UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN. OPLEIDING baccalarius=batselier=bachelor WISKUNDE ANALYSE I

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN OPLEIDING bcclrius=btselier=bchelor WISKUNDE ANALYSE I Prof. J. Vinds Editie 2015-2016

Anlyse I behndelt Functies vn één reële vernderlijke. Met dnk n Prof. C. Impens (en Prof. H. Verneve) voor het ter beschikking stellen vn de tekst wrop deze cursus gebseerd is. De fouten die deze editie ongetwijfeld bevt, zijn met grote wrschijnlijkheid te wijten n wijzigingen ngebrcht door de uteur. Gelieve ze te melden n jvinds@cge.ugent.be. De figuur op de voorpgin toont de beeldlijn y = cos(13πx) 2 + cos(169πx) 4 + cos(2197πx) 8 en geeft een goed beeld vn het z.g. monster vn Weierstrss + cos(13 n πx) n=0 2, een functie die overl n continu en nergens fleidbr is.

Hoofdstuk 0 Inleiding 0.1 Notties en definities 1. De verzmeling vn de elementen uit A wrvoor de eigenschp P geldt noteren we ls { x A P } of ls { x A : P }. We noteren x A ook ls A x. 2. De nottie A B betekent dt elk element vn A ook tot B behoort. Bij ons betekent A B dt A B en A B; doorgns gebruiken we hiervoor de explicietere nottie A B. De gelijkheid A = B is gelijkwrdig met de combintie vn A B en B A. 3. Het domein of de definitieverzmeling vn een functie f is de verzmeling D f := {x : f(x) is gedefinieerd}. Verder noteren we voor een willekeurige verzmeling A f(a) := {f(x) : x A D f }. I.h.b. noemen we f(d f ) = {f(x) : x D f } de wrdenverzmeling (of beeldverzmeling of kortweg het beeld) vn f. Een nietnegtieve functie f is een functie wrvn lle wrden nietnegtief zijn. We noteren dn f 0. 4. Wij mken het volgende onderscheid tussen functies en fbeeldingen: een functie f: A B heeft ls domein een deelverzmeling vn A; een fbeelding f: A B heeft ls domein A zelf. De mededeling f is een functie A B of f is een fbeelding A B leert over de wrdenverzmeling f(a) enkel dt die een deelverzmeling vn B is. Wil men uitdrukken dt B smenvlt met de wrdenverzmeling, dn zegt men dt f: A B surjectief is, en men schrijft dn bijv. f : A B = f(a). 5. Een functie f: A B is injectief ls elke y f(a) op ten hoogste één mnier te schrijven is ls f(x), m..w. ls f(x 1 ) = f(x 2 ) implicert dt x 1 = x 2. Een bijectie of bijectieve fbeelding f: A B is een fbeelding die zowel injectief ls surjectief is. 6. Is C een deel vn het domein vn f, dn noteren wij de beperking of restrictie vn f tot C ls f/c of f C. Dit is de fbeelding met C ls domein en f(x) ls functiewrde in x C.

4 7. Geheel in de trditie vn de nlyse gebruiken wij, ls uit de context blijkt dt x de vernderlijke is, soms de nottie f(x) voor de functie f. Uit de context moet dn blijken dt hiermee niet de functiewrde vn f in x bedoeld is, mr wel degelijk f zelf. Een volkomen ondubbelzinnige nottie voor f is: x f(x), x A. Soms gebruiken we ook de nottie f( ) i.p.v. f; het punt (de pltshouder ) duidt n wr de vernderlijke ingevuld moet worden om de functiewrde te berekenen. 0.2 Elementen vn logic 1. Negtie ( niet ) noteren wij met, disjunctie ( of ) met, conjunctie ( en ) met, & of gewoon met een komm. We noteren er bestt met en voor lle met. Als de implictie P = Q wr is, dn is hr contrpositie Q = P eveneens wr. De contrpositie is een ndere mnier om hetzelfde uit te drukken. Als P = Q, dn zegt men dt P voldoende is voor Q, en Q nodig voor P. 2. De negtie vn ( x)p (x) moet uitdrukken dt er minstens één uitzonderings-x bestt, en is dus ( x) P (x). Om nloge redenen wordt de negtie vn ( x)p (x) gegeven door ( x) P (x). Vndr de regel om de negtie vn een ingewikkelde gekwntificeerde formule neer te schrijven: vervng lle kwntoren door en omgekeerd, en sluit f met de negtie vn de ltste (meest rechtse) deelformule. Een voorbeeld: de negtie vn is ( ε > 0)( δ ε > 0)( x A)( x A)( x x < δ ε = f(x) f(x ) < ε) ( ε > 0)( δ ε > 0)( x A)( x A)( x x < δ ε & f(x) f(x ) ε). Om de negtie vn de ltste deelformule te nemen, merken we op dt ( x)(p (x) = Q(x)) eigenlijk hetzelfde is ls ( x : P (x))q(x). De negtie is dus ( x : P (x)) Q(x), of nog: ( x)(p (x) & Q(x)). 3. Een belngrijk deel vn de wiskunde bestt uit het bewijzen vn stellingen. De opgve vn een stelling vermeldt het gegeven, d.w.z. een ntl veronderstellingen wrop het bewijs berust, en de te bewijzen eigenschp (kortweg: het te bewijzen). Een bewijs is een logische ketting die het te bewijzen fleidt uit het gegeven gecombineerd met eerder bewezen eigenschppen. Vnzelfsprekend mg men niet steunen op het te bewijzen of op verderop bewezen eigenschppen. 4. De nottie := betekent is bij definitie gelijk n, en =: stt voor wt bij definitie gelijk is n. Het symbool duidt het einde vn een bewijs n. 0.3 Nederlnds 1. Het woord zodt duidt een gevolg n, bijvoorbeeld: Kies 0 < ε < 1, zodt 0 < ε 2 < 1. Een voorwrde moet men nders uitdrukken, bijvoorbeeld: Kies ε > 0 zo dt 0 < sin ε < 1 5 of, iets vlotter: Kies een ε > 0 wrvoor 0 < sin ε < 1 5. 2. Men noemt een eigenschp of een redenering trivil ls ze, hoewel juist, niet de moeite is om bij stil te stn.

Hoofdstuk 1 Getllen 1.0.1 Definitie. Wij noemen het getl positief ls > 0, en negtief ls < 0. Het getl 0 is noch positief noch negtief. Wij noemen het getl nietnegtief ls 0, en nietpositief ls 0. Het getl 0 is tegelijk nietnegtief en nietpositief. 1.0.2 Nottie. Is G een verzmeling getllen, dn noteren wij G + voor de deelverzmeling bestnde uit de positieve elementen vn G. 1.1 Ntuurlijke, gehele en rtionle getllen De verzmeling vn de ntuurlijke getllen noteren we d.m.v. Overeenkomstig de lgemene notties is dn N = {0, 1, 2,... }. N + = {1, 2,... }. 1 Een vn de xiom s vn de ntuurlijke getllen kn ls volgt geformuleerd worden: ls P (n) een formule is die fhngt vn het ntuurlijk getl n, en ls de volgende twee formules wr zijn: () P (0) (b) ( n N)(P (n) = P (n + 1)), dn is de formule P (n) wr voor lle n N. De werkwijze om de formule ( n N)(P (n)) in die twee stppen () en (b) te bewijzen heet volledige inductie. In de prktijk pst men volledige inductie vk informeler toe: men bewijst P (0), dn P (1) op grond vn P (0), eventueel nog P (2) op grond vn P (1), en men ziet (stilzwijgend) in hoe men op nloge wijze lgemeen P (n + 1) uit P (n) moet fleiden. Uit de xiom s vn de ntuurlijke getllen volgt ook 1.1.1 Stelling. Elke nietlege verzmeling vn ntuurlijke getllen heeft een kleinste element. 1 Dt 0 N is een conventie die niet door lle uteurs gevolgd wordt. Enigszins verwrrend wordt de nottie N 0 zowel gebruikt voor N + (door uteurs voor wie 0 N) ls voor N (door uteurs voor wie 0 / N).

6 De verzmeling vn de gehele getllen noteren we d.m.v. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } en de verzmeling vn de rtionle getllen d.m.v. Q = { p q p Z, q N+}. De verzmeling Q vn de rtionle getllen, de reltie < tussen rtionle getllen, de optelling + en de vermenigvuldiging vn rtionle getllen vormen smen een structuur die men een geordend veld noemt. Algemeen wordt een geordend veld (F, <, +, ) vstgelegd door de volgende eigenschppen, wrin 0, 1, <, +, niet de fmiliire betekenis hoeven te hebben. 1. Eigenschppen vn de verzmeling F. 0 F. 1 F. 0 1. 2. Eigenschppen vn <. Voor geen enkele F geldt: <. Voor lle, b F geldt: ls b, dn is hetzij < b hetzij b <. Voor lle, b, c F geldt: ls < b en b < c, dn is < c. 3. Eigenschppen vn +. Voor lle, b F geldt + b F. Voor lle, b F geldt + b = b +. Voor lle, b, c F geldt ( + b) + c = + (b + c). Voor elke F geldt + 0 =. Als F, dn bestt er een F wrvoor + ( ) = 0. 4. Eigenschppen vn. Voor lle, b F geldt b F. Voor lle, b F geldt b = b. Voor lle, b, c F geldt (b c) = ( b) c. Voor elke F geldt 1 =. Als F \ {0}, dn bestt er een 1 F wrvoor ( 1 ) = 1. 5. Verbindingseigenschppen. Voor lle, b, c F geldt: ls < b, dn is + c < b + c. Voor lle, b F geldt: ls 0 < en 0 < b, dn is 0 < b. Voor lle, b, c F geldt (b + c) = ( b) + ( c).

7 1.1.2 Nottie. Men gebruikt meestl de lichtere notties + b + c := ( + b) + c, b := + ( b), 2 := +, 3 := + +, enz., b := b, bc := (b)c, b := 1 b, 2 :=, 3 := enz., + bc := + (bc), > b b <, b ( < b) ( = b), b ( b), enz. 1.1.3 Definitie. In een geordend veld (F, <, +, ) definieert men de bsolute (of volstrekte) wrde vn F d.m.v. { ls 0 = ls < 0. Uitgnde vn de bsiseigenschppen 1-5 kn men, in elk geordend veld (F, <, +, ), de volgende fgeleide eigenschppen bewijzen. Voor elke F is ( ) =. Voor elke F \ {0} is 1 1 =. Voor lle, b F hebben we: b = 0 ( = 0) (b = 0). Voor lle, b F is ( b) = ( )b = (b) en ( )( b) = b. Voor elke F hebben we: > 0 < 0. Voor lle, b, c F hebben we: ls < b en c > 0, dn is c < bc. Voor lle, b, c F hebben we: ls < b en c < 0, dn is c > bc. Voor elke F \ {0} is 2 > 0. In het bijzonder is 1 > 0. Voor lle, b F hebben we: ls 0 < < b, dn is 0 < 1 b < 1. Voor elke F hebben we: 0 ± ± = = 0 = 0. Voor lle, b F hebben we: b b b. Voor lle, b F geldt de driehoeksongelijkheid b ± b + b. Al deze frie eigenschppen heeft in het bijzonder ook het geordend veld (Q, <, +, ). Mr de volgende stelling toont een gebrek vn dit veld n: het bevt gten. 2 2 Ontdekt in de wiskundige school vn Pythgors (6de eeuw vc). De Pythgoreeër die het bestn vn irrtionle getllen bekend mkte ging, zo luidt de legende, in een schipbreuk ten onder. Men weze gewrschuwd.

8 1.1.4 Stelling. Er bestt geen enkel rtionl getl wrvn het kwdrt gelijk n 2 is. ( ) 2 Bewijs. Uit het ongerijmde. Veronderstel dt p N, q N + met p q = 2. Dn is p 0. Door gemeenschppelijke fctoren weg te delen, mogen we nnemen dt p en q niet beide even zijn. Er geldt dt p 2 = 2q 2. Bijgevolg is p even, d.w.z., voor zekere p N is p = 2p. Mr dn is q 2 = 2p 2. Dit is in strijd met het feit dt p en q niet beide even zijn. 1.1.5 Opmerking. Deze stelling kn verregnd verlgemeend worden, wnt een positieve mcht vn een breuk is nooit een ntuurlijk getl, behlve ls de breuk zelf vereenvoudigd kn worden tot een ntuurlijk getl. Het veld (Q, <, +, ) bevt dus zeer veel gten. 3 1.2 Reële getllen Wegens 1.1.4 kn men b.v. n de lengte vn de digonl vn een vierknt met zijde 1 geen rtionl getl hechten, wt erg vervelend is, wnt getllen worden juist gebruikt om n llerlei fysische grootheden (b.v. n lengten vn krommen) een wrde te hechten. Het is welbekend dt de uitbreiding vn de rtionle getllen tot de reële getllen dit probleem oplost. Een belngrijk doel vn deze cursus is om de stellingen uit de nlyse die bekend zijn uit het middelbr onderwijs, rigoureus te bewijzen. Nu worden de reële getllen dr (informeel) ingevoerd d.m.v. decimle ontwikkelingen. Ook worden de gebruikte eigenschppen vn reele getllen hoofdzkelijk ingevoerd op bsis vn een combintie vn meetkundige intuïtie en nlogie met de rtionle getllen. Om te vermijden dt de rigoureuze opbouw vn onze theorie ondermijnd wordt doordt de reële getllen niet rigoureus ingevoerd zijn, zullen we ze invoeren op bsis vn xiom s die juist de vertrouwde eigenschppen uitdrukken vn de decimle ontwikkelingen met hun vertrouwde bewerkingen. 4 Uitgnd vn die xiom s kunnen we dn een rigoureuze theorie vn de nlyse opbouwen. 1.2.1 Axiom s vn de reële getllen We noteren de verzmeling vn de reële getllen d.m.v. R. Het eerste xiom vt een ntl eigenschppen smen die R met Q gemeen heeft: (R, <, +, ) is een geordend veld dt Q bevt. Het tweede xiom zl uitdrukken dt R geen gten bevt. Om dit xiom in een prktisch bruikbre vorm te kunnen formuleren, voeren we eerst enkele definities in. 1.2.1 Definitie. Een bovengrens vn (of: voor) A R is een getl b R met de eigenschp ( A)( b). (1.1) Een verzmeling die een bovengrens heeft noemen we nr boven begrensd. 3 Zelfs meer gten dn getllen, wnt de getllen zijn ftelbr in ntl en de gten niet. 4 Het gebruik vn xiom s is onvermijdelijk, wnt men moet steeds ergens vn kunnen uitgn. Zelfs constructies vn de ntuurlijke getllen d.m.v. verzmelingen zijn onmogelijk zonder onderliggende verzmelingtheoretische xiom s n te nemen.

9 Door negtie vn (1.1) komt er b is geen bovengrens voor A ( A)( > b). (1.2) 1.2.2 Definitie. Een ondergrens of benedengrens vn (of: voor) A R is een getl b R met de eigenschp dt b voor lle A. Een verzmeling die een ondergrens heeft noemen we nr onder (of beneden) begrensd. 1.2.3 Definitie. Een verzmeling is begrensd ls ze zowel nr boven ls nr onder begrensd is. Dit is juist het gevl ls er een c R bestt met de eigenschp dt ( A)( c). Doorgns behoort een bovengrens vn A of een ondergrens vn A niet tot A. 1.2.4 Definitie. Een bovengrens vn A die tot A behoort is het grootste element of mximum vn A, genoteerd mx A. Een ondergrens vn A die tot A behoort is het kleinste element of minimum vn A, genoteerd min A. 1.2.5 Opmerking. Het grootste element vn een verzmeling, ls het bestt, is uniek, en het kleinste, ls dt bestt, eveneens. Een verzmeling met een mximum is uiterrd nr boven begrensd, en een verzmeling met een minimum is nr onder begrensd. Het omgekeerde geldt niet. Veel verzmelingen zijn nr boven begrensd mr hebben geen grootste element (v.b.: {x R : x < 0}), of zijn nr onder begrensd zonder kleinste element te hebben (v.b.: R + ). 1.2.6 Definitie. Als de verzmeling vn lle bovengrenzen voor A een kleinste element heeft, dn noemt men dt element het supremum 5 vn (of voor) A. Men noteert deze kleinste bovengrens vn A ls sup A. Als de verzmeling vn lle ondergrenzen voor A een grootste element heeft, dn noemt men dt element het infimum 6 vn (of voor) A. Men noteert deze grootste ondergrens vn A ls inf A. 1.2.7 Opmerking. Doorgns behoort sup A niet tot A; zo is sup [0, 1[ = 1. Als wél sup A A, dn is sup A meteen het grootste element vn A. Omgekeerd, heeft een verzmeling een grootste element, dn is dt meteen het supremum (dt, in dit gevl, tot de verzmeling behoort). Anloog voor het infimum. Nu kunnen we het tweede xiom vn R, het zgn. supremumprincipe, formuleren: Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum. 1.2.8 Opmerkingen. 1. Men kn ntonen dt er juist één mnier bestt om Q uit te breiden tot een verzmeling die n de xiom s vn R voldoet. 7 5 Ltijn voor het bovenste. Meervoud: suprem. 6 Ltijn voor het onderste. Meervoud: infim. 7 D.w.z., ls men uitgt vn de gebruikelijke xiom s vn de verzmelingenleer. Met juist één mnier wordt bedoeld: ls men op verschillende mnieren verzmelingen R 1, R 2 construeert die voldoen n de xiom s vn R (denk bijv. n verzmelingen vn binire vs. decimle ontwikkelingen), dn gedrgt R 2 zich net zols R 1, op de nmen vn de elementen n. Dt ltste kn men wiskundig uitdrukken door te vrgen dt een bijectie ϕ: R 1 R 2 bestt met de eigenschp dt de bewerkingen op elementen vn R 1 overeenkomen met de bewerkingen in R 2 op de beelden onder ϕ. Zulke ϕ noemt men een isomorfisme.

10 2. Het tweede xiom is minder intuïtief ls het eerste, omdt we het supremumprincipe bij het rekenen met decimle ontwikkelingen niet onder die vorm gebruiken. Men kn echter rechtstreeks ngn dt de verzmeling vn lle decimle ontwikkelingen voldoet n het supremumprincipe (zie Appendix). Het supremumprincipe zl hndig blijken om eigenschppen n te tonen over (functies op) reële getllen. 3. Uit het supremumprincipe zl volgen dt een uniek element x R + bestt wrvoor x 2 = 2, dt we ls 2 zullen noteren (zie 7.1.12). Uit de ervring met decimle ontwikkelingen voelt men n dt 2 = sup{1; 1, 4; 1, 41; 1, 141; 1, 1414;... }. Het supremumprincipe zorgt er dus wel degelijk voor dt de gten in Q opgevuld worden. 1.2.9 Definitie. De elementen vn R \ Q noemt men irrtionle getllen. 1.2.10 Stelling. Bij elke R bestt er een n N + met n >. Bewijs. Als dt niet zo ws, dn bestond er een R met de eigenschp dt n voor lle n N +. De verzmeling N + zou nr boven begrensd zijn (door ) en dus een kleinste bovengrens c bezitten. Wegens c bovengrens vn N + zou 1 c, 2 c, 3 c,... wruit zou volgen ( ) 0 c 1, 1 c 1, 2 c 1,.... Hieruit blijkt dt c 1 ook een bovengrens voor N + is. Dt kn niet, wnt deze bovengrens voor N + is kleiner dn de kleinste bovengrens, c, voor N +. 1.2.11 Stelling. Als R en b R met < b, dn bestt er een rtionl getl (p Z, q N + ) wrvoor < p q < b. (1.3) Bewijs. Gevl 1: 0 < b. Wegens de vorige stelling kunnen we een q N + vinden wrvoor q > 1 b, m..w., wrvoor 1 q < b. Ndt deze q bepld is pssen we de stelling op q toe, en vinden dt er n N + bestn wrvoor q < n. Is p de kleinste vn die n s (toepssing vn stelling 1.1.1), dn is q < p (dus p 1, nders volgt < 0) en p 1 q < p, m..w. p q 1 q < p q. De ltste ongelijkheid is de eerste vn (1.3). Uit de voorltste ongelijkheid hlen we, wegens 1 q < b, dt p q + 1 < + (b ) = b, q p q

11 de tweede ongelijkheid vn (1.3). Gevl 2: < 0 < b. In dit gevl voldoet p q = 0. Gevl 3: < b 0. We kunnen het eerste gevl toepssen op 0 b <. We vinden dn p Z en q N + met b < p p q <, d.i. < q < b. 1.2.12 Gevolg. Tussen elke twee verschillende reële getllen liggen oneindig veel rtionle getllen. Bewijs. Bekijk reële getllen b. Door de stelling ligt er tussen en b minstens één rtionl getl r. Tussen en r ligt opnieuw een rtionl getl, tussen r en b eveneens, enzovoort. Zo vinden we oneindig veel rtionle getllen tussen en b. 1.2.13 Definitie. Een oneindige verzmeling is ftelbr 8 ls zij bijectief is met N. De elementen vn een ftelbre oneindige verzmeling A kunnen fgeteld d.i. op een rij gezet worden: 1, 2,.... Aftelbr zijn b.v.: N, N 2, Z, Q, Q 2, en lle deelverzmelingen hiervn. In 2.2.16 zullen we bewijzen dt R niét ftelbr is. 1.2.2 Eigenschppen vn supremum en infimum 1.2.14 Stelling (Kenmerkende eigenschppen vn het supremum). Zij X een nietlege verzmeling reële getllen. Het reëel getl ω is het supremum vn X juist ls de volgende twee eigenschppen gelden: 1. voor elke x X is x ω 2. voor elke ε > 0 bestt er een x ε X met ω ε < x ε. Bewijs. Als ω = sup X, dn is ω een bovengrens voor X, hetgeen in 1. uitgedrukt is. Verder is ω de kleinste bovengrens vn X. Bijgevolg is ω ε geen bovengrens voor X. Wegens (1.2) volgt dn 2. Omgekeerd, 1. drukt uit dt ω een bovengrens voor X is, en 2. stelt dt ω de kleinste bovengrens is. 1.2.15 Opmerking. In feite moeten we 1.2.14.2 niet voor lle ε > 0 ngn, mr enkel voor positieve ε s die klein genoeg zijn. Veronderstel nl. eens dt voldn is n 1. en n de eigenschp er bestt een ε 0 > 0 wrvoor er, bij elke positieve ε ε 0, een x ε X bestt met ω ε < x ε. (1.4) Dn is ook n 1.2.14.2 voldn. Voor een 0 < ε ε 0 bestt de gezochte x ε door (1.4), en voor een ε > ε 0 kunnen we x ε0 nemen, die immers tot X behoort en voldoet n x ε0 > ω ε 0 > ω ε. Volledig nloog volgt 8 In het Engels: denumerble of countble. Sommige uteurs mken een onderscheid tussen beide en hebben dn een fzonderlijke benming voor eindig of ftelbr oneindig.

12 1.2.16 Stelling (Kenmerkende eigenschppen vn het infimum). Zij X een nietlege verzmeling reële getllen. Het reëel getl α is het infimum vn X juist ls de volgende twee eigenschppen gelden: 1. voor elke x X is α x 2. voor elke ε > 0 bestt er een x ε X met x ε < α + ε. We geven hieronder de voornmste rekenregels voor het supremum. 1.2.17 Stelling. Zij X R, Y R niet leeg en nr boven begrensd. 1. Als er bij elke x X een y Y bestt met y x, 9 dn is sup X sup Y. 2. Wordt de verzmeling vergroot, dn wordt het supremum niet kleiner, m..w.: ls X Y, dn is sup X sup Y. 3. We noteren (voor een reële c) cx := { cx : x X }. Als c 0, dn is cx nr boven begrensd en is sup(cx) = c sup X. Als c 0, dn is cx nr onder begrensd en is inf(cx) = c sup X. Bewijs. 1. Kies x X willekeurig. Dn is x y sup Y (zekere y Y ). Bijgevolg is sup Y een bovengrens voor X. Bij definitie vn sup X is dn sup Y sup X. 2. Voor elke x X is x x en x Y, zodt we deel 1. kunnen toepssen met y := x. 3. Voor c = 0 is cx = {0}, zodt sup(cx) = inf(cx) = 0. Beschouw dn het gevl c < 0. Stel α = sup X. Om te vinden dt inf(cx) = cα gebruiken we 1.2.14 en 1.2.16. (i) elke ξ cx voldoet n ξ cα, wnt ξ = cx met x α; (ii) bij elke ε > 0 bestt er een ξ cx met ξ < (cα) + ε. Het volstt een x X te nemen wrvoor x > α + ε/c (bemerk hierbij dt ε/c < 0 is) en te stellen ξ = cx. Het gevl c > 0 verloopt nloog. 1.2.18 Stelling (Infimumprincipe). Elke nietlege verzmeling vn reële getllen die nr onder begrensd is, heeft een infimum. Bewijs. Als X R nr onder begrensd is, dn is X nr boven begrensd. Wegens 1.2.17.3 is inf X = inf( ( X)) = sup( X). Anloog gelden volgende rekenregels voor het infimum: 1.2.19 Stelling. Zij X R, Y R niet leeg en nr onder begrensd. 1. Als er bij elke x X een y Y bestt met y x, dn is inf Y inf X. 2. Wordt de verzmeling vergroot, dn wordt het infimum niet groter, m..w.: ls X Y, dn is inf Y inf X. 9 Dit drukt in zekere zin uit dt Y bestt uit grotere elementen dn X

13 3. Als c 0, dn is cx nr onder begrensd en is inf(cx) = c inf X. Als c 0, dn is cx nr boven begrensd en is sup(cx) = c inf X. 1.2.20 Nottie. Voor het supremum en infimum vn een verzmeling functiewrden gebruiken we meestl de notties sup f(x) := sup f(a) = sup{f(x) : x A} en inf f(x) := inf f(a) = inf{f(x) : x A} x A x A of korter sup f en inf f. A A 1.2.21 Nottie. Zijn f en g functies met eenzelfde definitieverzmeling D, dn is f + g de functie die x D fbeeldt op f(x) + g(x). Anloog voor f g, fg en, ls g(x) nergens nul is in D, f/g. Verder zeggen we dt f g ls f(x) g(x) voor elke x D. Anloog voor f g. We noemen f nr boven begrensd op een verzmeling A ls f(a) nr boven begrensd is. Anloog voor nr onder begrensd, en voor begrensd. I.h.b. is f begrensd op A juist ls een K R bestt wrvoor geldt dt f(x) K voor lle x A D f. 1.2.22 Stelling. Als de functies f : D R en g : D R nr boven begrensd zijn op A D en c R, dn is 1. sup A (f + g) sup A f + sup g. A 2. sup(f + c) = c + sup f. A A 3. Als f 0 en g 0, dn is ook sup A (fg) sup A f sup g. A Bewijs. 1. Neem willekeurig x A. Dn is f(x) sup A f en g(x) sup A g, zodt ook f(x)+g(x) sup A f +sup A g. Bijgevolg is sup A f +sup A g een bovengrens voor {f(x)+g(x) : x A}. 2. : wegens deel 1. : sup A f = sup A ((f + c) c) ( sup A (f + c) ) c. 3. Anloog ls 1. Anloog hebben we voor het infimum: 1.2.23 Stelling. Als de functies f : D R en g : D R nr onder begrensd zijn op A D en c R, dn is 1. inf(f + g) inf f + inf g. A A A 2. inf(f + c) = c + inf f. A A 3. Als f 0 en g 0, dn is ook inf(fg) inf f inf g. A A A

14 1.2.24 Opmerking. De ongelijkheden in de vorige stelling zijn in het lgemeen geen gelijkheden (zelfs niet ls het supremum een mximum is). B.v., ls f(x) = x, g(x) = 1 x en A = [0, 1], dn is (f + g)(x) = 1, zodt 1.2.25 Stelling. 1 = mx(f + g) = sup(f + g) < sup A 1. sup A f b juist ls ( x A)(f(x) b) 2. inf A f juist ls ( x A)(f(x) ) A A f + sup A 3. sup A f inf A f C juist ls ( x, x A)( f(x) f(x ) C) 4. sup A f inf A f = sup x,x A f(x) f(x ). g = mx f + mx g = 2. A A Bewijs. 1. Beide uitsprken drukken juist uit dt b een bovengrens is vn f(a). 2. Anloog. 3. : neem willekeurig x, x A. Dn is f(x) sup A f en f(x ) inf A f, zodt f(x) f(x ) sup A f inf A f. Anloog is ook f(x ) f(x) sup A f inf A f. : neem willekeurig x, x A. Dn geldt f(x ) C + f(x). Houden we x A vst, dn volgt door deel 1 dt sup A f C + f(x). Bijgevolg is f(x) (sup A f) C voor elke x A. Door deel 2 volgt dn dt inf A f (sup A f) C. 4. is een herformulering vn 3: : kies C := sup A f inf A f. Uit 3( ) volgt dt C f(x) f(x ) voor elke x, x A, zodt C sup x,x A f(x) f(x ). : kies C := sup x,x A f(x) f(x ). Uit 3( ) volgt dt sup A f inf A f C. 1.2.26 Opmerking. Als f(x) < b voor lle x A, dn volgt door de vorige stelling dt sup A f(x) b, mr er geldt niet noodzkelijk dt sup A f(x) < b. B.v., ls f(x) = x en A = ]0, 1[, dn is f(x) < 1 voor lle x A, mr sup A f(x) = 1. Anloog voor het infimum. Men zegt informeel: door het nemen vn suprem of infim worden sterke ongelijkheden zwk. 1.2.3 Reële intervllen 1.2.27 Definitie. Een verzmeling V vn reële getllen noemt men een intervl ls zij de volgende eigenschp heeft: elk punt dt tussen twee punten vn V ligt, behoort tot V. 1.2.28 Opmerking. De lege verzmeling V = is een intervl, omdt de eigenschp voor elke twee punten vn geldt... trivil wr is. 1.2.29 Stelling. Er bestn negen types vn intervllen, nl. 10 10 Interntionl duidt men inbegrepen eindpunten met vierknte hken n, uitgesloten eindpunten met ronde hken, b.v. [, b), (, ].

15 [, b] := {x R x b} ], b[ := {x R < x < b} [, b[ := {x R x < b} ], b] := {x R < x b} ], + [ := {x R x > } [, + [ := {x R x } ], [ := {x R x < } ], ] := {x R x } ], + [ := R (begrensd, gesloten) (begrensd, open) (begrensd, hlfopen) (begrensd, hlfopen) (onbegrensd, open) (onbegrensd, hlfopen of gesloten) (onbegrensd, open) (onbegrensd, hlfopen of gesloten) (onbegrensd, open). Hierin zijn b reële getllen en +, zijn symbolen (geen reële getllen) die op zichzelf geen betekenis hebben. Bewijs. Zij V een nietleeg intervl, en neem V. We ontbinden V ls V = { x V x } { x V x }. }{{}}{{} :=R :=L We bekijken eerst R = { x V x }, en onderscheiden verschillende gevllen. 1. R is nr boven begrensd. Dn bestt b := sup R. We tonen n dt [, b[ R [, b], zodt noodzkelijk R = [, b[ of R = [, b]. R [, b]: ls x R, dn x en x b door de definitie vn R [, b[ R: ls x < b, dn bestt er (eigenschp vn b = sup R) een y R met x < y; ls x =, dn x R omdt R; ls x, dn ligt x tussen twee elementen vn V (nl. R V en y R V ) zodt, omdt V een intervl is, x V ; vndr x R door de definitie vn R. 2. Is R is niet nr boven begrensd, dn is R = [, + [. R [, + [: ls x R, dn x door de definitie vn R [, + [ R: ls x, dn is deze x geen bovengrens vn R (wnt bij veronderstelling heeft R geen bovengrens), zodt er een y bestt met x < y R; uit x < y V volgt dn, omdt V een intervl is, x V ; vndr x R door de definitie vn R. Anloge beschouwingen gelden voor L := { x V x }. Is L nr beneden begrensd, dn heeft L de vorm L = [c, ] of L = ]c, ]; is L niet nr onder begrensd, dn L = ], ]. Uit de drie mogelijke gednten vn R, nl. [, b], [, b[, [, + [ en de drie voor L, nl. [c, ], ]c, ], ], ]

16 volgen voor V = L R de negen mogelijke gednten [c, b], ]c, b], [c, b[, ]c, b[ ], b], ], b[, [c, + [, ]c, + [, ], + [. Het lege intervl moet niet fzonderlijk geteld worden, wnt wij kunnen het opvtten ls een intervl vn het type ]c, b] (b.v. = ]0, 0]). 1.2.30 Opmerking. Een intervl vn de vorm [, + [, ], ] of wordt ook gesloten genoemd, omdt het complement vn een open intervl steeds een gesloten verzmeling genoemd wordt (zie ook Anlyse II). Door het bestn vn onbegrensde gesloten intervllen geeft men een specifieke benming n begrensde gesloten intervllen: 1.2.31 Definitie. Een intervl heet compct ls het gesloten en begrensd is (d.w.z., het is ofwel, ofwel vn de gednte [, b] met b). 1.2.32 Quiz. Wr of niet wr? ( A R, f en g zijn begrensde functies op A.) 1. Als = inf A, dn is A. 2. Als A begrensd is en A, dn is inf A. 3. Als ε > 0 bestt en x A bestt wrvoor x > s ε, dn is s = sup A. 4. inf A (cf + g) c inf A f + inf A g voor elke c R. 5. inf A (cf + g) c inf A f + inf A g voor elke c R. 6. De fbeelding f: R R: f(x) = x 2 is injectief. 7. De fbeelding f: [0, 1] [0, 1]: f(x) = x 2 is injectief. 1.2.33 Quiz. We zullen zien dt de functie sin: R R voldoet n sin(x) = sin(π x). Dn is ook f(sin x) = f(sin(π x)) voor gelijk welke functie f. Kies nu f(x) = x sin x. Dn is x sin x = (π x) sin(π x), zodt x = π x, en dus π = 2x, hetgeen geldt voor gelijk welke x. Wt is fout n deze redenering?

17 1.A Appendix 1.A.1 Stelling. De verzmeling vn lle decimle ontwikkelingen voldoet n het supremumprincipe. Bewijs. We gn hierbij uit vn decimle ontwikkelingen die we noteren ls = m m 1... 0, 1 2... (voor zekere m N), wrbij de cijfers k {0, 1,..., 9}, smen met hun inversen. Voor het gemk definiëren we ook m+1 := 0, m+2 := 0, enz. Bij definitie is zulke 0 en 0. Zij nu, b 0. Dn is bij definitie < b juist ls voor de grootste index k Z met de eigenschp dt k b k, ook geldt dt k < b k. Zij nu A een nietlege verzmeling vn decimle ontwikkelingen die nr boven begrensd is door zekere b = b m b m 1..., met b m 0. We nemen eerst n dt A een nietnegtief element bevt (het ndere gevl wordt nloog bewezen 11 ). Definieer nu het cijfer s m := mx{ m : A, 0}. Dit cijfer bestt omdt we het mximum nemen over een nietlege, eindige verzmeling. Vervolgens definiëren we s m 1 := mx{ m 1 : A, 0, m = s m }. Door de definitie vn s m is de verzmeling in het rechterlid opnieuw nietleeg. Anloog definieren we s m 2 := mx{ m 2 : A, 0, m = s m, m 1 = s m 1 }, enz. We tonen nu eerst n dt de zo geconstrueerde s een bovengrens is vn A. Neem drtoe willekeurig A. Als 0, dn is duidelijk 0 s. Blijft het gevl > 0. Dn is b, dus k = 0 ls k > m. Bij definitie vn s m is m s m. Als m < s m, dn is s. Blijft het gevl m = s m. Bij definitie vn s m 1 is dn m 1 s m 1, enz. Blijft dus enkel het gevl dt de strikte ongelijkheid zich nooit voordoet, mr dn is k = s k voor elke k, en dus = s. We tonen tenslotte n dt s de kleinste bovengrens is. Neem drtoe een willekeurige bovengrens b vn A. Als b k > 0 voor zekere k > m, dn is b s. Blijft het gevl b k = 0 voor elke k > m. Omdt A, 0 bestt met m = s m en b, is b m s m. Als b m > s m, dn is b s. Blijft het gevl b m = s m. Omdt A, 0 bestt met m = s m en m 1 = s m 1 en b, is b m 1 s m 1, enz. Blijft dus enkel het gevl dt de strikte ongelijkheid zich nooit voordoet, mr dn is b k = s k voor elke k, en dus b = s. 11 Als A een negtieve bovengrens heeft, dn loopt het bewijs nloog (nu met minim i.p.v. mxim in de definitie vn de s k ). In het overblijvende gevl is sup A = 0.

Hoofdstuk 2 Reële rijen 2.1 Elementire theorie 2.1.1 Definitie. Een reële rij is een fbeelding f : N + R. Expliciete reële rijen schrijft men bij fsprk door de termen op te sommen in de volgorde f(1), f(2),..., b.v. 1, 1 2, 1 3,..., ( 1)n 1,.... n Als de rij in die vorm gegeven is kn men de functie f : N + R gemkkelijk reconstrueren: f(1) is de eerste vn de opgesomde termen, f(2) de tweede enzovoort. Als een reële rij niet expliciet gegeven is, dn noteert men ze ls x 1, x 2,..., x n,..., (x n ) n N +, (x n ) n of (x n ), of men omschrijft ze ls de rij x n. Hierin noemt men n het rngnummer of index vn de term x n. In plts vn x mg men gelijk welke ndere beschikbre letter gebruiken om een lgemene rij te noteren. Algemener noemt men ook een fbeelding f : {n 0, n 0 + 1, n 0 + 2,... } R, met n 0 N, een reële rij, die men dn noteert ls (x n ) n n0. Door de termen te hernummeren kn men zo n rij herleiden tot het stndrdmodel wrin N + de definitieverzmeling is. 2.1.2 Opmerking. Volgens onze definitie heeft elke rij oneindig veel termen, mr die termen kunnen gelijk zijn. Zo zijn lle termen vn de rij 1, 1,... gelijk. 2.1.3 Definitie. De reële rij (x n ) convergeert nr ( R) ls wt we soms fkorten tot 2.1.4 Voorbeeld. De rij ( ε > 0)( N N + )( n N + )(n N = x n < ε), (2.1) ( ( 1) n 1 n x n < ε zodr n N ε. ) convergeert nr 0. 2.1.5 Opmerking. Het is soms nuttig de ongelijkheid x n < ε te vervngen door het gelijkwrdig stel ongelijkheden ε < x n < + ε. Verder kn men N vervngen door > N, en/of < ε door ε zonder dt de betekenis vn de formule (2.1) verndert. 2.1.6 Definitie. Als de rij (x n ) nr convergeert dn noemt men de limiet vn de rij (x n ), en men noteert lim n + x n = (te lezen ls de limiet vn x n ls n divergeert nr plus oneindig ) of korter lim n x n = of nog x n (ls n + ).

19 2.1.7 Nottie. De negtie vn x n noteren wij ls x n, hetgeen kn inhouden dt de rij (x n ) niet convergeert, ofwel dt ze convergeert nr een limiet die niet is. De zegswijze de limiet vn x n wordt gerechtvrdigd door de volgende stelling: 2.1.8 Stelling. De limiet vn een convergente rij is uniek. Bewijs. Als de rij zowel nr ls nr b convergeert, gelden tegelijkertijd en x n < ε/2 zodr n N x n b < ε/2 zodr n N b. Zij N het grootste vn de twee getllen N en N b. Voor lle n N geldt dn door de driehoeksongelijkheid dt b x n + x n b < ε. Omdt ε > 0 willekeurig is, is b geen positief getl, zodt b = 0 en dus = b. 2.1.9 Definitie. Een reële rij (x n ) divergeert nr + ls wt we meestl fkorten tot ( M R)( N N + )( n N + )(n N = x n > M), x n > M zodr n N. We noteren dn kortweg x n + (ls n + ). Men kn N vervngen door > N, en/of > M door M zonder dt de betekenis vn de formule verndert. 2.1.10 Voorbeeld. ( n 2 1 n) +. 2.1.11 Definitie. Een reële rij (x n ) divergeert nr ls wt we meestl fkorten tot ( M R)( N N + )( n N + )(n N = x n < M), x n < M zodr n N. We noteren dn kortweg x n (ls n + ). Ook hier kn men N vervngen door > N, en/of < M door M zonder dt de betekenis vn de formule verndert. 2.1.12 Opmerking. De eventuele convergentie, en de wrde vn de limiet, worden niet beïnvloed door het weglten (of toevoegen) vn een eindig ntl begintermen. Als de rij x 1, x 2, x 3,... convergeert, dn zl ook de rij x N, x N+1, x N+2,... convergeren, nr dezelfde limiet. Dit betekent ook dt, ls (x n ) convergeert, we b.v. mogen schrijven dt lim x n = lim x n+1 n + n + wnt voluit geschreven stt er dn dt de limiet vn de rij x 1, x 2,... dezelfde is ls de limiet vn de rij x 2, x 3,....

20 2.1.13 Definitie. Overeenkomstig de definitie voor functies (zie 1.2.21) noemen we een reële rij (x n ) nr boven begrensd ls {x n : n N} nr boven begrensd is, m..w. ls er een constnte M bestt wrvoor geldt dt x n M voor lle n. Ze is nr beneden/onder begrensd ls er een constnte m bestt wrvoor geldt dt x n m voor lle n. Een reële rij (x n ) noemen we begrensd ls ze nr boven en nr beneden begrensd is, m..w. ls er een constnte K bestt wrvoor geldt dt x n K voor lle n. 2.1.14 Stelling. Een convergente rij is begrensd. Bewijs. Kies ε = 1 in de definitie vn convergentie. Dn hebben we i.h.b. dt x n < 1 zodr n N. Door de driehoeksongelijkheid verkrijgen we dn Vndr geldt voor lle n N dt x n = (x n ) + < 1 + zodr n N. x n < 1 + + x 1 + x 2 + + x N 1 =: K. 2.1.15 Stelling. Als x n en y n b, dn x n + y n + b en x n y n b. Bewijs. Kies willekeurig ε > 0. Dn is ls n groot genoeg is. (x n ± y n ) ( ± b) x n + y n b ε 2 + ε 2 2.1.16 Hulpstelling. Als x n 0 en c R, dn ook cx n 0. Bewijs. Als c = 0, dn is duidelijk cx n 0. Als c 0, dn is c > 0. Wegens x n 0 bestt er, bij elke ε > 0 een N ε met de eigenschp dt x n < ε/ c zodr n > N ε. Er volgt cx n < ε zodr n > N ε. 2.1.17 Stelling (Sndwich-regel). Als x n y n z n voor lle n, en ls x n en z n, dn ook y n. Bewijs. Bij veronderstelling hebben we ε x n + ε voor n m ε z n + ε voor n M. Zij N het grootste vn de twee getllen m en M. Dn hebben we ε x n y n z n + ε voor n N. Dit betekent dt y n ε voor lle n N.

21 De volgende regel zl ons soms wt ε-werk bespren bij het ntonen vn convergentie: 2.1.18 Gevolg. Als x n y n voor lle n, en ls y n 0, dn is x n. Bewijs. Omdt 0 x n y n voor lle n, is x n 0 door de sndwich-regel. Dit betekent juist dt x n ε zodr n N ε, m..w. x n. 2.1.19 Opmerking. Eigenschppen vn limieten blijven ook gelden ls de voorwrden ps vnf een bepld rngnummer vervuld zijn, wnt de limiet verndert niet door het weglten vn een eindig ntl termen. 2.1.20 Stelling. Als x n, dn x n. Bewijs. xn xn 0. 2.1.21 Opmerking. x n 0 x n 0, wnt beide zijn gelijkwrdig met: x n < ε, zodr n N ε. Voor 0 geldt de equivlentie niet. 2.1.22 Stelling. Als x n en y n b, dn x n y n b. Bewijs. We hebben x n y n b = (x n y n y n ) + (y n b) x n y n y n + y n b = y n x n + y n b M x n + y n b, wrbij we gesteund hebben op y n M. Uit 2.1.15 en 2.1.16 volgt dt zodt x n y n b door 2.1.18. M x n + y n b 0, 2.1.23 Stelling. Als x n 0, dn is x n 0 vnf een zeker rngnummer N, en de rij (1/x n ) n N convergeert nr 1/. Bewijs. Uit x n > 0 (vorige stelling) volgt, met de keuze ε = /2, dt 2 x n <... zodr n N. Dit leert in het bijzonder dt x n 0 voor n N. Verder hebben we voor n N 1 1 x n = x n x n < 2 2 x n 0 = 2 < wrbij de ongelijkheid geldt omdt x n > /2 voor n N. 2.1.24 Opmerking. Als x n 0 en x n 0 vnf een zekere index, dn is 1/ x n +. 2.1.25 Gevolg. Als y n 0, en x n b, dn x n /y n b/. 2.1.26 Stelling. Als x n 0 voor lle n, en x n, dn 0.

22 Bewijs. We hebben ε < x n < + ε voor n voldoende groot. Als < 0, dn kunnen we ε = 2 > 0 kiezen, zodt x n < + ε = 2 < 0 voor n voldoende groot. Dit is in strijd met het gegeven. 2.1.27 Gevolg. Als x n y n voor lle n, en x n, y n b, dn is b. 2.1.28 Opmerking. Als x n < y n voor lle n, en x n, y n b, dn is b mr niet noodzkelijk < b. Zo is 0 < 1 n voor lle n en n limietovergng volgt 0 0 mr niet 0 < 0. Men zegt informeel: door limietovergng worden sterke ongelijkheden zwk. 2.1.29 Gevolg. Als lle termen vn een convergente rij in het compct intervl [, b] liggen, dn ligt ook de limiet drin. Bewijs. Bij veronderstelling hebben we x n b voor lle ntuurlijke n. N limietovergng volgt = lim n lim n x n lim n b = b. 2.1.30 Stelling. Als x n 0, en y n +, dn is x n y n + ls > 0, en x n y n ls < 0. Bewijs. Als > 0 (het ndere gevl is nloog), dn is x n > /2 zodr n N. Gegeven M > 0 wordt dus x n y n > M/2 (d.w.z. willekeurig groot), zodr n voldoende groot is. 2.2 Stelling vn Bolzno-Weierstrss 2.2.1 Definitie. Een reële rij (x n ) heet stijgend 1 ls Geldt de sterkere eigenschp x 1 x 2 x 3.... x 1 < x 2 < x 3 <..., dn noemen wij de rij strikt stijgend. Anloge definities gelden voor dlend en strikt dlend. Stijgende en dlende rijen vormen smen de monotone rijen. 2.2.2 Stelling. Is een stijgende reële rij (x n ) nr boven begrensd, dn convergeert ze, en is lim x n = sup x n. In het ndere gevl divergeert ze nr +. n + n N + Bewijs. Doordt de verzmeling A = { x n n N + } niet leeg is, en nr boven begrensd door M, heeft ze een kleinste bovengrens, die men doorgns kortweg noteert ls sup n N + x n. Stel = sup n N + x n. We gn n dt x n, en nemen drtoe een willekeurige positieve ε. Doordt = sup n N + x n, bestt er een x N A met x N > ε. Door het stijgend krkter vn x n volgt hieruit dt x n > ε voor lle n N. 1 logischer zou zijn niet-dlend

23 Combineren we dit met dn verkrijgen we x n voor lle n, ε < x n < + ε voor lle n N. Is de rij (x n ) niet nr boven begrensd, dn geldt ( M R)( N N)(x N M), m..w. ( M R)( N N)(x N > M). Omdt de rij stijgend is, volgt hieruit dt x n > M voor lle n N, m..w. (x n ) is divergent nr +. Anloog bewijst men: 2.2.3 Stelling. Een dlende reële rij (x n ) is nr beneden begrensd ls en slechts ls ze convergeert. In dt gevl is lim n + x n = inf n N + x n. In het ndere gevl divergeert ze nr. 2.2.4 Opmerking. De beide vorige eigenschppen zijn vls in Q. 2.2.5 Definitie. Een deelrij vn een gegeven rij 1, 2,... is, formeel gesteld, een beperking vn de oorspronkelijke rij (die een functie is) tot een oneindige deelverzmeling vn hr definitieverzmeling; informeel gesteld: een rij die ontstn is door uit de gegeven rij termen weg te lten zonder de volgorde vn de opgesomde termen te vernderen. Zo zijn de rijen 1, 3, 5, 7,..., 2n + 1,... en 1, 4, 9, 16,..., n 2,... twee deelrijen vn de rij 1, 2, 3,.... Een trivile deelrij vindt men door heleml geen termen weg te lten, en de oorspronkelijke rij te behouden. Een lgemene deelrij vn de rij 1, 2, 3,..., n,... heeft het uitzicht n1, n2, n3,..., nk,... wrbij 1 n 1 < n 2 < n 3 <.... We noteren een deelrij vn ( n ) n N + lgemeen ls ( nk ) k N +. Merk op: n k is het oude rngnummer vn de k-de term die men lt stn. In de nottie n k heeft n geen betekenis, k wel. 2.2.6 Opmerking. De nieuwe rngnummers hebben de eigenschp dt n k k. Inderdd, n k = k ls lle termen 1,..., k blijven stn; n k > k zodr één vn die termen 1,..., k geschrpt wordt. 2.2.7 Stelling. Elke deelrij vn een convergente rij is zelf convergent, en wel nr dezelfde limiet ls de oorspronkelijke rij. Bewijs. Stel dt n, en dt ( nk ) k N een deelrij is vn ( n ) n N +. Het gegeven is gelijkwrdig met n < ε ls n N. In het bijzonder hebben we dus nk < ε ls n k N. Wegens n k k is n k N ls k N. Vndr nk < ε zodr k N.

24 2.2.8 Gevolg. Als een rij twee deelrijen heeft met verschillende limieten, dn is ze niet convergent. Nu een verrssende eigenschp, die ntoont dt in zekere zin geen chotische rijen bestn. 2.2.9 Stelling. Elke reële rij heeft een monotone deelrij. Bewijs. Zij (x n ) de gegeven rij. We noemen m N + een topnummer ls de bijhorende term groter is dn lle volgende termen, m..w. ls x m > x k voor lle k > m. We onderscheiden twee gevllen. Gevl 1: er zijn oneindig veel topnummers. Kies een topnummer m 1. Omdt er oneindig veel topnummers zijn kunnen we een topnummer m 2 > m 1 vinden, dn een topnummer m 3 > m 2 enzovoort, kortom we vinden topnummers m 1 < m 2 <.... Door de definitie vn topnummer is dn x m1 > x m2 >..., wt een dlende deelrij vn (x n ) is. Gevl 2: er zijn mr een eindig ntl (eventueel geen) topnummers. Stel dt m het grootste topnummer is; ls er geen topnummers zijn, kies dn m = 1. In beide gevllen is n 1 := m + 1 (groter dn het grootste topnummer) géén topnummer, zodt er een n 2 > n 1 bestt wrvoor x n1 x n2. Ook n 2 (nog groter dn het grootste topnummer) is geen topnummer, zodt er een n 3 > n 2 bestt wrvoor x n2 x n3. Op die mnier verder gnd vinden we een stijgende deelrij x n1 x n2 x n3... vn (x n ). 2.2.10 Gevolg. Elke begrensde rij heeft een convergente deelrij. Bewijs. Wegens de stelling bezit de gegeven rij een monotone deelrij, die nu nr boven en nr onder begrensd is, en dus zeker convergeert. 2.2.11 Stelling (Stelling vn de convergente deelrij, stelling vn Bolzno-Weierstrss). Als lle termen vn een rij in het compct intervl [, b] liggen, dn bezit die rij een deelrij die convergeert nr een punt vn dt intervl. Bewijs. Wegens 2.2.10 bezit de gegeven rij (x n ) n een convergente deelrij (x nk ) k. (x nk ) k een rij uit het compct intervl [, b] is, behoort hr limiet tot [, b]. Omdt Deze krchtige stelling heeft in het vervolg tl vn toepssingen. Het nu volgende fundmentele Kenmerk vn Cuchy krkteriseert, merkwrdig genoeg, de convergentie vn een rij zonder dt de limiet vernoemd wordt! 2.2.12 Stelling (Kenmerk vn Cuchy 2 ). Een reële rij (x n ) convergeert ls en slechts ls er bij elke ε > 0 een ntuurlijke N ε bestt met de eigenschp x n x m < ε ls n > N ε, m > N ε. (2.2) Bewijs. Zij eerst x n. Voor elke ε > 0 bestt er een N met de eigenschp dt Als nu n > N en m > N, dn hebben we x n < ε/2 ls n > N. x n x m = (x n ) (x m ) x n + x m < ε/2 + ε/2 = ε. 2 Bolzno 1817; Cuchy 1821

25 Omgekeerd, veronderstel dt (2.2) geldt. We moeten ntonen dt de rij convergeert. () Het eerste probleem is, een kndidt-limiet te vinden. Hiertoe zullen we voorf ngn dt de gegeven rij begrensd is. Door (2.2) toe te pssen met ε = 1 vinden we dt er een N bestt wrvoor x n x m < 1 ls n > N, m > N. De driehoeksongelijkheid leidt dn tot x n x n x m + x m < x m + 1 ls n > N en m > N, in het bijzonder is x n x N+1 + 1 ls n > N. Vndr geldt voor lle n N x n x N+1 + 1 + x 1 + x 2 + + x N =: M. De rij (x n ) is dus begrensd, en heeft wegens 2.2.10 een convergente deelrij, stel x nk γ. Als de rij x n convergeert, kn dit enkel nr γ zijn. Dt dit inderdd het gevl is, tonen we nu n. (b) Om te vinden dt x n γ kiezen we willekeurig ε > 0 en schrijven we x n γ x n x nk + x nk γ. }{{}}{{} =:A =:B Pssen we (2.2) toe op A, dn blijkt dt A < ε/2 zodr n > N ε en n k > N ε, dus (wnt n k k) zodr n > N ε en k > N ε. Anderzijds hebben we, wegens x nk γ, dt B < ε/2 zodr n k > N ε, dus (wnt n k k) zeker zodr k > N ε. Noemen we M ε = mx{n ε, N ε}, dn volgt x n γ < ε zodr n, k > M ε. Mr k komt in deze formule niet meer voor! Vndr hebben we x n γ < ε zodr n > M ε. 2.2.13 Opmerking. Het kenmerk vn Cuchy drukt op een ndere mnier uit dt de reële rechte geen gten bevt, en is vls in Q. Hier een tweede fundmentele toepssing vn Bolzno-Weierstrss. 2.2.14 Stelling (Stelling vn de vernestelde compcte intervllen 3 ). Is [ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ],... een rij 4 vn nietlege compcte intervllen 5 met de eigenschp [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ]..., dn is n N +[ n, b n ], m..w. er bestt minstens één reële ξ die tot lle [ n, b n ] s behoort. Als bovendien dn is die ξ n N +[ n, b n ] uniek, en ξ = lim (b n n ) = 0, (2.3) n + lim n = lim b n. n + n + 3 Cntor 1884 4 een rij intervllen is een ftelbre verzmeling vn intervllen, opeenvolgend genummerd 5 Denk ern dt ook een compct intervl is

26 Bewijs. We bouwen een rij op door uit elke [ n, b n ] één element te kiezen: x 1 [ 1, b 1 ], x 2 [ 2, b 2 ],.... De rij (x n ) is een rij uit [ 1, b 1 ], en is dus begrensd. Door de stelling vn de convergente deelrij bestt er een deelrij x nk ξ [ 1, b 1 ]. De limiet ξ behoort niet lleen tot [ 1, b 1 ], mr ook tot [ N, b N ] voor elke N. Immers, lle termen x i behoren tot [ N, b N ], eventueel op een eindig ntl termen x 1, x 2,..., x N 1 n. Drdoor behoren ook de termen x nk, eventueel op een eindig ntl termen n, tot [ N, b N ] en bijgevolg ligt de limiet vn deze rij, ξ, in [ N, b N ]. Veronderstel nu dt ook (2.3) geldt. Neem eens n dt, behlve ξ, ook ξ ξ tot lle [ n, b n ] s behoort. Dn hebben we voor lle n N dt b n n ξ ξ > 0. Dit is in strijd met (2.3), dt immers inhoudt dt b n n < ξ ξ zodr n groot genoeg is. Tenslotte hebben we voor elke n N dt ξ [ n, b n ], zodt n ξ b n n 0. Bijgevolg hebben we n ξ en nloog b n ξ. Wegens 2.1.8 is ξ uniek. 2.2.15 Opmerkingen. 1. Deze stelling drukt op een ndere mnier uit dt R geen gten bevt, en is vls in Q. 2. Als één vn de gegeven intervllen leeg is, dn is n N +[ n, b n ] =. Met de nu volgende stelling toonde Cntor ls eerste n dt er verschillende grdties vn oneindigheid bestn, met nme dt een reëel intervl echt meer elementen bevt dn Q. 2.2.16 Stelling (Cntor, 1874). Een compct intervl [, b] met < b is niet ftelbr. Bewijs. Veronderstel dt de elementen vn [, b] ls één rij x 1, x 2,... kunnen geschreven worden. We zullen ntonen dt [, b] minstens één element ξ heeft dt niét in die rij stt, wrmee een tegenstrijdigheid verkregen is. Het bewijs gebruikt het volgende elementire feit: ls drie neensluitende compcte intervllen gegeven zijn, stel [t, u], [u, v] en [v, w] met t < u < v < w, dn kn een gegeven reëel getl niet tot lle drie behoren (hoogstens tot twee, ls het gegeven getl toevllig u of v is). We verdelen [, b] in drie neensluitende compcte intervllen met lengte (b )/3. Omdt x 1 niet tot lle drie kn behoren, kunnen we een vn die intervllen kiezen dt x 1 niet bevt; noem het [ 1, b 1 ]. We verdelen dn [ 1, b 1 ] in drie neensluitende compcte intervllen met lengte (b )/9, en noemen één vn die drie dt x 2 niet bevt: [ 2, b 2 ]. Zo verder gnde construeren we een rij vn compcte intervllen wrvoor [, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]..., b n n 0 (2.4) x n / [ n, b n ] (n = 1, 2,... ). (2.5) Wegens de voorfgnde stelling bestt er een ξ [, b] die tot elke [ n, b n ] behoort. Deze ξ kn onmogelijk een vn de x n s zijn, wnt wegens (2.5) behoort geen enkele x n tot lle intervllen [ n, b n ]. 2.2.17 Gevolg. R is niet ftelbr. Bewijs. Als we R konden ftellen dn konden we ook, door elementen te schrppen, bijvoorbeeld het intervl [0, 1] ftellen. Dt kn niet, zols ngetoond in de stelling.

27 2.2.18 Quiz. Wr of niet wr? 1. Elke begrensde rij vn reële getllen heeft een convergente deelrij. 2. Elke convergente rij vn reële getllen heeft een begrensde deelrij. 2.3 Oefeningen Welke vn de volgende rijen zijn () nr boven begrensd? (b) convergent? (c) divergent nr ±? In gevl vn convergentie: bepl de limiet. (1) ( n+1 n ) (2) ( 1 2n ) (3) ( 3 1 n+2 n) (4) 2 (5) ( n 2 + 1 ) n n (6) n2 n. n 3

Hoofdstuk 3 Limieten vn functies 3.1 Limieten vn functies We bespreken in dit hoofdstuk limieten vn functies f: R R; in het vorige hoofdstuk ging het over limieten vn rijen (x n ). 3.1.1 Definities. 1. In R is de open bl met middelpunt R en strl R R + een ndere benming voor het open intervl ] R, + R[. Soms noteren we hiervoor B(, R). 2. Het punt is een ophopingspunt vn een verzmeling V (wrtoe het niet hoeft te behoren) ls voor elke R > 0 geldt dt B(, R) V oneindig veel elementen heeft. 3. Een deelverzmeling V vn R heet een omgeving vn, en zelf heet een inwendig punt vn V ls er een R > 0 bestt wrvoor ] R, + R[ V. 4. Het inwendige V vn een verzmeling V bestt uit lle inwendige punten vn die verzmeling. 5. Is V een omgeving vn, dn noemt men V \ {} een doorprikte omgeving 1 vn. 3.1.2 Definitie. Zij f een functie R R, met domein D, en zij een ophopingspunt vn D. Men noemt L R de limiet vn f voor x nderend tot ls de volgende formule geldt: of (wt hetzelfde is) ( ε > 0)( δ > 0)( x D)(0 < x < δ = f(x) L < ε), ( ε > 0)( δ > 0)( x D \ {})( x < δ = f(x) L < ε). (3.1) We schrijven hiervoor ook dt (voor een willekeurige ε > 0) 1 In het Engels: punctured neighbourhood f(x) L < ε zodr 0 < x < δ ε, x D.

29 3.1.3 Nottie. Als L de limiet vn f is voor x nderend tot, dn noteren we lim x f(x) = L of f(x) L ls x. Dt de limiet, ls die bestt, enig is, toont men op dezelfde wijze n ls voor de limiet vn rijen. 3.1.4 Opmerkingen. 1. Het l dn niet bestn vn de limiet vn f in, en de wrde ervn, wordt niet beïnvloed door het feit of f in gedefinieerd is of niet, en zo j, wt f() is. 2. Doordt een ophopingspunt vn D is bestn er ltijd x D\{} met x < δ, wnt D B(, δ) heeft oneindig veel elementen, dus ook oneindig veel elementen verschillend vn. 3. Men mg in de definitie 3.1.2 ook schrijven 0 < x δ, mr niet 0 x δ. De eventuele wrde vn f in mg immers geen rol spelen. De volgende stelling toont n dt we limiet vn een functie kunnen uitdrukken d.m.v. limieten vn rijen, zols beschouwd in het vorige hoofdstuk. 3.1.5 Stelling (Rijenkenmerk voor limieten). De eigenschp lim x f(x) = L is gelijkwrdig met: voor elke rij (x n ) n N + uit D \ {} die nr convergeert, convergeert de rij vn de functiewrden (f(x n )) n N + nr L. Bewijs. Als lim x f(x) = L, dn hebben we f(x) L < ε zodr 0 < x < δ ε, x D. In het bijzonder hebben we voor elke rij D \ {} x n dt f(x n ) L < ε zodr x n < δ ε. Wegens x n is x n < δ ε voor n N. Vndr f(x n ) L < ε zodr n > N. Omgekeerd, zij f(x n ) L voor elke rij D \ {} x n. We bewijzen uit het ongerijmde dt lim x f(x) = L. Veronderstel dus dt (3.1) vls is. Dn zou de formule ( ε > 0)( δ > 0)( x D \ {})( x < δ & f(x) L ε) wr zijn. Kies zo n uitzonderlijke ε, stel ε 0. Nemen we δ = 1, dn vinden we een x 1 D\{} met x 1 < 1 en f(x 1 ) L ε 0. Kies drn δ = 1/2, wt een x 2 D \ {} oplevert met x 2 < 1/2 en f(x 2 ) L ε 0. Gn we zo verder, dn bouwen we in D \ {} een rij x 1, x 2,... op die blijkbr nr convergeert, wnt x n < 1/n < ε zodr n > 1/ε, mr wrvoor de rij f(x 1 ), f(x 2 ),... niet convergent is nr L, wnt f(x n ) L ε 0 voor lle n. Dt is strijdig met het gegeven.

30 3.1.6 Gevolg. De functie f heeft een limiet in ls en slechts ls er geldt: voor elke rij uit D \ {} die convergeert nr is de rij vn de functiewrden convergent. Bewijs. Zij lim x f(x) = L. Uit de voorfgnde stelling volgt dt f(x n ) L voor elke rij uit D \ {} die convergeert nr. Omgekeerd, veronderstel dt de rij (f(x n )) convergent is voor elke rij x n uit D\{}. Dn is lim n f(x n ) ltijd hetzelfde getl, welke rij x n men ook kiest in D\{}. Inderdd, neem eens twee vn die rijen, stel (x n ) en (x n). De rij x 1, x 1, x 2, x 2,... is dn ook een rij uit D \{} die convergeert nr. Door het gegeven is de rij f(x 1 ), f(x 1 ), f(x 2), f(x 2 ),... convergent, stel nr L. Elk vn de twee deelrijen f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... en f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... is dus ook convergent nr L. Wegens de voorfgnde stelling hebben we dn lim x f(x) = L. 3.1.7 Gevolg. Als lim x f(x) en lim x g(x) bestn, dn is ook 2 1. lim x f(x) = lim x f(x) 2. lim x 1 f(x) = 1 lim x f(x), ls lim x f(x) 0 3. lim x f(x) + g(x) = lim x f(x) + lim x g(x) 4. lim x f(x)g(x) = lim x f(x) lim x g(x) 5. lim x f(x) lim x g(x), ls f(x) g(x) in een doorprikte omgeving vn 6. Als lim x f(x) = lim x g(x) = L en f(x) h(x) g(x) in een doorprikte omgeving vn, dn is ook lim x h(x) = L. Bewijs. Vi het rijenkenmerk herleiden deze eigenschppen zich tot de corresponderende eigenschppen voor limieten vn rijen. Bijv.: 2. Zij willekeurig (x n ) een rij uit D \ {} die nr convergeert. Door het gegeven en het rijenkenmerk is dn f(x n ) lim x f(x) =: L 0. Dn is 1/f(x n ) 1/L. Door het rijenkenmerk is dn 1/f(x) 1/L. 3.1.8 Definitie. Men beschouwt ook limieten met een beperking vn de vernderlijke tot een deelverzmeling A R. Zo betekent lim x,x A f(x) = L dt lim(f/(a D))(x) = L. x In (3.1) moet men dn D vervngen door A D. I.h.b. gebeurt het vk dt men enkel kijkt nr punten rechts vn. Men noemt dn lim x,x ],+ [ f(x) de rechterlimiet vn f voor x nderend tot (of kortweg: de rechterlimiet vn f in ). Men noteert dit doorgns beknopter ls lim f(x) of lim f(x) of lim f(x) of f(+). x,x> x + x > Verder wordt de uitdrukking lim x,x> f(x) = L ook op de volgende mnieren genoteerd: f(x) L ls x + f(x) L ls x > f(x) L < ε zodr < x < + δ ε, x D. 2 de rekenregels wrin zowel f ls g voorkomen vereisen dt een ophopingspunt is vn D f D g