Discrete dyamische systeme: wiskudige modelle met rije, vectore e matrices Deel 1: rije e recursievergelijkige Ihoud 1. Ileidig. Tabelle e grafieke 3. Ee spiewebdiagram 4. Ee ecoomisch probleem 5. Aalytisch oplosse va eevoudige recursievergelijkige 6. Stelsels va recursievergelijkige e matrices 7. Ee recursievergelijkig va de tweede orde 8. Ee iet-lieaire recursievergelijkig 9. Ee differetiaalvergelijkig oplosse m.b.v. ee recursief voorschrift 1. Ileidig Eidterme e leerplae Vaaf het schooljaar 004-005 zij de eidterme i het vijfde jaar va kracht e vaaf 005-006 worde ze va kracht i het zesde jaar. Eé va deze eidterme (decretale specifieke eidterm ummer 18 om precies te zij; allee va toepassig voor studierichtige met pool wiskude) draagt als titel discrete wiskude e luidt als volgt: De leerlige kue telprobleme of probleme met betrekkig tot discrete veraderigsprocesse wiskudig modellere e oplosse. Telprobleme worde va oudsher behadeld i os oderwijs. Het adere oderwerp uit de eidterm, discrete veraderigsprocesse, is ieuw. Het is de bedoelig va deze tekst om leerkrachte te helpe bij het vormgeve va dit ieuwe oderwerp. Op basis va de eidterme zij leerplae geschreve. I de leerplae voor het gemeeschapsoderwijs blijft de discrete wiskude beperkt tot de telprobleme (wat perfect ka weges de of i de eidterm). I het vrij oderwijs heeft me er voor geopteerd om het ieuwe oderwerp discrete veraderigsprocesse op te eme bij de verplichte leerstof voor de 6-urecursus. De doelstellige i dat verbad zij: De leerlige kue de covergetie of divergetie va ee rij met voorbeelde illustrere. (DI1) De leerlige kue limiete va eevoudige rije bepale. (DI) De leerlige kue probleme met betrekkig tot discrete veraderigsprocesse wiskudig modellere e oplosse. (DI3) Er is i de 6-urecursus i het vrij oderwijs daaraast ook ee keuzeoderwerp iteratie voorzie dat hier heel auw bij aaleut. Discrete veraderigsprocesse e/of iteratie kome ook voor als keuzeoderwerp i adere leerplae voor het vrij oderwijs (4-uurscursus, sommige leerplae uit TSO/KSO). Sommige dele va deze tekst zij allicht ook bruikbaar voor vrije-ruimte-doeleide of als facultatieve uitbreidig. 1
Leidraad bij ee tekst met basis e uitbreidig De ker va deze tekst bestaat uit de paragrafe, 3 e 5. I paragraaf legge we de basis. Voorbeelde va eevoudige discrete dyamische processe worde uitgewerkt. Aa de had va grafieke e tabelle oderzoeke we de evolutie va groothede die door ee recursief voorschrift beschreve worde. We putte hierbij uit diverse cotexte (groeiprocesse, ee toepassig uit de fiaciële wereld, opame va ee medicij, tores va Haoi, ). Paragraaf 3 is gewijd aa ee alteratieve grafische voorstellig die i de cotext va discrete veraderigsprocesse veel gebruikt wordt, amelijk het spiewebdiagram. I paragraaf 5 leer je hoe je (i eevoudige gevalle) ee recursief voorschrift omzet i ee expliciet voorschrift. Hier krijg je ook ee zicht op de verschillede mogelijkhede voor het verloop va de oderzochte grootheid. De adere paragrafe zij boeiede uitbreidige va dit kermateriaal. Paragraaf 4 is gewijd aa ee mooie e uitgebreide toepassig uit de ecoomie. Omdat we hier allee gebruik make va tabelle, grafieke e spiewebdiagramme e og gee omzettig make aar ee expliciet voorschrift, hebbe we deze paragraaf og vóór paragraaf 5 geplaatst. Gee ekele va de volgede paragrafe maakt gebruik va het materiaal i deze paragraaf. I paragraaf 6 late we zie hoe discrete dyamische processe ee ieuw licht werpe op matrixmodelle, ee vertrouwd oderwerp. Deze paragraaf heb je odig om de volgede paragraaf te begrijpe. I paragraaf 7 zoeke we ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci. Deze rij wordt bepaald door ee recursief voorschrift dat igewikkelder is da de recursieve voorschrifte uit paragraaf 5. Om paragraaf 7 te kue begrijpe, moet je de voorgaade paragraaf geleze hebbe. Ook paragraaf 8 is gewijd aa ee recursief voorschrift dat igewikkelder is da die uit de basisparagrafe. I deze paragraaf kome ekele mider triviale facette va iteratie aa bod. Om deze paragraaf te kue begrijpe heb je als voorkeis ekel paragraaf e 3 odig. I paragraaf 9 late we ee verbad zie tusse differetiaalvergelijkige e recursievergelijkige. Zowel differetiaalvergelijkige als recursievergelijkige beschrijve veraderigsprocesse, de ee cotiu e de adere discreet. De lik aar differetiaalvergelijkige mag i deze tekst da ook iet otbreke. I deze paragraaf losse we ee differetiaalvergelijkig umeriek op m.b.v. ee recursief voorschrift. De paragrafe e 3 volstaa als voorkeis voor deze paragraaf. Met computer e/of grafische rekemachie! I deze tekst is het gebruik va ee grafische rekemachie e/of computer geïtegreerd. We make vooral kwistig gebruik va oze grafische rekemachie. Ee deel va het materiaal dat we uitgewerkt hebbe, is bruikbaar zoder reketoestelle, maar voor het grootste deel is elektroische reke- e tekehulp zeer uttig of zelfs ootbeerlijk. De grafische rekemachies die we kee, zij goed uitgerust voor het oderwerp dat we i deze tekst behadele. We make i de tekst gebruik va ee TI83/84-Plus va Texas Istrumets. Rekeblade (spreadsheets, bijvoorbeeld Excel) zij bij uitstek geschikt voor het werke met recursieve (e adere) formules e voor het make va bijbehorede grafische voorstellige. Wat we i deze tekst met ee grafische rekemachie doe, ku je voor ee groot deel ook met zo rekeblad doe. Eé keer make we er zelf ook gebruik va i deze tekst. Wat (os) met ee rekeblad iet lukt, is het make va ee spiewebdiagram.
. Tabelle e grafieke I deze paragraaf legge we de basis va het lere redeere met discrete dyamische processe. We starte met ee voorbeeld waarbij de leerlige ee tabel e ee grafiek make va ee discreet dyamisch proces. Ee bos behere Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig is. Hij zal iet alle bome i éé keer kappe wat da heeft hij de eerstvolgede jare gee opbregst. Hij besluit elk jaar 10% va de bome te kappe e er da weer 450 aa te plate. Hij plat dus meer da hij kapt om zij opbregst op termij te verhoge. Op het perceel is amelijk plaats voor 5000 bome. 1. Hoeveel bome staa er éé jaar later op het perceel? E twee jaar later?. Oderzoek hoe het aatal bome op dit perceel de volgede twitig jaar evolueert. Schrijf je atwoorde i ee tabel e maak daarbij ee grafiek. Hiervoor ku je goed gebruik make va de -kop va je reketoestel. (De bedoelig is dat de leerlige zelf otdekke dat steeds dezelfde berekeig moet uitgevoerd worde.) 3. Ka de boomkweker zij beleid blijve voortzette of staat het perceel a ee tijd vol? (Het aatal bome eemt wel steeds toe maar het lijkt iet bove de 5000 te kome.) 4. Op ee gegeve momet lijkt er ee evewicht te otstaa. Hoeveel bome staa er da op het perceel? (ogeveer 4500) 5. Het is iet eevoudig om ee direct verbad te vide tusse het aatal bome B e de tijd t (i jare). Maar je kut B(t) wel schrijve i fuctie va B(t 1). Geef deze formule. ( B( t) = 0,9 B( t 1) + 450 ) Same met de begiwaarde (B(0) = 3000) geeft deze formule ee model voor het verloop va het aatal kerstbome op dit perceel. Het complete model voor het aatal bome op dit perceel is dus: B(0) = 3000 B( t) = 0,9 B( t 1) + 450 De tijd wordt hieri i vaste stappe va 1 jaar doorlope. Me oemt zo model ee discreet dyamisch model. Het woord dyamisch slaat daarbij op de veraderig. Het woord discreet slaat op het feit dat het aatal bome iet voortdured veradert, maar met vaste tussestappe. (Het model houdt ekel rekeig met jaarlijkse mometopames; waeer de bome i de loop va het jaar precies gekapt of bijgeplat worde, vertelt dit model iet. Zoals dit steeds het geval is bij ee wiskudig model, wordt de werkelijkheid vereevoudigd om er beter vat op te krijge.) De formule waarmee je de ieuwe waarde uitdrukt i fuctie va zij voorgager, wordt ee recurrete betrekkig of recursief voorschrift geoemd. I de bovestaade werktekst make de leerlige ee tabel e ee grafiek va ee discreet dyamisch proces zoder gebruik te make va ee voorschrift. Op basis va de tabel e de grafiek gaa de leerlige al wel op zoek aar ee recursief voorschrift. De gebruikte aapak sluit auw aa bij het 3
herkee va patroe e het opstelle va formules bij die patroe uit de eerste graad. De leerlige die i de tweede graad leerweg 5 (VVKSO) volgde, hebbe bij het oderdeel rije ook keis gemaakt met zulke processe. Het dyamische karakter (de evolutie i de tijd, veraderig) staat i de tweede graad iet op het programma. I ee eerste fase late we de leerlige terme va discrete dyamische processe berekee e grafische voorstellige make. I verschillede voorbeelde vertrekke zij va de begiwaarde e passe ze hierop herhaaldelijk de recursievergelijkig toe (via gewoe berekeige, grafische rekemachie e/of spreadsheet). I de volgede werktekst geve we aa hoe je de grafische rekemachie kut gebruike om recurrete betrekkige te bestudere. Recurrete betrekkige e ee grafische rekemachie Je kut recurrete betrekkige ook i je reketoestel ivoere. Hiervoor moet je eerst de juiste istelle. 1. Druk op de -toets e kies op de vierde regel (va sequece, het Egels voor rij). Als je u de toets idrukt, verschijt i het vester o.a. u() = i plaats va het bekede Y1=.. Vul op de plaats va u() = de recurrete betrekkig va de kerstbome i. u vid je bij e de veraderlijke verschijt bij de [θ]-toets. Vervolges moet je og de begiwaarde va istelle (Mi) e de waarde va u bij die begiwaarde (u(mi)). 3. Welke getalle zij dat voor het probleem va de kerstbome? Voer ze ook i. (I het volgede schermpje is dit gebeurd.) Vervolges ku je ee tabel e ee grafiek va de recurrete betrekkig late make. Voor de grafiek moet je og ee goed tekevester kieze. Hieroder zie je hoe dit gebeurt. Met wordt de grafiek va de recurrete betrekkig gemaakt. Met ku je zoals bij fucties over de grafiek lope. 4
Met stel je i vaaf welk elemet va de rij het tekee moet starte. Omdat we u(0), het eerste elemet va de rij ook wille late tekee, staat op 1. 4. Oderzoek zelf de betekeis va de adere waarde. (Op de X-as staa de waarde va e Xmi e Xmax eem je daarom gelijk aa Mi e Max. Op de Y-as de waarde va u(). geeft aa met welke stappe va de rij u() geteked moet worde.) Opmerkige: Hierbove werde ekel de pute va de rij geteked, ze werde iet verbode. Als er bij jou (of ee va je leerlige) wel lijstukjes tusse de pute worde geteked, moet je ee istellig aapasse. Ga daarvoor met de cursor voor u() i het oderstaade scherm staa e druk op eter. Je zult zie dat je zo de stijl va de grafiek zoals bij fucties kut aapasse. I de werktekst over de kerstbome schreve we B(t) i fuctie va B(t 1). Soms beschrijft me ee dyamisch proces ook met ee formule voor u(+1) i fuctie va u(). Voor het gebruik va de TI- 83 moet die formule da aagepast worde. Vervolges kue de leerlige ee aatal adere modelle doorrekee e ka er verweze worde aar de studie va rije i het vierde jaar. We werke og ee voorbeeld uit i de vorm va ee werktekst. Spare Op ee dag besluit Has om te spare voor ee auto. Vaaf dat momet zet hij op het eide va elke maad 50 op ee rekeig. Op die rekeig krijgt hij 0,4% rete per maad e wordt de rete per maad bijgeschreve. 1. Bereke de evolutie va het geld op deze rekeig i de eerste drie maade.. Stel ee formule (recurrete betrekkig) op voor deze situatie. Laat de eerste stortig plaats vide op t = 1 e eem t i maade. 3. Hoeveel heeft Has a 1 jaar bij elkaar gespaard, iclusief rete? 4. Hoe evolueert de hoeveelheid geld op de rekeig als Has wel blijft spare maar gee auto koopt? De leerlige otdekke op basis va deze voorbeelde dat sommige discrete dyamische modelle aar ee evewicht evoluere e adere iet. Op het vide va evewichte va discrete dyamische 5
processe zulle we later terugkome, maar aasluited bij het probleem va de kerstbome ka de volgede vraag al wel gesteld worde. Evewicht bij de kerstbome Recurrete betrekkige ku je gebruike om iets over ee evewicht te wete te kome. Door voldoede door te rekee vod je dat het aatal kerstbome op het perceel evolueerde aar ee evewicht: ogeveer 4500 bome. 1. Uiteraard ku je dit ook vide via de grafiek e de tabel die je reketoestel va de recurrete betrekkig maakt. Doe dit eve. (Voor de grafiek bv. via. Je zult opmerke dat je dit iet lukt als je iet eerst Max verhoogt.). Beteket het bereike va ee evewicht dat er iets meer veradert? (Nee! Het aatal bome veradert iet, maar het gaat voor ee deel wel over adere bome: sommige zij verdwee e adere zij i hu plaats gekome.) 3. Ee evewicht beteket dat het aatal bome iet meer veradert. Gebruik dit om het evewicht op ee adere maier te berekee. ( B( t) = B( t 1) B( t) = 0,9 B( t) + 450 0,1 B( t) = 450 B( t) = 4500 ) 4. Op het momet dat de kleizoo de zaak overeemt, staa er 4500 bome op het perceel. Hij houdt dezelfde politiek aa als zij vader e grootvader: jaarlijks 10% va de bome kappe e 450 ieuwe bome plate. Hoe evolueert het aatal bome op zij perceel? (Het aatal bome op het perceel blijft costat gelijk aa 4500. Je kut dit gemakkelijk izie zoder formeel rekewerk: er worde eveveel bome gekapt als er bijgeplat worde. Of je kut gebruik make va de recurrete betrekkig, maar u met B (0) = 4500.) 5. Door ee ogeval ka de kleizoo i ee bepaald jaar slechts 400 ieuwe bome aaplate. Daardoor raakt het systeem tijdelijk uit evewicht. De kleizoo blijft echter bij zij werkwijze. Hoe evolueert het aatal bome? (Het evewicht wordt stilaa hersteld. Werk met de recurrete betrekkig met B (0) = 4450.) 6. De achterkleizoo eemt de zaak over. Hij heeft bedekige bij de hadelswijze va zij voorvadere. Niet het hele perceel wordt beut. Er is immers plaats voor 5000 bome. Ku je er voor zorge dat het evewicht op 5000 komt te ligge door a. ee veraderig aa te brege i het aatal ieuwe bome dat aageplat wordt (e verder alles ogewijzigd te late) b. ee veraderig aa te brege i het percetage dat gekapt wordt (e verder alles ogewijzigd te late). (Plat jaarlijks 500 ieuwe bome i.p.v. 450 of kap 9% i.p.v. 10% va de bome.) Omdat het dyamisch proces a ee verstorig va het evewicht terugkeert aar de evewichtspositie spreke we i dit verbad over ee stabiel evewicht. Ee adere aam is: ee aatrekked evewicht. I de volgede werktekst oefee de leerlige verder i het recurret deke. De tores va Haoi Het volgede spel ke je misschie wel. Het bestaat uit drie pee. Op éé va de pee staat ee tore va schijve, oderaa de grootste e daarop steeds kleier wordede schijve. De bedoelig va het spel is u alle schijve op ee adere pe te plaatse maar wel volges de 6
volgede regel: je mag per zet maar éé schijf verplaatse e je mag gee grotere schijf op ee kleiere legge. We wille oderzoeke hoeveel zette mistes odig zij. Uiteraard hagt dit af va het aatal schijve. 1. Speel het spel met ee tore va twee schijve. Hoeveel zette heb je mistes odig? (3 zette). E bij drie schijve? E bij vier schijve? (Bij 3 schijve mistes 7 zette e bij 4 schijve mistes 15 zette) Door te redeere over het verplaatse va de schijve wille we u probere ook voor meer schijve het miimaal aatal zette te bepale. 3. Probeer op basis va het verplaatse va de schijve ee verbad te zoeke tusse het aatal zette bij vier schijve e bij drie schijve. (Evetueel ku je hier als tip de volgede tekeig toe. Om vier schijve te verplaatse, moet je eerst de boveste drie schijve (i juiste volgorde) op ee adere pi zette, vervolges de grootste schijf verplaatse e teslotte de drie kleiere schijve terug op de grootste schijf zette. Dus z(4) = z(3) + 1.) 4. Verklaar dat hetzelfde verbad geldt voor het aatal zette bij vijf e bij vier schijve. (Zelfde redeerig) 5. Met dezelfde redeerig moet je u de recurrete betrekkig voor het aatal zette bij schijve kue opstelle. 7
(z() = z( 1) + 1) 6. Maak met je reketoestel ee tabel e ee grafiek va het aatal zette tot 10 schijve. (Hieroder zie je het resultaat.) Volges ee legede bevidt zich i ee tempel va Haoi ee tore met 64 schijve. Dag e acht zij moike bezig met het verplaatse va de schijve. Volges de legede zal de wereld vergaa zodra alle schijve verplaatst zij. 7. Bepaal met je reketoestel het aatal zette voor deze tore. Wat dek je da over het vergaa va de wereld? (ogeveer 1,8 10 19 zette. Als de moike bv. gemiddeld ee miuut odig hebbe om ee schijf te verplaatse, duurt het verplaatse va de hele tore ogeveer 3,5 10 13 jare. Dus ) De Frase wiskudige Edouard Lucas heeft deze legede i 1883 als spel verzoe e gepubliceerd. (Je hoeft dus iet aar Haoi te gaa om deze tore e de moike te gaa bezichtige.) Er bestaa ook veel variate op het probleem va de tores va Haoi. Op het iteret vid je ook veel verwijzige aar dit probleem e variate erop. 8. Zoek op het iteret aar éé of meer variate va dit spel. Bepaal e verklaar daarbij ee recurrete betrekkig voor het aatal zette. Beschrijf i ee kort verslag het spel e het aatal zette dat odig is. Opmerkig: Idie meetkudige rije i de tweede graad (leerweg 5) of i de derde graad (uitbreidig) uitvoeriger zij bestudeerd, kue de leerlige hier al op zoek gaa aar ee expliciete formule voor het aatal zette. Op basis va de tabel va de rij (vraag 6) zulle sommige de formule z( ) = 1 al vermoede. Adere zulle de formule probere op te bouwe vauit de recursieve formule. Da vid je via veralgemeig dat 1 z( ) = + +... + + 1. Met behulp va de formule voor de som va ee meetkudige rij vide we ook de expliciete formule. Als verdiepig ka ze beweze worde met ee bewijs per volledige iductie. Nog ee voorbeeld va ee coverget proces. Ee medicij ieme Stel dat je ziek bet e dat je gedurede ee lage periode elke morge ee bepaald medicij moet ieme. I de loop va de dag zal de hoeveelheid actieve bestaddele va dat medicij i je lichaam afeme. Stel dat oderzoek heeft uitgeweze dat gemiddeld a 4 uur og 50% va de actieve bestaddele va dat medicij i je lichaam overblijft. De hoeveelheid medicij die jij elke morge moet ieme, bevat 5 mg actieve bestaddele. Oderzoek voor de eerste 0 dage de hoeveelheid medicij i je lichaam s morges omiddellijk a de iame. 1. Geef de recurrete betrekkig bij dit proces.. Voer deze betrekkig i je reketoestel i e maak ee tabel e ee grafiek va deze betrekkig. 3. Wat merk je op? Bij dit voorbeeld gaat de recurrete betrekkig aar ee evewicht. 8
4. Ku je de evewichtssituatie ook afleide uit de omschrijvig of de recurrete betrekkig va dit proces? 3. Ee spiewebdiagram I deze paragraaf itroducere we ee ieuwe grafische voorstellig. Hierbove stod bij de grafieke va recurrete betrekkige zoals gebruikelijk op de horizotale as de (discrete) variabele of t e stode op de verticale as de rijelemete u() of u(t). Ee adere veel voorkomede voorstelligswijze voor recurrete betrekkige is ee spiewebdiagram. Beschouw de volgede recurrete betrekkig Ee spieweb A( t) = 0,8 A( t 1) + 9 A(0) = 0 1. Voer deze betrekkig i je reketoestel i e oderzoek het verloop. Evolueert A(t) aar ee evewichtswaarde? (De waarde va A(t) schommele rod e evoluere aar ee evewichtswaarde, amelijk 5.) De grafische rekemachie ka va ee recurrete betrekkig ook ee adere grafiek make. Verader hiervoor bij i de eerste lij!"# i $#%. Kies vervolges de oderstaade schermistellige e maak de grafiek. De rekemachie teket twee rechte.. Druk u op e vervolges op het pijltje aar rechts. Druk vervolges og ee aatal maal op dezelfde pijltjestoets e kijk goed aar wat de rekemachie teket e aar wat er bijgeschreve wordt. Je zult u wel begrijpe waarom deze istellig $#% heet e de grafiek ee webdiagram. We wille u oderzoeke hoe deze grafiek het verloop va de recurrete betrekkig weergeeft. 9
3. De cursor sprigt blijkbaar steeds va de ee rechte op de adere. Probeer op basis va de coördiate va de gecostrueerde pute de voorschrifte va beide fucties (rechte) te bepale. Vul daartoe eerst de oderstaade tabel i. put op dalede rechte put op stijgede rechte 1 (0, 7) ( 7, 7) (y = x e y = 0,8x + 9) 4. Beschrijf u de eerste drie stappe e verklaar waarom op die maier u(1) e u() worde gecostrueerd. Voeg evetueel i de bovestaade tabel og ee kolom toe voor u(). 5. Met de volgede twee stappe wordt u(3) gecostrueerd. Verklaar. (Na twee stappe wordt de oude y-waarde de ieuwe x-waarde. Va die x-waarde wordt opieuw de opvolger bereked.) 6. Waarom zit de evewichtswaarde bij het sijput va de twee grafieke? Ee spiewebdiagram is dus eigelijk iets aders da de grafische vertalig va het stap voor stap berekee va de terme va de rij op basis va de recursievergelijkig. We geve og ee voorbeeld. Zoals je zult merke geeft ee spiewebdiagram iet altijd ee spieweb. Ee spi op de trap 1. Schrijf ee recurrete betrekkig bij het volgede proces: op ee terrei staa 1000 bome, de kweker beslist om elk jaar 15% te kappe e 500 ieuwe bome aa te plate. ( B( t) = 0,85 B( t 1) + 500 e B (0) = 1000 ) We wille bij deze betrekkig ook ee spiewebdiagram make. Hiervoor werd hieroder reeds de grafiek va y = 0,85 x + 500 geteked. 10
y 3000 000 1000 0 1000 000 3000 x. Teke u ook de rechte y = x e de eerste 3 stappe va het spiewebdiagram dat bij deze betrekkig hoort. 3. Dek je dat je hier ook ee spieweb zult krijge als je meerdere stappe va het diagram teket? (Nee, de grafiek wordt eerder ee trap. We hebbe hier te doe met ee stijgede rij.) 4. Maak het diagram ook met je reketoestel e oderzoek de evolutie op lage termij. Wat merk je op? (Ook hier geeft het sijput va de grafiek va y = 0,85x + 500 e y = x de evewichtstoestad.) 5. Verader B(0) i 5000 e maak opieuw ee spiewebdiagram met je reketoestel. Pas evetueel de schermistellige aa! Geef commetaar bij wat je ziet. (De rij daalt u aar de evewichtswaarde, die we opieuw bij het sijput va de twee grafieke vide.) Op basis va voorbeelde kue de leerlige vervolges oderzoeke wat het effect is va de begiwaarde op het webdiagram (e dus op de evolutie va de recurrete betrekkig). Op basis va ee webdiagram kue we veratwoord redeere over de evolutie va ee dyamisch proces. I zekere zi verklaart het de evolutie. Bij het eerste voorbeeld hierbove (het echte web) geeft het webdiagram aa dat het proces zal blijve schommele rod de evewichtswaarde e er meer e meer aar toe moet evoluere. Bij het tweede voorbeeld (de trap) kue we op basis va het webdiagram met zekerheid besluite dat het proces vertraagd stijgt e aar ee evewicht evolueert. Ee tabel of (, u())- grafiek geeft de evolutie ook aa maar veratwoordt ze iet. 11
4. Ee ecoomisch probleem Het volgede voorbeeld is gebaseerd op [3] e [4]. Vraag- e aabodmodelle Op de varkesmarkt gelde volges ecoome de volgede regels: Als de prijs va varkesvlees laag is, wordt het aatal varkeshouders dat vlees aabiedt op de markt kleier. Als de prijs va varkesvlees hoog is, wordt het aatal aabieders va vlees groter. Als het aabod va varkesvlees laag is, stijge de prijze (als de vraag gelijk blijft). Als het aabod va varkesvlees groter is da de vraag, dale de prijze. Het vetmeste va ee varke duurt ogeveer ee half jaar. Al het varkesvlees dat aagebode wordt, wordt ook effectief verkocht. Beware ka immers iet. We kue dit i ee eevoudig wiskudig model giete. Ee statisch vraag- e aabodmodel. I dit eevoudige model houde we gee rekeig met de tijd, vadaar de aam statisch. We gaa allee op zoek aar ee evewichtssituatie, dus i dit geval aar ee situatie waarbij het aabod gelijk is aa de vraag. I dit model kue we dus stelle dat: alles wat wordt aagebode, wordt metee verkocht. als de prijs toeeemt, eemt de vraag af; als de prijs toeeemt, eemt het aabod toe; zowel vragers als aabieders reagere omiddellijk op elke prijsveraderig; Hierbij zoekt me da gepaste formules die het verbad tusse de prijs (p) e de vraag (de gevraagde hoeveelheid) (q v ) e tusse de prijs e het aabod (q a ) uitdrukke. Bijvoorbeeld: q q a v = p 5 = 400 1,5 p 1. Bepaal de prijs p zo dat vraag e aabod elkaar i dit model i evewicht houde. ( p 5 = 400 1,5 p p = 170 ) De ecoome oeme deze prijs de evewichtsprijs. Zoals je i de oderstaade grafiek kut zie, is deze prijs ook heel eevoudig grafisch te bepale door het sijput va twee rechte te berekee. 1
400 q 300 00 100 0 50 100 150 00 50 300 350 400 p Ee dyamisch vraag- e aabodmodel Omdat het vetmeste va varkes tijd kost, kue de aabieders iet omiddellijk reagere op ee prijsveraderig. We moete os model dus wat bijsture: het aabod op ee bepaald tijdstip wordt bepaald door de prijs va ee periode va zes maad eerder; als we werke met tijdseehede va zes maad geeft dit: het aabod op tijdstip t wordt bepaald door de prijs op het tijdstip t 1; de vraag wordt wel omiddellijk aagepast aa de prijs. Dat geeft de volgede formules (voor het model va hierbove): qa ( t) = p( t 1) 5 qv ( t) = 400 1,5 p( t) Het feit dat alle aagebode varkesvlees effectief verkocht wordt, geeft de formule q ( t) = q ( t). a v Stel dat p(0) = 10.. Bereke hieruit achtereevolges q a (1), q v (1) e p(1). Geef bij elke stap ee verklarig. (De vergelijkig voor het aabod, met t = 1, geeft q (1) = 95. De evewichts-vergelijkig geeft dat q v (1) = 95. De prijs op tijdstip 1 ku je u berekee m.b.v. de vraagvergelijkig: p(1) = 03,33... De varkeskwekers hebbe op tijdstip 0, op basis va de lage prijs op dat ogeblik beslist om iet al te veel varkes te kweke. Deze varkes zij slachtrijp op tijdstip 1. Op dat tijdstip is het aabod aa varkesvlees dus laag. Om de vraag i evewicht te brege met dit lage aabod laat me de prijs stijge tot 03,33 eehede.) 3. Vul op dezelfde maier de volgede tabel i: t q a q v p 0 10 1 95 95 03,33 3 a 13
4. Geef ee verklarig bij de getalle die je op de tweede rij ivulde. (De hoge prijs voor varkesvlees op tijdstip 1 zet de varkesboere ertoe aa om veel varkes te kweke. Daardoor is het aabod aa varkesvlees op tijdstip groot. Om al dat varkesvlees verkocht te krijge (me ka het immers iet beware!), moet me de prijs late zakke.) 5. Verklaar dat het oderstaade webdiagram dit proces grafisch weergeeft. Zoek de vergelijkige va de twee rechte. 400 q 300 00 100 p 0 50 100 150 00 50 300 350 400 6. Wat is het verschil met de webdiagramme die we vroeger reeds gemaakt hebbe? 7. Op basis va deze voorstellig ku je al zie aar welke evewichtsprijs dit model zal evoluere. Vergelijk dit met de evewichtsprijs i het statische model e probeer te verklare wat je ziet. (We vide dezelfde evewichtsprijs e dat is logisch wat covergetie beteket dat p(t 1) = p(t).) Ecoome oeme dit het spiewebtheorema: De evewichtsprijs i ee dyamisch vraag- e aabodmodel is dezelfde als de evewichtsprijs i het ermee overeekomede statische vraag- e aabodmodel. We kue de evolutie atuurlijk beter door ee reketoestel of computer late berekee: t q a (t) = q v (t) p(t) 0 10,00 1 95,00 03,33 178,33 147,78 3 1,78 184,81 4 159,81 160,1 5 135,1 176,58 6 151,58 165,61 7 140,61 17,93 8 147,93 168,05 9 143,05 171,30 10 146,30 169,13 11 144,13 170,58 14
1 145,58 169,61 13 144,61 170,6 14 145,6 169,83 15 144,83 170,11 16 145,11 169,9 17 144,9 170,05 18 145,05 169,97 8. Omdat q a( t) = qv ( t) kue we hier ook ee rechtstreekse recurrete betrekkig voor p(t) opstelle. Doe dit. p(0) = 10 ( 850 p( t) = p( t 1) 3 3 ) 9. Maak het gewoe spiewebdiagram bij deze recurrete betrekkig. Geef verschille e overeekomste aa met het spiewebdiagram dat hierbove gemaakt werd. 5. Aalytisch oplosse va eevoudige recursievergelijkige I de vorige paragrafe werkte we met recurrete betrekkige va recursievergelijkige e liete we de rekemachie tabelle e grafieke va deze betrekkige make. I deze paragraaf make we keis met het oplosse va recursievergelijkige, dit is het bepale va het expliciete voorschrift uit het recursieve voorschrift. We beperke os daarbij tot de meest eevoudige recursievergelijkige: recursievergelijkige va de vorm t( ) = a t( 1) + b. Die vergelijkige zij eevoudig aalytisch op te losse. We zulle i deze paragraaf overstappe aar de otatie t voor t(). We deke dat dit iets eevoudiger leest bij igewikkeldere afleidige. Meetkudige rije Sommige groepe leerlige hebbe i het vierde jaar reeds rije bestudeerd. Ook daar wordt het opstelle va ee expliciete formule behadeld: o.a. bij de formule voor de som va de eerste terme va ee meetkudige rij. Beschouw de meetkudige rij met recursief voorschrift: e dus expliciet voorschrift: Da is t = t q 1 1 1 t = t q. s = t + t +... + t + t 1 1 t1( q 1) = q 1 Bij het oplosse va de recursievergelijkige va de vorm t = a t 1 + b hebbe we deze formule odig. Als ze i het vierde jaar og iet aa bod is gekome, wordt ze hier best eerst afgeleid. We 15
verwijze hiervoor aar de hadboeke va het vierde jaar. Ook voor de adere leerlige is het uttig om dit op te frisse, bv. aa de had va oefeige. Lieaire recursievergelijkige va de vorm t = a t 1 + b Va meetkudige rije e dus ook va recursievergelijkige va de vorm kee we dus ook de expliciete formule: t = a t 1 met begiwaarde t 0 t 0 = a t. I deze paragraaf gaa we op zoek aar ee algemee formule voor recursieve betrekkige va de vorm t = a t + b met begiwaarde t 0. 1 Zulke recursievergelijkige zij we i de voorgaade paragrafe al ee aatal keer tegegekome. De bedoelig is dat we ze u wat algemeer bestudere e op basis va de algemee formule ook het effect va de waarde va de parameters a e b op het verloop e de evewichtswaarde oderzoeke. Als voorbereidig hierop kue we deze vergelijkige eerst met ee spreadsheet bestudere. Als de leerlige vlot met ee rekeblad kue werke, ka dit ee oderzoeksopdracht zij waaraa ze idividueel of i kleie groepjes werke. Dit ka gedeeltelijk i de klas e gedeeltelijk thuis gebeure. Oderzoeksopdracht 1. Otwerp ee spreadsheet waarmee je op ee eevoudige wijze recursie-vergelijkige va de vorm t = a t 1 + b kut doorrekee e voorzie ook ee grafiek.. Gebruik de spreadsheet om experimeteel te bepale welke verschillede gevalle er te oderscheide zij e verwerk je bevidige i ee verslag. Besteed hierbij mistes aadacht aa de volgede aspecte va het verloop: Is de rij stijged, daled,? Worde de verschille tusse opeevolgede terme steeds groter of steeds kleier? Evolueert de rij aar ee evewichtswaarde? Is er sprake va ee stabiel evewicht? 16
I de algemee formule zal de evewichtwaarde ee belagrijke rol spele. Daarom zoeke we die eerst. Die vide we door de vergelijkig t = a t + b op te losse. De evewichtswaarde va de recursieve b vergelijkig t = a t 1 + b is dus (a 1). 1 a Met behulp va de formule voor de som va de eerste terme va ee meetkudige rij kue we u eevoudig de expliciete formule bepale: Veralgemeig geeft: t = a t + b 1 0 = 1 + = ( 0 + ) + = 0 + + 3 = + = ( 0 + + ) + = 3 0 + + + 4 3 ( 3 0 ) 4 0 3 t a t b a a t b b a t a b b t a t b a a t ab b b a t a b ab b t = a t + b = a a t + a b + ab + b + b = a t + a b + a b + ab + b 1 0... 1 0 t = a t + a b + a b + + a b + ab + b = a t + ( a + a +... + a + a + 1) b De som va alle terme behalve de eerste is de som va de eerste terme va de meetkudige rij met begiwaarde b e rede a. Dus: a 1 t = a t0 + b a 1. Me oemt deze formule de oplossigsformule va de recursievergelijkig. Het is iet moeilijk i te zie dat deze formule ook als volgt te schrijve is: of i woorde: b b t = + a ( t0 ) 1 a 1 a 17
t = evewichtwaarde + a (begiwaarde evewichtswaarde). Nadat de leerlige deze formules i verschillede situaties hebbe toegepast, kue ze het verbad tusse de waarde va a e b e de evolutie va de lieaire recursievergelijkige u ook oderzoeke op basis va de formule. De vaststellige uit het oderzoek met het rekeblad kue daarmee u verklaard worde. Webdiagramme kue deze redeerige ook grafisch illustrere. Evetueel ka hier ook op de aalogie met expoetiële fucties geweze worde. 6. Stelsels va recursievergelijkige e matrices I deze paragraaf wille we late zie dat het ieuwe oderwerp dat we i de voorgaade paragrafe uitgewerkt hebbe, raakpute heeft met ee thema dat i veel klasse odertusse ee vaste stek verworve heeft: matrixmodelle voor migratie, groei va ee populatie met leeftijdsklasse, We gaa er i de oderstaade werktekst va uit dat de leerlige (e de lezers dus ook) reeds vroeger met overgagsmatrices hebbe lere werke. Recursief migrere I ee zeker gebied woe 3 000 000 mese. Het gebied bestaat uit ee cetraal gelege grote stad met daaromhee ee uitgestrekt plattelad. Op dit ogeblik woe er 1 000 000 mese i de stad e 000 000 op het plattelad. We geve deze begisituatie weer m.b.v. de kolommatrix s(0) 1 000 000 s X (0) = p(0) = 000 000 p Mese verhuize va de stad aar het plattelad e omgekeerd. De verhuisbewegige, gemete over periodes va 10 jaar, worde weergegeve door de oderstaade migratiematrix P: va s p 0,9 0, s 0,1 0,8 p aar De bevolkig i stad e plattelad a periodes va 10 jaar geve we weer door s( ) X ( ) = p( ). 1. Laat aa de had va ee matrixberekeig zie dat (Schrijf X ( ) = P X ( 1) voluit.) s( ) = 0,9 s( 1) + 0, p( 1) p( ) = 0,1 s( 1) + 0,8 p( 1) De uitdrukkig hierbove is ee stelsel va twee (gekoppelde) recursievergelijkige: de waarde va s e p a ee aatal periode wordt uitgedrukt i fuctie va de waarde va s e p éé periode eerder. Om de waarde va s a periodes te kee heb je zowel de waarde va s als die va p a 1 periodes odig.. Voer de twee recursieve voorschrifte uit de vorige vraag i je rekemachie i. Laat ee tabel e ee grafiek make die de evolutie va de bevolkig va de stad e het plattelad weergeve. Beschrijf de evolutie va de bevolkig i stad e plattelad i woorde. (De oderstaade schermafdrukke toe hoe het met de rekemachie i zij werk gaat. Vergeet iet te cotrolere of de grafiekoptie TIME igesteld is. We zie dat de bevolkig i 18
de stad vertraagd toeeemt va 1 000 000 i het begi aar 000 000 op lage termij. De bevolkig op het plattelad daalt vertraagd va 000 000 i het begi aar 1 000 000 op lage termij.) 3. Waag, op basis va het atwoord op de vorige vraag, ee gefudeerde gok voor ee expliciet voorschrift voor ( ) s. I je voorstel moge og parameters voorkome. (Op basis va de limietwaarde ( 000 000), de begiwaarde (1 000 000) e het vertraagd stijgede verloop (e de ervarig die opgedaa is i paragraaf 5), lijkt s( ) = 1000 000 g + 000 000, met g ee getal tusse 0 e 1, ee veratwoorde gok.) 4. Geef, gebruik maked va je atwoord op de vorige vraag, ee expliciet voorschrift voor ( ) p. (Maak gebruik va het feit dat de totale bevolkig steeds uit 3 000 000 persoe bestaat. Je vidt p( ) = 1 000 000 g + 1 000 000.) 5. Bepaal de waarde va de obekede parameter(s) i de uitdrukkige uit vraag 3 e 4 door je gefudeerde gok i te vulle i het stelsel recursievergelijkige. (Als je de uitdrukkige ivult i het eerste recursieve voorschrift, vid je 1000 000g + 000 000 = 1 1 = 0,9 ( 1000 000g + 000 000) + 0, (1000 000g + 1000 000). 1 g Na vereevoudigig geeft dit g = 0,7, waaruit we afleide dat g = 0,7 Het tweede recursieve voorschrift klopt daarmee metee ook.) 6. Bepaal op dezelfde maier ee expliciete formule voor evolutie va de bevolkig i stad e plattelad voor ee gebied waarva de begipopulatie e de overgagsmatrix gegeve worde door 500 000 X (0) = 1500 000 e 0,8 0,3 P = 0, 0,7. ( s( ) = 100 000 0,5 + 400 000 e p( ) = 100 000 0,5 + 1 600 000 ) I de werktekst hebbe we voor het bepale va de expliciete voorschrifte sterk gesteud op de grafiek die door de rekemachie geteked werd. Voor -migratiematrices volstaat dat. I dat speciale geval krijg je amelijk altijd expliciete voorschrifte waarva het rechterlid de vorm c g + b aaeemt. De waarde va de parameters ku je eevoudig bepale. Voor adere -matrixmodelle e voor grotere matrixmodelle is het i het algemee iet meer mogelijk op basis va de grafiek de vorm va het expliciete voorschrift te rade. Me ka aatoe dat bij -Lesliematrices e bij de matrix uit de volgede paragraaf het rechterlid va het expliciete voorschrift va de vorm c1 g1 + c g is. De grodtalle g 1 e g zij da de eigewaarde va de matrix. Bij 19
-migratiematrices is g ee va de eigewaarde e is de adere eigewaarde steeds gelijk aa 1. Wie hier meer over wil wete, verwijze we aar Uitwiskelig 19/1. Maar je hebt i de werktekst gemerkt dat je g ook kut bepale zoder dat te wete. Je kut de bad met recursieve voorschrifte og op ee adere maier legge da i de werktekst. De gekede formule X ( ) = P X ( 1) drukt de bevolkig i stad e plattelad op ee zeker tijdstip uit i fuctie va de bevolkig i stad e plattelad éé periode eerder. We hebbe dus te make met ee recursief voorschrift. Het verschil met de recursieve voorschrifte die we vroeger bekeke, is dat het recursieve voorschrift u iet ee rij va getalle beschrijft, maar ee rij va kolomvectore. Voor ee stelsel va twee gekoppelde recursievergelijkige biedt de rekemachie og ee ader type grafiek. Kies via de istellig &'. Voor elke waarde va teket de machie da het put ( s( ), p( )) (i machietaal : ( u( ), v( )) ; vadaar de aam). Met ku je de evolutie va de bevolkig volge. Het hoeft iet te verwodere dat de pute op ee rechte ligge: de totale bevolkig blijft immers costat. 7. Ee recursievergelijkig va de tweede orde I deze paragraaf bekijke we de rij va Fiboacci als ee oplossig va ee recursievergelijkig. We cocetrere os hierbij iet op de didactische aabreg va deze rij (koijevoortplatig...); hiervoor verwijze we aar Uitwiskelig 1/1 e 1/. I de rij va Fiboacci is elke term gelijk aa de som va de voorgaade twee. Als we dit i symbole vertale, krijge we x = x 1 + x, ee recursief voorschrift va de tweede orde (omdat ee term uitgedrukt wordt i fuctie va de voorgaade twee terme). De recursieve voorschrifte die we i de vorige paragrafe otmoette, ware va de eerste orde. Ook ee recursief voorschrift va de tweede orde ku je i de grafische rekemachie ivoere. Dek er wel aa dat er twee begivoorwaarde odig zij: x 1 = 1 e x = 1. De accolades e de komma moet je u zelf igeve. We zoeke u ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci. Met behulp va de hulprij y = x 1 kue we de recursievergelijkig va de tweede orde omzette i ee stelsel va twee recursievergelijkige: of i matrixvorm: x = x + y y = x 1 1 1, 0
x y 1 1x 1 = 1 0 y. 1 De eigewaarde va de -matrix zij 1 + 5 e 1 5. Zoals we i de voorgaade paragraaf aagave, is het expliciete voorschrift voor x da va de vorm 1 5 1 5 x c + 1 c = + M.b.v. de begivoorwaarde x 1 = 1 e x = 1 bepale we de waarde va c 1 e c. Zo vide we de volgede uitdrukkig voor de -de term va de rij va Fiboacci: x 5 1 + 5 5 1 5 =. 5 5 Met behulp va dit expliciete voorschrift ku je bijvoorbeeld heel eevoudig de bekede limieteigeschap lim + x x 1 1+ 5 = aatoe. E als je met adere begiwaarde da x 1 = 1 e x = 1 start, krijg je allee maar adere waarde voor c 1 e c e blijft de limieteigeschap behoude (behalve als c 1 = 0 ). 8. Ee iet-lieaire recursievergelijkig De recursievergelijkige uit de basisparagrafe ware allemaal va de vorm t = a t 1 b, die we + kue omwerke tot 1 t a t 1 = b. I deze ieuwe vorm is het likerlid ee lieaire combiatie va t e t 1. Daarom spreke we i dit verbad va lieaire recursie-vergelijkige. I deze paragraaf oderzoeke we ee recursievergelijkig die iet lieair is e late we zie dat de wereld va de ietlieaire recursieve voorschrifte veel gevarieerder is da die va de lieaire. Wat we hier bespreke, vid je voor ee deel terug i het keuzeoderwerp iteratie i het leerpla voor de 6-urecursus uit het vrij oderwijs. De wodere wereld va de recursievergelijkig t = a t 1 (1 t 1 ) We oderzoeke recursieve voorschrifte va de vorm t = a t 1 (1 t 1 ), waarbij a ee getal voorstelt. Nieuw bij deze recursievergelijkig is dat i het rechterlid ee product staat va twee factore die t 1 bevatte. 1. Welke lije zul je te zie krijge op ee spiewebdiagram? (De rechte y = x (zoals steeds) e de parabool y = ax(1 x).) Neem a =,5.. Maak ee spiewebdiagram va de rij met begiwaarde 0,1 e beschrijf het verloop erva i woorde. Verklaar wat je vaststelt zoveel mogelijk op basis va het recursieve voorschrift. 1
(Helemaal i het begi stijgt de rij, daara schommelt de rij. De schommelige worde steeds kleier e de limietwaarde is 0,6. Om dit vast te stelle; ku je gebruik make va ee tabel e/of ee spiewebdiagram (izoome om het verloop te zie voor terme met ee groter ragummer!). De limietwaarde ku je vide door het sijput te bepale va de parabool met de eerste bissectrice. Het feit dat de rij (a ee aaloopperiode) gedempt schommeled verloopt, houdt verbad met het feit dat de raaklij i het sijput richtigscoëfficiët 0,5 heeft. Als de terme zeer dicht bij de limietwaarde geaderd zij, kue we de parabool vervage door de raaklij. E ee rechte met richtigscoëfficiët tusse 1 e 0 zorgt voor ee gedempt schommeled verloop.) 3. Oderzoek de stabiliteit va de twee (!) evewichtsposities. (De parabool e de eerste bissectrice hebbe twee sijpute, die dus twee evewichtswaarde oplevere: 0 e 0,6. Als we ee begiwaarde eme i de omiddellijke omgevig va 0,6, da covergeert de rij(gedempt schommeled) aar 0,6 (verklarig: dek aa de redeerig met de raaklij bij de vorige vraag!). Dit evewicht is stabiel (of: aatrekked). Als de begiwaarde exact gelijk is aa 0, da zij alle terme va de rij gelijk aa 0. Neme we echter ee begiwaarde i de omiddellijke omgevig va 0 maar iet exact gelijk aa 0, da covergeert de rij iet aar 0. Als het systeem uit evewicht gebracht wordt, keert het dus iet terug aar zij evewicht. Dit evewichtsput is iet stabiel (of: afstoted).) We eme u a = 3,5. 4. Bereke met de had het verloop va de rij met begiwaarde 5 7. (De rij is costat.) 5. De oderstaade schermafdruk toot het spiewebdiagram va de rij met begiwaarde 5 7. Geef ee verklarig voor wat er misloopt. (De machie werkt met ee decimale beaderig va de breuk e start bijgevolg met ee begiwaarde die iet exact gelijk is aa 5. Omdat het evewicht iet stabiel is, rake de 7 terme die de machie bereket steeds verder va de echte (evewichts)waarde verwijderd. Het webdiagram spiraliseert aar buite. Na ee groot aatal stappe levert dit zichtbare verschille op.) 6. Oderzoek met de had e met de rekemachie het verloop va de rij met begiwaarde 3 7. (De terme va de rij eme afwisseled de waarde 3 7 e 6 7 aa. We zegge dat zo rij periode heeft. Nu doe er zich gee probleme voor bij de berekeig met de rekemachie.)
Noem f ( x) = 3,5 x(1 x) e f ( x) = f ( f ( x)). 7. De oderstaade figuur toot de grafiek va f e de eerste bissectrice. Je kut arekee dat de sijpute optrede bij de x-waarde 3 7, 5 7 e 6. Het is gee toeval dat dit de getalle 7 zij uit de vrage 5 e 6. Geef ee goede verklarig! (De recursievergelijkig die we bestudere, kue we schrijve als t = f ( t 1). De x- waarde waarvoor f ( x) = x geve aa welke begiwaarde ee costate rij oplevere. Dat hebbe we hierbove geregeld gebruikt om evewichtspute te bepale. De fuctie f komt tevoorschij waeer we t uitdrukke i fuctie va de term die twee plaatse voordie staat: t = f ( t ) = f ( f ( t )) = f ( t ). 1 De x-waarde waarvoor f ( x) = x geve os dus de begiwaarde va de rije waarvoor t0 = t = t4 = t6 =... Vazelfspreked geldt da ook t 1 = t 3 = t 5 = t 7 =... We krijge da m.a.w. ee rij met periode. Dat verklaart waarom 3 7 e 6 va de partij zij. Als de begiwaarde 7 5 is, zij alle terme va de rij aa elkaar gelijk. Da klopt de voorwaarde hierbove 7 atuurlijk ook.) 8. Oderzoek e verklaar het verloop va de rij met begiwaarde 0,1. Je moet ver geoeg i de rij gaa (ogeveer tot ragummer 40) om te zie wat er te zie is. (Na ee aaloopperiode kome dezelfde vier getalle steeds terug: (afgerod) 0,87500, 0,388, 0,8694 e 0,50088. Het klopt iet helemaal, wat ee aatal decimale veradere og. Maar aarmate je verder gaat i de rij blijve meer e meer decimale gelijk. De rij covergeert als het ware aar ee stel limietgetalle met periode 4. We kue dit stel terugvide op de maier va vraag 7. Noem f 4 ( x) = f ( f ( f ( f ( x)))) (ee veeltermfuctie va graad 16!). De sijpute va de eerste bissectrice met de grafiek va 4 f bepale de rije met periode (hoogstes) 4. De oderstaade figuur (liks) toot de grafiek. Als we de gepaste dele uitvergrote (zie bijvoorbeeld de middelste e de rechtse figuur), zie we dat er i het totaal 7 sijpute zij. 3
We kee reeds drie va deze sijpute, amelijk deze met x-coördiaat 3 7, 5 7 e 6 7. E voor de overige vier verwachte we de periodiek terugkerede waarde uit de rij hierbove te zie. Dat klopt effectief. De oderstaade figuur toot dat voor éé va deze vier. Wat experimetere leert dat er gee rije zij die op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode uit vraag 6, terwijl heel veel rije op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode 4. De verklarig daarvoor is dezelfde als die voor het al da iet stabiel zij va ee evewicht. De raaklije aa de grafiek va f 4 i de bewuste vier sijpute met de eerste bissectrice hebbe allemaal dezelfde richtigscoëfficiët, amelijk (afgerod) 0, 03, i absolute waarde kleier da 1. Daarom is dit stel va 4 aatrekked. De raaklije aa de 3 6 grafiek va f i de pute met eerste coördiaat e hebbe (beide) 7 7 richtigscoëfficiët 1, 5, i absolute waarde groter da 1. Het stel va is daarom afstoted. Het is overiges iet moeilijk om aalytisch aa te toe dat de vier (resp. twee) raaklije dezelfde richtigscoëfficiët hebbe e om de richtigscoëfficiët va de twee raaklije aalytisch uit te rekee.) 9. Ee differetiaalvergelijkig oplosse m.b.v. ee recursief voorschrift I de voorgaade paragrafe hebbe we recursieve voorschrifte vooramelijk lere gebruike om veraderigsprocesse te beschrijve. Typisch hierbij was dat we uit gegeves over het veradere va ee grootheid (e over de begiwaarde erva) afgeleid hebbe hoe de grootheid zelf evolueert. I het voorbeeld va de kerstbome was gegeve dat elk jaar 10% va de bome gekapt worde e dat er elk jaar 450 ieuwe bome geplat worde. Op basis hierva (e op basis va de begiwaarde) werd bereked hoe het aatal bome evolueert, werd ee grafiek gemaakt e werd tot slot ee formule opgesteld voor het aatal bome i fuctie va de tijd. Er is i de wiskude og ee ader istrumet dat heel veel gebruikt wordt om veraderigsprocesse te beschrijve, amelijk ee differetiaalvergelijkig. Ook bij ee differetiaalvergelijkig gebruik je gegeves over het veradere va ee grootheid om te achterhale hoe de grootheid zelf evolueert. Het grote verschil is dat je de tijd bij ee recursief voorschrift opvat als ee discrete veraderlijke (de tijd eemt allee gehele waarde aa) terwijl je de tijd bij ee differetiaalvergelijkig als ee cotiue veraderlijke opvat (de tijd eemt ook iet-gehele waarde aa). De selheid waarmee de grootheid veradert, wordt i het cotiue geval weergegeve door de afgeleide va die grootheid aar de tijd. Deze paragraaf hadelt iet over differetiaalvergelijkige als dusdaig. We wille late zie dat je ee differetiaalvergelijkig (beadered) kut oplosse m.b.v. ee recursief voorschrift. 4
De verspreidig va ee virus I deze werktekst oderzoeke we de verspreidig va ee virus i ee gebied met 100 000 mese. Het virus veroorzaakt ee ziekte die iet erstig is, maar wel zeer besmettelijk. Wie besmet wordt, wordt eerst ziek maar bouwt algauw ee afweer tege de ziekte op. Iederee die ooit besmet werd, blijft drager va het virus e blijft adere besmette, maar heeft daar verder gee last meer va. Noteer met y(t) het aatal mese dat drager is va het virus op tijdstip t. Op dit ogeblik zij 5000 mese drager va het virus, d.w.z. y (0) = 5000. De selheid waarmee het virus zich op tijdstip t uitbreidt bie de bevolkig va dit gebied wordt gegeve door y ( t). We gaa er va uit dat deze selheid everedig is met het product va twee factore: y( t ), d.w.z. het aatal mese dat drager is va het virus (logisch: als meer mese drager va het virus zij, zij er ook meer besmetters ); 100000 y( t), d.w.z. het aatal mese dat og gee drager is va het virus (ook logisch: als de meeste mese reeds besmet zij, zij er wel veel besmetters maar slechts weiig potetiële slachtoffers). Meer bepaald zulle we veroderstelle dat voor elk tijdstip t 7 y '( t) = 5 10 y( t) (100000 y( t)). Om te wete hoe het aatal dragers va het virus evolueert, moet je de fuctie y( t ) kee. De uitdrukkig hierbove ku je opvatte als ee vergelijkig met de fuctie y( t ) als obekede. I deze vergelijkig komt de obekede fuctie zelf voor tezame met haar afgeleide. Ee dergelijke vergelijkig wordt ee differetiaalvergelijkig geoemd. We zulle deze differetiaalvergelijkig i deze werktekst iet oplosse (i de betekeis dat we gee formule zulle vide voor y i fuctie va t), maar we zulle er wel i slage om beaderede waarde voor y te berekee. 1. Verklaar de volgede beaderede gelijkheid: y(0,1) y(0) y ('0). 0,1 y(0 + h) y(0) y(0 + h) y(0) (Omdat y (0) = lim, is y (0) als h voldoede klei is. Neem h 0 h h h = 0,1.). Gebruik de differetiaalvergelijkig voor t = 0 e de beaderede formule uit de vorige opgave om ee beaderede waarde voor y(0,1) te berekee. (Uit 7 y '(0) = 5 10 y(0) (100000 y(0)) volgt de beaderede formule y 0,1) y(0) 5 10 0,1 ( 7 y(0) (100000 y(0)). Hieruit vid je dat y (0,1) 5 10 y(0) + 1,005 y(0) = 503, 75.) 3. Zoek op ee gelijkaardige maier ee beaderede waarde voor y(0,). 8 8 (Je vidt y (0,) 5 10 y(0,1) + 1,005 y(0,1) = 5047, 60... Ee subtiliteit: i de vorige vraag ko je je basere op de exacte waarde va y (0), terwijl je u slechts kut steue op ee beaderede waarde va y(0,1).) 5
De beaderede waarde die je bereked hebt voor y(0,1) e y(0,) oeme we y 1 e y. De exacte waarde va y (0) oeme we y 0. Op dezelfde maier als i de vorige vrage ku je beaderede waarde vide voor y(0,3), y(0,4), y(0,5), y(0,6),... Deze beaderede waarde oeme we y 3, y 4, y 5, y 6, 4. Geef ee recursief voorschrift voor deze rij va beaderede waarde. 8 (Voorhee vod je y 1 = 5 10 y0 + 1, 005y0 8 e y = 5 10 y1 + 1, 005y1. Op dezelfde maier vid je het recursieve voorschrift: y = 5 10 y 1 + 1,005 y 1.) 5. Maak ee grafiek bij dit recursieve voorschrift e beschrijf i woorde hoe het virus zich verspreidt oder de bevolkig. (De oderstaade schermafdrukke geve ee goed tekevester e ee goede grafiek. Het duurt wel eve vóór de grafiek er staat: ogeveer twee miute met ee gewoe TI83. Bemerk dat de grafiek geteked wordt voor tijdstippe va 0 tot 188 (Max verwijst aar de maximale waarde va, iet va de tijd!). I het begi stijgt het aatal dragers verseld. Op het tijdstip dat de helft va de bevolkig drager geworde is, vertoot de grafiek ee buigput. Na dit tijdstip stijgt het aatal dragers vertraagd om te stabilisere rod 100 000.) 8 Het groeimodel i de werktekst is ee voorbeeld va logistische groei. De beaderede methode die we gebruikt hebbe om de differetiaalvergelijkig op te losse, ka voor heel veel differetiaalvergelijkige toegepast worde. Voor meer iformatie over logistische groei (aalytische oplossig va de differetiaalvergelijkig, historische achtergrod, ) verwijze we aar [1] e []. bibliografie [1] C. Birot, J. Deprez, Wiskudige begrippe e methode. Deel 3, Deure (Wolters-Platy), 1998. [] P. De Groe, Modelle voor bevolkigsgroei: 1. discrete modelle, Wiskude e Oderwijs 58, 97-108 (1989). [3] H. Staal e.a., Pascal, Wiskude voor de tweede fase, VWO-iformatieboek, CM&EM, Thieme (Zutphe), 1999, ISBN 9003447X [4] H. Staal e.a., Pascal, Wiskude voor de tweede fase, VWO-verwerkigsboek, CM&EM, Thieme (Zutphe), 1999, ISBN 90034476 [5] H. Verhage, M. Doorma e W. Reuter, Discrete dyamische modelle, Wiskude voor de tweede fase (C&M e E&M), Freudethalistituut (Utrecht), 1998 Deze tekst is gebaseerd op (beter: bija idetiek met) ee tekst va Joha Deprez e Ja Roels die eerder verschee is i het tijdschrift Uitwiskelig ummer 0/3 (mei 004). De werktekste die i deze tekst gebruikt worde, ku je voor gebruik i de klas dowloade va de website va Uitwiskelig: www.uitwiskelig.be. 6