Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het is steeds een zo groot mogelijke deelverzameling van R.) De beperkingen van R houden meestal in dat niet door 0 gedeeld kan worden, dat alleen uit nietnegatieve getallen de wortel getrokken kan worden of dat alleen van positieve getallen de logaritme genomen kan worden. Bij de meeste s geven we een aantal bijzonderheden en/of eigenschappen. Constante s 2 Lineaire s 3 Kwadratische s 4 Gebroken lineaire s 5 Wortel 6 Polnomen 7 Machtss 8 Absolute waarde 9 Goniometrische s 0 Eponentiële s Logaritmische s Constante s c Bij deze is de uitvoer c, ongeacht de invoer. De grafiek is een horizontale lijn, die de -as snijdt in c. Elke constante is een monotoon niet-dalende en ook een monotoon niet-stijgende. De constante s vormen tezamen een verzameling s: voor elke c is er precies één zo n. Men noemt c in dit verband de parameter van die verzameling. De keuze van de parameter bepaalt welke men uit de verzameling beschouwt. c FIGUUR De c
Lineaire of eerstegraads Identieke 2 Lineaire s a + b met a 0 Hier is een klasse van s gedefinieerd, één voor elke a, b R. Deze a en b zijn weer parameters. Voor a = en b = 0 krijgen we de. Deze heet de identieke. In het algemeen is de grafiek een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a, die de -as in b snijdt en de -as in b/a. De richtingscoëfficiënt is de verhouding tussen een verticale en een horizontale verandering: a = /. Deze verhouding is dus constant. Voor a > 0 is een lineaire monotoon stijgend op R; voor a < 0 is een lineaire monotoon dalend op R. b b/a Kwadratische of tweedegraads Parabool Discriminant abc-formule FIGUUR 2 De a + b met a 0 3 Kwadratische s a 2 + b + c met a 0 Hier is weer een klasse van s gedefinieerd: één voor elke waarde van de parameters a, b en c. De grafiek is een parabool, voor a > 0 een dalparabool, voor a < 0 een bergparabool. De parabool is een smmetrische figuur, waarvan de smmetrieas ligt bij = b/2a. De grafiek snijdt de -as bij c. Er zijn alleen snijpunten met de -as in het geval b 2 4ac 0. De uitdrukking b 2 4ac heet de discriminant. De snijpunten worden gevonden door de vergelijking a 2 + b + c = 0 op te lossen. Als b 2 4ac 0, dan zijn volgens de abc-formule de oplossingen b+ b2 4ac b b2 4ac = en = 2a 2a Als b 2 4ac > 0, dan zijn er twee verschillende snijpunten met de -as. Als b 2 4ac = 0, dan zijn er twee samenvallende snijpunten. Als b 2 4ac < 0, dan is er geen snijpunt. a > 0 a < 0 c c 2 FIGUUR 3 De a 2 + b + c met a 0
4 Gebroken lineaire s Gebroken lineaire Hperbool Asmptoot a b + c + d met ad bc, d/c en c 0 De constanten a, b, c en d zijn parameters. De grafiek is een hperbool. De verticale lijn waar de grafiek naartoe kruipt, is de lijn = d/c, de horizontale lijn waar de grafiek naartoe kruipt, is de lijn = a/c. Deze lijnen zijn de asmptoten van de grafiek. De hperbool is puntsmmetrisch in het snijpunt van de asmptoten. ad > bc ad < bc FIGUUR 4 De a + b c + d met ad bc, d/c en c 0 5 Wortel Wortel De grafiek van deze wortel is een halve liggende parabool. Deze wordt verkregen door de grafiek van de 2 op het domein [0, te spiegelen in de lijn =. Voor het rekenen met wortels gelden de volgende regels. ( a ) 2 = a voor alle a 0 a 2 = a voor alle a 0 a 2 = a voor alle a 0 ab = a b voor alle a 0 en alle b 0 a b a = voor alle a 0 en alle b > 0 b FIGUUR 5 De 3
n-degraads of n-degraadsveelterm of -polnoom 6 Polnomen f() = a 0 + a +... + a n n + a n n met a n 0, n N De eponent n heet de graad van de polnoom; de getallen a 0, a,..., a n heten de coëfficiënten. De constante, lineaire en kwadratische s zijn polnomen van graad n met respectievelijk n = 0 (c 0), n = en n = 2. Voor n = 3 spreekt men van derdegraads of kubische polnomen. Geldt voor een reëel getal a dat f(a) = 0, dan heet a een nulpunt of wortel van f. Is a een nulpunt van polnoom f, dan geldt f() = ( a) g() waarbij g een polnoom is met graad minder dan de graad van f. Geldt f() = ( a) k g() met g(a) 0, dan is a een k-voudig nulpunt of een k-voudige wortel van f. 7 Machtss Machts f() = a met > 0, a R a-demachts Is a een geheel getal, dan spreekt men wel van een a-demachts. Voor a N is het domein R, voor a {, 2,...} is het domein R {0}. Voor R geldt 0 = Voor R, 0 en k is een negatief geheel getal, geldt k = / k. Voor > 0 en n is een positief natuurlijk getal geldt / n n =. Voor > 0 en m/n Q, n > 0, geldt m/ n n m n = = ( ) m. Voor a = is f de gebroken lineaire /. Voor a = 0 is f de constante. Voor a = is f de wortel 2 2 /. Voor a = is f de identieke. Voor a = 2 is f de kwadratische 2. De a met a > 0 is inverteerbaar op [0,. De inverse is /a. De a met a < 0 is inverteerbaar op 0,. De inverse is /a. De volgende regels gelden voor het rekenen met machten: () a = a a a b = a+b ( a ) b = ab a / b = a b met 0 oneven n 3 even n 2 FIGUUR 6 De n voor n oneven dan wel n even 4
8 Absolute waarde Absolute waarde = voor 0 voor < 0 Met de absolute waarde wordt de afstand van tot de oorsprong aangegeven; met a b wordt de afstand tussen a en b aangegeven. De grafiek bestaat uit twee halve rechte lijnen die in 0 aansluiten: rechts van de -as de grafiek van, links van de -as de grafiek van. Voor elke en geldt: ± +. Beide ongelijkheden staan bekend als de driehoeksongelijkheid. Een belangrijke rekenregel is: = 2 voor R FIGUUR 7 De Goniometrische Driehoeksongelijkheid en 9 Goniometrische s sin cos tan Hierbij wordt in radialen genomen. De grafiek van sin snijdt de -as bij = kπ voor k Z. De grafiek van cos snijdt de -as bij = π/2 + kπ voor k Z. De grafiek van tan snijdt de -as bij = kπ voor k Z. De grafiek van tan heeft verticale asmptoten bij = π/2 + kπ voor k Z. De volgende rekenregels zijn van belang: tan = sin/cos sin 2 + cos 2 = (sin 2 staat voor (sin) 2 ) sin( ) = sin sin(π ) = sin cos(π ) = cos cos( ) = cos tan( ) = tan 5
Periodieke Periode sin = sin( + 2kπ) voor k Z de sinus is een periodieke met periode 2π cos = cos( + 2kπ) voor k Z de cosinus is een periodieke met periode 2π tan = tan( + kπ) voor k Z de tangens is een periodieke met periode π sin = cos(π/2 ) cos = sin(π/2 ) tan = /tan(π/2 ) sin2 = 2sin cos cos2 = cos 2 sin 2 = 2sin 2 = 2cos 2 sin( + ) = sin cos + cos sin sin( ) = sin cos cos sin cos( + ) = cos cos sin sin cos( ) = cos cos + sin sin Voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen zijn de volgende regels van belang: sin = sinα = α + 2kπ voor k Z of = π α + 2kπ voor k Z cos = cosα = α + 2kπ voor k Z of = α + 2kπ voor k Z tan = tanα = α + kπ voor k Z en π π π FIGUUR 8 De s sin, cos en tan Eponentiële Grondtal 0 Eponentiële s a met a > 0, a De constante a is een parameter en heet het grondtal. Voor a > is de eponentiële monotoon stijgend op R; voor 0<a < monotoon dalend op R. De grafiek heeft een horizontale asmptoot voor = 0. Het snijpunt met de -as ligt bij. De volgende rekenregels zijn van belang. Deze regels gelden voor a > 0, dus ook voor a =. a p a q = a p+q (a p ) q = a pq a 0 = a p = /a p 6
a > 0 < a < Logaritmische Grondtal FIGUUR 9 De a met a > 0, a Logaritmische s a log met a > 0, a De logaritmische s zijn de inversen van de eponentiële s. De constante a is een parameter en heet het grondtal. Voor a > is de logaritmische monotoon stijgend op 0, ; voor 0<a < is de logaritmische monotoon dalend op 0,. De grafiek heeft een verticale asmptoot voor = 0. Het snijpunt met de -as ligt bij. De grafiek ontstaat uit die van de eponentiële met grondtal a door spiegelen in de lijn =. De volgende rekenregels zijn van belang. a alog = voor > 0 a log(a ) = a logpq = a logp + a logq a log(p/q) = a logp a logq a logq p = p a logq a log = g log/ g loga voor elke g > 0 en g Bij het oplossen van een vergelijking geldt: voor alle > 0 en alle c: a log = c = a c a > 0 < a < FIGUUR 0 De a log met a > 0, a 7