TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D3) op maandag 3 juli 26, 14.-17. uur. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een 1 2 punt toegekend. (a) Beschouw een tweedimensionale stroming in het x, y-vlak met snelheidscomponenten u = x 2 y en v = xy 2. Kan de stroming met een stroomfunctie worden beschreven? (b) Kan de stroming van (a) met een snelheidspotentiaal worden beschreven? (c) Beschouw een rotatievrije, incompressibele, wrijvingsloze, stationaire stroming waarin zich een stuwpunt voordoet. Is het waar dat de druk in dat stuwpunt lager is dan elders in de stroming (op dezelfde hoogte)? (d) Gegeven een tijdsafhankelijk twee-dimensionaal snelheidsveld in het x, y-vlak: v(t) = (u, v) = (A cos ωt, 2A cos ωt), met A een constante en ω een frequentie. Is het waar dat de deeltjesbanen ellipsvormig zijn? (e) Een stationaire twee-dimensionale stroming v = (u, v) in het x, y-vlak wordt beschreven door de stroomfunctie ψ = axy, waarbij a een constante is. Is het waar dat een materieel deeltje dat zich op t = op (x, y) = (1, ) in dit stromingsveld bevindt, alleen een versnelling in de x-richting ondervindt ter grootte van Du Dt = a2 x? (f) Iemand giet een pot stroop (kinematische viscositeit ν = 1 cm 2 /s leeg op een glad tafeloppervlak. De stroop stroomt horizontaal weg in een dunne laag met dikte h = 2 mm; de over de hoogte gemiddelde snelheid bedraagt V = 1 mm/s. Kan deze stroming als een Stokes-stroming worden opgevat? (g) Een harmonisch oscillerende stroming in een cilindrische buis (diameter 2R) wordt gekarakteriseerd door het zgn. Womersley-getal α = R ω/ν, met ω de oscillatiefrequentie en ν de kinematische viscositeit. Is het waar dat voor α >> 1 de stroming goed benaderd kan worden door een oscillerende Poiseuille-stroming (met een parabolische snelheidsverdeling)? 1
(h) Is het waar dat het gevaar voor grenslaag-loslating in configuratie (i) groter is dan in configuratie (ii)? (i) Een bolletje (diameter 1 cm) oplosbaar materiaal (stof A) wordt geplaatst in een water-achtige omgevingsvloeistof (stof B). De diffusiecoëfficiënt van stof A is D A = 1 9 m 2 /s. Een microprobe geplaatst op een afstand van d = 2 mm van het bolletje meet het concentratieverloop c A (t) van stof A. Is het waar dat de probe al na ongeveer τ = 25 sec iets van de concentratieverhoging meet? (j) Ter beschrijving van de vloeistofstroming door een wand van poreus materiaal met dikte d hanteert men de zgn. wet van Darcy : φ V = Ak p µd p, waarbij A een oppervlak, k p de permeabiliteit [m 2 ] van het materiaal, en µ de dynamische viscositeit van de vloeistof zijn. Deze uitdrukking geeft dus een lineair verband tussen de volumeflux φ V en de drukval p. Is het waar dat de grootheid Akp µd de stromingsweerstand voor de stroming door het poreuze materiaal weergeeft? 2
Opgave 2 1. Beschouw de stationaire stroming van een onsamendrukbare vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) tussen twee parallelle vlakke platen met lengte L en breedte B (loodrecht op het vlak van tekening). De onderlinge afstand tussen de (horizontale) platen bedraagt d. Er wordt een Cartesisch x, y-stelsel gedefinieerd zoals aangegeven in de figuur. Op x = heerst een uniforme snelheid u 1 (x = ) = U en een druk p 1. De platen zijn poreus en er wordt vloeistof door afgezogen met een uniforme snelheid V. Aan de platen ontwikkelen zich laminaire grenslagen zodanig dat op x = L de stroming zich (juist) volledig ontwikkeld heeft tot een parabolische snelheidsverdeling u 2 (x = L) = α(y 2 yd). De druk aldaar is gegeven door p(x = L) = p 2 ( p 1 ). (3 pnt) (1 pnt) (a) Bepaal m.b.v. de integrale massabalans de factor α in de snelheidsverdeling u 2 (y) op x = L; bepaald tevens de maximale snelheid û op x = L voor een gegeven intree-snelheid U. (b) Bepaal het drukverschil (p 1 p 2 ) bij gegeven U. (c) Bereken m.b.v. de integrale impulsbalans de totale wrijvingskracht W die beide platen samen op de stroming uitoefenen. Volg daarbij de volgende stappen: c1. definieer de voor de balans benodigde contour, en geef deze duidelijk in een tekening aan; geef tevens de lokale normaalvectoren aan, alsmede de lokale snelheidsvectoren. c2. bepaal alle afzonderlijke termen in de integrale impulsbalans, en geef aan waarom bepaalde termen nul zijn. c3. bepaal de grootte en de richting van de wrijvingskracht W. 3
Opgave 3 2. Een bloedvat met binnenstraal a i en buitenstraal a o wordt voorzien van een stent met lengte L a a i (zie figuur). De stent is aan de buitenzijde gecoat met een medicijn dat langzaam diffundeerd in de vaatwand en ervoor moet zorgen dat na de stentplaatsing excessieve vorming van gladde spiercellen wordt voorkomen. De coating heeft een dikte h waarvoor geldt dat h a i. Het medicijn is werkzaam zolang de concentratie binnen de coating boven een bepaalde grens c crit [mol/m 3 ] blijft. We zoeken naar de aanvankijke hoeveelheid medicijn N [mol] nodig om een werkzaamheid van 1 maand te garanderen. Gegeven is dat a i 2. [mm] en a o 2.5 [mm]. L c o c i vaatwand a o a i h r coating stent r = z Het transport van medicijn naar de stent mag worden verwaarloosd. M.a.w de stent is een isolator en er vindt alleen transport plaats naar de vaatwand. Omdat L a a i mogen randeffecten worden verwaarloosd. M.a.w. het diffusieproces is onafhankelijk van z en vindt plaats over de volle lengte L. De hoeveelheid medicijn binnen de coating veronderstellen we homogeen en noemen we N(t). Deze zal door het diffusieproces langzaam in de tijd afnemen. De diffusie in de vaatwand kan worden beschreven met (zie formuleblad): c t = D1 r ( r r c r ) Waarin D de diffusiecoëfficiënt van het medicijn in de vaatwand voorsteld. Deze bedraagt D = 1 9 m 2 /s. De concentratie veranderingen vinden plaats gedurende een maand. De concentratie buiten de vaatwand c o mag worden verwarloosd ten opzichte van c crit. (a) Druk de molaire concentratie c i (t) in de coating uit in de hoeveelheid medicijn N(t) dat op een bepaalde tijd t binnen de coating aanwezig is en de geometrische parameters a i, h en L. Gebruik hierbij dat h a i. (b) Laat zien dat onder de gegeven omstandigheden het diffusieproces in de vaatwand als quasi-statisch mag worden verandersteld, m.a.w. dat geldt: D 1 ( r c ) = voor a i r a o r r r 4
(c) Definieer de randvoorwaarden voor bovenstaande differentiaalvergelijking en laat zien dat voor de oplossing geldt: c(r, t) = c i (t) ln(r/a o) ln(a i /a o ) (d) Bereken de diffusieflux j r en laat zien dat de medicijnafname in de coating wordt gegeven door: dn(t) dt = kn(t) met k = D a i hln(a o /a i ) (e) Geef een oplossing voor bovenstaande differentiaalvergelijking en bepaal hieruit de grootte van de initiële hoeveelheid medicijn N = N(t = ) nodig om ervoor te zorgen dat na 1 maand (zeg t = τ) geldt dat c i (τ) = c crit. Geef het antwoord in formulevorm zonder de waarden van de parameters in te vullen. 5
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerkingen tentamen Stroming & Diffusie (3D3) van 3 juli 26. 1. (a) Ja, immers elke 2D-stroming waarvoor v = kan met een stroomfunctie beschreven worden. Aangezien u v x = 2xy en y = 2xy is v =. (b) Nee, want ω = v x u y = y2 x 2 in het hele stromingsveld. (c) Nee, want volgens Bernoulli (p + 1 2 ρ v 2 = const) is de druk in een stuwpunt juist maximaal. (d) Nee. Deeltjesbanen worden beschreven door (zie formuleblad): dx u(t) = dy v(t) = dt. Dus dx A cos ωt = dt en dy 2A cos ωt = dt, ofwel dx = A cos ωtdt en dy = 2A cos ωtdt. Na integratie volgt: x x = A ω sinωt en y y = 2A ω sinωt Eliminatie van t levert dan: (y y ) = 2(x x ). De deeltjesbanen zijn dus rechte lijnen onder een hoek dy/dx = 2 t.o.v. de x-as. (e) Ja. De snelheidscomponenten in x, y-richtingen zijn u = ψ y = ax en v = ψ x = ay, zodat op de x-as (y = ) : v =, dus daar is de versnelling in y-richting Dv Dt =. In de x-richting is de versnelling op y = Du Dt = u t + u u x = + ax a = a2 x. (f) Ja. Het Reynolds-getal bedraagt Re = V h ν = 1 3 2 1 3 1 1 4 = 2 1 3 1. (g) Nee. Voor grote waarden van het Womersley-getal is de stroming als nietviskeus te beschouwen: zij bestaat dan uit een heen en weer gaande prop - stroming met uniforme snelheid U(t) = û sin ωt, waarbij û de snelheidsamplitude en ω de frequentie zijn. 6
( ) (h) Ja. Een divergerend kanaal impliceert een vertragende hoofdstroming dv dx < en dus een drukgradiënt dp dx >. Hierdoor kan loslating van de grenslagen optreden. (i) Nee. De diffusie-indringdiepte wordt in goede benadering gegeven door δ(t) = 4 D A t. De microprobe neemt op t = τ een concentratie-verandering waar, met andere woorden: dus: δ(τ) = 4 D A τ = d, τ = d2 16 D 1 A = 4 1 6 1 9 = 2, 5 1sec 16 (j) Nee. In analogie met de wet van Ohm V = IR beschrijft in de wet van Darcy p = µd Ak p φ v niet de grootheid (µd/ak p ) 1 maar (µd/ak p ) de stromingsweerstand. 2. (a) Behoud van massa: ρudb = 2ρV LB + ρb met u 2 (y)dy = α d u 2 (y)dy (y 2 yd)dy = αd3 6. Dan volgt: α = 6 d3(2v L Ud). Maximale snelheid û = u(y = 1 d) = αd2 2 4 = 3 2 U 3V L. d (b) Bernoulli mag worden toegepast op y = 1 2d voor x L (omdat de stroming op de as voor dat traject nog niet-viskeus is), dus: p 1 p 2 = 1 2 ρû2 1 2 ρu2 = 1 [ 5 2 ρ 4 U2 9UV L + 9V 2 L 2 ] d d 2. (c) Integrale impulsbalans: ρvdv + t V }{{} = (stationair) i. v 1 n 1 = U ii. v 2 n 2 = +u 2 (y) iii. v 3 n 3 = +V iv. v 4 n 4 = +V De x-impulsbalans wordt dan: ρb S U Udy + ρb ρv(v n)ds = pnds + ΣF S L u 2 2(y)dy + ρb u 3 (y = )V dx +ρb u 4 (y = d)v dx = p 1 Bd p 2 Bd + W ( ) 7
Aangezien u 3 (y = ) = u 4 (y d) = en u 2 2(y)dy = α2 d 5 3 gaat ( ) over in: [ W = (p 1 p 2 )bd ρb U 2 d α2 d 5 ] 3 = 1 [ 17 2 ρbd 2 U2 + 3 ] 5 (UV L/d V 2 L 2 /d 2 ) dus wrijvingskracht in negatieve x-richting als U > 2V L d,. Opgave 3 (a) Volume van de stent is V = 2πa i hl. Molaire concentratie is dan: c i (t) = N(t) 2πa i hl (b) Er geldt: ( ) c O t = c i τ en ( O D 1 r ( r r c r )) = Dc i (a o a i ) 2 Onder de gegeven omstandigheden (τ = 2.6 1 6 [s], (a o a i ) 2 = 25 1 8 [ m 2 ] en D = 1 9 [m 2 /s]) geldt: 1 τ = 4 1 7 [s 1 ] (c) De randvoorwaarden zijn: D (a o a i ) 2 = 4 1 3 [s 1 ] c(a i, t) = c i (t) en c(a o, t) = Verder volgt: r c r = A 8
en dus: c(r, t) = A lnr + B Invullen van de randvoorwaarden geeft: c(r, t) = c i (t) ln(r/a o) ln(a i /a o ) (d) De diffusieflux wordt gegeven door: Dan geldt: j r (t) = D c r = Dc i(t) 1 ln(a i /a o ) r dn(t) dt N(t) 2πa i hl = 2πrLj r (t) = 2πL Dc i(t) ln(a i /a o ) = 2πL D ln(a i /a o ) = (e) Voor de kritische hoeveelheid medicijn geldt: N crit = c crit 2πa i hl Oplossing van dn dt = kn is N(t) = N e kt dus: N(t) = N e kt met k = D a i hln(a o /a i ) (immers: ln(a i /a o ) = ln(a o /a i )). Dan geldt ook: en dus: N crit = N e kτ met τ = 2.6 1 6 s N = N crit e kτ = 2πa i hle kτ c crit DN(t) a i hln(a i /a o ) 9