Inhoud leereenheid 5. Grondbegrippen. Introductie 13. Leerkern 14. Samenvatting 38. Zelftoets 39. Continue wiskunde

Transcriptie

1 Inhoud leereenheid 5 Continue wiskunde Grondbegrippen Introductie 3 Leerkern 4 Voorbeelden van limieten: een rationale functie en een bedrieglijke functie 4 Voorbereiden van de limietdefinitie 8 3 Het begrip limiet 4 Linker- en rechterlimieten 5 5 Voorbereiden van continue en discontinue functies 8 6 De begrippen continuïteit, links- en rechtscontinuïteit 9 7 Voorbeelden van discontinuïteiten 3 8 Limieten voor gaat naar oneindig 34 9 Oneindige limieten en oneindige discontinuïteiten 36 Samenvatting 38 Zelftoets 39

2 Aanwijzingen A A N W I J Z I N G E N L E E R E E N H E I D Gebruik cos = sin( π ) en de limiet uit voorbeeld Gebruik (zonder bewijs) dat lim c 0,5 s(c) = 0, a Let op bij = 0

3 Leereenheid 5 Grondbegrippen Leereenheid 5 Grondbegrippen I N T R O D U C T I E In deze leereenheid staan begrippen als limiet en continuïteit centraal, die verderop in de cursus veel gebruikt worden. Het gaat er in deze leereenheid 5 vooral om deze begrippen wiskundig netjes in te voeren en te doorzien. Er wordt in deze leereenheid nog niet veel mee gerekend, dat stellen we uit tot leereenheid 6. In blok, leereenheid 3, hebben we al limieten ontmoet. Maar dat waren limieten van rijen, niet van functies. Aan de ene kant maakt dat niet zo heel veel uit: het basisidee van limiet is hetzelfde en in feite is een rij niets anders dan een speciaal soort functie, namelijk met als domein de natuurlijke getallen (zie definitie 3.). Maar aan de andere kant is er toch wel wat voor te zeggen limieten van functies apart te beschouwen: bij rijen is het alleen zinvol limieten te nemen waarbij de inde naar oneindig gaat, terwijl bij functies de rol van de inde wordt overgenomen door de variabele, die ook naar eindige waarden kan naderen. We beginnen in paragraaf met het bekijken van voorbeelden van deze twee situaties die bij het begrip limiet van een functie kunnen optreden. Ook laten we aan de hand van een voorbeeld zien dat een intuïtieve benadering, gebaseerd op onnauwkeurige gegevens en begrippen, tot misverstanden kan leiden. Nauwkeurige, wiskundig sluitende definities zijn dus noodzakelijk. We werken in de paragrafen en 3 voorzichtig van het intuïtieve limietbegrip toe naar een correcte definitie. Vervolgens bekijken we nuttige varianten van de definitie in paragraaf 4. De begrippen continu en discontinu worden in de paragrafen 5 t/m 7 ingevoerd en toegelicht, en blijken direct gebaseerd te zijn op het limietbegrip. In de paragrafen 8 en 9 bekijken we tenslotte de varianten van het limietbegrip waarbij het begrip oneindig een rol speelt. LEERDOELEN Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u de formele definitie van de limiet van een functie kunt reproduceren, in allerlei varianten deze definitie en de varianten doorziet en in spreektaal kunt weergeven de definitie van continuïteit en discontinuïteit kunt reproduceren voor eenvoudige functies de discontinuïteiten kunt bepalen. 3

4 Continue wiskunde L E E R K E R N Voorbeelden van limieten: een rationale functie en een bedrieglijke functie We bekijken de volgende rationale functie (dat is een quotiënt van twee polnomen) f( ) = voor alle R waarvoor deze uitdrukking gedefinieerd is. Een grafiek ziet u in figuur FIGUUR 5. Grafiek van de rationale functie f() Voor = en = 5 wordt de noemer gelijk aan 0 en is f() dus niet gedefinieerd. In het plaatje zien we verschillend gedrag van de functie vlak in de buurt van = en = 5. Laten we, om van dit gedrag een eerste indruk te krijgen, eens een tabel maken met functiewaarden f() voor vlak in de buurt van deze uitzonderlijke waarden. Zie tabel 5.. TABEL 5. Enkele (afgeronde) functiewaarden van f() f() f(), 0, , 7,0,0 0, ,0 70,0,00 0, ,00 700,0,000 0, , ,0,0000 0, , ,0, , , ,0 0,9 0, ,9 69,0 0,99 0, ,99 699,0 0,999 0, , ,0 0,9999 0, , ,0 0, , , ,0 0, , , ,0 4

5 Leereenheid 5 Grondbegrippen Uit tabel 5. en/of uit figuur 5. halen we het volgende. Hoe dichter bij komt, van welke kant dan ook, des te dichter lijkt de functiewaarde f() bij 3 te komen. 4 Hoe dichter vanaf de onderkant (de linkerkant) bij 5 komt, des te meer lijkt de functiewaarde f() te ontploffen : veel en veel groter te worden. Het lijkt wel of f() naar gaat, dat wil zeggen: uitkomt boven iedere grens, hoe hoog ook, mits maar dicht genoeg van de onderkant bij 5 komt. Hoe dichter vanaf de bovenkant (de rechterkant) bij 5 komt, des te meer lijkt de functiewaarde f() veel en veel groter negatief te worden, naar te gaan, dat wil zeggen: uitkomt onder iedere grens, hoe groot negatief ook. We kijken ook eens wat er met f() gebeurt als steeds groter wordt, zowel positief als negatief. Zie tabel 5.. TABEL 5. Nog enkele (afgeronde) functiewaarden van f() f() f() 0, 0, ,0, ,0 0, ,0, ,0 0, ,0, ,0 0, ,0, ,0 0, ,0, ,0 0, ,0, We merken op: hoe groter wordt, of hoe groter negatief, dus naar of gaat, dat wil zeggen: uitkomt boven respectievelijk onder iedere grens, des te dichter lijkt de functiewaarde f() bij te komen. Wat garandeert ons nu dat wat hiervoor lijkt waar te zijn, ook echt zo is? Waarom zou f() niet ineens bij 3 weg kunnen lopen als we nóg veel 4 dichter bij kiezen dan we al gedaan hadden? Of waarom zou f() niet kunnen ophouden met groeien, als we nóg veel dichter bij 5 kiezen? Of waarom zou f() niet weer van weg kunnen lopen als we nóg veel groter kiezen dan ? In deze en de volgende leereenheid zien we hoe we dit soort problemen kunnen aanpakken voor veel functies. We zullen dan voor het voorgaande voorbeeld kunnen aantonen dat f() écht naar 3 gaat als naar 4 gaat, dat f() boven iedere grens uitkomt als van onderen naar 5 gaat, dat f() onder iedere grens uitkomt als van boven naar 5 gaat en dat f() naar toegaat als naar of naar gaat. Dan moeten we wel precies omschrijven wat we bedoelen met gaat naar, en daar gaat het in deze leereenheid onder meer om. In leereenheid 6 komt dan aan de orde hoe we deze waarden waar functies naar toe gaan, in veel gevallen daadwerkelijk kunnen uitrekenen. 5

6 Continue wiskunde Limiet Het wiskundige begrip waarmee we dit soort verschijnselen aanduiden, is het begrip limiet. Na blok zal u dat overigens niet verbazen. We zeggen: de limiet van f voor gaat naar is 3 4 en we noteren dit als lim f( ) = lim = de limiet van f voor gaat van onderen (van links) naar 5 is en we noteren dit als lim f( ) = lim = de limiet van f voor gaat van boven (van rechts) naar 5 is en we noteren dit als lim f( ) = lim = de limiet van f voor gaat naar of is en we noteren dit als lim f( ) = lim lim f( ) = lim = = We laten tenslotte in deze inleiding zien dat afgaan op tabellen en grafieken, en in het algemeen op de intuïtie (wat we hiervoor in feite gedaan hebben) ook wel eens bedrieglijk kan zijn, en dat nauwkeuriger definities dus ook echt nodig zijn. We bekijken nu een functie f() die we epres nog even niet geven door middel van een functievoorschrift. We laten van de onderkant naar gaan, en bestuderen het gedrag van f() door een grafiek te geven en een aantal functiewaarden van f() met in de buurt van. We hopen dan, net zoals in het voorgaande voorbeeld van de gebroken functie, te zien of lim f() bestaat, en zo ja, wat de waarde ervan is. Zie tabel 5.3 en figuur 5.. 6

7 Leereenheid 5 Grondbegrippen TABEL 5.3 Enkele (afgeronde) functiewaarden van f() f() commentaar 0,9 0, ,9 0, ,94 0,888 0,96 0, ,98 0, ,99 0, Lijkt zich te gedragen als en dus naar 0,99 0,97394 te gaan, alleen iets minder hard dan. 0,994 0, ,996 0, Nog ietsjes verder kijken, voor de zekerheid. 0,998 0, ,999 0,993 0,999 0, ,9994 0,9948 0,9996 0,9943 Hé, nu gaat ie dalen. Is dat een rekenfout, of 0,9998 0,99 is het toevallig? 0,9999 0, ,9999 0, , , , , , , , , Nee, helaas. Het lijkt verkeerd te gaan als we 0, ,98837 dichter bij komen, Wat wordt het nu? 0, , Maar eens nóg harder naar lopen. 0, , , , , , , , Nog steeds niet te zien wat het wordt. Nu dus 0 0 0,97737 écht heel dicht bij kijken , , , , , , , , , , , ,00000 Het zal wel 0 worden, denkt u ook niet? ,00000 Dat had u op grond van alleen de grafiek of , de voorgaande getallenreeks nooit geraden , ,5 0,5 0,5 0,8 0,9, FIGUUR 5. Grafiek van f() voor tussen 0,5 en,5, en uitvergroot voor vlakbij 7

8 Continue wiskunde Aanvankelijk lijkt f() naar te gaan als naar gaat. Maar we mogen niet tevreden zijn met het bekijken van functiewaarden f() voor -waarden die nog op een zekere afstand van blijven, hoe klein die afstand ook lijkt. Misschien vindt u 0,999 al wel heel dicht bij liggen, maar in tabel 5.3 en figuur 5. ziet u dat de functie f() zich onverwacht gaat gedragen als op een nog veel kleinere afstand van komt te liggen. Bij = aangekomen, lijkt f() niet meer naar te gaan, maar naar 0. Maar wie zegt dat het werkelijk zo is, en dat f() niet weer iets heel anders gaat doen als we nóg dichter bij gaan zitten met? We geven nu het functievoorschrift dat tot de functiewaarden in tabel 5.3 en de grafiek van figuur 5. heeft geleid. Het is een tamelijk eenvoudige functie: f( ) = 000 U kunt zelf op een computer (bijvoorbeeld met computeralgebra) tabel 5.3 en figuur 5. controleren. Uit het functievoorschrift kunnen we nu met ons gezonde verstand de limiet uitrekenen: als vlak bij zit dan zit vlak bij = dan zit 000 dus vlak bij 0 = 0 en omdat vlak bij = zit zit f() = vlak bij 0 = We zien dus dat lim f( ) = lim 000 = f() = 000 = 0 De moraal van dit voorbeeld is dat we grafieken en tabellen met (noodzakelijkerwijs slechts een beperkt aantal) functiewaarden niet altijd kunnen vertrouwen en dat we gezond verstand nodig hebben. Dat gezonde verstand moeten we dan wel epliciet maken; dat is wat we theorie noemen: op grond van eacte functievoorschriften en nauwkeurig omschreven en netjes bewezen regels voor het manipuleren van limieten, kunnen we precies berekenen dat wil zeggen: beredeneren wat er gebeurt. Voorbereiden van de limietdefinitie VOORBEELD De voorbeelden uit paragraaf zijn wel wat erg ingewikkeld om mee te beginnen. Laten we eerst eens kijken naar de functie f() = /, waarbij we naar laten gaan. Dat wil zeggen: we nemen steeds groter, boven iedere te verzinnen grens uitkomend. Dan wordt f() = / steeds kleiner, maar blijft wel positief. We kunnen echter zo dicht bij 0 komen als we maar willen. 8

9 Leereenheid 5 Grondbegrippen Wilt u met f() hooguit /00 van 0 af zitten? Dan willen we dus / < /00, en we zien meteen dat dit waar is voor alle > 00. Wilt u nog veel dichter bij 0 komen, zeg / ? Neem dan > en het is gelukt. Door maar groot genoeg te nemen, kunnen we willekeurig dicht bij 0 komen met f(), en is het zelfs zo voor alle groter dan die gevonden grens, dat f() dichter bij 0 dan de geëiste grens is. Nog iets nauwkeuriger geformuleerd: voor ieder getal ε > 0, hoe klein ook, geldt dat iedere > /ε voldoet aan 0 < f() < ε (dus bijvoorbeeld voor iedere > geldt 0 < f() < /000000). Omdat dit zo is, spreken we over 0 als de limiet van f voor gaat naar. «VOORBEELD 5. Als we de grafiek van de functie f() = / over een afstand naar boven opschuiven, krijgen we de grafiek van de functie g() = + /. Zie figuur 5.3. De limiet schuift natuurlijk ook met op, dus we kunnen met g() willekeurig dicht bij komen, als we maar groot genoeg kiezen. Bijvoorbeeld, als we < g() <,000 willen, dan moeten we > 0000 kiezen, opdat aan de eis voldaan is. g f FIGUUR 5.3 Grafiek van f() = / en van g() = + / Als we nu de grafiek van de functie f() = / over een afstand naar links opschuiven, krijgen we de grafiek van de functie h() = /( + ). Zie figuur 5.4. Nu ligt de zaak iets anders: als heel erg groot is, is + ook heel erg groot, en is /( + ) heel erg dicht bij 0. Dus nu kunnen we weer met h() willekeurig dicht bij 0 komen, als we maar groot genoeg kiezen. Immers, /( + ) verschilt minder dan ε van 0 als > /ε. Bijvoorbeeld, voor ε = 0,00 vinden we als voorwaarde dat > 999. h f FIGUUR 5.4 Grafiek van f() = / en van h() = /( + ) «VOORBEELD 5. We geven tenslotte een voorbeeld waarbij naar een eindig getal (0 in dit geval) gaat en waar het veel moeilijker is wat in het vorige voorbeeld nog wel te doen was, namelijk om telkens epliciet aan te geven hoe dicht we bij 0 moeten kiezen om te garanderen dat f() binnen een 9

10 Continue wiskunde bepaalde afstand van haar limiet!}ßmt. Het gaat hier om een belangrijke standaardlimiet, die we later zullen afleiden (zie leereenheid 7 paragraaf.3). Nu poneren we dat geldt: lim sin = 0 Zie ook de grafiek van de functie f() = sin/ in figuur 5.5. π π FIGUUR 5.5 Grafiek van f() = sin/ We kunnen in deze functie f() = sin/ niet simpelweg = 0 invullen, want dan zouden we door 0 gaan delen. Er blijkt te gelden (dat kunnen we nu niet bewijzen, u moet het dus maar op gezag geloven op dit moment) dat: als 0 < < 0,, dan 0, < sin/ <, dus f() < 0,00666 als 0 < < 0,0, dan 0, < sin/ <, dus f() < 0,00007 als 0 < < 0,00, dan 0, < sin/ <, dus f() < 0,00000 «Hier zien we geïllustreerd dat als vlak bij 0 ligt en er steeds dichter bij komt, dat dan f() vlak bij ligt en er steeds dichter bij komt. Deze afstanden tussen enerzijds en 0 en anderzijds f() en spelen bij het begrijpen van het limietbegrip een grote rol. Doorgaans wordt de letter δ gebruikt als bovengrens voor de afstand tussen en z n grenswaarde a, en de letter ε als bovengrens voor de afstand tussen f() en de limiet van de functie. In het voorgaande voorbeeld zien we bijvoorbeeld dat als we voor ε = 0,00000 willen dat f() binnen ε van blijft, dat we binnen δ = 0,00 van 0 moeten nemen. Het essentiële in het limietbegrip is nu dat we ook voor een nog veel kleinere waarde van ε hetzelfde moeten kunnen doen. Omdat in het vervolg regelmatig het begrip domein van een functie gebruikt wordt, herhalen we hier de definitie van dit begrip en de bijbehorende begrippen origineel, beeld en bereik. Origineel Functiewaarde of beeld Domein Waardeverzameling of bereik Een invoerwaarde van een functie wordt meestal een origineel genoemd en een uitvoerwaarde een functiewaarde of beeld. De verzameling van alle originelen bij een bepaalde functie heet het domein van die functie. De verzameling van alle functiewaarden of beelden heet de waardeverzameling of het bereik. Als f een functie met domein D en bereik B is, heet f wel een functie van D naar B. De notatie daarvoor is 0

11 Leereenheid 5 Grondbegrippen f: D B Zowel bij het domein als bij het bereik, is men niet eenduidig in het spraakgebruik. Men spreekt vaak van een functie van R naar R (f: R R), ook in het geval dat het domein en/of bereik echte deelverzamelingen van R zijn. Als voorbeeld kan de functie dienen, waarover men spreekt als een functie van R naar R, terwijl het domein en het bereik beide de niet-negatieve reële getallen zijn. De lezer of toehoorder wordt geacht dit zelf correct in te vullen. Belangrijke afspraak We maken hier voor deze cursus de afspraak dat, als er niets over het domein van een functie wordt gezegd, we de grootst mogelijke deelverzameling van R nemen waarvoor het functievoorschrift zinvol is. Afstand We maken nog een opmerking over het begrip afstand tussen twee getallen. De afstand tussen bijvoorbeeld f() en L wordt weergegeven met de absolute waarde van het verschil: f() L. Omdat het bij limieten voortdurend gaat over de afstand tussen bijvoorbeeld en a, of die tussen f() en L, zult u in het vervolg vaak uitdrukkingen als a en f() L tegenkomen, die doorgaans klein zullen (moeten) zijn. De verzameling getallen die een afstand minder dan δ tot een gegeven getal a hebben, vormen een smmetrisch interval om a, namelijk a δ, a + δ. Immers, a δ, a + δ is hetzelfde als a δ < < a + δ, en dus δ < a < δ, en er volgt dat zowel a < δ als ( a) < δ, dus dat a < δ. OPGAVE 5. a Laat zien: als 0, < <, dan < 0, b Laat zien: als < 0,00666, dan 0, < <,00666, oftewel 0,998334,, OPGAVE 5. a In voorbeeld 5. was sprake van drie limieten: één voor elk van de functies f, g en h. Bijvoorbeeld: lim f() = lim / = 0. Schrijf de limieten voor g en h ook op deze wijze op. b Wat is lim ( /( + ))? Beredeneer uw antwoord. 3 Het begrip limiet We omschrijven eerst op verschillende manieren in woorden wat we bedoelen met de limiet van f voor gaat naar a, oftewel lim a f(). We geven om te beginnen een tweetal nogal informele omschrijvingen, die we vaak in spreektaal bezigen. Statisch Dnamisch lim a f() = L betekent: f() ligt vlak bij L als vlak bij a ligt. lim a f() = L betekent: f() gaat naar L als naar a gaat. Vervolgens geven we een andere informele omschrijving, die al iets nauwkeuriger uitdrukt wat een limiet is en iets meer bij de dnamische omschrijving van hiervoor aansluit. lim a f() = L betekent: f() komt willekeurig dicht bij L, mits dicht genoeg bij a komt.

12 Continue wiskunde Omgeving Gereduceerde omgeving Limiet DEFINITIE 5. VOORBEELD DEFINITIE 5. Notatie Studeeraanwijzing VOORBEELD Dan een nog nauwkeuriger omschrijving, die al bijna een formele definitie genoemd kan worden. Die geeft een beschrijving van een limiet in termen van open intervallen en heeft een weer wat statischer karakter. In feite maken we nu het willekeurig dicht bij en het dicht genoeg bij uit de voorgaande omschrijving precies. lim a f() = L betekent: voor ieder open interval L ε, L + ε, hoe klein ook, is er een open interval a δ, a + δ te vinden waarvoor geldt: voor alle a δ, a + δ met a geldt f() L ε, L + ε. In een dergelijke definitie veronderstellen we dat er op z n minst een interval om a heen bestaat dat helemaal (hooguit met uitzondering van a zelf) binnen het domein van de functie f valt. Anders kunnen we namelijk niet van f() spreken voor alle a δ, a + δ met a. Om hier wat makkelijker over te kunnen praten, voeren we eerst de begrippen omgeving en gereduceerde omgeving van een getal in. a Onder een omgeving van een getal a R verstaan we een open interval dat a bevat. b Onder een gereduceerde omgeving van een getal a R verstaan we een omgeving van a waaruit het getal a zelf is weggelaten. Enkele omgevingen van zijn,999,,00,,9,,3, 0,. Maar [,, is geen omgeving van. Enkele gereduceerde omgevingen van zijn,999,,,00,,9,,,3, 0,,. Maar,, is geen gereduceerde omgeving van. «Nu zijn we dan toe aan een precieze, formele definitie van de limiet van f voor gaat naar a, een zogenaamde ε-δ-definitie. Dat is een bijna letterlijke vertaling van de vorige omschrijving, waarbij we de intervallen omschrijven met behulp van ongelijkheden in termen van ε (als bovengrens voor de afstand van f() tot L) en δ (als bovengrens voor de afstand van tot a). Laat de functie f gedefinieerd zijn op een gereduceerde omgeving van a. Zij L R. We zeggen dat de limiet van f voor gaat naar a bestaat en gelijk is aan L, en we noteren lim a f() = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een δ > 0 te vinden waarvoor geldt: als 0 < a < δ, dan f() L < ε. Let wel: ondanks het feit dat we spreken over gaat naar a, en dat noteren met een dnamisch pijltje, heeft deze definitie in feite niets dnamisch: er is geen sprake van die naar a toe beweegt, noch van f() die naar L toe gaat (hoe zou dat moeten, een bewegend getal?), maar slechts van en f() die in bepaalde intervallen liggen. Merk op dat f() L ε, L + ε gelijkwaardig is met f() L < ε. Evenzo is a δ, a + δ en a gelijkwaardig met 0 < a < δ. Bekijkt u nu nog eens voorbeeld 5. met in uw achterhoofd de voorgaande informele omschrijvingen en de nauwkeurige definitie 5.. Een reden dat in definitie 5. de dubbele ongelijkheid 0 < a < δ staat, ziet u in het voorbeeld van de functie f() = ( )/( ) van paragraaf. Deze functie is voor = niet gedefinieerd. In de

13 Leereenheid 5 Grondbegrippen definitie van de limiet wordt gelukkig geen gebruikgemaakt van de functiewaarde in =, want de ongelijkheid 0 < a impliceert dat. We kunnen dus wel de limiet bepalen. Ook in het volgende voorbeeld wordt het belang van de dubbele ongelijkheid 0 < a < δ geïllustreerd. VOORBEELD Zie figuur 5.6. Neem de functie f gedefinieerd door 5 als f( )= 8 als = FIGUUR 5.6 Grafiek van f() = 5 als en f() = 8 Als heel dicht bij zit, maar, dan f() = 5. Dus lim f() = 5. Dit is niet in tegenspraak met het feit dat f() = 8. Formeel: voor iedere ε > 0, hoe klein ook, kunnen we nu bijvoorbeeld δ = nemen (of iets anders), en zien we: als 0 < <, dan geldt, dus f() = 5, en dus f() 5 = 0 < ε. Ook hier zien we het belang van de ongelijkheid 0 < in de definitie van limiet. Namelijk, voor 0 =, dus = geldt f() 5 = 3, wat niet kleiner dan een willekeurige ε te krijgen is. Het belang van de voorwaarde in de eerste regel van definitie 5. ziet u in voorbeeld 5.3. VOORBEELD 5.3 Bij bijvoorbeeld f( ) = 3 is het domein de verzameling van R waarvoor geldt dat 3 0, en dat is {0} [,. Zie figuur 5.7. FIGUUR 5.7 Grafiek van f( ) = 3 3

14 Continue wiskunde Nu is het zinloos om te spreken over lim 0 f(), omdat het domein vlak in de buurt van = 0 geen andere punten dan = 0 bevat. Als naar 0 nadert, dan komt vlak in de buurt van 0, maar is nog steeds 0, en dan heeft f() geen betekenis. Net zo min kunnen we spreken over lim f(), want direct links van is f niet gedefinieerd. We kunnen wel spreken over bijvoorbeeld lim f() (en daar komt f( ) = 3 = uit, zoals u in figuur 5.7 of met gezond verstand ziet; in leereenheid 6 zien we waarom). «De limietdefinitie doet een uitspraak voor iedere ε > 0. Dus in principe ook voor heel grote waarden van ε. Dat is echter niet wat we in ons achterhoofd hebben als we deze definitie lezen: dan denken we altijd aan heel erg kleine waarden voor ε. Immers, we drukken ermee uit dat f() en L willekeurig dicht bij elkaar kunnen komen. Als u dus ergens leest: voor iedere ε > 0 geldt dit-en-dat, dan wordt doorgaans bedoeld, en leest u in uw achterhoofd: voor iedere ε > 0, hoe klein ook, geldt dit-endat. In de definitie verlangen we van de functie f dat ze op een gereduceerde omgeving van a gedefinieerd is. Dus in a zelf hoeft de functie niet gedefinieerd te zijn (denk aan sin/ die in 0 niet bestaat, maar de limiet voor 0 bestaat wel), maar het mag wel. Ook mag een functie natuurlijk (ver) buiten een omgeving van a wel of niet gedefinieerd zijn; voor het bestaan van de limiet voor a maakt dat niet uit. De definitie van limiet die we gegeven hebben, is ondubbelzinnig. Hiermee kunnen we mogelijke problemen en verrassingen zoals we tegenkwamen in de voorbeelden van paragraaf, uitsluiten of verklaren (gaat f() = ( )/( ) wel écht naar 3 als naar gaat; 4 wat doet f() = sin/ precies als vlak bij 0 komt?). De gegeven definitie 5. lijdt echter wel aan het euvel dat ze niet erg praktisch is. Het is doorgaans in de praktijk niet aan te raden een dergelijke definitie te gebruiken om na te gaan of voor een gegeven functie f en gegeven getallen a en L, al of niet geldt dat lim a f() = L. De definitie eist alleen maar dat bij iedere ε > 0 een δ > 0 met die bepaalde eigenschappen bestaat, en er wordt niet geëist dat we zo n δ ook altijd epliciet kunnen vinden. Wat we dan moeten doen, is bij iedere ε > 0 het bestaan van een δ > 0 aantonen, zodat voor alle met 0 < a < δ geldt dat f() L < ε. Soms is het eenvoudig om zo n δ epliciet op te schrijven, zoals in voorbeeld 5.4 hierna. Maar meestal is het nogal ingewikkeld. We verlangen dan ook niet van u dat u dergelijke redeneringen kunt reproduceren, laat staan zelf produceren. We zullen in het vervolg van dit blok dan ook niet al te veel doen met dergelijke zogenaamde ε-δ-redeneringen. In plaats daarvan gebruiken we stellingen en rekenregels die ons in staat stellen limieten snel uit te rekenen, zonder de definitie telkens te hoeven controleren. De afleidingen van die stellingen en rekenregels berusten echter wel op ε-δ-redeneringen. VOORBEELD 5.4 Bij f() = 3 en a = 4 ziet u direct in (gebruik uw gezonde verstand en bekijk figuur 5.8) dat L = lim 4 ( 3) = 5. 4

15 Leereenheid 5 Grondbegrippen 5 4 FIGUUR 5.8 Grafiek van f() = 3 Immers, als vlak bij 4 ligt, dan zal 3 toch wel vlak bij 4 3 moeten liggen. Dit is nog makkelijk te controleren met behulp van definitie 5.. We willen namelijk voor een willekeurige (lees: willekeurig kleine) ε > 0 weten wanneer aan de eis f() L < ε is voldaan. Deze eis is voor de gegeven f en L dus ( 3) 5 < ε, oftewel 4 < ε. U ziet hier vanzelf een term a opduiken, die van belang is omdat de te zoeken δ daarmee in verband staat. Vaak is het al één van de moeilijkheden zo n term a uit de eis f() L < ε af te leiden. Een tweede moeilijkheid is dan om daar een verband tussen δ en ε uit te halen. In ons voorbeeld is het echter simpel: aan de eis is nu voldaan voor alle die voldoen aan 0 < 4 < ε ; we kunnen dus δ = ε nemen. Een kleinere waarde voor δ had overigens ook gemogen. «OPGAVE 5.3 (Aanw) Zij f() = ( π)/cos. Bepaal f() voor enkele waarden van in de buurt van π, bijvoorbeeld met een zakrekenmachine of met behulp van computeralgebra. Bestaat f( ) π? Wat is volgens u lim π/ f() (we vragen geen bewijs)? Kunt u dit antwoord aannemelijk maken, bijvoorbeeld op grond van voorbeeld 5.? 4 Linker- en rechterlimieten In het voorgaande hebben we naar a laten gaan, zonder ons er om te bekommeren hoe dat precies gebeurde. Het betekende gewoon dat a erg klein werd. Nu gaan we daar een paar speciale gevallen van bekijken, waarbij we als etra eis opleggen dat altijd aan dezelfde kant van a blijft. Met behulp daarvan kunnen we het limietbegrip uitbreiden. Dat dat nuttig is, lichten we toe aan de hand van een voorbeeld. VOORBEELD 5.5 We bekijken de functie f() = / in de buurt van = 0. Het domein is R 0}. We kunnen f() ook iets anders schrijven, namelijk als > 0 f( ) = = als < 0 5

16 Continue wiskunde Een grafiek is getekend in figuur 5.9. FIGUUR 5.9 Grafiek van f() = / Linkerlimiet Rechterlimiet DEFINITIE 5.3 Notatie Notatie VOORBEELD We bewijzen eerst dat lim 0 / niet bestaat, en dat doen we vanuit het ongerijmde. Als die limiet namelijk wel zou bestaan, dan moet ze tegelijkertijd gelijk aan en gelijk aan zijn. Immers, in iedere omgeving van 0, hoe klein ook, liggen positieve -waarden, dus met f() =, en ook negatieve -waarden, dus met f() =. De limiet moet binnen een willekeurig kleine afstand van zowel als liggen, en het zal duidelijk zijn dat dat niet mogelijk is. De conclusie moet wel zijn dat de limiet lim 0 / niet bestaat. «We zien dat er verschillende dingen gebeuren als we van de bovenkant of van de onderkant naar 0 naderen. Dat verklaart dat de limiet van deze functie voor nadert tot 0 niet bestaat. Maar we kunnen hier de situatie redden, door alleen toe te staan dat we van één kant naar 0 naderen, van links of van rechts. Dan gedraagt de functie zich namelijk wél mooi. Dit geeft dan aanleiding tot het invoeren van de begrippen linker- en rechterlimiet. Die begrippen sluiten uiteraard nauw aan bij definitie 5.. Merk op dat de open intervallen b, a en a, b uit definitie 5.3 overeenkomen met de gereduceerde omgevingen uit definitie 5.. De functie f moet minstens op zo n interval bestaan, maar mag ook op een grotere verzameling gedefinieerd zijn. Een voorbeeld hiervan zag u in voorbeeld 5.5. Als etra eis nemen we nu op dat de -waarden waarvan sprake is in de definitie, aan de goede kant van a liggen. a Laat de functie f gedefinieerd zijn op interval b, a. Zij L R. We zeggen dat de linkerlimiet van f voor gaat naar a bestaat en gelijk is aan L, en we noteren lim a f() = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een δ > 0 te vinden waarvoor geldt: als a δ < < a, dan f() L < ε. b Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval a, b. Zij L R. We zeggen dat de rechterlimiet van f voor gaat naar a bestaat en gelijk is aan L, en we noteren lim a f() = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een δ > 0 te vinden waarvoor geldt: als a < < a + δ, dan f() L < ε. We zeggen voor lim a f() ook wel: de limiet van f voor gaat van links of van onderen naar a. En voor lim a f() zeggen we ook wel: de limiet van f voor gaat van rechts of van boven naar a. Voor f() = / geldt lim 0 f() = en lim 0 f() =. Want als 0, dan geldt > 0 en dus f() = / =, en als 0, dan geldt < 0 en dus f() = / =. «6

17 Leereenheid 5 Grondbegrippen Linker- en rechterlimiet van dezelfde functie bij hetzelfde punt kunnen dus verschillend zijn. In zo n geval bestaat de limiet lim a f() natuurlijk niet. Als linker- en rechterlimiet van f voor a beide bestaan, en wel aan elkaar gelijk zijn, dan bestaat ook de limiet lim a f(), en deze heeft dezelfde waarde als linker- en rechterlimiet. Omdat we deze eigenschap in het vervolg nog een aantal keren gebruiken, formuleren we hem hier als stelling. STELLING 5. Als van de functie f linker- en rechterlimiet voor a beide bestaan en aan elkaar gelijk zijn, dan bestaat ook de limiet lim a f() en deze heeft dezelfde waarde als de linker- en rechterlimiet. Natuurlijk kan het ook gebeuren dat de ene limiet wel bestaat en de andere niet. VOORBEELD VOORBEELD 5.6 We bekijken f( ) = 3 (met domein {0} [, ) in de buurt van =. De rechterlimiet lim f() bestaat en is gelijk aan f() = 0, maar de linkerlimiet lim f() bestaat niet, omdat het domein van f direct links van = geen punten bevat. «We bekijken de volgende functie in de buurt van = 0 (zie figuur 5.0). 0 als 0 f( )= als 0 FIGUUR 5.0 Grafiek van f() = 0 als 0 en f() = als 0 Vanwege de verschillend uitziende functievoorschriften links en rechts van = 0, ligt het voor de hand om linker- en rechterlimiet apart te bekijken. De linkerlimiet lim 0 f() bestaat en is gelijk aan lim 0 = 0. Immers, als < 0 vlak bij 0 ligt, ligt f() = dat ook. De rechterlimiet lim 0 f() bestaat ook, en is gelijk aan lim 0 0 = 0. Immers, als > 0 vlak bij 0 ligt, ligt f() = 0 dat zeker. Linker- en rechterlimiet bestaan en zijn gelijk, dus bestaat de limiet lim 0 f() en is gelijk aan 0. We kunnen dat ook meteen inzien, zonder linker- en rechterlimiet te gebruiken, als we opmerken dat we f() in één formule kunnen weergeven voor alle R, namelijk: f() =. Hierin zien we direct dat als vlak bij 0 ligt, dan f() ook vlak bij 0 moet liggen. «OPGAVE 5.4 Bepaal, indien mogelijk, de linker-, rechter- en gewone limieten van f( ) = voor en. Let hierbij op het domein van de functie. Zelfde vraag voor f( ) =. 7

18 Continue wiskunde 5 Voorbereiden van continue en discontinue functies Discontinue functie Continue functie Een functie f() kan bij geleidelijk veranderende (bijvoorbeeld stijgende) ook geleidelijk veranderen, of sprongsgewijs. Bij sprongsgewijs veranderen zal de functiewaarde f() plotseling verspringen als het argument een bepaalde grens overschrijdt. Bijvoorbeeld, het saldo fl(t) van uw bankrekening, gezien als functie van de tijd t, zal op het moment dat er geld wordt bijgeschreven, in één punt des tijds stijgen, en dan weer een tijdje constant blijven, tot het moment dat de volgende bij- of afboeking plaatsvindt. We zeggen: fl is een discontinue functie. Bij geleidelijke verandering treden zulke sprongen niet op. Denk bijvoorbeeld aan een wiskundig model b(t) van het benzinepeil in de tank van een auto als functie van de tijd t. Het kost om fsische redenen altijd tijd om een hoeveelheid benzine, hoe klein ook, in een tank te gieten, en evenzo gaat tijdens het draaien van de motor het uit de tank weglopen van de benzine geleidelijk, en niet in één moment een bepaalde hoeveelheid tegelijkertijd. We zeggen: b is een continue functie. Zie figuur 5.. b(t) stilstaan rijden tanken t FIGUUR 5. Grafiek van b(t), het benzinepeil als functie van de tijd Functies kunnen overal continu, maar ook soms continu, soms discontinu zijn. De benzinepeilfunctie b is overal continu, omdat discontinuïteit fsisch onmogelijk is. De banksaldofunctie fl is discontinu voor die tijdstippen t waarop een bij- of afboeking plaatsvindt, maar daar tussenin is de functie constant, dus wel continu. Zo n functie noemen we wel stuksgewijs continu. Een ander voorbeeld van zo n stuksgewijs continue functie is een wiskundig model van het benzinepeil β() in de tank van een auto, nu niet gezien als functie van de tijd, maar als functie van de afgelegde afstand (waarvan een benadering is af te lezen op de kilometerteller). Zolang de auto rijdt, zal geleidelijk stijgen en het benzinepeil β() geleidelijk dalen. De functie β is dan dus continu. Maar als de auto stilstaat met draaiende motor, wordt bij gelijkblijvende afstand nog steeds benzine verbruikt. Voor die is het benzinepeil β() dus niet eenduidig bepaald. In wiskundige termen: voor die waarden van bestaat de functie β niet. We kunnen het wél zo zeggen: voor die bepaalde waarden van zijn de linker- en rechterlimiet van β verschillend; het verschil is precies de hoeveelheid verbruikte benzine tijdens de stilstand. Evenzo, als de auto bij een tankstation volgegooid wordt, stijgt β() behoorlijk bij gelijkblijvende. Bij dit soort punten is de functie β niet continu meer, maar verandert sprongsgewijs. Zie figuur 5.. 8

19 Leereenheid 5 Grondbegrippen β() rijden stoplicht tanken FIGUUR 5. Grafiek van β(), het benzinepeil als functie van de afgelegde afstand Continu in a DEFINITIE 5.4 Merk op dat het feit dat een continue functie geleidelijk verandert, nog niets zegt over hoe groot die verandering kan zijn. Als u 80 km/uur rijdt, daalt b(t) sneller dan als u met stationair draaiende motor voor een stoplicht staat. Het punt is dat in beide gevallen het benzinepeil in een heel korte tijdsspanne ook maar heel weinig kan veranderen. Terwijl bij de discontinue functie β() bij een heel korte afstandsspanne (zelfs gelijk aan 0) het benzinepeil wél flink kan veranderen. In termen van grafieken betekent continuïteit doorgaans zoiets als: het is mogelijk de grafiek te tekenen zonder het potlood van het papier te halen. Zie het kenmerkende verschil van de grafieken van b(t) en β() in de figuren 5. en 5.. Er zijn zelfs functies te bedenken die overal discontinu zijn, dus nergens continu. Een voorbeeld: f met als domein R, gedefinieerd door f() = als een rationaal getal is en f() = 0 als een irrationaal getal is. Dus bijvoorbeeld f(,7) =, en f(9/7) = f(,748...) =, maar f(e) = f( ) = 0. Probeert u maar eens een grafiek te tekenen: dat zal u niet makkelijk vallen. Dit soort functies zijn doorgaans speciaal bedacht om dergelijke merkwaardige eigenschappen mee te kunnen illustreren: buiten een wiskundeboek zult u ze vrijwel niet tegenkomen. Omdat dit soort voorbeelden alleen aan een ziekelijk brein ontsproten lijken te zijn, worden ze wel pathologische gevallen genoemd. In deze cursus zullen we er verder weinig aandacht aan geven. Het wiskundige begrip van continuïteit zal blijken direct samen te hangen met limieten. Vandaar dat we nu, direct na het invoeren van limieten, ook continuïteit kunnen behandelen. 6 De begrippen continuïteit, links- en rechtscontinuïteit We beginnen met de definitie van continuïteit in een punt = a. Dat zal moeten betekenen dat als heel dicht bij a komt, dat dan f() heel dicht bij f(a) zal moeten zitten. Maar dat is precies een limietsituatie: de limiet van f voor gaat naar a zal moeten bestaan, en bovendien zal die limiet gelijk moeten zijn aan de functiewaarde f(a). Laat de functie f gedefinieerd zijn op een omgeving van a. Dan noemen we f continu in a als lim a f() bestaat en gelijk is aan f(a). 9

20 Continue wiskunde VOORBEELDEN In de voorbeelden 5.4 en 5.6 hebben we gezien dat de functie f() = 3 continu is in 4, en dat de functie f() = continu is in 0. Continu op I Linkscontinu Rechtscontinu Continu op [b, c] DEFINITIE 5.5 VOORBEELD 5.7 DEFINITIE 5.6 DEFINITIE 5.7 VOORBEELDEN De functie f, gedefinieerd door f() = ( )/( ) als { 5, } en f() = 3/4 als =, is continu in. Namelijk, lim f() bestaat, zoals we gezien hebben in paragraaf, en is gelijk aan de functiewaarde van f in, namelijk lim ( )/( ) = 3 4 = f( ). In feite hebben we de functie in continu gemaakt door de functiewaarde daar gelijk aan de limiet te kiezen. «Deze voorbeelden zijn natuurlijk nog niet echt spectaculair. Met veel moeite kunnen we, via de definitie, voor eenvoudige functies, in één punt tegelijk, controleren dat die functie daar continu is. Verderop in deze en de volgende leereenheid zullen we zien hoe dat veel algemener en veel makkelijker kan. Dan zullen we ook zien dat voor veel in de wiskunde en in de praktijk voorkomende functies continuïteit de regel is en discontinuïteiten uitzonderingen zijn, die vaak zonder veel moeite op te sporen zijn. Voor veel functies en veel waarden op hun domein geldt dus dat lim a f() = f(a). Meestal is het niet voldoende alleen te kijken naar continuïteit in één punt, maar willen we het kunnen hebben over continuïteit van een functie op een heel interval. Vandaar de volgende definitie. Vooralsnog beperken we ons tot open intervallen. Zij I R een open interval (eventueel onbegrensd of zelfs gelijk aan heel R) en f een functie die op heel I gedefinieerd is. Dan noemen we f continu op I als ze continu is in ieder punt van I. De functie f( ) = 3 uit voorbeeld 5.3 is in niet continu, omdat er geen enkele omgeving van te vinden is waarop f overal bestaat. Op het open interval, is deze functie continu (dit bewijzen we nu nog niet netjes, maar het spreekt eigenlijk vanzelf). «We hadden al gezien dat we in situaties waarin de limiet niet bestaat, soms nog wel linker- en/of rechterlimiet kunnen bestaan. Dan kunnen we natuurlijk ook spreken over links- en rechtscontinuïteit. a Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval b, a]. Dan noemen we f linkscontinu in a als lim a f() bestaat en gelijk is aan f(a). b Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval [a, b. Dan noemen we f rechtscontinu in a als lim a f() bestaat en gelijk is aan f(a). Deze begrippen stellen ons in staat om continuïteit te definiëren op nietopen intervallen. We geven de definitie hier voor gesloten intervallen [b, c], en u kunt die zelf uitbreiden voor andere gevallen zoals [b, c of [b,. Zij [b, c] een gesloten interval en f een functie die tenminste op heel [b, c] gedefinieerd is. Dan noemen we f continu op [b, c] als ze continu is op b, c, linkscontinu in c en rechtscontinu in b. De functie f( ) = 3 uit voorbeeld 5.7 is in rechtscontinu. Op het interval [, is deze functie dus continu. De functie f() = / is in 0 niet rechts- of linkscontinu, omdat f(0) niet bestaat. 30

21 Leereenheid 5 Grondbegrippen De functie g gedefinieerd door g() = / als 0 en g() = als = 0, is linkscontinu in 0, maar niet rechtscontinu. De functie h gedefinieerd door h() = / als 0 en h() = 0 als = 0, is niet links- of rechtscontinu in 0. «OPGAVE 5.5 De functie f is gegeven door f() = /ln als > 0, en f() = 0 als = 0 of =. Is f continu in 0? Rechtscontinu in 0? Is f continu in? Links- of rechtscontinu in? 7 Voorbeelden van discontinuïteiten In paragraaf 6 hebben we het begrip continuïteit ingevoerd. De tegenhanger daarvan is het begrip discontinuïteit. Ruwweg noemen we een functie discontinu als ze niet continu is. Discontinu in a Een sprongdiscontinuïteiten in de floor- en ceilingfunctie Sprongdiscontinuiteit DEFINITIE 5.8 VOORBEELDEN Een functie f heet discontinu in a als f in een gereduceerde omgeving van a bestaat, maar niet continu is in a. In sommige boeken wordt ook wel geëist dat f niet slechts in een gereduceerde omgeving van a bestaan moet, maar ook in a zelf, wil ze in a discontinu kunnen zijn. In de praktijk zal er weinig verwarring hoeven te zijn. We gaan in deze paragraaf aan de hand van voorbeelden na dat er verschillende soorten discontinuïteiten kunnen voorkomen. Een voorbeeld van een zogenaamde sprongdiscontinuïteit zien we bij / bij = 0. De sprong heeft hier grootte : dat is het verschil tussen linker- en rechterlimiet. De floor- en ceiling-functies en zijn tpische voorbeelden van functies met discontinuïteiten. Ze zijn gedefinieerd door: Floor Ceiling = n = n als n < n +, n Z als n < n, n Z Deze functies hebben oneindig veel sprongdiscontinuïteiten, namelijk bij ieder geheel getal, zoals u in figuur 5.3 kunt zien. Tussen de gehele getallen in zijn deze functies wel continu. Hier hebben we tpische voorbeelden van stuksgewijs continue functies. « FIGUUR 5.3 3

22 Continue wiskunde VOORBEELD 5.8 De functie f() = ( )/( ) (zie paragraaf ) heeft discontinuïteiten bij en 5. Dat is alleen al zo omdat f niet bestaat in deze punten en wel bestaat op gereduceerde omgevingen. Deze twee discontinuïteiten zijn echter wel verschillend van aard. Dat kunnen we als volgt inzien. Hoewel f() niet bestaat in =, bestaat lim f() wel, en is 3 4. Nu kunnen we f continu maken in = door het domein van f uit te 3 breiden met, namelijk door f( ) = te bij-definiëren. Die definitie is 4 niet toevallig gekozen: 3 is natuurlijk precies de limiet. We hebben de 4 functie f dus ietsje veranderd, precies zodanig dat f nu ook continu is in =. U mag het ook zo zien: we herschrijven ( )( + ) f( ) = = = ( + 5)( + ) + 5 Continue uitbreiding Ophefbare discontinuïteit en nemen als nieuwe definitie f() = ( )/( + 5), waarbij het domein nu R { 5} is geworden en f in niets bijzonders meer heeft (inderdaad: f( ) = ( )/( + 5) = 3 4 ). Dit proces heet ook wel continue uitbreiding van f, en kan uitgevoerd worden zodra de limiet bestaat. De discontinuïteit wordt in zo n geval ook wel een ophefbare discontinuïteit genoemd. Bij = 5 kunnen we zoiets niet doen. De limiet bestaat namelijk niet. Welke waarde we ook aan f( 5) zouden geven, nooit zal de zo veranderde functie continu worden in 5. «VOORBEELDEN De functie g gedefinieerd door g() = ( )/( ) als { 5, }, en g( 5) = 0 en g( ) =, heeft ook discontinuïteiten in en 5. Zie figuur FIGUUR 5.4 Grafiek van g() Bij 5 is de reden dat lim 5 g() niet bestaat. Bij geldt dat lim g(), hoewel ze wel bestaat, niet gelijk is aan de functiewaarde g( ). Namelijk, lim g() = 3 4 = g( ). In voorbeeld 5. zagen we dat lim 0 sin/ =. Deze functie is dus continu uit te breiden tot 0, door de definitie als volgt te nemen: f() = sin/ als 0, en f(0) =. Het domein van f is nu heel R en f is op heel haar domein continu. «In figuur 5.5 ziet u een grafiek van een tpische functie met een ophefbare discontinuïteit. 3

23 Leereenheid 5 Grondbegrippen FIGUUR 5.5 Een ophefbare discontinuïteit Nog andere verschijnselen kunnen optreden bij discontinue functies. We zijn niet uitputtend, maar geven nog een paar voorbeelden. VOORBEELD 5.9 De functie f() = sin(/) is gedefinieerd op R {0}. In de buurt van = 0 vertoont de functie nogal wild gedrag. Zie figuur 5.6. FIGUUR 5.6 Grafiek van f() = sin(/) Hoe dichter bij 0 komt, bijvoorbeeld van de bovenkant, hoe groter / wordt. Voor = /π, /π, /3π,... geldt telkens f() = 0, en f heeft dus vlak in de buurt van 0 een opeenhoping van nulpunten. Maar tussen die nulpunten in gaat de functie telkens weer naar en. Namelijk, voor = / π, / 5 π, / 9 π,... geldt telkens f() =, en voor = / 3 π, / 7 π, / π,... geldt telkens f() =. De conclusie is dat lim 0sin(/) niet bestaat. De discontinuïteit in 0 is niet ophefbaar en ook geen sprongdiscontinuïteit. «VOORBEELD 5.0 De functie g() = sin(/) lijkt op het eerste gezicht sterk op de functie f() = sin(/) uit het voorgaande voorbeeld. Ze is ook gedefinieerd op R {0}, en vertoont in de buurt van = 0 merkwaardig gedrag. Zie figuur 5.7 (we noemen deze functie ook wel de laan-met-bomenfunctie) FIGUUR 5.7 Grafiek van de laan-met-bomenfunctie g() = sin(/) 33

24 Continue wiskunde Voor = /π, /π, /3π,... geldt telkens weer g() = 0, en g heeft dus vlak in de buurt van 0 weer een opeenhoping van nulpunten. Maar tussen die nulpunten in gaat de functie nu telkens naar en. In de grafiek is dat goed te zien: als (bijvoorbeeld van de bovenkant) naar 0 gaat, beweegt f() zich tussen de lijnen = en =. Hoe dichter we bij 0 komen, des te dichter komen deze twee lijnen bij elkaar en des te minder speelruimte heeft de functie g over. De conclusie zal nu al wel duidelijk zijn: lim 0 sin(/) = 0. Dus hebben we hier te maken met een ophefbare discontinuïteit in 0. «Zoals u in de voorbeelden hebt gezien, komt het zoeken naar discontinuïteiten over het algemeen neer op het zoeken naar losse punten waar de functie niet gedefinieerd is, zoals nulpunten van noemers in het functievoorschrift, of naar punten waar een functie afwijkend is gedefinieerd. U moet natuurlijk nog wel controleren of in deze punten inderdaad een discontinuïteit optreedt. OPGAVE 5.6 (Aanw) Bekijk nog eens de functie s(c) = (300c 00c 3 50)/(000c 500) uit de introductie op dit blok, die het stijgingspercentage van een helling beschreef. Kunt u deze functie uitbreiden, zodat ze op het hele interval [0, ] continu wordt? OPGAVE 5.7 Probeer (bijvoorbeeld met computeralgebra) een grafiekje te tekenen van de golden-gate-bridgefunctie h() = sin(/) (hint: teken eerst de parabolen = en = ). Wat denkt u over lim 0 sin(/)? (We raden u af hier een ε-δ-bewijs te proberen.) OPGAVE 5.8 (Aanw) Bepaal voor de volgende functies alle punten in het domein waar de functie discontinu is. a f() = b f() = c f() = /( ) d f() = /( ) als {, }, en f() = 0 als {, } 8 Limieten voor gaat naar oneindig Tot nu toe hebben we altijd naar een eindig getal a laten lopen. In leereenheid 3, toen we limieten van rijen bekeken, bestudeerden we het gedrag van a n als n N naar gaat. We kunnen natuurlijk iets dergelijks bij functies proberen: we kunnen (nu niet meer in N, maar R) naar of laten gaan en dan het gedrag van f() bestuderen. Dit geeft aanleiding tot de volgende definities van lim f() en lim f(), die u na paragraaf 3 en definitie 3. niet vreemd meer zullen voorkomen. Eerst informeel in woorden: lim f() = L betekent: f() komt willekeurig dicht bij L, mits groot genoeg wordt lim f() = L betekent: f() komt willekeurig dicht bij L, mits groot genoeg negatief wordt 34

25 Leereenheid 5 Grondbegrippen Dan geven we nu ook een formele ε-δ-definitie. Er zijn een paar kleine verschillen met de situatie van een limiet voor a, die we toelichten voor het geval dat. We kunnen niet zonder meer definitie 5. overschrijven en overal a vervangen door. We kunnen namelijk niet spreken van een omgeving van, en daar moet dus iets op verzonnen worden: we eisen gewoon dat de functie f bestaat op een of ander interval van de vorm b,. Verder kunnen we natuurlijk in de voorwaarde er is een δ zodat 0 < a < δ niet zomaar a = invullen. Deze voorwaarde drukte uit: mits dicht genoeg bij a zit. Nu moeten we een wiskundige vertaling vinden van de voorwaarde mits groot genoeg is, dat wil zeggen: mits er een grens is waar boven uitstijgt. Dat zal dan moeten worden: er is een getal N zodat > N. De ε-δ-definitie wordt nu dus eigenlijk een ε-n-definitie. DEFINITIE 5.9 Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval b,. Zij L R. We zeggen dat de limiet van f voor gaat naar bestaat en gelijk is aan L, en we noteren lim f() = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een N R te vinden waarvoor geldt: als > N, dan f() L < ε. Behalve dat we nu als voorwaarde stellen dat f gedefinieerd is op b, en dat R, is deze definitie gelijk aan definitie 3.. En nu is het niet moeilijk meer om de definitie op te schrijven voor de limiet voor. DEFINITIE 5.0 VOORBEELD Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval, b. Zij L R. We zeggen dat de limiet van f voor gaat naar bestaat en gelijk is aan L, en we noteren lim f() = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een N R te vinden waarvoor geldt: als < N, dan f() L < ε. We bekijken f() = / voor (respectievelijk ). Intuïtief geredeneerd: als steeds groter (respectievelijk groter negatief) wordt, dat komt / steeds dichter bij 0. Precies gemaakt: als we / < ε willen hebben (dit betekent: / op een afstand hoogstens ε van 0 af), dan moeten we groter dan /ε (respectievelijk kleiner dan /ε) kiezen. Dus we kunnen N = /ε nemen, dan geldt inderdaad voor iedere > N (respectievelijk < N) dat f() 0 < ε. Let er nogmaals op dat het cruciaal is dat we dit voor een willekeurige (lees: willekeurig kleine) ε > 0 kunnen doen. «Was het bij de ε-δ-definitie zo dat doorgaans δ erg klein is bij erg kleine ε, bij voorgaande ε -N-definitie is het doorgaans zo dat N juist erg groot wordt als ε erg klein wordt. VOORBEELD VOORBEELD 5. We laten naar oneindig gaan bij de functie f() = sin. De functiewaarde blijft dan heen en weer gaan tussen en. De conclusie is dat lim sin niet bestaat. «We laten naar oneindig gaan bij de functie f() = sin/. De functiewaarde blijft dan heen en weer gaan tussen / en /, die beide naar 0 gaan. De conclusie is dat lim sin/ = 0. Zie de grafiek in figuur

26 Continue wiskunde 00 FIGUUR 5.8 Grafiek van de functie f() = sin/ NB: om het effect te tonen, zijn de schalen aangepast. «Horizontale asmptoot Als lim f() = a, dan betekent dat in de grafiek dat hoe verder we naar rechts kijken, hoe dichter de grafiek tegen de horizontale lijn = a aankruipt. Die lijn noemen we dan een horizontale asmptoot van de functie. Zo hebben de functies / en sin/ beide de -as (de lijn = 0) als horizontale asmptoot. Op het begrip asmptoot komen we in de volgende leereenheid terug. OPGAVE 5.9 a Wat is lim (/ln)? b Wat is lim (/) (/)? Wat is lim (/) (/)? Wat zijn de horizontale asmptoten van de functie f() = (/) (/)? 9 Oneindige limieten en oneindige discontinuïteiten Tenslotte laten we in deze leereenheid zien wat ook bij limieten van rijen (leereenheid 3) voorkwam, namelijk limieten die oneindig zijn. Met andere woorden, we beschrijven wat we verstaan onder f() gaat naar (respectievelijk ) als a. Dat zal in formule moeten zijn: lim a f() = (respectievelijk lim a f() = ), waarbij we voor a zowel een eindig getal als ± mogen lezen. We geven alleen de definitie van lim a f() = voor een eindig getal a, en laten de precieze formuleringen van de andere gevallen (inclusief linker- en rechterlimieten die oneindig zijn) aan u over. In woorden wordt het: lim a f() = betekent: f() wordt willekeurig groot, mits dicht genoeg bij a gekozen wordt Het kenmerkende verschil met de ε-δ-definitie 5. van lim a f() = L zit nu in de eis voor alle ε > 0 moet f() L < ε, waar we natuurlijk niet zomaar L = mogen invullen. Deze eis drukte uit: f() komt willekeurig dicht bij L. Nu moeten we uitdrukken: f() wordt willekeurig groot, 36