== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de horizontale, verticale en scheve asymptoten van f. c Laat zien dat voor > de afgeleide van f wordt gegeven door d Is f differentieerbaar in =? f = + + ln +, >. a Voor < : +, e +, e en arctan zijn continu, dus de som, het product en het quotiënt van deze functies is ook continu. Verder is arctan negatief voor <, dus de noemer e arctan is ongelijk nul. Voor > : Er geldt + = e ln+. Dit is een continue functie, want e, en ln + zijn continu, dus het product en de samenstelling is ook continu. In = : Er geldt en f = f = + e + e arctan = dus f is ook continu in =. f = + + e+ e arctan = e, = y + y y = e, b Voor : Er geldt ln+ = standaardiet, dus uit continuïteit van de eponentiële functie volgt + = e ln+ = e =. De functie f heeft dus de lijn y = als horizontale asymptoot. Voor : Er geldt + e = e + e = standaardieten, dus + e + e arctan = + π =,
dus f heeft ook y = als een horizontale asymptoot. Omdat f horizontale asymptoten heeft bij + en, heeft f geen scheve asymptoten. Verder zijn er geen verticale asymptoten, want f is continu op heel R. c We gebruiken de kettingregel en de quotiëntregel: d d + = d d e ln+ = e ln+ + ln + = + + ln + d We berekenen eerst de rechteriet in = van de afgeleide, zie c. We gebruiken dan volgt ln + = + O 3, voor, + ln + = + + O 3 = + + O 3, voor. Nu vinden we + ln + + = + O 3. = + O =, en de iet van de afgeleide wordt dan f = + + ln + = e + = e. Vervolgens berekenen we de rechteriet in =. Voor < vinden we met de quotiëntregel en de productregel e arctan + e + + e + + e + e f + =, e arctan en dus f = e arctan + e + + e + + e + e + = e e e = e. e arctan We zien dat f f, dus f is niet differentieerbaar in =.. a Formuleer de middelwaardestelling mean value theorem.
b Bewijs: 4 4 + 4 + 4 3 4 4, voor alle >. 3 4 c Bereken 3 +. a Als f continu is op [a, b] en differentieerbaar op a, b, dan bestaat er een c a, b zodanig dat fb fa = f c. b a b Neem > vast. We kiezen ft = 4 t, a = en b = +. De functie ft = 4 t is continu op [, + ] en differentieerbaar op, + met afgeleide f t = 4 4. t 3 We passen de middelwaardestelling toe: er bestaat een c, + zodanig dat 4 + 4 + = 4 4 c 3. Omdat 4 4 een dalende functie is op [, + ] volgt nu t3 4 4 + 4 + 4 = 3 4 4 c 3 4 4. 3 c We vermenigvuldigen de ongelijkheid uit b met 4 3, dan vinden we 3 4 4 4 + 3 + 4. De iet van de uitdrukking aan de linkerkant is 3 4 = 4 3 = 4 + 4 4. Uit de insluitstelling volgt dus 4 3 + = 4. 3. Bereken de volgende bepaalde, onbepaalde en oneigenlijke integraal. a d b + e +e sine d c + d
a We gaan eerst breuksplitsen: + = A + + We schrijven de rechterkant weer als één breuk: B + + C. A + + B + C + + = A + C + A + B + C + C. + Aangezien de noemer gelijk moet zijn aan voor alle, vinden we de vergelijkingen A + C =, A + B + C =, C =, met als oplossing A =, B =, C =. Nu gaan we integreren + d = + d + = ln ln + + + = ln ln 3 + ln + ln = ln 4. 3 3 6 b We passen eerst de substitutie u = e du = e d toe: e +e sine d = e u sinudu We gaan nu partieel integreren. We kiezen fu = e u en g u = sinu, dan f u = e u en gu = cosu, dan Iu = e u sinudu = e u cosu + e u cosudu. We gaan nu nogmaals partieel integreren e u cosudu = e u sinu e u sinu. We vinden nu de vergelijking Iu = e u sinu cosu Iu, dus, omdat primitieven uniek zijn tot op een constante, Iu = eu sinu cosu + C. Tenslotte vervangen we u door e : e +e sine d = ee sine cose + C.
c De integraal is oneigenlijk bij en bij, dus d = + a a b d + + b + d. In plaats van het punt als grens mag je ieder ander punt p, kiezen. We berekenen nu eerst de primitieve. We gebruiken de substitutie u =, dan du = d en = u. Nu vinden we d = + u + du = arctanu + C = arctan + C, en dus d = arctan + arctan + a a b = b arctanb a arctana = π. b 4. Bepaal of de volgende reeksen absoluut convergent, voorwaardelijk convergent of divergent zijn. Geef duidelijk aan welke stellingen je gebruikt! a n= n lnn b tan n n= Bepaal de convergentiestraal van de volgende machtreeks: c n= n n! n! 3 n n a We bekijken eerst of de reeks absoluut convergent is. Voor alle n geldt er lnn < n, en dus >. Omdat de reeks lnn n n= divergent is, volgt uit het n majoranten-minoranten kenmerk dat de reeks n= divergent is. De gevraagde lnn reeks is dus niet absoluut convergent. We bekijken nu of de reeks convergent is. Het is een alternerende reeks, dus we proberen het kenmerk van Leibniz toe te passen. Er geldt. lnn + <, lnn voor alle n,. n lnn =, dus de reeks is convergent. Conclusie: de reeks is voorwaardelijk convergent.
b De reeks heeft alleen positieve termen, dus convergentie is in dit geval hetzelfde als absolute convergentie. We gebruiken het ietvergelijkingskenmerk met a n = tan n en b n = n. Er geldt a n tan n L = = n b n n n sin n = n cos. n n Met behulp van de standaardiet sin L = =. = vinden we Omdat < L < en de reeks n= convergent is, volgt dat de reeks n n= tan n ook convergent is. c We schrijven de machtreeks als n= a n n. We berekenen de convergentiestraal met behulp van het quotiënten kenmerk: L = a n+ n a n = 3 n n +! n! n 3 n+ n! n +! n + = n 3 n + n + = 3 4 =. De convergentiestraal is dan R = L =. 5. De functie g : [, ] R wordt gegeven door g = cost dt a Geef een formule voor de afgeleide dg d. b Laat zien dat g inverteerbaar is en geef de formule van de raaklijn aan de grafiek van g in het punt, g. c Bepaal de Taylorreeks van g rond het punt =. a Omdat cost een continue functie is, volgt uit de hoofdstelling van de integraalrekening en de kettingregel dat g differentieerbaar is met g = cos 4. b Uit [, ] volgt 4 [, ]. De functie cost is positief op [, ]. We zien nu dat g > voor alle [, ]. De functie g is dus strikt stijgend, en dus inverteerbaar.
De raaklijn aan de grafiek van g in het punt, g is de lijn Het is duidelijk dat y = g + dg d g = = cost dt =, dus g =. We bepalen de afgeleide van g met behulp van impliciet differentiëren. Noem y = g, dan = gy. Differentiëren naar geeft nu = g y dy d dy d = g y = cos 4 y, en dus dg = d = cos 4 g = cos =. 4 De gevraagde raaklijn is dus y =. c We gebruiken de Taylorreeks rond = van cos: cos = n n, R. n! n= Nu vinden we de Taylorreeks van cost rond t = : cost = n= n t 4n, t R. n! We mogen een machtreeks binnen de convergentiestraal termsgewijs integreren, dus voor g vinden we g = voor alle [, ]. = n= n= n n! n n! t 4n dt = n= 4n+ 4n+ 4n +, n n! t 4n+ 4n +