Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax = λx voor een scalar λ. Een scalar λ wordt een eigenwaarde van A genoemd. Als er een niet trivale oplossing x is voor Ax = λx; zo n x heet dan een eigenvector van λ.
Theorema 5.1 De eigenwaarden van een driehoeks matrix zijn gelijk aan de waarden op de diagonaal. Theorema 5.2 Als v 1,, v r eigenvectors zijn die corresponderen met een zelfde aantal eigenwaarden λ 1,, λ r van een n x n matrix A, dan is de set { v 1,, v r } lineair onafhankelijk.
5.2 Karakteristieke vergelijking Inverteerbare matrix theorie a. A is een inverteerbare Matrix b. A is rij equivalent met de n x n identiteitsmatrix c. A heeft n pivot posities d. De vergelijking Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing e. De kolommen van A zijn lineair onafhankelijk f. De lineaire transformatie x Ax is 1-op-1 g. De vergelijking Ax = b heeft op zijn minst 1 oplossing voor elke b in R n h. De kolommen van A spannen R n i. De lineaire vergelijking x Ax beeld R n af in R n j. Er is een n x n matrix C zodat CA = I k. Er is een n x n matrix D zodat AD = I l. A T is een inverteerbare matrix m. De kolommen van A vormen een basis voor R n n. Col A = R n o. dim Col A = n p. rank A = n q. Nul A = {0} r. dim Nul A = 0 s. het getal 0 is geen eigenwaarde van A t. de determinant van A is niet 0
Theorema 5.3 Eigenschappen van determinanten A en B zijn n x n matrices a. A is alleen inverteerbaar als det A 0 b. Det AB = (det A)*(det B) c. Det A T = det A d. Als A driehoekig is, dan is det A het product van de waarden op de diagonaal van A e. Een rij reductie op matrix A veranderd de determinant niet. Het verwisselen van een rij veranderd het teken. En schaling van een rij zorgt voor de zelfde schaling van de determinant Karakteristieke vergelijking Een scalar λ is alleen een eigenwaarde van een n x n matrix A als λ voldoet aan de volgende karakteristieke vergelijking = Theorema 5.4 Als n x n matrixen A en B soortgelijk zijn, dan hebben ze dezelfde karakteristieke polynoom en daarom de zelfde eigenwaarden, met dezelfde multipliciteiten.
5.3 Diagonalisatie Theorema 5.5 De diagonalisatie theorie Een n x n matrix A is alleen diagonalizeerbaar als A n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. In feite, A = PDP -1 met D een diagonale matrix, alleen als de kolommen van P n lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn van A. zodat de diagonale waarden van D de corresponderende eigenwaarden zijn van A Stappenplan voor diagonalizeren A is een 3 x 3 matrix Stap 1 vindt de eigenwaarden van A, d.m.v. de karakteristieke vergelijking Stap 2 vindt de drie lineair onafhankelijke eigenvectoren van A Stap 3 vorm P met de vectoren van stap 2 Stap 4 vorm D met de corresponderende eigenwaarden
Theorema 5.6 Als een n x n matrix met n verschillende eigenwaarden dan is de matrix diagonalizeerbaar. (dit is geen vereiste) Theorema 5.7 A is een n x n matrix met verschillende eigenwaarden λ 1,, λ p a. Voor 1 k p, de dimensie van de eigenruimte van λ k is minder dan of gelijk aan de multipliciteit van λ k b. De matrix A is diagonalizeerbaar als de som van de dimensies van de verschillende eigenruimtes gelijk is aan n. dit kan alleen als de dimensie van de eigenruimte van λ k voor elke λ k gelijk is aan de multipliciteit van λ k c. Als A diagonalizeerbaar is en β k is een basis voor de eigenruimte corresponderend met λ k voor elke k, dan vormt de totale collectie van vectoren β 1,, β p een eigenvector basis voor R n 5.4 Eigenvectoren en lineaire transformaties
Theorema 5.8 Diagonale matrix representatie Stel dat A = PDP -1 waarbij D een diagonale n x n matrix is. Als B een basis is voor R n gevormd vanuit de kollommen van P, dan is D de B-matrix voor de transformatie x Ax
5.5 Complexe Eigenwaarden lomoarcpsd
- r>1 groter wordende spiraal met de klok mee - r=1 cirkel/ellips met de klok mee - 0<r<1 kleiner wordende spiraal met de klok mee 5.6 Discrete Dynamische Systemen
Als alle groter zijn dan 1, dan heb je een repellor Als alle kleiner zijn dan 1, dan heb je een attractor En als éé > 1 éé < 1 dan heb je een zadelpunt lomoarcpsd
Hoofdstuk 6, Orthogonaliteit en kleinste kwadraten 6.1 In product Theorema 6.1 u, v, en w zijn vectors in R n en c is een scalar a. u v = v u b. (u + v) w = u w + v w c. (cu) v = c(u v) = u (cv) d. u u 0 and u u = 0 alleen als u = 0 e. cv = c * v = = = Definition De lengte van een vector v is gedefinieerd door v = = + + = Definition De afstand tussen twee vectoren, geschreven als dist(u,v) is de lengte van de vector u v., = Definition Twee vectoren zijn orthogonaal als het inproduct van de vectoren 0 is = Theorema 6.2 Pythagoras regel Twee vectors u en v zijn orthogonaal als + = + Een vector x is in alleen als x orthogonaal is met elke vector uit een set die W spant, is een subspace van R n. Zie ook de afbeelding: L =. Theorema 6.3 Als A een m x n matrix is, en het orthogonale complement van de rij ruimte van A is de nul ruimte van A, en het orthogonale complement van de kolomruimte van A is de nul ruimte getransponeerd. = =
6.2 Orthogonale sets Theorema 6.4 een verzameling van vectoren {v 1,,v k } is een orthogonale verzameling als elk tweetal vectoren loodrecht op elkaar staat, en er geen nul-vector in zit. Definitie een orthogonale basis voor een deelruimte W van R n is een basis voor W en is ook een orthogonale verzameling. Theorema 6.5 Een set {u 1,,u p } is een orthogonale basis voor een deelruimte W van R n. voor elke y in W zijn de gewichten in de lineaire combinatie = + + Zijn gegeven door = =1,,
Definitie Een orthonormale verzameling is een orthogonale verzameling waarin de vectoren allemaal lengte 1 hebben. Theorema 6.6 Een m x n matrix U heeft orthonormale kolommen als = Theorema 6.7 U is een m x n matrix met orthonormale kolommen en x en y zijn in R n dan: a. = x b. = c. Als U een vierkante matrix is met orthonormale kolommen dan is U inverteerbaar en is U -1 = U T. zon matrix heet een orthogonale matrix 6.3 Orthogonale projecties Theorema 6.8 Als W is een deelruimte is van R n. dan kan elke dan kan elke y in R n geschreven worden in de vorm = + Waar is in W en z is in. In feite als {u 1,, u p } een orthogonale basis is voor W dan: En = = = + + Er zijn 3 interpretaties: 1. y ontbinden in + met in W en 2. is een orthogonale projectie van y op W 3. De afstand van y tot W is z
Theorema 6.9 Als W een deelruimte is van R n, en y is een willekeurige vector in R n en is de orthogonale projectie van y op W, Dan is het dichtstbijzijnde punt in W vanaf y. dat houd in dat: < Voor elke v in W niet gelijk aan Theorema 6.10 Als de span{u 1,, u p } een orthonormale basis is voor deelruimte W in R n dan: = + + Als U = [u 1 u 2 u p ] dan: =, R
6.4 Gram Schmidt Theorema 6.11
Theorema 6.12 lomoarcpsd
6.5 Kleinste Kwadraten methode lomoarcpsd
6.6 Toepassingen lomoarcpsd
Hoofdstuk 7, Symmetrische matrices en kwadratische vormen 7.1 Diagonalisatie van symmetrische matrices Theorema 7.1 Als A een symmetrische matrix is, dan geldt voor elke verschillende eigenwaarde van A dat de bijbehorende eigenvectoren loodrecht op elkaar staan Theorema 7.2 Een n x n matrix A is orthogonaal diagonaliseerbaar alleen als A een symmetrische matrix is
Theorema 7.3 7.2 Kwadratische vormen
Theorema 7.4 lomoarcpsd
Theorema 7.5 lomoarcpsd