Limieten. EEB2-7N5p GGHM

Transcriptie

1 Limieten EEB - 7N5p GGHM -

2

3 Inhoud Limieten... Nog meer limieten... 7 Continuïteit... 9 Links- en rechtscontinu... Limieten berekenen... Limiet van a... De insluitstelling... 6 Limieten van... 7 Differentieerbaarheid... Regel van l Hôspital... Machten herleiden... 5 Standaardlimieten... 6 Asymptoten en limieten... 9

4 Limieten. Eerst maar eens twee voorbeelden. Voorbeeld. Een kunstenaar gaat een kunstwerk maken dat bestaat uit op elkaar gestapelde kubussen. De onderste kubus heeft ribben van. Daarop stapelt hij een kubus met ribben. Dan eentje met ribben.en zo gaat hij steeds 4 maar door. Elke kubus heeft ribben die de helft van de vorige kubus zijn. Dat geeft de serie stapels hiernaast. De kunstenaar noemt zijn kunstwerk "The Sky is the Limit", immers als je oneindig veel van zulke kubussen op elkaar stapelt, dan kun je zo hoog komen als je maar wilt. Immers als iets steeds maar groter wordt, dan zal het uiteindelijk elke waarde bereiken... Maar is dat wel zo? Hoogste tijd de zaak eens nader te onderzoeken. Laten we eens een tabel maken met de hoogte H(n) van de stapel als functie van het aantal kubussen (n). In de tabel hieronder zie je een aantal waarden. n H(n),5,75,875,975,9688,9844,99,996,998,999,9995 Daarin lijkt het er helemaal niet op dat die hoogte alle waarden kan aannemen. Het lijkt er meer op dat de hoogste steeds dichter bij komt te liggen. En dat is ook zo! Hoe groter je n kiest, des te dichter komt H(n) bij te liggen, maar de waarde zélf wordt nooit bereikt. Het kunstwerk had moeten heten "Two is the Limit"!! In de wiskunde noemen we zo'n waarde, waar je steeds dichter bij komt een "limiet". Dat die limiet in het verhaaltje hierboven inderdaad is kun je bewijzen met de theorie van meetkundige rijen, en je kunt het ook zien in het plaatje hiernaast. De hele oppervlakte nadert daar uiteindelijk naar vierkanten. We noteren dat als volgt: lim Hn ( ) = n Dat spreek je uit als" "De limiet van n naar oneindig van H(n) is gelijk aan " en het betekent dus eigenlijk dat, als je n steeds en steeds maar groter maakt, dat dan de waarde van H(n) steeds dichter naar nadert. De waarde zélf wordt nooit bereikt maar je kunt er wel zo dicht als je maar wilt bij in de buurt komen.

5 Voorbeeld. Neem de functie f( ) = + 8 en bereken lim f ( ) Dat betekent dus: laat steeds dichter bij komen en bereken elke keer f() en kijk waar die naar naderen. Luie mensen zullen misschien zeggen "Nou, dan vul ik gewoon direct in de formule in, en wat daar uitkomt, daar zal f() dan wel naar toe gaan...". Maar dat kan niet, want als je = invult, dan komt er uit en dat valt niet te berekenen. In de tabel hieronder zie je dat de waarde van f() naar 6 toegaat als naar toegaat.,5,9,95,99,999,9999, f() 5 5,5 5,9 5,95 5,99 5,999 5,9999 5, We noteren dat als: + 8 lim = 6 Die laatste regel hierboven hebben wiskundigen vertaald in wat zij noemen de ε δ definitie van een limiet. Dat ziet er zó uit (niet schrikken): Mooi hé? lim f ( ) = b a betekent: Als nadert naar a, dan nadert f() naar b. Je kunt zo dicht bij b komen als je maar wilt lim f ( ) = b ( ε > )( δ > )( a < δ f ( ) b < ε ) a Maar wat staat daar nou eigenlijk? Je leest het als volgt hardop: "Voor elke ε > geldt: er is een δ > zodat, als a < δ, dan is f() b < ε" Ja maar, wat stááááát daar nou? Laat iemand een willekeurig heel klein getal (ε) kiezen. Alles mag! ("Voor alle ε > geldt:") Dan kan ik altijd, door een geschikte te kiezen, dichter dan ε bij de functiewaarde b komen. Er is altijd een getal vlak bij = a te vinden ("Er is een δ > ") zodat de functiewaarde daarvan dichter bij b ligt dan die kleine waarde ε. 4

6 Neem de functie van het laatste voorbeeld hierboven, waarvan de limiet (voor naar ) gelijk was aan 6. Als jij de waarde ε =, kiest, dan moet ik proberen een getal vlak bij = te vinden zodat de functiewaarde ervan dichter dan, bij 6 ligt. Nou dat is makkelijk. Neem bijvoorbeeld δ =,. Dan is δ =, en de bijbehorende functie waarde is f(,999999) = 5, en dat ligt minder dan, van de waarde 6 af. Met een grafiek ziet dat er zó uit: Hoe smal je die rode strook ook kiest, je kunt altijd een blauwe strook vinden zodat het stukje grafiek bij de blauwe strook binnen dat bij de rode strook valt. Voor limieten waar naar oneindig gaat (zoals in het eerste voorbeeld) zou de definitie er zó uitzien: lim f( ) = b ( ε > )( p> )( > p f( ) b < ε) Ik hoop dat je begrijpt wat daar staat... Opgave Onderzoek de grootte van de volgende limieten: (Zet de GRM op radialen) 4 48 a) lim b) lim c) sin lim d) lim + + e) e lim f) lim ( ) g) lim h) lim( + ) 8 i) lim ( e ) j) lim ( e ) 5

7 Opgave Het gaat hier om de limiet: lim ln Ik beweer dat daar uitkomt, maar mijn buurvrouw gelooft me niet. Ze kiest ε =, en ze daagt mij uit δ te vinden waarmee ik op afstand minder dan, van uitkom als ik de formule toepas. Welke δ-waarden kan ik nemen om haar te overtuigen? Opgave sin Gegeven is de functie f( ) = a) Bereken achtereenvolgens f() en f(,5) en f(,) en f(,5) en f(,) en geef aan de hand van deze waarden een schatting voor de limiet van naar nul van f(). b) Bereken f(,5) en f(,) en f(,5) Ben je er nog steeds van overtuigd dat je schatting van vraag a) correct is? 6

8 Nog meer limieten... In de vorige les heb je gezien wat een "limiet" is en hoe je met je GR meestal wel kunt bepalen wat er uitkomt. Maar de zaken kunnen soms wat gecompliceerder zijn... Probleem. Neem de grafiek hiernaast, van f( ) = + ( ) Stel dat je daarvan de limiet van naar wilt berekenen. Dan lukt dat niet door achtereenvolgens =,5 en,9 en,99 en,999 enz. in te vullen. Aan de grafiek zie je wel dat de functie daar helemaal niet bestaat! Je kunt alleen wel =,5 en, en, en, enz. invullen, want daar aan de rechterkant van bestaat de grafiek wél. Aan die waarden zie je dat de limiet gelijk is aan. In zulke gevallen geven we nauwkeuriger in de limiet aan vanaf welke kant je moet rekenen. Dat ziet er zó uit: lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) Spreek uit: "de limiet van de onderkant naar ", en dat betekent dat je van getallen kleiner dan naar zelf toegaat. (Dus,9 en,99 en,999 enz.) Deze limiet bestaat in bovenstaand voorbeeld niet. We spreken ook wel van de linkerlimiet (in de grafiek kom je van de linkerkant) Spreek uit: "de limiet van de bovenkant naar ", en dat betekent dat je van getallen groter dan naar zelf toegaat. (Dus, en, en, enz.) Deze limiet is in bovenstaand voorbeeld gelijk aan. We spreken ook wel van de rechterlimiet (in de grafiek kom je van de rechterkant) Deze notatie is onnauwkeuriger en mag je alleen gebruiken als de beide vorige limieten dezelfde waarde opleveren. Dus alleen als de linkerlimiet en de rechterlimiet dezelfde waarde opleveren mag je spreken over "DE" limiet. In bovenstaand voorbeeld bestaat deze limiet dus niet!!! Voorbeeld Gegeven is de functie f( ) =, onderzoek lim f ( ) Op de eerste plaats zie je dat invullen niet kan, want dat levert op. Als je waarden kleiner dan invult krijg je bijvoorbeeld: f(,9) = en f(,99) = en f(,999) = dus dat lijkt gelijk te zijn aan. Als je waarden groter dan invult krijg je bijvoorbeeld; f(,) = en f(,) = en f(,) = dus dat lijkt gelijk te zijn aan. Conclusie: lim f( ) = en lim f( ) = en lim f ( ) bestaat niet. Aan de grafiek hiernaast zie je duidelijk wat er aan de hand is. 7

9 Probleem. Soms komt er gewoon niets uit! Neem bijvoorbeeld lim ( ) Als je waarden steeds dichter bij neemt, dan worden de berekende functiewaarden groter en groter, kijk maar: f(,9) =, f(,99) =, f(,999) =, enz. en ook van rechts: f(,) =, f(,) =, enz. In zo'n geval zeggen we dat de limiet "oneindig" is (symbool ). Maar oneindig is natuurlijk geen getal. Met "de limiet is oneindig" wordt daarom bedoeld: "je kunt de uitkomst zo groot krijgen als je maar wilt". In de grafiek hiernaast zie je wat er aan de hand is. In de volgende grafiek hiernaast zie je een geval waarin geldt: lim f( ) = en lim f( ) = dus lim f ( ) bestaat niet. 4 4 Opgave 4 Hiernaast zie je de grafiek van een functie f. Geef van de volgende uitdrukkingen aan of ze bestaan, en zo ja, hoe groot ze zijn. a) lim f ( ) d) lim f ( ) b) f() e) c) lim f ( ) 5 f) 5 lim f ( ) lim f ( ) Opgave 5 Bereken de volgende limieten, als ze bestaan: a) lim ( ln ) c) lim 5 b) lim( + ) d) lim 5 5 e) lim ( ln ) f) lim 8

10 Continuïteit De volgende regel vind ik één van de mooiste en duidelijkste afspraken over een wiskundig begrip: Een functie is continu als je de grafiek ervan kunt tekenen zonder je potlood van het papier te halen. Duidelijk! Je snapt meteen wat er bedoeld wordt, toch? Helaas moeten formele wiskundigen deze prachtige afspraak weer bederven omdat ze hem niet precies genoeg vinden! De officiële definitie van het continu zijn van een functie is (helaas) vervangen door: Een functie f is continu in punt = a als: lim f ( ) = lim f( ) = f( a) a a Ik hoop dat je ziet dat dit eigenlijk dezelfde afspraak is! - Als de linkerlimiet en de rechterlimiet beiden gelijk zijn aan f(a) dan loopt de grafiek van beide kanten naar dat punt (a, f(a)) toe. - Als de limiet ook nog gelijk is aan f(a) dan zit daar dus geen gaatje, maar bestaat de grafiek daar ook nog. Samen garandeert dat, dat je bij punt = a je potlood niet van het papier hoeft af te halen. Verder noemen wiskundigen een functie continu op een heel stuk, als hij continu is in elk punt van dat stuk: f() is continu op interval [a, b] als f() continu is in elk punt van dat interval. Kortom: dan kun je de grafiek tekenen op [a, b] zonder je potlood van het papier te halen. Voorbeeld. e voor < De functie f wordt gegeven door: f( ) = voor Onderzoek de continuïteit van f. De functies f ( ) = en f ( ) = e zijn continu, dus voor < en > zal deze gecombineerde functie ook continu zijn. Het enige spannende is de continuïteit voor =. lim f( ) = lim e = en lim f( ) = lim = De limieten zijn niet gelijk, dus de functie is niet continu voor =. 9

11 Opgave 6 De functie f wordt gegeven door: Onderzoek de continuïteit van f. sin voor < 4 π f( ) = π + 4 voor Opgave 7 De functie f wordt gegeven door: Onderzoek de continuïteit van f. f( ) = Opgave 8 a + 4 voor < 6 De functie f wordt gegeven door: f( ) = a voor 6 Voor welke waarde(n) van a is deze functie continue? Opgave 9 De functie f wordt gegeven door: 9 voor < f = a + b + voor < a + b 4 voor 6 Voor welke waarden van a en b is deze functie continu? ( ) 6 Opgave + p voor > 5 De functie f wordt gegeven door: f( ) = q + 8 voor 5 Bereken de waarden van p en q waarvoor deze functie continu is.

12 Links- en Rechtscontinu. Voor het continu zijn van een functie was het nodig dat zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet naar de functiewaarde zelf naderden. Het kan natuurlijk ook voorkomen dat slechts één van beiden naar de functiewaarde nadert en de andere niet (of zelfs niet bestaat) In zo'n geval noemen we de functie linkscontinu (linkerlimiet nadert naar f(a)) of rechtscontinu (rechterlimiet nadert naar f(a)). Hieronder zie je een paar voorbeelden. Ophefbaar discontinu Een functie heet "ophefbaar discontinu" als er "een gaatje in zit". Dat betekent in wiskundetaal dat bij de waarde = a de linkerlimiet wél gelijk is aan de rechterlimiet, maar dat ze niet gelijk zijn aan de functiewaarde f(a). Dat kan zijn omdat f(a) niet bestaat of omdat f(a) gewoon een andere waarde heeft. Zoiets dus: In zulke gevallen kun je gemakkelijk een functie vinden die overal precies gelijk is aan f() maar die het gaatje opvult. Het gaatje dat je moet toevoegen heet de continumakende waarde en de nieuwe functie wordt meestal aangegeven met f*.

13 Opgave b ( 4) voor De functie f wordt gegeven door: f( ) = a 4 b voor < Bereken a en b als deze functie ophefbaar discontinu is. Geef in dat geval ook de functie f * Opgave Teken (plot en schets) de grafiek van ( ) f( ) = en onderzoek de continuïteit. Opgave Teken (plot en schets) de grafiek van f( ) = 4 en onderzoek de continuïteit. Opgave 4 + Bereken lim. Opgave 5 De functie f a wordt gegeven door: voor < a fa ( ) = 4 a voor = a voor > a) Voor welke a is f linkscontinu in =? b) Voor welke a is f continu in =? c) Voor welke a vertoont f asymptotisch gedrag in =? Bereken in dit geval lim f ( )

14 Limieten berekenen Tot nu toe probeerden we gewoon wat waarden dicht bij = a om te ontdekken hoe groot de limiet van een functie daar was. Of we keken naar de vorm van de grafiek. Deze les bekijken we een aantal gevallen waarin we limieten eact (algebraïsch) kunnen berekenen. We onderscheiden daarin twee gevallen: de limiet van naar een bepaald getal a en de limiet van naar oneindig. Deze les bekijken we a, de volgende les komt aan de beurt. De limiet van a Ik zou altijd eerst beginnen met = a in de functie in te vullen. Wie weet komt er gewoon een functiewaarde f(a) uit. De meeste "normale" functies zijn namelijk gewoon continu op hun n g domein. Bijvoorbeeld en g en sin() en cos() en tan() en log( ) en n. En ook combinaties van zulke functies zijn dan continu op het domein. (daarmee bedoel ik dat je ze met elkaar vermenigvuldigt of bij elkaar optelt of door elkaar deelt). Dat betekent dat je bij zulke functies alleen hoeft op te letten wat het domein is! Voor dat domein moet je op drie dingen verdacht zijn: - wordt er door nul gedeeld? - wordt de wortel van een negatief getal genomen? - wordt een logaritme van nul of lager genomen? Bij Bij Bij 4 f( ) = zou ik meteen lim f ( ) gaan onderzoeken. f( ) = zou ik meteen lim f ( ) en lim f ( ) gaan onderzoeken. f ( ) log(4 ) 4 Voorbeeld + 4 ( )( + 7) lim lim lim = = = = 6 ( )( ) Merk nog even op dat er van de tweede naar de derde vorm gedeeld is door ( ). Dat mag natuurlijk niet als =, maar omdat we de limiet van bekijken, nadert naar, maar is nooit gelijk aan zelf. Dus dat wegdelen dat mág! Overigens, omdat de noemer gelijk is aan ( )( + ) zou ik hier ook de limiet van = zou ik meteen lim f ( ) gaan onderzoeken. De rest van de gevallen is namelijk oninteressant; óf daar bestaat de functie niet, óf hij is er gewoon continu. Voor het eerste voorbeeld (dat van die gebroken functie) zijn er een paar aardige trucjes te gebruiken om limieten te berekenen. Truc : Ontbinden in factoren. Als je met een breuk te maken hebt zul je moeten onderzoeken wat er gebeurt als de noemer nul wordt. Vul altijd eerst de waarde van waarvoor de noemer nul wordt in. Je weet maar nooit... Als er namelijk " iets " uitkomt (waarbij dat "iets" dus niet ook nul is), dan ben je klaar want dan is de limiet gelijk aan ±. (nog even een waarde in de buurt invullen om te kijken welk van beiden het is). De grafiek zal dan een verticale asymptoot hebben. Alleen als er uitkomt, dan heb je problemen. Maar bij functies met machten kun je dan vaak de teller en noemer ontbinden in factoren, en dan twee factoren tegen elkaar weg laten vallen.

15 bekijken. Die is echter veel makkelijker: gewoon direct invullen geeft -5 / dus dat is ±. Het hangt er vanaf of je de linkerlimiet of de rechterlimiet neemt welk van beiden (+ of ) het wordt. Nog een voorbeeld 4 ( ) ( ) lim lim lim lim = = = = =± ( ) ( )( ) + + Zodra je op " iets " uitkomt weet je al dat het + of wordt. Weer hangt het er vanaf van welke kant je naar = gaat of er + of uitkomt. In dit geval is de linkerlimiet gelijk aan en de rechterlimiet gelijk aan + (ga dat zelf maar na). Het kan zijn dat het te moeilijk is om in factoren te ontbinden. Dan kun je soms gebruik maken van een staartdeling om dat toch voor elkaar te krijgen (zie url ). Als de limiet voor a namelijk oplevert, dan kun je de teller en de noemer beiden door ( a) delen. lim f ( ) a geeft dan teller en noemer door ( a) delen Nog een voorbeeld 6 Bereken lim 4 = invullen levert (helaas) op. Daarom gaan we met een staartdeling zowel teller als noemer door ( ) delen (doe dat zelf!). Het resultaat is: 6 ( )( + + ) lim lim lim = = = 4 ( )( ) Gelukkig; bij opnieuw invullen komt er nu gewoon uit deze limiet. Het zou zelfs kunnen 8 gebeuren dat er wéér uitkomt. Dan ga je gewoon het hele verhaal nóg een keer uitvoeren. Laatste voorbeeld Bereken lim = invullen geeft weer, daarom weer teller en noemer delen door ( + ): ( + )( ) lim lim lim = = 5 4 ( )( ) Maar als je nu = invult komt er weer uit. Dus nog maar een keer door ( + ) delen: ( + )( ) lim lim lim = = = = ( )( )

16 Truc : een merkwaardig product. Deze truc werkt omdat geldt: ( a+ b)( a b) = a b Dat kun je soms handig gebruiken om wortelvormen kwijt te raken. Als in die a of in die b een wortel zit, dan verdwijnt die als je a b berekent. + Stel je wilt uitrekenen: lim. Als je = invult komt er weer uit (natuurlijk). Maar als je de teller leest als a b dan valt de wortel weg als je teller en noemer vermenigvuldigt met a + b ( + ) lim = lim = lim = + + ( )(+ + ) ( )( + ) + lim = lim = = ( )( ) Opgave 6 Bereken de volgende limieten: 4 a) lim + b) lim + c) + 5 lim 4 6 d) lim 4 4 e) lim f) lim g) h) + + lim 8 8 lim 9 9 5

17 De insluitstelling. Stel dat in de buurt van = c geldt dat f() g() h() Stel verder dat geldt: lim f ( ) = lim h( ) = L c c dan geldt ook : lim g ( ) = L c Deze stelling heet de insluitstelling (engels: squeeze theorem), en zegt eigenlijk niets anders dan: "Als een functie in de buurt van = c altijd tussen twee anderen inzit, en die anderen gaan beiden voor = c naar dezelfde waarde L, dan gaat die functie daar tussenin ook naar die waarde L". Je moet daar zo'n soort plaatje bij in gedachten hebben: Voorbeeld Bereken lim cos Bedenk dat cos( / ) zolang maar niet gelijk is aan nul (En dat laatste is hier het geval, want we nemen de limiet van naar nul toe, dus is nooit gelijk aan nul). Dan geldt: cos( / ) (alles met vermenigvuldigen verandert de tekens niet, want is positief) Maar en gaan beiden naar nul als naar nul gaat. Dus gaat dat middelste deel ook naar nul; dat zegt de insluitstelling. De gevraagde limiet is dus gelijk aan nul. Hier zie je wat er aan de hand is: 6

18 Limieten voor ± Voor limieten waarbij naar oneindig gaat heb je wat andere tactieken nodig dan voor limieten waarbij naar een bepaald getal nadert. Oneindig is namelijk geen getal (al is er wel zo'n "8 op zijn kant" voor bedacht). Laten we de twee meest voorkomende varianten bekijken.. Quotiënt van Polynomen. Klinkt goed, toch? Het betekent niets anders dan: twee functies met machten op elkaar gedeeld Bijvoorbeeld: lim + Daar staan duidelijk twee functies met machten ("polynomen") die op elkaar gedeeld worden ("quotiënt"). Met een beetje gezond boerenverstand kom je een heel eind. Kijk dat zit zo: als heel heel groot wordt, dan zal de hoogste macht van bepalen wat er gebeurt. Die en die 4 en de noemer zijn voor erg grote volledig te verwaarlozen ten opzichte van die 4. En op dezelfde manier is die in de noemer natuurlijk wel erg groot, maar toch te verwaarlozen ten opzichte van. (zelfs zou nog te verwaarlozen zijn; als maar groot genoeg wordt) Dat betekent dat er voor erg grote gewoon in de teller 4 staat en in de noemer dus daar komt 4 = uit. Oké nu snappen we hoe het werkt, maar hoe noteren we dat een beetje handig? Dat gaat als volgt: Deel alles door de hoogste macht van in de noemer. In dit voorbeeld delen we alles door en dat geeft het volgende: lim lim = = = Daarin gaan al die breuken naar nul, en blijft er over 4 =. 't Is natuurlijk precies wat die boer hierboven al beweerde, maar zo staat het een beetje netter genoteerd.. Wortelvormen. Bij functies met wortels erin kun je het best zoveel mogelijk machten van buiten de wortel proberen te halen. Daarbij moet je je wel één ding goed bedenken: als > = als < Dat betekent dat je voor elke keer kunt vervangen door, maar voor moet 4 je vervangen door. Zo n wortel moet nou eenmaal positief zijn. Bij bijvoorbeeld heb je dat probleem niet, want dat is gewoon 6 en dat is altijd positief. maar is daarentegen weer gelijk aan + of 7

19 Hier zie je hoe het werkt: Voorbeeld lim = lim = lim = lim = lim = = ( ( ) ( ) ) + + ( + ) Bij de derde stap is gebruikt dat ( ) = omdat +. Als naar was gegaan dan had hier moeten staan en dan was de limiet gelijk geworden aan. Voorbeeld ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) lim = lim = lim = lim = lim En nu nog alles delen door de hoogste macht uit de noemer: ( 4) ( 4) + lim = lim = = Oh ja, waarom deden we dit ook alweer? Die limieten van naar ± worden natuurlijk vooral gebruikt om te onderzoeken of een grafiek horizontale asymptoten heeft. Dat is zo als er uit zo'n limiet een constant getal komt. Zo zal de grafiek van het laatste voorbeeld aan de linkerkant naar de lijn y = lopen en aan de rechterkant naar y =. In dat vreemde grafiekje hiernaast zie je dat dit inderdaad het geval is. Het is niet altijd feest! Natuurlijk komt er niet altijd zo mooi een constante uit een limiet. Eigenlijk meestal juist niet! Meestal als naar oneindig gaat, dan gaat de y óók naar oneindig. Dat noteren we uiteraard als volgt: lim f( ) = (en natuurlijk kunnen al die "oneindig" ook worden vervangen door "min-oneindig", maar dat spreekt intussen voor zich hoop ik) Voorbeeld lim lim lim = 8 = = Bij de eerste stap is gedeeld door (de hoogste macht van de noemer). Je ziet dat uiteindelijk in de teller + overblijft en dat gaat naar. 8

20 Opgave 7 Bereken algebraïsch de waarde van de volgende limieten: + 6 a) lim e) + 8 b) c) d) 8 lim lim lim + 8 f) g) h) 5+ lim 4 4 lim lim 6 lim ( + )( ) Opgave 8 + sin Bereken lim + cos (denk aan de insluitstelling ) 9

21 Differentieerbaarheid. Deze les gaan we bekijken wat het betekent als de afgeleide functie f ' van een functie f continu is. Volgens de simpelste afspraak van continuïteit betekent dat, dat je de grafiek van f ' kunt tekenen zonder je potlood van het papier te halen. En volgens de "officiële" afspraak betekent het dat voor = a geldt: lim f '( ) = lim f '( ) = lim f '( ) = f '( a) a a a Daarin staan die eerste twee er alleen maar om er voor te zorgen dat de derde bestaat. Maar wat betekent het nou voor f zélf? Als f ' continu is, dan betekent dat, dat de grafiek van f ' geen vreemde sprongen vertoont. Maar f ' stelt de helling van f voor. Dus dat betekent dat de helling van f geen vreemde sprongen vertoont. De helling van f mag dus best veranderen maar dan wel gelijkmatig, niet ineens heel abrupt. Een hele abrupte verandering in de helling zou je in de grafiek zien als een "knik", immers dan verandert de helling ineens van de ene waarde naar de andere. Hiernaast zie je onder elkaar de grafiek van zo'n f met de bijbehorende f ' (Het is de trouwens de grafiek van f( ) = maar dat doet er even niet toe) Je ziet dat bij = de grafiek van f ' een sprong vertoont (dus niet continu is). De grafiek springt van naar. Dat zie je in de grafiek van f terug als een knik. Aan de linkerkant van die knik is de helling immers gelijk aan, en aan de rechterkant gelijk aan. Als de afgeleide f' van een functie f continu is, dan noemen we deze functie f zelf differentieerbaar. Manieren om niet-differentieerbaar te zijn. Er zijn eigenlijk drie basis-manieren waarop een functie f niet-differentieerbaar kan zijn, en dat zijn de volgende: manier I: De functie f zelf is niet continu. Kijk, als de functie f niet continu is bij = a, dan kun je het ook niet hebben over de helling in dat punt. Die hebben we ooit immers gedefinieerd als de helling tussen dat punt en een "punt-vlak-ernaast". Nou, als de functie niet continu, dan is dat "punt-vlak-ernaast" er niet! In dit geval bestaat de helling f '(a) uiteraard ook niet. manier II: manier III: f is wél continu, maar f ' vertoont een sprong. Dat is het geval hierboven: f heeft een knik. f is wél continu, maar f ' heeft een verticale asymptoot. Dat betekent dat de grafiek van f dus wel gewoon te tekenen is, maar dat de helling in = a oneindig groot wordt. Dat is zo als de raaklijn in = a verticaal is! Dan bestaat f niet, en dus kan hij ook niet continu zijn.

22 Hieronder zie je bij alle drie de manieren een voorbeeld. Manier I kan natuurlijk op veel meer manieren gebeuren, bijvoorbeeld door een functie met een verticale asymptoot, of een enkele sprong ergens. Grafiek III heeft in de oorsprong een verticale raaklijn, dus bestaat daar de helling f ' niet. Een bekend voorbeeld van zo'n functie is bijvoorbeeld f ( ) = Je ziet verder dat de functies in II en III wél overal continu zijn, maar dus niet differentieerbaar. Opgave 9 Onderzoek of de volgende functies differentieerbaar zijn op hun hele domein. + 4 voor > a) f( ) = + 6 c) f( ) = + voor + voor > b) f( ) = ( ) d) f( ) = voor Opgave a + ln voor > Gegeven zijn de functies f a,b door: fab, ( ) = b voor Onderzoek voor welke a en b deze functies differentieerbaar zijn op hun domein. Opgave a+ b voor < Gegeven zijn de functies f a,b door: fab, ( ) = a + b voor Toon aan dat er oneindig veel waarden voor a en b zijn te vinden waarvoor deze functies differentieerbaar zijn op hun domein.

23 Opgave a + b voor > Gegeven zijn de functies f a,b door: fab, ( ) = + a voor Onderzoek voor welke a en b deze functies differentieerbaar zijn op hun domein. Opgave 5 voor 4 4 Gegeven is de volgende functie f: f( ) = a + b voor < 4 of > 4 Bereken a en b als deze functie differentieerbaar is in de punten = 4 en = 4. Opgave 4 eamenvraagstuk VWO Wiskunde B, 988 Gegeven is de op, π differentieerbare functie: Bewijs dat a = b = f a + + b voor, : a + sin b voor [, π Opgave 5 eamenvraagstuk VWO Wiskunde B, voor,] Gegeven is op R de continue functie: f : + lna voor, Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oy is F de grafiek van f. a) Bewijs dat a = e. b) Bewijs ook dat f niet differentieerbaar is in =. Opgave 6 eamenvraagstuk VWO Wiskunde B, 99. Van R naar R is gegeven de functie: f ( ) = + 4 Toon aan dat f niet differentieerbaar is in =.

24 De regel van l'hôpital Onbepaalde vormen. Als je een limiet probeert te berekenen vul je eigenlijk eerst altijd de waarde van maar eens in. Je weet immers maar nooit... misschien komt er "gewoon" wat uit... Alhoewel, als dat zo is, dan zou het wel geen opgave zijn! Bijna altijd krijg je er een waarde uit die "onbepaald" is. Dat zijn dan meestal twee delen die elkaar "tegenspreken" zoals in deze voorbeelden: 4 lim = en lim = en lim( e ) = en lim( ) = Die ingevulde waarden bestaan allemaal uit twee delen die elkaar tegenwerken. Bijvoorbeeld van wil die bovenste er nul van maken, maar die onderste wil er oneindig van maken. Van is het net andersom: die bovenste maakt het oneindig groot, die onderste wil er nul van maken. Dit soort vormen heten "onbepaalde vormen", in tegenstelling tot sommige andere vormen waarvan meteen duidelijk is wat de limiet wordt. Hier zijn er nog een paar: onbepaald: bepaald:? = =? =? =? =? =? =? = = = = = Daarbij moet je alle getallen als,, uiteraard lezen als "gaat naar". Nou heeft de Fransman l'hôpital voor twee van die onbepaalde vormen een handige regel gevonden. Zelfs handiger dan de meeste lessen over limieten hiervoor! Hij bedacht het volgende: In de gevallen dan geldt er: f( ) f( ) lim = en lim = a g ( ) a g ( ) f ( ) f '( ) lim = lim a g ( ) a g'( ) Daarbij mag a zelfs of zijn!! De regel geldt voorlopig in deze twee gevallen, maar we zullen straks zien dat veel andere gevallen zijn te herleiden tot één van deze beiden. Eerst maar even een paar voorbeeldjes van dit geweldig handige regeltje in werking. De volgende limieten kon je met de theorie van de vorige lessen ook al wel uitrekenen, maar ze zijn nu gewoon veel makkelijker geworden.

25 Voorbeeld. De vorm lim lim = = = Voorbeeld. De vorm lim lim lim = = = Hier is de regel zelfs twee keer toegepast. Eerst de afgeleides, maar dat gaf weer / dus daarna gewoon wéér de afgeleides. Geen enkel probleem! Maar de regel van l Hôpital maakt het ook mogelijk limieten te berekenen die we eerst niet konden, kijk maar: Voorbeeld. Een nieuwe limiet! sin cos lim = lim = = Producten herleiden. Als de limiet niet een breuk f g is, maar een product f g dan kun je op de volgende twee manieren die veranderen in wel een breuk: f g = f g = g f Voorbeeld ln lim ( ln ) = lim = lim = lim ( ) = In de eerste stap is van ln een breuk gemaakt, in de tweede stap is l'hôpital gebruikt. De limiet moest wel van de bovenkant naar nul, omdat anders ln niet bestaat. Soms moet je wel een beetje handig kiezen. lim e. Als je die gaat schrijven als / in de noemer, dan blijf je alsmaar door Neem ( ) "L'Hôpitallen", kijk maar: e e e e lim ( e ) = lim = lim = lim = lim = Dat schiet niet op, het wordt alleen maar erger... Maar als je ervoor kiest om e in de noemer te zetten in plaats van die, dan gaat het allemaal een stuk soepeler: lim ( e ) = lim = lim = lim = e e e 4

26 Machten herleiden. We hebben van de onbepaalde vormen nog over en en dat soort machten. Die vorm kun je op de volgende manier handig anders schrijven: A = e ln A Dat is nogal logisch natuurlijk, maar het helpt wel om dit soort limieten te berekenen. Het werkt als volgt: ln ln ln A lim ( ) = lim ( A) = lim ( e ) = lime = lim( e ) Bij de laatste stap is gebruikt dat ln( p ) = pln. Maar de limiet van die eponent kun je apart met l' Hôpital berekenen: ln lim( ln ) = lim = lim = = ln lim ( ln ) lim =... = lim e = e = e = Dus de oorspronkelijke limiet : ( ) ( ) Opgave 7 Bereken de volgende limieten: a) lim 4 4 b) c) d) 5 + lim 8 + ln lim ln lim ( ) e) e lim f) e lim g) tan lim h) lim( ) 5

27 Standaardlimieten We hebben intussen al heel wat methodes bekeken om limieten te berekenen. Nou is het zo, dat sommige limieten gewoon erg vaak voorkomen. Daarom is het voor die limieten misschien de moeite waard om ze uit het hoofd te leren. Hoef je niet steeds weer het wiel uit te vinden... In deze les verzamelen we een aantal nuttige limieten. Ik heb ze in twee categorieën gesplist: "limieten naar een getal" en "limieten naar oneindig". Limieten van a. Daarvan zijn er eigenlijk DRIE wel vrij nuttig, en dat zijn de volgende: sin lim = en tan lim = n en ( ) lim ln = Het bewijs laat ik achterwege, want dat is vrij eenvoudig met l'hôpital. Let op dat bij die laatste alleen de rechterlimiet bestaat (omdat voor < natuurlijk ln niet bestaat). Er is een hele serie andere limieten die je vrij makkelijk in één van deze drie kunt veranderen. Als je je maar bedenkt dat daar op de plaats van die -en in de limieten ook best andere "dingen" mogen staan die naar nul gaan. Bijvoorbeeld in plaats van. Hier zie je een aantal voorbeelden van hoe je deze standaardlimieten gewoon zelf af en toe tevoorschijn kunt toveren. Voorbeeld sin 4 sin 4 sin 4 lim = lim 4= 4 lim = 4 = Deze kon trouwens ook vrij makkelijk direct met l'hôpital. Ga dat maar na. Voorbeeld tan tan tan lim = lim = lim = = tan tan tan Voorbeeld sin ( sin sin ) lim = lim lim sin = sin sin ( ) = = Voorbeeld 4 4,5 4 lim ln = lim ln = = 4 ( ) ( ) ( ) Voorbeeld 5 Je kunt die laatste standaardlimiet ook gebruiken door een grondtal g te schrijven als e lng Hier is een hele beroemde: ln ln lim lim = e = lim e = e = ( ) ( ) ( ) ( ) 6

28 Limieten van Een groot aantal limieten waar machten van ln en van en van e in voorkomen kun je berekenen met het podium hiernaast. Daarin zie je dat e de winnaar van deze drie soorten functies is. Op de tweede plaats komt n en op de laatste plaats ln. Dat is tenminste zo als het om limieten gaat waarin naar ± gaat. En het mooie is: wat er verder nog aan constanten bijstaat doet er niet toe! e wint het zelfs van 4, en ln verliest nog van,!!!! Op den duur dan... Op den langen duur... Voorbeelden van hoe het werkt met dat winnen en verliezen: Voorbeeld ln Bereken lim De ln gaat naar dus die wil deze limiet heel groot maken. De gaat ook naar oneindig maar staat in de noemer dus die wil deze limiet juist heel klein maken. Het podium zegt dat wint! Er komt daarom uit. Voorbeeld lim 9 Bereken ( e ) De e gaat naar nul dus die wil deze limiet heel klein maken. De 9 gaat naar min-oneindig, dus die wil deze limiet juist heel groot (negatief) maken. Het podium zegt dat e wint! Er komt dus uit. En natuurlijk kun je dit ook in andere gevallen gebruiken: Voorbeeld. ln ln e lim ( ( ) ) = lim ( ) = lim ( ( e ) ) = lim e n ln Als naar oneindig gaat, dan gaat ln naar oneindig (want ln > ) De teller gaat (dus) naar oneindig, en de noemer ook. Maar volgens het podium wint de teller, dus er komt uit. Je verandert dus eigenlijk g in e lng. Op dezelfde manier kun je ook g log veranderen in ln ln g en daar dus zo'n standaardlimiet met ln van maken: Voorbeeld 4 ln log ln ln lim lim lim = ln ln = = = Eigenlijk zijn alle Loggen dus Losers!!!! 7

29 Tot slot een hele speciale standaardlimiet. a ( ) lim + = e ± a Het bewijs hiervan komt eigenlijk uit de oorspronkelijke definitie van het getal e. Dat was het getal waarvoor gold dat de afgeleide van e gelijk is aan e. In de les waarin we dat hebben afgeleid vonden we de volgende uitdrukking voor e: e= lim + d d ( d) Als je daarin d vervangt door a a dan is dus = d en dan gaat naar als d van de bovenkant naar nul gaat. Dan wordt de bovenstaande limiet: a a e = lim + ( ) Beide kanten tot-de-macht a verheffen geeft de standaardlimiet hierboven. Voorbeeld + 5 lim = lim + = 5 5 ( ) e Opgave 8 Bereken de volgende limieten: 4 a) lim( ln ) b) lim ( ) e c) lim,5 d) e) f) tan lim + sin + lim lim sin(7 ),5 g) h) lim 5 ln lim i) lim j) k) i) sin sin( π ) lim π tan( π ) + lim ( ) ( ) sin lim sin 8 Opgave 9 vervalt vooralsnog Opgave eamenvraagstuk VWO Wiskunde B, 995. De functie f met domein \{ } is gegeven door: Onderzoek lim f ( ), lim f ( ) en lim f '( ) f e : 8

30 Asymptoten en limieten Horizontale asymptoot Om aan te tonen dat een functie een horizontale asymptoot heeft kun je een limiet uitrekenen. De horizontale asymptoot is immers de waarde die de functie op den duur aan lijkt te nemen, ergens in het oneindige (naar links of rechts). Voor een horizontale asymptoot y = a geldt: y = a is horizontale asymptoot van f( ) lim f ( ) = a en/of lim f ( ) = a Merk op dat deze uitspraak in beide richtingen geldt! Voorbeeld: en Gegeven is f( ) = lim f( ) = lim = lim = = f 4 4 lim ( ) = lim = lim = = De horizontale asymptoot is dus y = Er bestaan ook functies die twee horizontale asymptoten bezitten: 4e Voorbeeld: g ( ) = e + 4e 4 e 4 4 lim g ( ) = lim = lim = lim = = 4 e + + e + + e y = 4 is dus horizontale asymptoot voor het rechterdeel van de grafiek. 4e lim g ( ) = lim = = e + + y = is dus horizontale asymptoot voor het linkerdeel van de grafiek. Opgave Waarom kan de grafiek van een functie niet drie horizontale asymptoten hebben? e 9

31 Verticale asymptoot Een verticale asymptoot zie je in de regel bij gebroken functies en wel daar waar de noemer een nulpunt heeft (nulpunt van de noemer mag geen nulpunt van de teller zijn). Met de volgende definitie kun je een verticale asymptoot aantonen: = a is verticale asymptoot van f( ) lim f( ) =± en/of lim f( ) =± a a Ook deze definitie werkt twee kanten op! Voorbeeld: en Gegeven is f( ) = lim f( ) = lim = = lim f( ) = lim = = De verticale asymptoot is dus = 4 Opgave Bepaal van de volgende functies de horizontale en verticale asymptoten m.b.v. limieten. 4 a f( ) = 4 e e b f( ) = e + e sin c f( ) =

32 Schuine of scheve asymptoot Bij de schuine asymptoot gaat de grafiek steeds meer in één richting lopen. Met andere woorden, de grafiek gedraagt zich steeds meer als een rechte lijn y = a + b Dus voor hele grote (of hele kleine) waarden van nadert de richting van de grafiek tot de richtingscoëfficiënt van de lijn y = a + b. In limietentaal: y = a + b is schuine asymptoot van f ( ) lim f '( ) = a ± ofwel: f() heeft een scheve asymptoot f () heeft een horizontale asymptoot Het enige probleem is nu nog de waarde van b. Dat kun je beredeneren: - voor hele grote wordt f() ongeveer gelijk aan a + b - als dat zo is, dan wordt f() - a gelijk aan b Bekijk dus wat er gebeurt met f() - a voor hele grote Er geldt: b= lim f( ) a ± Bedenk dat je op dit moment de waarde van a al kent! Voorbeeld: f ( ) = + e en dus f '( ) = + e lim f '( ) = lim( + e ) = b.n. lim f '( ) = lim ( + e ) = De scheve asymptoot zal dus aan de linkerkant zitten en van de vorm y = + b zijn. en lim ( ) lim b= f = + e = lim e = De scheve asymptoot is dus y = (zie afbeelding) Bij het nauwkeurig bekijken van het functievoorschrift had je dit al aan kunnen zien komen! Opgave Bepaal steeds de scheve asymptoot: a f( ) = + 4 b f( ) = c f ( ) = e