The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet (https://wwwyoutubecom/user/numberphile waarin Ed Copland een gedachte-experiment uitlegt waarmee hij de decimalen van π bereent aan de hand van twee botsende ballen De proef is in realiteit moeilij uitvoerbaar omdat de massaverhouding van de twee puntmassa s zeer groot moet zijn en omdat de botsingen oo volledig elastisch moeten zijn De verlaring van Copland voor dit fenomeen tro me ster aan omdat ze een lin legt met lineaire transformaties in vectorruimten, met eigenwaarden en met eigenvectoren Aangemoedigd door de eenvoud van het eindresultaat van deze afleiding, ging Dir Dancaert op zoe naar een compactere verlaring Die vond hij door de vectorruimte van Ed Copland uit te breiden tot een inproductruimte Probleemstelling Stel, je hebt een zware bal met massa M en een lichte met massa m Je geeft de zware bal een beginsnelheid u 0 in de richting van de lichte bal De lichte bal heeft beginsnelheid v 0 = 0 De zware bal botst op de lichte We veronderstellen dat deze botsing volledig elastisch is Dit wil zeggen dat er behoud is van totale (inetische energie en dat er behoud is van impuls Hierdoor wordt de zware bal een beetje afgeremd en rijgt de lichte bal een bepaalde snelheid in de richting van een (elastische muur We noemen deze snelheden na één botsing u en v Figuur : Beginsituatie en situatie na de eerste botsing Na de botsing tegen de muur eert de lichte bal in tegengestelde zin terug zonder verlies van snelheid De snelheidsvectoren van beide ballen zijn nu eventjes tegengesteld georiënteerd Na een tweede botsing tussen beide ballen, zal de zware bal weer een beetje afgeremd worden en zal de lichte bal opnieuw aan
snelheid winnen De twee snelheidsvectoren u en v wijzen nu in dezelfde richting De vraag die in dit artiel wordt opgelost is Hoeveel botsingen zullen er zijn vooraleer de zware bal zo ster afgeremd is dat de volgende ti zijn snelheidsvector zal doen omeren? Dit aantal botsingen blijt een onverwachte relatie te hebben met het getal π Na de terugeer zal de zware bal bij ele ti van de lichte bal aan snelheid winnen De lichte bal zal hierdoor meer en meer afgeremd worden Na een aantal botsingen moet de snelheid van de zware bal onvermijdelij groter worden dan die van de lichte De lichte an de zware nu niet meer inhalen Het tweede probleem dat in dit artiel een oplossing vindt, is: Hoeveel botsingen zijn er geweest vooraleer de lichte bal de zware uit het oog verliest? Algebraïsche structuur We vertalen het fysische gegeven van een elastische botsing in het behoud van de totale inetische energie (voor en na de n-de botsing: M u n+ + m v n+ = M u n + m v n en behoud van de totale impuls (voor en na de n-de botsing: M u n+ + m v n+ = M u n m v n De verwisseling van het teen van de snelheidsvector v n staat voor de omering van de bewegingszin van de lichte bal na ele botsing met de zware De preciese massa s van de twee ballen blijen niet relevant te zijn voor de verdere bereeningen maar wel de massaverhouding = M m We vormen de bovenstaande vergelijingen bijgevolg om tot: { u n+ + vn+ = u n + vn u n+ + v n+ = u n v n Wellicht wet het verbazing dat deze niet-lineaire formules toch aanleiding geven tot een lineaire transformatie in de vectorruimte R, R, + Je an nareenen dat dit stelsel equivalent is met de uitdruing: ( die we in het vervolg zullen aforten tot: ( ( un un+ = v n v n+ A B n = B n+ Om de snelheid van beide ballen te bereenen na n botsingen volstaat het om de n-de macht te bereenen van de matrix A en de begintoestand B 0 van beide ballen te ennen Voorbeeld Stel dat de massaverhouding van de ballen gegeven is als = 6 Neem u 0 = 7 en v 0 = 0 We bereenen hieruit de toestandsmatrix ( B n aan de hand van de beginmatrix B 0 = ( 7 0 en de overgangsmatrix A = 5 7 7 3 5 7 7 Het resultaat vind je in de onderstaande evolutietabel
i 0 3 4 5 6 ( ui v i ( 7 0 ( 5 3 ( 9, 4 (, 7 ( 64 54, 4 67, 6 6, 9 ( 3, 0 43, 3 ( 6, 6 3, 6 Uit deze tabel leiden we af dat de snelheid van de zware bal na 3 botsingen voldoende is afgenomen om teruggeatapulteerd te worden Na 6 botsingen is de snelheid van de zware bal zo ster (in absolute waarde toegenomen dat hij niet meer in te halen is door de lichte Opmering De positieve snelheden in deze tabel moeten geïnterpreteerd worden als bewegingen naar de muur toe en negatieve snelheden als verwijderingen van de muur Hoewel iteraties mathematisch onbepert doorlopen, zullen de toestanden vanaf B 7 in het bovenstaande voorbeeld geen fysische interpretatie meer hebben Het botsen houdt immers op van wanneer de snelheid van de zwaarste bal (in absolute waarde groter geworden is dan de snelheid van de lichtste bal Voorbeeld Nemen we een massaverhouding = 6 en beginsnelheden u 0 = 3 en v 0 = 0 dan unnen we op de volgende evolutietabel opstellen i 0 6 7 ( ui v i ( 3 0 ( 30 6 ( (, 3 65 4, 6 36, 6 ( ( 9, 30, 8 80, 7 0, 6 Na de 6 tien wordt de zware bal teruggeaatst Na botsingen haalt de lichte bal de zware niet meer in Net zoals in het vorige voorbeeld is het aantal tien na de terugslag gelij aan het aantal tien ervoor Opmering Indien we de beginsnelheid u 0 = 3 veranderen in een andere beginsnelheid, zal de tabel zich evenredig aanpassen (ga dit na! Deze wijziging verandert niets aan de anteltijdstippen: het aantal botsingen vooraleer de zware bal terugeert en het aantal botsingen vooraleer de zware bal volledig ontsnapt aan de beogeling van de lichte De anteltijdstippen zijn dus alleen afhanelij van de massaverhouding van de twee ballen Als de tweede bal niet vanuit stilstand vertret, moeten er meer gegevens in reening gebracht worden dan alleen de massaverhouding om de anteltijdstippen te bereenen 3 Eigenwaarden en eigenvectoren Om een directe formule te vinden voor de toestandsmatrix B n is het nuttig een gesloten uitdruing te vinden voor de matrix A n Een lassiee technie voor de bereening van een n-de macht van een matrix is via het diagonaliseren van deze matrix Met dit doel voor ogen bereenen we eerst de eigenwaarden en daarna de eigenvectoren van de matrix A 3
Stelling 3 De eigenwaarden van de matrix A = ( zijn gelij aan λ = cos θ + sin θ i en λ = cos θ sin θ i met cos θ = Bewijs De eigenwaarden van de matrix A zijn de nulwaarden van de arateristiee veeltermfunctie We bereenen deze eigenwaarden uit de vergelijing: die equivalent is met: ( + λ + (( ( + λ = 4 ( + = 0 ( i De oplossingen van deze vergelijing zijn complex toegevoegd Je an nareenen dat hun modulus gelij is aan λ = + + + i en λ = + + i Dit beteent dat de eigenwaarden op de eenheidscirel liggen en dat ze in goniometrische vorm unnen geschreven worden als: λ = cos θ + sin θ i en λ = cos θ sin θ i Om de n-de macht van de overgangsmatrix A te bereenen, moeten we onder andere de n-de macht bereenen van de eigenwaarden De n-de machten van complexe getallen op de eenheidscirel, zoals λ en λ, staan voor rotaties rond de oorsprong In de laatste paragraaf van dit artiel zal blijen dat rotaties een cruciale rol spelen in de overgang tussen opeenvolgende toestandsmatrices bij het probleem van de botsende ballen In deze laatste paragraaf manipuleren we de huidige lineaire transformatie zo dat ze overgaat in een zuivere rotatie rond de oorsprong Stelling 3 De eigenvectoren van de matrix A = ( zijn gelij aan v = ( i en v = ( i Het bewijs van deze stelling laten we over aan de lezer Voorbeeld 3 Indien de ballen in dit experiment een massaverhouding = 6 hebben dan zijn de eigenwaarden gelij aan: λ = 5 7 + 8 7 i en λ = 5 7 8 7 De bijbehorende eigenvectoren zijn achtereenvolgens: ( ( v = en v 4 i = 4 i 4
4 Machtsverheffing van de overgangsmatrix A De bereening van de eigenwaarden en eigenvectoren stelt ons in staat om de matrix A te diagonaliseren als A = P D P De olommen van de matrix P zijn opgebouwd uit de eigenvectoren van A en de diagonaal van de diagonaalmatrix D is opgebouwd uit de overeenomstige eigenwaarden van A Dit levert de volgende drie factoren op: ( P = i i ( cos θ + sin θ i 0 D = 0 cos θ sin θ i P = ( i i Om de n-de macht van de diagonaalmatrix te bereenen, moeten we vervolgens gebrui maen van de stelling van de Moivre: ( D n cos(nθ + sin(nθ i 0 = 0 cos(nθ sin(nθ i Deze hulpbereeningen maen het mogelij om de n-de macht te bereenen van de matrix A via de formule A n = P D n P : ( ( ( A n = cos(nθ + sin(nθ i 0 i i 0 cos(nθ sin(nθ i i i Als we deze ( matrix zorgvuldig langs rechts vermenigvuldigen met de beginmatrix B 0 = dan vinden we de toestand na n botsingen (reen na!: u0 0 B n = A n B 0 = ( u0 cos(nθ u0 sin(nθ waaruit we maelij unnen afleiden na hoeveel botsingen de zware bal terug zal eren De oriëntatie van de snelheidsvector van deze bal verandert namelij op het moment dat u 0 cos(nθ van teen wisselt maw op het moment dat de hoe nθ groter wordt dan π Voorbeeld 4 Keren we terug naar het basisvoorbeeld waarbij = 6 We vinden de hoe θ via de formule cos θ = Uit deze formule volgt dat: θ = arccos 5 = 0, 4899 7 Deze hoe gaat iets meer dan 3 eer in de rechte hoe Op deze manier hebben we snel bereend dat er 3 tijes nodig zijn tegen de zware bal vooraleer hij naar de andere ant geatapulteerd wordt 5
5 De decimalen van pi In het vorige voorbeeld bereenden we dat voor = 6 het aantal tijes van de lichte bal tegen de zware vooraleer die rechtsomeer maat gelij is aan p = 3 Als we een gelijaardige bereening zouden maen voor = 6 00 dan blijt het aantal stoten van de lichte bal tegen de zware gelij te zijn aan p = 3 Voor = 6 00 vinden we p = 34 De aandachtige lezer ziet in de massaverhoudingen ( een meetundige rij en in de antelmomenten (p de decimale ontwieling van π Deze overwegingen leiden tot de volgende stelling Stelling 5 Stel dat twee puntmassa s een massaverhouding hebben gelij aan n = 6 00 n De zware puntmassa botst volledig elastisch tegen de lichte puntmassa in rust Hierdoor wordt een heen-en-weer-gaande beweging veroorzaat van de lichte puntmassa die afwisselend botst tegen een muur en tegen de zware puntmassa Na p n botsingen tussen de zware en de lichte puntmassa draait de bewegingszin van de zware massa om Het aantal botsingen p n is op de volgende manier gelint aan het getal π: p n = 0 n π wat beteent dat voor de massaverhouding n de n eerste beduidende cijfers van π in het getal p n tevoorschijn omen Bewijs We gaan uit van de gelijheid cos θ = Bij grote waarden van horen leine waarden van θ We benaderen beide leden van deze gelijheid door een reesontwieling (die snel convergeert naarmate groter wordt of naarmate θ leiner wordt Voor leine waarden van θ unnen we de reesontwieling cos θ = θ! + θ4 4! beperen tot de eerste termen zo dat: cos θ θ ( Voor grote waarden van (en leine waarden van unnen we de volgende reesontwieling opstellen: + = + = ( ( + Beperen we deze reesontwieling tot de eerste twee termen dan vinden we: + ( Uit de gelijstelling van ( en ( vinden we de volgende benadering die geldt voor grote waarden van en leine waarden van θ: θ (3 We zoeen een veelvoud van θ dat net iets leiner is dan π Hiemee bedoelen we een p n -voud waarvoor geldt dat: p n θ < π < (p n + θ 6
In combinatie met (3 levert dit de volgende ongelijheid op: p n n < π < (p n + n Via de formule n = 6 00 n vinden we dat p n moet voldoen aan: p n 6 00 n < π < (p n + 6 00 n of aan p n < 0 n π < p n + Deze uitspraa is equivalent met p n = 0 n π 6 Zonder eigenwaarden en eigenvectoren Het inzicht van de rotatie rond de oorsprong, dat we verregen hebben bij de bereening van de machten van de eigenwaarden, blijt essentieel te zijn Vandaar dat een ernachtigere redenering zich opdringt We hernemen hiervoor het stelsel { u n+ + v n+ = u n + v n u n+ + v n+ = u n + v n Mer vooraf op dat het toestandsteen van de snelheid van de lichte bal in deze benadering in de variabele v n bevat is Vervang nu de grootheid u n door de nieuwe variabele w n Het stelsel gaat dan over in een stelsel met variabelen w n en v n : { w n+ + v n+ = w n + v n wn+ + v n+ = w n + v n De vectoren (w n, v n en (w n+, v n+ die voldoen aan dit stelsel zijn maelij te interpreteren in de vectorruimte R, R, + uitgerust met het lassiee scalaire product We weren vanaf nu dus in een inproductruimte of in een Euclidische ruimte In inproductruimten zijn afstanden en hoeen gedefinieerd aan de hand van het scalaire wadraat en het scalaire product Uit de eerste vergelijing leiden we af dat de vector (w n, v n even ver van de oorsprong ligt als de vector (w n+, v n+ Dit beteent dat toestandsvectoren voor en na een botsing van de twee ballen op dezelfde cirel rond de oorsprong liggen De tweede vergelijing geeft aan dat het scalair product (, (w n, v n gelij is aan het scalair product (, (w n+, v n+ Dit beteent dat de hoe tussen de vectoren (, en (w n, v n gelij is aan de hoe tussen de vectoren (, en (w n+, v n+ De enige grafische interpretatie hiervan is dat de opeenvolgende toestandsvectoren (w n, v n en (w n+, v n+ elaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de drager van de vector (, Na de botsing van de zware en de lichte bal, onderzoeen we het effect van de botsing van de lichte bal tegen de muur Deze botsing laat de vector (w n+, v n+ overgaan in de vector (w n+, v n+ Dit beteent dat de toestandsvector (w n+, v n+ gespiegeld wordt rond de w-as 7
De samenstelling van deze twee spiegelingen met snijdende assen is een rotatie rond het snijpunt van deze assen over een hoe die het dubbele is van de hoe tussen de twee spiegelassen Na ele twee opeenvolgende bostingen van de lichte bal (eentje met de zware bal en eentje met de muur zal de toestandsvector (w n, v n dus een rotatie in wijzerzin ondergaan rond de oorsprong over een hoe α = arctan( (zie onderstaande figuur Figuur : Rotatie van de toestandsvector Via deze rotaties unnen we bereenen hoeveel tijes de lichte bal tegen de zware geeft vooraleer deze rechtsomeer maat Voorbeeld 6 Nemen we voor massaverhouding het getal = 499 dan vinden we een rotatiehoe gelij aan α = 0, 0550 Deze hoe gaat ongeveer π/ 03 eer in de rechte hoe (reen na: 00550 = 03, 0000 Dit beteent dat na 03 tijes de toestandsvector (w 0, 0 over een rechte hoe in tegenwijzerzin rond de oorsprong gedraaid is en dat de snelheid w 03 nog net niet negatief is Oo de snelheid u 03 is dan nog net niet negatief Na 06 tijes is de toestandsvector (w 0, 0 net niet over een gestrete hoe gedraaid Hieruit leiden we af dat de snelheidsvector v 06 nog steeds negatief en bijna nul is De lichte bal zal de zware dus niet meer unnen inhalen Opmering 6 Het vorige voorbeeld suggereert dat het aantal tijes vooraleer de zware bal terugeert altijd de helft is van het totale aantal tijes tussen de zware en de lichte bal Dit lopt niet helemaal Soms is het totale aantal tijes één meer dan het dubbele van het aantal tijes vooraleer de zware bal terugeert Stel bijvoorbeeld = 600 Het aantal botsingen vooraleer de zware bal terugeert is 6 Het totale aantal botsingen is 5 De vraag of het mogelij is dat de lichte bal uiteindelij in rust omt bij een rationale massaverhouding blijft voorlopig nog open Deze situatie doet zich alleen voor indien de hoe arctan( een geheel aantal eer in de gestrete hoe gaat Een triviaal voorbeeld hiervan vinden we voor = De hoe arctan( = is immers een deler van de gestrete hoe Indien beide ballen even zwaar π 8
zijn, zal de bal in het midden na één heen-en-weer-beweging roerloos blijven liggen Een tweede voorbeeld vinden we voor = 3 De hoe arctan( = π 3 is eveneens een deler van de gestrete hoe In dit geval zal de lichte bal in het midden na drie tijes met de zware bal in rust omen Of er nog andere rationale massaverhoudingen zijn die deze merwaardige eigenschap bezitten, moet nog verder uitgezocht worden 9