Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel m is e oppervlkte vn riehoek I? e Hoeveel m is e oppervlkte vn riehoek II? Wrom kun je vn riehoek II gemkkelijker e oppervlkte eplen? Kennelijk kun je innen een rehthoek riehoeken mken ie vershillen vn oppervlkte. Kun je riehoeken mken ie een grotere oppervlkte heen n e helft vn e rehthoek? Kun je riehoeken mken ie een kleinere oppervlkte heen n riehoek I en wr toh geen kleinere rehthoek omheen pst? Opgve Dit is een riehoek met er omheen een rehthoek wrvn e lengte smenvlt met één zije vn e riehoek. Teken zelf zo n iguur en lt oor e iguur te verelen zien t e oppervlkte vn eze riehoek ltij e helft vn ie vn e rehthoek is. Welke formule voor e oppervlkte A vn eze riehoek kun je opshrijven? nme: Imges/hv-me7-e-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e-t01.jpg STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 1
Gelt eze formule voor elke riehoek innen eze rehthoek ls één zije smenvlt met e lengte vn e rehthoek en het ere hoekpunt op e tegenover liggene lengte zit? Uitleg Bekijk e pplet: Oppervlkte riehoek Elke riehoek is preies e helft vn een rehthoek op één vn e zijen zols je in eze iguur kunt zien. De lengte vn ie rehthoek is n e lengte vn ie zije, e sis. file: Imges/hv-me7-u1-t0.jpg nme: Imges/hv-me7-u1-t0.jpg De reete vn ie rehthoek is e fstn vn het hoekpunt t niet op e sis ligt tot e sis. Je noemt it e hoogte vn e riehoek. De oppervlkte vn ΔABC is e helft vn ie vn e rehthoek op sis AB. De oppervlkte vn eze rehthoek is lengte reete = AB CD, us voor e riehoek gelt: oppervlkte(riehoek) = 1 sis hoogte Mr werkt it ook ls BAC meer n 90 is? Opgve 3 > www.mth4ll.nl > MAThADORE-siswiskune > 1/ HAVO/VWO > Oppervlkte vn riehoeken > Uitleg Bekijk met welke formule je e oppervlkte vn een riehoek kunt erekenen. Geruik e pplet. Mk innen e rehthoek op zije AB een ΔABC met sis AB = 10 en hoogte CD = 7. Is er mr één riehoek mogelijk? Heeft elk vn eze riehoeken ezelfe oppervlkte? Wrom? Bereken ie oppervlkte met e formule voor e oppervlkte vn een riehoek. Controleer vervolgens met het rooster in e pplet t het ntwoor orret is. Oefen it met een meeleerling. Mk een riehoek en lt e ner e oppervlkte erekenen. G n, t e formule ook gelt ls e sis en/of e hoogte vn e riehoek geen geheel getl zijn. Theorie en vooreelen Vooreel 1 STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA
Bereken e oppervlkte vn eze riehoekige plt stl. Voor e oppervlkte vn een riehoek gelt: oppervlkte(riehoek) = 1 sis hoogte Hier is e sis 1, 9 m en e hoogte 1, 3 m. Dus is e oppervlkte vn e riehoekige plt stl: 1 1,9 1,3 = 1,35 m. nme: Imges/Me4001.jpg file: Imges/Me4001.jpg Opgve 4 Bereken vn eze riehoeken e oppervlkte. nme: Imges/hv-me7-v11-t01.jpg file: Imges/hv-me7-v11-t01.jpg e Opgve 5 Teken in een ssenstelsel e punten A( 3, 3), B(, 3), C(3, ) en D(0, 3). Neem 1 m ls roostereenhei. Bereken e oppervlkte vn ΔABD met ehulp vn e oppervlkteformule. Wrom kun je e oppervlkte vn ΔACD niet ext met ehulp vn e oppervlkteformule erekenen? Bereken e exte oppervlkte vn ΔACD. Meet nu e lengte vn AC en meet e fstn vn punt D tot AC. Bereken met ie getllen e oppervlkte vn ΔACD. Wrom zijn e oppervlktes vn ΔACD ie je ij en ij e het gevonen niet preies hetzelfe? Vooreel > www.mth4ll.nl > MAThADORE-siswiskune > 1/ HAVO/VWO > Oppervlkte vn riehoeken > Vooreel Bekijk e pplet in it vooreel. STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 3
Hier zie je hoe e oppervlkte vn een riehoek e helft is vn e oppervlkte vn e rehthoek wrvn e lengte gelijk is n e sis en e reete gelijk is n e hoogte vn e riehoek: oppervlkte(riehoek) = 1 sis hoogte In e pplet zie je t zolng sis en hoogte niet verneren ook e oppervlkte vn e riehoek niet vernert. Je kunt us e vorm vn e riehoek verneren oor C evenwijig n e sis te vershuiven zoner e oppervlkte te verneren. Dit heet het prinipe vn Cvlieri. Het prinipe vn Cvlieri lijft gelen ook ls één vn e hoeken op e sis stomp wort. De hoogte is n een lijnstuk uiten e riehoek! Opgve 6 > www.mth4ll.nl > MAThADORE-siswiskune > 1/ HAVO/VWO > Oppervlkte vn riehoeken > Vooreel Bekijk e oppervlkte vn een riehoek met een vste sis en een vste hoogte. Geruik e pplet. Bereken e oppervlkte vn ΔABC met ehulp vn e oppervlkteformule. Mkt het uit wr je punt C op e zije vn e rehthoek pltst? Plts nu punt C op het verlenge vn e zije vn e rehthoek. Doe het zo t BD = 1. Lt nu met ehulp vn rehthoeken en hlve rehthoeken zien, t e oppervlkte vn ΔABC roor niet vernert. Lt zien t e oppervlkteformule ook gelt ls ΔABC rehthoekig is. Hoe zit het n met e hoogte vn e riehoek? Opgve 7 Bereken vn eze riehoeken e oppervlkte. nme: Imges/hv-me7-v-t01.jpg file: Imges/hv-me7-v-t01.jpg STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 4
Vooreel 3 Bekijk e pplet: Hoogte riehoek erekenen Je ziet hier ΔABC met AB = 5 eenheen. De oppervlkte vn eze riehoek is 7,5 oppervlkte-eenheen. Bereken e hoogte CD vn ΔABC. Voor e oppervlkte vn een riehoek gelt: oppervlkte(riehoek) = 1 sis hoogte Omt AB = 5 e sis, CD e hoogte en e oppervlkte 7,5 is, gelt: 7.5 = 1 5 CD Hier volgt: CD = 3 eenheen. nme: Imges/Me400.jpg file: Imges/Me400.jpg Opgve 8 Bekijk Vooreel 7 op pgin 5. Drin zie je hoe je ij een riehoek met een gegeven oppervlkte en zije e hoogte op ie zije erekent. Lt zien t e erekene hoogte CD iner 3 is. Neem n t AC = 3,5 en ereken hiermee e fstn vn B tot AC. Opgve 9 Vn een riehoek PQR is e hoogte op QR gelijk n 1 m en e oppervlkte is 60 m. Bereken e lengte vn QR. Verwerken Opgve 10 Hier zie je twee riehoeken. nme: Imges/hv-me7-p11-t01.jpg file: Imges/hv-me7-p11-t01.jpg Bereken vn eie riehoeken e oppervlkte. STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 5
Opgve 11 In een ssenstelsel zijn gegeven e punten A(0, ), B(3, ), C(, ) en D(, 4). Bereken e oppervlkte vn ΔABC. Bereken e oppervlkte vn ΔABD. Bereken e oppervlkte vn ΔACD. Opgve 1 De iguur hiernst estt uit twee riehoeken. De zijen n e onerknt en n e ovenknt vn e iguur lopen horizontl en e fmetingen rvn zijn in e iguur gegeven. Verer zijn e vertile fmetingen in m gegeven. Bereken vn e oppervlkte vn e totle iguur. nme: Imges/hv-me7-p13-t01.jpg file: Imges/hv-me7-p13-t01.jpg Opgve 13 Dit is een symmetrishe pijlpunt. Bereken vn e oppervlkte vn e pijlpunt. nme: Imges/hv-me7-p14-t01.jpg file: Imges/hv-me7-p14-t01.jpg Opgve 14 Je ziet hier een rehthoekige riehoek ABC. De fmetingen stn in e iguur. Bereken lengte vn lijnstuk AD. nme: Imges/hv-me7-v3-t01.jpg file: Imges/hv-me7-v3-t01.jpg Opgve 15 Vn een groot riehoekig klee zijn e zijen 310 m, 00 m en 180 m. Teken it klee op shl 1 : 50. STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 6
Bepl oor meten in e iguur e werkelijke hoogte op e lngste zije. Bereken e oppervlkte vn it riehoekige klee. Je kunt ook een nere hoogte opmeten en rmee e oppervlkte vn het riehoekige klee eplen. Lt zien, t je n ongeveer hetzelfe krijgt. Toepssen Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 16: Regelmtige vierzijige pirmie Vn een regelmtige vierzijige pirmie zijn lle rien 6 m. Hoeveel r is er noig voor een rmoel vn zo n pirmie? Hoeveel ergt e oppervlkte vn eze pirmie? Meet rtoe in een uitslg e hoogte vn e riehoekige grensvlkken. Opgve 17: Tetrëer Een tetrëer is een regelmtig viervlk. Neem n t lle rien 10 m lng zijn. Bereken e totle uitenoppervlkte vn it tetrëer. STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 7
Antwooren 1 7 6 1 7 1 1 6 1 1 6 5 = 0 1 m. Preies e helft vn e oppervlkte vn e rehthoek, us 1 m. Omt één zije preies e lengte vn e rehthoek er omheen is. Nee. e Dt kn wel. Je kunt e oppervlkte ijn 0 mken. Mk mr eens een riehoek met één hoekpunt in een hoekpunt vn e rehthoek en e nere twee met e hoekpunten vlk ij het hoekpunt vn e rehthoek t er preies tegenover ligt. Zie iguur. nme: Imges/hv-me7-e-t0.jpg file: Imges/hv-me7-e-t0.jpg A = 1 l J, zo n vereling kun je ltij mken, us e oppervlkte is ltij gelijk n ie vn e hlve rehthoek. 3 Nee, je kunt punt C nog verpltsen en zo riehoeken met nere hoeken mken. Omt e sis en e hoogte hetzelfe lijven heeft elk vn ie riehoeken iner ezelfe oppervlkte. opp(δabc) = 1 10 7 = 35 Doen. 4 opp(δabc) = 1 15 8 = 60 opp(δpqr) = 1 10,5 6 = 31,5 5 opp(δabd) = 1 5 6 = 15 m. Omt er nu geen sis en hoogte op roosterlijnen en tussen roosterpunten estn. opp(δacd) = 6 6 1 6 1 1 5 3 1 6 3 = 16,5 m. e AC 6,1 m en e fstn vn D tot AC is ongeveer 5,4 m. opp(δacd) 1 6,1 5,4 = 16,47 m. Bij e moet je eerst e sis en e hoogte opmeten en t is onnuwkeurig. 6 opp(δabd) = 1 5 4 = 0. Wr je punt C op e zije vn e groene rehthoek pltst, mkt niet uit. Mk eventueel een eigen shets. De oppervlkte vn ΔABC krijg je nu oor vn een rehthoek vn 6 ij 4 een hlve rehthoek vn 6 ij 4 en een hlve rehthoek vn 1 ij 4 f te trekken. En n kom je weer op een oppervlkte vn 0. Zet punt C in een hoekpunt vn e rehthoek. De zije BC telt n ls hoogte vn e riehoek. G n t e oppervlkte ook n 0 is. STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 8
7 opp(δklm) = 1 5 4,5 = 11,5 opp(δabc) = 1 8 7 = 8 8 Uit 7,5 = 1 5 CD volgt 5 CD = 15 en us CD = 3. BE is het lijnstuk vnuit B looreht op AC. Dit lijnstuk stelt e gevrge fstn voor en is ook een hoogte vn e riehoek. Dus is 7,5 = 1 3,5 BE volgt 3,5 BE = 15 en us BE = 15/3,5 = 30 7. 9 Uit 60 = 1 QR 1 volgt QR = 10. 10 opp(δabc) = 1 6,5 4 = 13 opp(δklm) = 1 4,5 7, = 16, 11 opp(δabc) = 1 3 4 = 6 roosterhokjes. 1 opp(δabc) = 1 3 6 = 9 roosterhokjes. o(δacd) = 4 6 1 4 1 4 1 6 = 10 roosterhokjes. 1 4, 3,8 + 1 1,,8 = 9,66 m. 13 1,1,8 = 5,88 m. 14 AD is e hoogte op sis AC. Omt e oppervlkte vn eze riehoek gelijk is n 1 5 1 = 30, gelt ook: 1 13 AD = 30. En us is AD = 60 13. 15 Teken met je psser een riehoek met zijen vn 6, m, 4 m en 3,6 m. In e iguur wort it ongeveer,1 m. De werkelijke hoogte is us 105 m. Ongeveer 1 310 105 = 1675 m. Bijvooreel is e hoogte op e zije vn 00 m ongeveer 160 m. De oppervlkte wort n ongeveer 1 00 160 = 16000 m. Je ziet t het vershil toh nog ehoorlijk groot is, t liht n e tekening op shl. 16 8 6 = 48 m r. Mk eerst met ehulp vn je psser een uitslg. De hoogte vn elke riehoek wort ongeveer 5, m. De totle oppervlkte (inlusief gronvlk) is us ongeveer 6 6 + 4 1 6 5, = 98,4 m. 17 Mk eventueel eerst een tekening vn (een uitslg vn) het tetrëer, hij estt uit vier gelijkzijige riehoeken. De totle oppervlkte is ongeveer 4 1 10 8,7 = 174 m. STICHTING MATH4ALL 8 AUGUSTUS 01 PAGINA 9