Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer stuitere, a de 2 e keer, 3 e keer,. b) De totale afstad die door de bal wordt afgelegd. Formules opstelle: a) Stel u 0 = 63 is de begihoogte. Na de eerste keer stuitere is u = 63 Na de tweede keer stuitere is u 2 = 63 Na keer stuitere is u = 63 ( ) = 63 ( )2 De hoogtes vorme dus ee meetkudige rij met rede. b) We oeme d de afgelegde afstad a keer (terug)stuitere. Da is d = 63 + u + u = 63 + 2 u = 2(63 + u ) 63 e is d 2 = 63 + 2u + 2u 2 = 2(63 + u + u 2 ) 63...... d = 2(63 + u + u 2 + + u ) 63 Tusse haakjes staat dus de som va de eerste terme va de rij u! i (je zou dus kue schrijve: di = 2 u 63 ) = 0 - -
Berekeige met de TI-spire Als je ee ekele term uit wilt rekee ku je dat vlot doe door éé keer 63 i te type gevolgd door 'ENTER'. Daara rp 'ENTER' Elke keer dat je u op 'ENTER' drukt wordt de volgede term uit de rij bereked. Nadeel va deze methode is dat je zelf bij moet houde welke term er bereked is. We defiiere ee rij met behulp va het commado seq( ). Je kut dit commado gewoo op het alfaumerieke toetsebord itype maar je kut het ook uit de catalogus k hale. Je moet da achtereevolges de directe formule, de variabele, begiummer e eidummer va de rij opgeve: seq('directe formule', 'variabele', 'begir', 'eidr' ) I het voorbeeld hieraast zij de eerste 0 terme bereked. Je kut de aa de uitkomste ook ee variabele toekee ("de uitkomste ee aam geve"). Dat doe je d.m.v. de / e h toetse. Je kut u ook allerlei bewerkige uitvoere op deze variabele. De variabele weer wisse gaat via: b, : Acties, 3: Variabele wisse. - 2 -
Om ee willekeurige term te berekee ku je beter de rij defiiëre. De := toets wordt gebruikt om ee rij (of formule/fuctie) te defiiëre. We defiiëre oze rij als volgt: u() := 63 ( ) Om u de e term uit te rekee typ je gewoo u(0) i. Het resultaat is ee exacte berekeig. Wil je dit decimaal beadere da typ je 'CTL'+'ENTER'. Nu de rij gedefiieerd is ku je dit ook weer gebruike i het seq( ) commado zoals hieraast. Hiervoor hebbe we de rij met de directe formule gedefiieerd, je kut de rij ook met ee recursieve formule defiiëre. De recursieve formule bij oze rij is: u0 = 63 u ( ): u = u > 0 Hiervoor gebruik je ee sjabloo. Gebruik de t toets om het sjabloo op te roepe. Kijk goed hoe de recursieve formule igevoerd moet worde! - 3 -
Ee hele adere aapak va rije is met behulp va ee spreadsheet. Deze methode is erg geschikt om te otdekke of de som va ee rij covergeert aar ee bepaalde waarde. De eerste kolom gebruike we voor het ragummer () va de rij, de tweede kolom wordt gevuld met de de term va de rij e de derde kolom vulle we met de som va de eerste terme. Ope eerst ee ieuw tabblad met ee spreadsheet. Typ i cel A het getal '0' e i cel A2 het getal ''. Selecteer de twee celle door de cursor i cel A te zette e met g e aar cel A2 te gaa. Kies u b, 3: Gegeves, 3: Opvulle e ga met de cursor aar beede ( ) tot cel A20. Als het goed is, is de eerste kolom u gevuld met de getalle 0 t/m 9. I cel B vul je u 63 i. I cel B2 typ je u: ' = b r '. Nu weer b, 3: Gegeves, 3: Opvulle tot cel B20. De tweede kolom is u gevuld met de terme va oze rij u. - 4 -
De TI heeft de berekeige exact gedaa, soms is het hadiger om de uitkomste decimaal te krijge. Dit ka heel sel/hadig door i de berekeig ee getal decimaal te 'forcere' door achter het getal ee decimale put te type. I het voorbeeld hieraast is dat met de '' gedaa. I de derde kolom komt de somrij. Zet i de derde kolom i cel C: ' = b ' e i cel C2: ' = c + b2 ' E weer: b, 3: Gegeves, 3: Opvulle tot cel B20. De somrij verschijt i de derde kolom. Als je aar beede scrollt ku je zie dat de waarde va de som steeds dichter aar 78,7 gaat. De kolomme zij teves alle voorzie va ee eige aam: ummer, terme e som. We gaa u terug aar de opgave e probere te otdekke wat de totale afgelegde afstad va de bal is. De uitdrukkig die we voor de totale afstad gevode hadde was: d = 2(63 + u + u 2 + + u ) 63 Zoals we gezie hebbe staat hier tusse de haakjes precies de som va de eerste terme. De som hebbe we reeds i de derde kolom! We kue u met ee formule de totale afstad berekee a keer stuitere. Deze formule ku je i de grijze cel bove de vierde kolom zette, de rekemachie vult de kolom da met de berekede waarde. We vulle i: ' = 2 c 63 ' - -
De rekemachie veradert de ' c ' i ' c[ ] ' hetgee aabeeft dat het om de kolom ' c ' gaat. Als je aar beede scrollt e de rij bekijkt da ku je cocludere dat de totale afstad die de bal aflegt 94, m zal bedrage. Het resultaat hadde we ook algebraïsch kue beredeere: Voor de som va ee meetkudige rij kee we de formule: + b( r ) S = r waarbij r de rede is e b de begiterm. ( + ( ) ) ( ( + ) ) 63 63 Hier igevuld geeft dat S = = = 63 ( ) E u is lim ( ) 4 63 + ( 4 63( ) 94, ) 0 + ( ) 4 4-6 -
Grafieke bij rije. Rije ku je ook grafisch weergeve. Met de TI zij er twee mogelijkhede. De eerste mogelijkheid is vergelijkbaar met het plotte va ee grafiek. Ope ee grafiekevester. Kies b, 3: Grafiektype, : Rij, : Rij. Vervolges de directe formule ivoere e bij Begiterme de '' vervage door ee '0' (We wille de rij met ragummer '0' late begie). Kies vervolges ee geschikt vester, bijv. < x < e < y < 6 Met de optie 'Spoor' uit het meu ku je de pute bij lags lope e de bijbehorede waarde va e u worde weergegeve. I de laatste grafiek is goed te zie dat lim u = 0 + We kue de grafiek ook plotte door gebruik te make va de recursieve formule. u0 = 63 We hadde: u ( ): u = u > 0 Ivoere zoals hieraast. Dek eraa de begiwaarde va op '0' te zette. - 7 -
Na de keuze va ee geschikt vester ziet het er da zoals hieraast uit. De tweede mogelijkheid om ee rij grafisch weer te geve is gebruik te make va de berekede waarde i het spreadsheet. Daarvoor is het beslist oodzakelijk om de kolomme allemaal ee aam te geve. We oeme de kolom waari d bereked werd 'afstad'. Vervolges opee we ee ieuw grafiekevester e daari kieze we b, 3: Grafiektype, 4: Putewolk. Nu moet je aageve welke variabele op de X-as e welke variabele op de Y-as weergegeve moet worde. Gebruik hiervoor de h toets. Na het istelle va ee geschikt vester ( < x < 0 e < y < 00 ) verschijt de grafiek. Ook hier m.b.v. de spoor-optie weer te volge. Je ziet ook hier dat de totale afstad aar 94, m gaat. lim d = 94, + - 8 -
Oefeige Bestudeer het gedrag va de volgede rije met behulp va ee grafiek: a) rekekudige rij met u 0 = e v = 2. b) rekekudige rij met u 0 = 8 e v = 3. c) rekekudige rij met u 0 = e v = r (gebruik ee schuifregelaar voor r ). d) meetkudige rij met u 0 = e rede 2. e) meetkudige rij met u 0 = e rede,. f) meetkudige rij met u 0 = 2 e rede q (gebruik weer ee schuifregelaar). 2 Is de rij u = 2(4 2) rekekudig? 3 3 Is de rij u = + meetkudig? 4 Bereke de som va de eerste 00 terme va de rij + ² 6 met Bereke de som va de eerste 00 terme va de rij + ² 6 met 0 6 Gegeve is ee rekekudige rij met u = e v = 4 Bereke u 3 + u 4 + u +.. + u 200 7 Bereke S = + + +... + 2 4 20 3 3 3 8 Bereke S = + + +... + 2 4 8 04876-9 -