Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/ 2 D 25 We kunnen de raaklijn in.3; 4/ berekenen. f.x/ D p 25 x 2 f 0.x/ D x p 25 x 2 f 0.3/ D 3 4 Raaklijn: y D 4 3.x 3/ 4 2/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Impliciete differentiatie Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/ 2 D 25 We kunnen dit direct differentiëren zonder eerst f.x/ als functie van x uit te drukken. We kunnen de raaklijn in.3; 4/ ook op deze manier berekenen. 3/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
x 2 C Œf.x/ 2 D 25 2x C 2f.x/f 0.x/ D 0 In het punt.3; 4/ geldt x D 3 en y D f.x/ D 4: 6 C 8f 0.3/ D 0 f 0.3/ D 3 4 Raaklijn: y D 4 3.x 3/ 4 4/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Impliciete differentiatie Bekijken we de volgende vergelijking: x 3 C Œf.x/ 3 D 6xf.x/ Dit beschrijft het folium van Descartes 5/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
6/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Impliciete differentiatie We hebben de volgende vergelijking: x 3 C Œf.x/ 3 D 6xf.x/ We kunnen dit direct differentiëren zonder eerst f.x/ als functie van x uit te drukken. We kunnen de raaklijn in.3; 3/ op deze manier berekenen. 7/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
x 3 C Œf.x/ 3 D 6xf.x/ 3x 2 C 3 Œf.x/ 2 f 0.x/ D 6f.x/ C 6xf 0.x/ In het punt.3; 3/ geldt x D 3 en y D f.3/ D 3. 27 C 27f 0.3/ D 18 C 18f 0.3/ 9 C 9f 0.3/ D 0 De raaklijn: y D 3 C f 0.3/.x 3/ y D 6 x 8/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
9/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Impliciete differentiatie Bekijken we de volgende vergelijking: sin.x C y/ D y 2 cos x We kunnen de afgeleide weer direct bepalen. 10/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Differentiëren levert op: sin.x C y/ D y 2 cos x cos.x C y/ C y 0 cos.x C y/ D 2yy 0 cos x y 2 sin x cos.x C y/ C y 2 sin x D y 0 Œ2y cos x cos.x C y/ y 0 D cos.x C y/ C y2 sin x 2y cos x cos.x C y/ 11/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Hyperbolische functies f 1.x/ D sinh.x/ D ex e x 2 f 2.x/ D cosh.x/ D ex C e x 2 e x f1 0.x/ D cosh.x/ f2 0.x/ D sinh.x/ f 3.x/ D tanh.x/ D ex e x C e x f3 0.x/ D 1 tanh2.x/ D 1 cosh 2.x/ We hebben: cosh 2.x/ sinh 2.x/ D 1 12/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
sinh.x/ 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 13/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f 1.x/ D sinh.x/ D ex met domein A D R en bereik B D R. e x 2 Stijgende functie: f1 0.x/ D cosh.x/ > 0 Hieruit volgt dat de functie injectief is! lim sinh.x/ D 1 lim sinh.x/ D 1 x! 1 x!1 Hieruit volgt (met de tussenwaardestelling) dat de functie surjectief is. 14/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Tussenwaardestelling Gegeven is een functie f die continu is op het gesloten interval Œa; b. Zij N een getal tussen f.a/ en f.b/. Er bestaat een c 2.a; b/ zodanig dat f.c/ D N. Het geval N D 0 wordt de stelling van Weierstrass genoemd. 15/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Ga na of voor de functie f W Œ0; 1! Œ1; e gedefinieerd door: de inverse functie bestaat. f.x/ D exp.3x 2 2x 3 / 16/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f.x/ D exp.3x 2 2x 3 / f.0/ D 1; f.1/ D e f 0.x/ D.6x 6x 2 / exp.3x 2 2x 3 / D 6x.1 x/ exp.3x 2 2x 3 / > 0 17/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stel y D sinh.x/ dan: Definieer z D e x : e x e x z e x 2 D y e x D 2y z 1 D 2y z 2 2yz 1 D 0 18/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
z 2 2yz 1 D 0 z D 2y p4y 2 C 4 2 e x D y C y C x D ln D y q y 2 C 1 q y 2 C 1 q y 2 C 1 19/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
cosh.x/ 4 3 2 1 0-1 -2-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 20/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f 1.x/ D cosh.x/ D ex C e x 2 met domein A D Œ0; 1/ en bereik B D Œ1; 1/. Stijgende functie: f2 0.x/ D sinh.x/ > 0 want x > 0 Hieruit volgt dat de functie injectief is! cosh.0/ D 1 lim cosh.x/ D 1 x!1 Hieruit volgt (met de tussenwaardestelling) dat de functie surjectief is. 21/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stel y D cosh.x/ dan: e x C e x 2 D y e x C e x D 2y Definieer z D e x : z C z 1 D 2y z 2 2yz C 1 D 0 22/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
z 2 2yz C 1 D 0 z D 2y p4y 2 4 2 e x D y C y C x D ln D y q y 2 1 q y 2 1 q y 2 1 23/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
tanh.x/ 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 24/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
e x f 1.x/ D tanh.x/ D ex e x C e x met domein A D. 1; 1/ en bereik B D. 1; 1/. Stijgende functie: f 0 2.x/ D 1 cosh 2.x/ > 0 Hieruit volgt dat de functie injectief is! lim tanh.x/ D 1 lim tanh.x/ D 1 x! 1 x!1 Hieruit volgt (met de tussenwaardestelling) dat de functie surjectief is. 25/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stel y D tanh.x/ dan: e x e x e x C e x D y e x e x D y.e x C e x / Definieer z D e x : z z 1 D y.z C z 1 / z 2.1 y/ D 1 C y z 2 D 1 C y 1 y e 2x D 1 C y 1 y x D 1 2 ln 1 C y 1 y 26/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Inverse hyberbolische functies f 1.x/ D arcsinh.x/ D ln f 2.x/ D arccosh.x/ D ln x C p1 C x 2 x C p x 2 1 f 3.x/ D arctanh.x/ D 1 2 ln 1 C x 1 x f1 0.x/ D 1 p x 2 C 1 f2 0.x/ D 1 p x 2 1 f3 0.x/ D 1 1 x 2 27/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: en dus: arcsinh.sinh x/ D x arcsinh 0.sinh x/ cosh x D 1 arcsinh 0.y/ cosh x D 1 met y D sinh x. Maar dan cosh x D p 1 C y 2 q arcsinh 0.y/ 1 C y 2 D 1 arcsinh 0.y/ D 1 p 1 C y 2 28/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: en dus: arccosh.cosh x/ D x arccosh 0.cosh x/ sinh x D 1 arccosh 0.y/ sinh x D 1 met y D cosh x. Maar dan sinh x D p y 2 1 want x 2 Œ0; 1/ q arccosh 0.y/ y 2 1 D 1 arccosh 0.y/ D 1 p y 2 1 29/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: en dus: arctanh.tanh x/ D x arctanh 0.tanh x/.1 tanh 2 x/ D 1 arctanh 0.y/.1 y 2 / D 1 met y D tanh x. arctanh 0.y/ D 1 1 y 2 30/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Notatie die in het boek gebruikt wordt: csc D 1 sin ; sec D 1 cos ; cot D 1 tan Vergelijk met de inverse functie: arcsin x D sin 1 x; arccos x D cos 1 x; arctan x D tan 1 x: 31/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
32/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI φ
Quadrant 2 cos φ < 0 sin φ > 0 Quadrant 1 cos φ > 0 sin φ > 0 Quadrant 3 cos φ < 0 sin φ < 0 Quadrant 4 cos φ > 0 sin φ < 0 33/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
sin.2x/ D 2 sin x cos x cos.2x/ D 2 cos 2 x 1 D 1 2 sin 2 x D cos 2 x sin 2 x tan.2x/ D 2 tan x 1 tan 2 x sin.x C y/ D sin x cos y C cos x sin y cos.x C y/ D cos x cos y sin x sin y tan.x C y/ D tan xctan y 1 tan x tan y 34/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
sin. x/ D sin x cos. x/ D cos x tan. x/ D tan x sin.x C 2 / D cos x 35/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Hogere orde afgeleide We kunnnen natuurlijk ook weer kijken of de afgeleide zelf weer differentieerbaar is. Dit wordt dan de tweede afgeleide genoemd. Op deze manier kunnen we de k-de afgeleide definiëren. We gebruiken als notatie: f.k/.x/ D dk f dx k.x/ 36/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld We hebben: f.x/ D x cos x Dan geldt: f 0.x/ D cos x x sin x f 00.x/ D 2 sin x x cos x 37/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
5 4 y y y 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 38/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI