijving van de inhoud
Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieDimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieProjectieve Meetkunde
Projectieve Meetkunde W M O p W L A M A door H.Finkelnberg en M.Lübke Inhoudsopgave 1 Projectieve ruimtes 4 1.1 De categorie der projectieve ruimtes.......................... 4 1.1.1 De verzamelingen.................................
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatieBilineaire Vormen. Hoofdstuk 9
Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieLineaire Algebra SUPPLEMENT I
Lineaire Algebra SUPPLEMENT I F.Beukers 22 Departement Wiskunde UU Hoofdstuk 2 Vectorruimten 2. Axioma s Tot nu toe hebben we het uitsluitend over R n gehad. In de geschiedenis van de wiskunde blijkt
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieb + b c + c d + d a + a
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieEindige Fourier-Analyse in de Additieve Combinatoriek
Eindige Fourier-Analyse in de Additieve Combinatoriek Sam van Gool 22 juni 2007 Bachelorscriptie Begeleiding: prof. dr. T. H. Koornwinder KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatie2. Transformaties en matrices
Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatie