Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm
Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de ijehorende grafiek. Je mag de GRM hierij geruiken. Y f ( x) x X f ( x) x Y X f ( x) x Y X
Y f( x) 1 x X Y f ( x) x X Welke van deze functies kun je (lijn)spiegelen in de Y-as?...................................................................... Welke functies kun je puntspiegelen in de oorsprong?...................................................................... Even en oneven functies Definitie - Een functie heet een even functie als de grafiek in de Y-as gespiegeld kan worden. - Een functie heet een oneven functie als de grafiek in de oorsprong ge(punt)spiegeld kan worden.
TIP: Als je een figuur gaat puntspiegelen in een punt dan is dat hetzelfde als dat je de figuur 180 o draait om het spiegelpunt. Oefening 1 a Ga na of c Is En f ( x) x een even of oneven functie is. f ( x) 5x 10x een even of oneven functie? f ( x) 5x 10x 5? x 1 d Ga na of f( x) even / oneven / geen van eide is. x e Ga na of f ( x) 10 x misschien een even of oneven functie is. f Ga na of f ( x) x 5x even / oneven / geen van eide is. Misschien is het je al opgevallen; als je alleen naar de grafiek kijkt dan neem je ij sommige functies snel de verkeerde eslissing. Je kunt echter ook het functievoorschrift geruiken om te eslissen of een functie misschien even of oneven is. Als vooreeld kijken we naar de functie f( x) x Dit is een even functie, je kunt de grafiek immers spiegelen in de Y-as. Als we alleen naar het functievoorschrift kijken dan valt op dat als je.v. x = neemt dat daar hetzelfde uitkomt als wanneer je x = neemt: f () 7 en f ( ) ( ) 7 Om zeker te weten dat dit ij alle mogelijke waarden voor x klopt doen we het volgende: Neem een getal a, Bereken de functiewaarde die ij deze a hoort, dus f ( a ) erekenen, Doe dit ook voor a, dus f ( a) erekenen, Zijn de uitkomsten hetzelfde dan is f ( x ) een even functie. Vooreeeld f a ( ) a f x ( ) x f( a) ( a) a Uitkomst is hetzelfde dus f ( x ) is een even functie. Oefening Geruik nu de f ( a ) / f ( a) methode toe voor de functies uit oefening 1 Definitie Bij een even functie is f ( a) f( a)
Of een functie oneven is kun je ook algeraïsch controleren. Als je in een oneven functie een x-waarde uitrekent en je doet dat ook met de tegengestelde x-waarde dan moet er steeds het tegengestelde uitkomen. Vooreeld: f ( x) x f () 8 en f ( ) ( ) 8 dus f() f( ) of f (10) 10 1000 en f ( 10) ( 10) 1000 dus f(10) f( 10) en ook f ( a) a en f ( a) ( a) a dus f ( a) f( a) Definitie Bij een oneven functie is f ( a) f( a) Oefening Controleer alle functies uit oefening 1 of ze oneven zijn of niet. LET OP Het stappenplan om algeraïsch na te gaan of een functie even / oneven is of niet is dus als volgt: Oefening 4 Ga van de volgende functies na of we even, oneven of geen van eide zijn: a f ( x) x x x f( x) x c f( x) x 5 d f( x) x 5 x
Transformaties Een transformatie in de wiskunde is een verandering van de functie / grafiek. We ehandelen enkele eenvoudige transformaties. Verticale verschuiving Plot de grafiek van f ( x) x met de GRM. Stel het venster zo in dat 10 X 10 en 100 Y 100 Ga nu met de cursor vlak in de uurt van de top van de paraool staan. De cursor verandert in een pijltjeskruis. Je kunt nu de grafiek oppakken en verplaatsen. Verplaats de grafiek ALLEEN naar oven of naar eneden en kijk goed hoe het functievoorschrift verandert. Schrijf je oservatie hieronder op: Als de grafiek naar oven dan:............................................................ Als de grafiek naar eneden gaat dan:..................................................................................................
Regel: Als de grafiek van f ( x ) verticaal verplaatst wordt over c eenheden naar oven dan is het functievoorschrift gxvan ( ) de eeldgrafiek gx ( ) f( x) c (als je dus naar eneden schuift is de waarde van c dus negatief!) Oefening 5 Geef steeds het functievoorschrift van de eeldfunctie gx: ( ) a c d e f g De grafiek van De grafiek van De grafiek van De grafiek van De grafiek van De grafiek van De grafiek van f ( x) f x x wordt eenheden naar oven geschoven. ( ) x 10 wordt 5 eenheden naar oven geschoven. f ( x) 10 x wordt eenheden naar oven geschoven. f ( x) x 5x wordt 5 eenheden naar eneden geschoven. f( x) x 5x wordt eenheden naar eneden geschoven. f( x) x 5x wordt eenheden naar eneden geschoven. f( x) wordt 1 eenheden naar oven geschoven. x 4
Horizontale verschuiving Een grafiek van een functie kun je ook horizontaal verschuiven. Plot de grafiek van f ( x) x met de GRM. Stel het venster zo in dat 5 X 5 en 100 Y 100 Ga nu met de cursor vlak in de uurt van de top van de paraool staan. De cursor verandert in een pijltjeskruis. Je kunt nu de grafiek oppakken en verplaatsen. Verplaats de grafiek ALLEEN naar links of naar rechts en kijk goed hoe het functievoorschrift verandert. Schrijf je oservatie hieronder op: Als de grafiek naar rechts gaat dan:............................................................ Als de grafiek naar links gaat dan:..................................................................................................
Regel: Als de grafiek van f ( x ) horizontaal verplaatst wordt over c eenheden naar rechts dan is het functievoorschrift gxvan ( ) de eeldgrafiek gx ( ) f( x c) (als je naar links schuift is het functievoorschrift van de eeldgrafiek dus gx ( ) f( x c) ) Vuistregel: Bij horizontaal verschuiven vervang je x door x c ij schuiven naar rechts En ij schuiven naar links vervang je x door x+c. Vooreeld Gegeven f x x x ( ) 4 1 Gevraagd Het functievoorschrift van de eeldgrafiek als de grafiek van f ( x ) horizontaal eenheden naar rechts verschoven wordt. Oplossing: eenheden naar rechts etekent x vervangen door x Dus wordt gx ( ) ( x ) 4( x ) 1 Uitwerken geeft gx x x x x x ( ) 6 9 4 1 1 Oefening 6 Geef steeds het functievoorschrift van de eeldfunctie gx: ( ) (je hoeft de uitkomst nog niet te vereenvoudigen) a c d e f De grafiek van f ( x) x wordt eenheden naar rechts geschoven. De grafiek van f( x) x 10 wordt eenheden naar links geschoven. De grafiek van f ( x) 10 x wordt eenheden naar links geschoven. De grafiek van f ( x) x 5x wordt 5 eenheden naar rechts geschoven. De grafiek van f( x) x 5x wordt eenheden naar rechts geschoven. De grafiek van f( x) wordt 1 eenheden naar rechts geschoven. x 4 Hier WEL vereenvoudigen!! Eigenschap: Als je een grafiek ij een functie verschuift, horizontaal of verticaal, dan verandert de vorm van de grafiek niet.
Verticale vermenigvuldiging Je kunt een grafiek van een functie ook vermenigvuldigen. We kijken naar een vermenigvuldiging ten opzichte van de X-as. De hoogte (de functiewaarde) van de grafiek wordt telkens met een epaald getal vermenigvuldigd. Bij grafiek van f(x) hiernaast staan 7 stippellijntjes. De lengte van de lijntjes is de Y-waarde (= functiewaarde) van de grafiek op dat punt. Als de grafiek met vermenigvuldigd wordt ten opzichte van de Y-as dan worden de lijnstukjes allemaal drie keer zo groot om de eeldgrafiek g(x) te krijgen. Maak alle lijnstukjes drie keer zo groot en teken de eeldgrafiek g(x) zo goed mogelijk. Hiernaast staat een andere grafiek. De eeldgrafiek is ontstaan door de grafiek hiernaast vertikaal met te vermenigvuldigen. Teken (construeer) de eeldgrafiek.
Je het nu grafisch vermenigvuldigd. We kunnen de zaak ook weer algeraïsch ekijken. Als je de grafiek verticaal vermenigvuldigd met een factor c dan wordt het functievoorschrift van de eeldfunctie dus ook met c vermenigvuldigd. Regel: Als de grafiek van f ( x ) verticaal vermenigvuldigd wordt met een factor c dan is het functievoorschrift gxvan ( ) de eeldgrafiek gx ( ) c f( x) Vooreeld: Geef het functievoorschrift van de eeldfunctie g(x) als vermenigvuldigd wordt. f ( x) x x verticaal met factor Oplossing: g( x) f( x) (x x) 6x 4x Oefening 7 Geef steeds het functievoorschrift van de eeldfunctie g(x): a f ( x) x wordt verticaal vermenigvuldigd met 4, vermenigvuldig x 1 f ( x) 5x 10x in de Y-richting met factor c f( x) wordt t.o.v. de X-as met 4 vermenigvuldigd x d f ( x) 10 x verticaal vermenigvuldigen met factor 10. Oefening 8 Gegeven is f ( x) x a geef het functievoorschrift g(x) van de eeldgrafiek als de grafiek van f ( x ) vier eenheden naar rechts geschoven wordt. geef het functievoorschrift h(x) van de eeldgrafiek als de grafiek van gx ( ) drie eenheden naar eneden geschoven wordt. c Geef het functievoorschrift k(x) van de eeldgrafiek als de grafiek van h(x) met factor ten opzichte van de X-as vermenigvuldigd wordt. d Plot de grafieken van f(x), g(x), h(x) en k(x) en maak een schets. e Wat kun je zeggen over de vorm van een grafiek ij verschuiven? En ij vermenigvuldigen? f Wat kun je zeggen over de plaats van de nulpunten ij verticaal vermenigvuldigen?
Horizontale vermenigvuldiging Bij het horizontaal vermenigvuldigen van een grafiek wordt niet de afstand tot de X-as vermenigvuldigd maar de afstand tot de Y-as. Hieronder staat de grafiek van een functie f(x). Vermenigvuldig de grafiek van f(x) horizontaal (ten opzichte van de Y-as) met factor Vermenigvuldig de grafiek hieronder horizontaal met factor
Als we weer algeraïsch gaan vermenigvuldigen geldt voor horizontaal vermenigvuldigen de volgende regel: Als de grafiek van f ( x ) horizontaal vermenigvuldigd wordt met een factor c dan is x het functievoorschrift gxvan ( ) de eeldgrafiek gx ( ) f c Vooreeld: Geef het functievoorschrift van de eeldfunctie g(x) als factor vermenigvuldigd wordt. f ( x) x x horizontaal met Oplossing: x x x 1 1 gx ( ) f ( x) ( x) 4 x x Oefening 9 Geef steeds het functievoorschrift van de eeldfunctie g(x): a f ( x) x wordt horizontaal vermenigvuldigd met, c vermenigvuldig f ( x) 4 f ( x) 5x 10x in de X-richting met factor x wordt t.o.v. de X-as met 4 vermenigvuldigd d f ( x) 10 x horizontaal vermenigvuldigen met factor 10. Oefening 10 Gegeven is de functie a f x ( ) x 4 Maak een schets van de (standaard)grafiek van y x Maak nu een schets van de grafiek van f(x), zonder de GRM te geruiken. Oefening 11 Gegeven zijn de functies f ( x) x 8x, gx ( ) x 4x, hx ( ) x 4x 4en kx ( ) ( x ) 4( x ) 4 a Leg uit welke transformaties steeds zijn toegepast ij de pijltjes: f ( x) g( x) h( x) k( x) Plot en schets de grafieken van de functies met de GRM. c De grafiek van k(x) lijkt erg op de grafiek van een standaardfunctie, welke? d Herleid k(x). oefening 1 We gaan uit van de standaardgrafiek y x. a Maak een schets van de standaardgrafiek. vermenigvuldig de standaardgrafiek verticaal (= t.o.v. X-as) met 1 en geef het ijehorende functievoorschrift k(x) c vermenigvuldig k(x) horizontaal met 1 en geef het ijehorende functievoorschrift l(x) d Vermenigvuldig l(x) verticaal met 1 en geef het ijehorende functievoorschrift m(x)
Asolute waarde Plot de functie f ( x) 0,5x met de GRM. Maak hiernaast een schets. (denk aan de vensterinstellingen) Maak het scherm leeg en plot nu de functie gx ( ) 0,5x De rechte strepen ( asoluut-strepen ) zijn in te voeren door de format - toets, naast de 9, te geruiken. Maak ook weer hiernaast een schets. Wat is de invloed van de asoluutstrepen?........................................................................................................................................................ Gegeven is de functie hx ( ) x Schets hiernaast de grafiek van de functie ix ( ) x zonder de rekenmachine te geruiken. Controleer je antwoord met de GRM.
oefening 1 Gegeven is de functie a f ( x) x 4x en gx ( ) f( x) Plot en schets de grafiek van f(x). Schets nu, zonder de GRM te geruiken, de grafiek van g(x). oefening 14 1 a Schets de grafiek van f( x) zonder de GRM te geruiken. x controleer je antwoord m..v. de GRM. oefening 15 a Plot de grafiek van f ( x) sin( x) Stel het venster in met,5 X,5 en 1,5 Y 1,5 Zorg ervoor dat de GRM ingesteld staat op graden en niet op radialen. Maak een schets. Maak in dezelfde figuur met kleur een schets van gx ( ) sin( x) oefening 16 a Leg uit waarom f x ( ) x 4 gelijk is aan Is f( x) x 4 ook gelijk aan gx Waarom? gx ( ) x 4? ( ) x 4
Stijgen en dalen Het gedrag van een functie kun je eschrijven in termen van stijgen en dalen. Het is in vele gevallen elangrijk om te weten hoe een grafiek ij een functie verloopt. Denk maar aan de winst van een onderneming of de groei van ziektekiemen, het verloop van evolkingsaantallen, etc. We onderscheiden de volgende gevallen: Grafiek / functie is constant Grafiek/functie neemt gelijkmatig toe of af (lineaire daling / stijging) Grafiek / functie neemt steeds meer of minder toe of af (afnemende of toenemende daling / afnemende of toenemende stijging) Geef hiernaast ij elk vooreeld aan om wat voor soort stijging / daling het gaat.
Met deze enamingen kun je nu het verloop van een grafiek eschrijven. De grafiek hiernaast is eerst constant(i), dan is er een toenemende stijging(ii) gevolgd door een afnemende stijging(iii) en dan weer een toenemende daling(iv) gevolgd door een afnemende daling(v) waarna de grafiek weer toenemend stijgt(vi) en tenslotte een constante stijging(vii). Geef nu in de figuur hieroven aan welke geieden edoeld worden. Oefening 17 a Plot de grafiek van f( x) x 4x x 10. Maak een schets. Beschrijf zoals in het vooreeld hiervoor het verloop van de grafiek. Oefening 18 a Plot de grafiek van f( x) x 9 Beschrijf het verloop van de grafiek Oefening 19 a Maak een schets van de grafiek van f ( x) 0,5x 5x Beschrijf het verloop van de grafiek c Wat geeurt er precies tussen de stijging en de daling?
Hellingen We heen gezien dat de stijging of daling van een grafiek elangrijk kan zijn. Tot nu toe heen we gekeken hoe een grafiek stijgt of daalt. Nu gaan we kijken hoeveel een grafiek stijgt of daalt. Dit doen we aan de hand van een vooreeld. Iemand maakt een rit van uur met de auto. Er wordt een grafiek gemaakt van de afgelegde afstand tijdens de rit van uren. Dat geeft de volgende grafiek: Beantwoord nu de volgende vragen: De rit duurde twee uren. Welke afstand werd er afgelegd? Bereken de gemiddelde snelheid over de hele rit. Wat was de gemiddelde snelheid in het eerste uur? Wat was de gemiddelde snelheid in het eerste halfuur? Waar werd sneller gereden, in het eerste halfuur of in het laatste halfuur? Hoe zie je dat aan de grafiek?
We kijken nu naar een klein deel van de grafiek. Het deel tussen Tijd = 1,5 uur en Tijd = uur. De gemiddelde snelheid tussen 1,6 uur en 1,9 uur: De helling van de lijn is hier ongeveer 64 De gemiddelde snelheid tussen 1,7 uur en 1,9 uur: De helling van de lijn is hier ongeveer 54 De gemiddelde snelheid tussen 1,8 uur en 1,9 uur De helling van de lijn is hier ongeveer 41 De snelheid op T = 1,9 uur. De helling van de (raak)lijn is hier ongeveer 7 Teken de raaklijn aan de grafiek (op de vorige ladzij) op Tijd = 0,5 Uur. Teken ook de raaklijn aan de grafiek op Tijd = 1,5 Uur. Wat heen de twee raaklijnen te maken met de snelheid van de auto?
Bij een tijd-afstandsgrafiek is de snelheid gelijk aan de helling van de grafiek. Je kunt de snelheid erekenen door de helling van de raaklijn te erekenen. Met de GRM Plot de grafiek van de functie f ( x) 150x 50x Vensterinstellingen : 0,1 < X < 10 < Y < 50 Druk op de MENU knop, Kies 7: Punten en lijnen Kies : Punt op Klik vervolgens op de grafiek van f(x) en dan nogmaals ergens op de grafiek. Je het nu een punt gemaakt dat altijd op de grafiek ligt. Druk op de MENU knop, Kies 7: Punten en lijnen Kies : Raaklijn
Klik op het punt dat je hiervoor op de grafiek gemaakt het. Er wordt een raaklijn aan de grafiek getekend. Om nu de helling van de raaklijn te erekenen gaan we als volgt te werk: Druk op de knop MENU, Kies 8:Meting, Kies :Helling Klik op de raaklijn die je hiervoor gemaakt het. En klik nu op de plaats waar je het getal (de helling) op het scherm wilt heen. Druk nu op de esc knop om het punt met raaklijn op de grafiek te verplaatsen en je zult zien dat de erekende helling mee verandert. Op welke tijd was de snelheid het hoogst?............................................................................ Hoeveel km hadden ze toen afgelegd?............................................................................
De grafiek van de helling. In het voorgaande he je gezien dat de helling van een grafiek een interessant gegeven kan zijn. We gaan nu wat dieper in op de helling van een willekeurige grafiek. Plot de grafiek van f ( x) x Neem als vensterinstellingen: 10 < x < 10 en 10 < y < 110 Maak weer een punt op de grafiek waarin je de raaklijn tekent. Laat de GRM de helling van de raaklijn erekenen. Het handigste is het wanneer je de coördinaten van het punt en de ijehorende helling ergens midden op het scherm zet. Als je nu het punt over de grafiek eweegt dan kun je de coördinaten aflezen en ook de ijehorende helling. Vul nu de onderstaande tael in. Proeer de x-waarden zo nauwkeurig mogelijk in te stellen voordat je de y-waarde en de helling invult. x-waarde 4 1 0 1 4 y-waarde helling van de grafiek Om te zien of er een verand estaat tussen de helling van de grafiek van f ( x) x en de ijehorende x-waarde moet je de grafiek van de helling tekenen in het assenstelsel op de volgende ladzij. De grafiek van van f(x) is ook alvast getekend.
Beantwoord de volgende vragen: Geef de formule die hoort ij de grafiek van de helling (de hellingsgrafiek)............................................................................ f(x) is een kwadratische functie, de grafiek is een paraool. Wat voor soort grafiek is de hellingsgrafiek?............................................................................ Wat voor soort functie hoort ij de hellingsgrafiek?............................................................................ Als de grafiek van f(x) daalt (links van de Y-as) wat is er dan met de hellingsgrafiek aan de hand?............................................................................ En als de grafiek van f(x) stijgt?............................................................................
Oefening 0 Plot de grafiek van gx ( ) x En doe hetzelfde als we met de grafiek van f ( x) x gedaan heen. Vul onderstaande tael in en teken in onderstaand assenstelsel weer de hellingsgrafiek. Beantwoord ook weer de vragen. x-waarde 4 1 0 1 4 y-waarde helling van de grafiek Geef de formule die hoort ij de grafiek van de helling (de hellingsgrafiek)............................................................................ g(x) is een derde machtsfunctie. Wat voor soort grafiek is de hellingsgrafiek? Wat voor soort functie hoort ij de hellingsgrafiek?............................................................................ De grafiek van g(x) stijgt alleen maar. Hoe zie je dit terug in de hellingsgrafiek?............................................................................
Uit het voorgaande lijkt dat er een verand estaat tussen de grafiek en zijn helling. Het tekenen van de hellingsgrafiek laat dit verand zien. De TI-nspire kan ij elke grafiek de grafiek van de helling zelf tekenen. De manier is eigenlijk eenvoudig: Vul in het formule-invoer-veld de functie in waarvan je de hellingsfunctie wilt plotten. We nemen nu als vooreeld de functie gx ( ) x Stel het venster in op 5 < X < 5 en 70 < Y < 70 d dx Voer vervolgens in f()= x f1 () x Hierij moet je de t toets geruiken. De TI tekent meteen de hellingsgrafiek: Wil je nu de hellingsgrafiek van ijvooreeld f( x) 5x 15x 0plotten dan hoef je alleen f1(x) aan te passen: Oefening 1 Plot nu de hellingsgrafiek van gx ( ) 5x 15x 0. Proeer de verschillen en overeenkomsten met de hellingsgrafiek van f(x) hieroven te verklaren.
Oefening In de volgende afeeldingen staat steeds de grafiek van een functie. Maak telkens een schets van de hellingsfunctie.
Oefening Hieronder zijn een paar grafieken getekend van de hellingsfunctie. Maak een schets in elk assenstelsel van de functie zelf.
Oefening 4 Geef in de grafieken van oefening steeds aan waar de helling 0 is en waar de helling het grootst is.
Differentiëren We heen gezien dat de hellingsfunctie altijd één graad lager is dan de originele functie. Als f ( x) x dan was de hellingsfunctie (meestal afgeleide functie of afgeleide genoemd) gelijk aan x. We noteren de hellingsfunctie of afgeleide functie als f (x). Dus als f ( x) x dan is f '( x) x Verder heen we hiervoor ook al gezien dan als f ( x) x dat f '( x) x Als je te maken het met machtsfuncties dan kun je heel makkelijk, zonder GRM, de hellingsfunctie epalen. Regel voor het epalen van de afgeleide functie: n n 1 Als f ( x) x dan is f '( x) n x Vooreeld : f ( x) 8 x dan is f '( x) 8 x 8x 8 1 7 Oefening 5 Bepaal van de onderstaande functies de afgeleide functie: 4 a f ( x) x c gx ( ) x 10 hx ( ) x x 5 8 We reiden de ovenstaande regel een eetje uit: n als f ( x) c x dan is f '( x) c n x n 1 Vooreeld: f ( x) 5 x dan is f '( x) 5 x 15x 1 Oefening 6 Bepaal de afgeleide functie van onderstaande functies: a f ( x) 4x d f ( x) 4x c f ( x) 15 f ( x) 10 x e x f f ( x) x 4x f x 4 5 ( ) 7x 5
Raaklijnen Met de rekenmachine is het vrij makkelijk om een raaklijn aan een grafiek te tekenen en de vergelijking van de raaklijn te vinden. Zonder GRM is dit ook niet zo moeilijk. Je het een formule nodig en de helling van de grafiek. Vooreeld: Uitwerking: Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f ( x) 4x x in het punt met x = 1 Eerst de helling van f(x) in x = 1 epalen met de hellingsfunctie. Hellingsfunctie: f '( x) 4 x x 1x x Bij x = 1 is de helling f '(1) 4 1 1 10 En ij x = 1 is de functiewaarde: f (1) 4 1 1 En de vergelijking van de raaklijn wordt nu: y 10 ( x 1) Herleiden: y 10x 10 en dus y 10x 7 De algemene wiskundige regel: De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in het punt met x = a is: y f '( a) ( x a) f( a) Oefening 7 Gegeven is de functie f ( x) x a Bepaal, zonder geruik te maken van de GRM, de vergelijking van de raaklijn ij x = 1 Controleer met de GRM of het antwoord dat je ij a gegeven het juist is. Oefening 8 x 1 Gegeven is de functie gx ( ) x 1 a Bepaal met de GRM de helling van de grafiek van g(x) ij x = 4 Bepaal de vergelijking van de raaklijn zonder geruik te maken van de GRM. Oefening 9 4 Gegeven is hx ( ) 0,5x 4x a Bepaal het functievoorschrift van de afgeleide functie. Bereken de helling van h(x) ij x =. Daalt of stijgt de grafiek ij x =? En ij x = 1? c Bereken ook de helling van h(x) ij x =. Daalt of stijgt h(x) hier?
Oefening 0 Gegeven is de functie f ( x) x 4x a Bepaal f (x) Welke helling heeft de grafiek van f(x) als je precies in de top van de grafiek kijkt? c Voor welke waarde van x is f (x) = 0? d Bereken de coördinaten van de top van f(x). e Controleer je antwoord met de GRM.
Periodieke grafieken. Periodieke grafieken zijn grafieken die zich na verloop van tijd herhalen. Je kunt hierij ijvooreeld denken aan de hoogte van het water ij getijde ewegingen, of aan het hartritme ij een ECG, of aan de hoogte van een gondeltje in een reuzenrad etc. Een paar afspraken Bij periodieke grafieken maken we geruik van een paar specifieke uitdrukkingen: Periode De tijd die nodig is voor één complete eweging. Hierna egint de grafiek weer opnieuw. Evenwichtsstand De horizontale lijn die het gemiddelde weergeeft. Amplitude De grootste afwijking van de grafiek ten opzichte van de evenwichtsstand. De figuur hieronder maakt e.e.a. duidelijk. Oefening Geef ij elk van de onderstaande grafieken aan of het een periodieke grafiek is of niet en zo ja, geef dan ook de evenwichtsstand, amplitude en de periode.
Sinusoïden Bij heel veel periodieke grafieken hoort een functievoorschrift waarin een sunus voorkomt. Je kent de sinus al uit de rechthoekige driehoeken. Daar was de sinus de verhouding tussen de overstaande zijde en de schuine zijde van de driehoek. We gaan er hier niet verder op in maar je kunt de sinus ook als functie opvatten. De variaele (meestal de x-waarde) stelt hier dan een hoek voor. Oefening 4 Plot op je rekenmachine de functie f(x) = sin(x) Zorg ervoor dat de rekenmachine op graden ingesteld staat: HOME scherm 5: Instellingen en status Neem de vensterinstellingen: 60 < x < 60 en < y < De sinus-functie vindt je onder de trig -knop. N.B. Het kan zijn dat je de instelling op graden ook moet doen ij Grafieken en meetkunde instellingen. Als alles gelukt is moet je de grafiek zoals hiernaast op het scherm heen staan. Geef nu de evenwichtsstand, amplitude en periode van de grafiek. Oefening 5 Geef het functievoorschrift g(x) van de eeldgrafiek als de grafiek van f(x) één eenheid naar oven geschoven wordt. Controleer je antwoord door de grafiek van g(x) ij de grafiek van de vorige opdracht te plotten. Oefening 6 Pas het functievoorschrift van g(x) nu aan voor het geval de grafiek van f(x) één eenheid naar eneden geschoven wordt.
Oefening 7 Wis het functievoorschrift g(x). Geef nu het functievoorschrift voor de nieuwe grafiek van g(x) die ontstaan is door de grafiek van f(x) verticaal met te vermenigvuldigen. Plot ook nu weer de grafiek van g(x) ter controle. Oefening 8 Wis het functievoorschrift g(x) weer. Geef het functievoorschrift voor de grafiek van g(x) die ontstaat als de grafiek van f(x) over 90 eenheden naar rechts geschoven wordt. Weer met de GRM controleren! Oefening 9 Wis het functievoorschrift g(x) weer. Geef het functievoorschrift voor de grafiek van g(x) die ontstaat als de grafiek van f(x) horizontaal met factor 0,5 vermenigvuldigd wordt. Weer met de GRM controleren! Algemene formule voor sinusoïden Uit de voorgaande opdrachten kun je, met enige moeite, een algemene vorm terugvinden voor alle sinusoïden. Alle functies die de typische sinusvorm heen kun je schrijven in de vorm: f ( x) a sin( cx d) Waarij we uitgegaan zijn van de standaardgrafiek van de sinus en a,, c en d getallen zijn die nog ingevuld moeten worden. De etekenis van de getallen is als volgt: a de horizontale verschuiving ten opzichte van de standaardgrafiek de amplitude (standaardgrafiek heeft amplitude =1) c is de frequentie en heeft te maken met de verticale vermenigvuldigingsfactor d de horizontale verplaatsing ten opzichte van de standaardgrafiek. Om de waarde van c te erekenen geruik je: 60 c periode
Vooreeld: Gegeven is de volgende grafiek Gevraagd is het ijehorende functievoorschrift. Oplossing: De evenwichtsstand ligt ij y = 1 dus a = 1 De amplitude is dus = 60 De periode is 180 (twee complete ewegingen op 60) dus c 180 De grafiek egint ij x = 0 met naar oven gaan naar een top dus geen horizontale verschuiving en dus d = 0 Het functievoorschrift is dus: f ( x) 1 sin( x)
Oefening 40 Hieronder staan vijf grafieken van sinusoïden. Geef ij elke grafiek een passend functievoorschrift.
Oefening 41 Hieronder staat de grafiek getekend van de functie f ( x) sin( x) Er zijn perioden getekend van f(x) Schets in dezelfde figuur de grafieken van gx ( ) sin( x), hx ( ) sin( x) en ix ( ) sin( x) Geef duidelijk aan welke functie je geschetst het. f ( x) sin( x)
Gemengde oefeningen 1 Hieronder staan grafieken. Geef steeds aan of de ijehorende functies even, oneven of geen van eide zijn. Schets hieronder in de assenstelsels achtereenvolgens de grafiek van een even functie, een oneven functie en een functie die geen van eide is (eigen inreng, niet de functies van de vorige opdracht!) Gegeven is de functie f ( x) x 96x a Ga met een erekening na of f(x) even, oneven of geen van eide is. Bereken de snijpunten met de Y-as c Bereken de snijpunten met de X-as. d Maak een tael en teken de grafiek. e Geef het domein van f(x) f Bepaal f (x) g Bereken voor welke x er geldt f (x)=0 h Geef de coördinaten van de toppen van f(x). 4 Gegeven is de functie gx ( ) 4x 6xen het punt P(1, ) a Laat zien dat het punt P op de grafiek van g(x) ligt. Bereken de helling van de grafiek in dit punt (met de GRM of anders). c Geef de vergelijking van de raaklijn in P aan de grafiek.
5 Gegeven is de functie f( x) 4x 6 Geef steeds het functievoorschrift g(x) van de eeldgrafiek als: a de grafiek van f(x) over eenheden naar oven geschoven wordt. de grafiek van f(x) over eenheden naar links geschoven wordt. c de grafiek van f(x) verticaal met vermenigvuldigd wordt. d de grafiek van f(x) horizontaal met 4 vermenigvuldigd wordt. e de grafiek van f(x) eerst 4 eenheden naar rechts geschoven wordt en dan verticaal met vermenigvuldigd wordt. f de grafiek van f(x) eerst verticaal met vermenigvuldigd wordt en daarna 4 eenheden naar rechts geschoven wordt. 6 Een productiemaatschappij maakt CD s en rekent een prijs per CD die afhankelijk is van het te leveren aantal. Het verand wordt gegeven door: p 0,00q 16,5 Hierin is p de verkoopprijs per CD en q het aantal CD s. De productiekosten K van één CD (in euro s) hangen af van het aantal CD s dat gemaakt wordt. Dit verand wordt gegeven door de formule: 4500 K 0, 5 q a Bereken de winst per CD ij q = 5000. Hoe groot is dan de totale winst? 4500 Leg uit dat je met de formule W 0,00q 16,00 direct de winst q uit kunt rekenen ij elk aantal geproduceerde CD s. c Hoe groot is de maximale winst per CD? d Schets in één figuur de grafieken van p, K en W. e Geef in je tekening aan hoe je het antwoord van opdracht c) zowel in de grafieken van p en K als in de grafiek van W kunt terugvinden. f De formule voor de totale winst is TW 0, 00q 16, 00q 4500. Is de totale winst ook maximaal als de winst per CD maximaal is? Licht je antwoord toe. 7 4 Gegeven is de functie hx ( ) x 1,5x x a Plot en schets de grafiek van h(x) waarij 1,5 < x <,5 Geef in de schets nauwkeurig aan waar de grafiek toenemend stijgend, afnemend stijgend, toenemend dalend, afnemend dalend of constant is.
8 Van een product is de oprengst TO gegeven door de formule TO 48q 0, 006q waarij q het aantal verkochte artikelen is en TO de totale oprengst in euro s. a c d e f Plot de grafiek van TO. Vensterinstellingen opschrijven. Voor welke waarden (ongeveer) van q is de ovenstaande formule zinvol? Bereken de oprengst ij 000 producten. Bereken de extra oprengst als de productie toeneemt van 000 tot 001 stuks. Bepaal de helling van de grafiek ij q = 000. Wat valt op? Bij welke aantallen geproduceerde artikelen is de extra oprengst minder dan 5 euro? 9 Een vuurpijl wordt afgeschoten. De aan van de pijl wordt door de volgende functie eschreven: h t 7.5t Waarin h de hoogte is waarop de vuurpijl zich evindt na t seconden. a c d Plot en schets de grafiek van de hoogte. Na hoeveel seconden komt de vuurpijl weer op de grond? Wat is de maximale hoogte van de vuurpijl? Na hoeveel seconden is de snelheid van de vuurpijl het grootst? 10 Gegeven zijn de functies f( x) x 10x 7 en gx ( ) x x a Bereken (zonder GRM) de nulpunten van f(x). Bereken (zonder GRM) de coördinaten van de top van f(x). c Doe hetzelfde voor g(x) d Welke translatie(s) moet je toepassen op de grafiek van f(x) om de grafiek van g(x) als eeld te krijgen? 11 x 18 Gegeven is de functie f( x) x 5 a Bereken de snijpunten van de grafiek met de assen (dus zonder GRM). Geef de vergelijking van de horizontale asymptoot. c Geef ook de vergelijking van de verticale asymptoot. d Maak een tael en teken de grafiek.
1 Een epaalde tropische koorts veroorzaakt een kortdurende verandering van de lichaamstemperatuur van de patiënt. Het verloop van de lichaamstemperatuur wordt eschreven door de volgende formule: T 7 0, (5 d) d Hierij is T de temperatuur in C en d het aantal uren dat de patiënt ziek is. Als de patiënt weer een temperatuur heeft van 7 C is de koortsaanval voorij, daarna geldt de formule ook niet meer. a Bereken na hoeveel uur de koortsaanval voorij is. Bereken na hoeveel tijd de patiënt de maximale temperatuur ereikt en geef deze temperatuur ook. Een lichaamstemperatuur van oven de 40 C wordt vaak als kritiek gezien. c Bereken hoelang (in minuten nauwkeurig) de situatie van de patiënt kritiek is. 1 Gegeven zijn de functies f( x) x x en gx ( ) 4x 7. a Bereken de nulpunten van de grafiek van f. Bereken de coördinaten van de top van de grafiek van f. c Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f en g. Rond de coördinaten zo nodig af op twee decimalen. d Los op: f ( x) g( x) 14 Gegeven zijn de functies f ( x) x x x 4 en gx ( ) x. a Teken op roosterpapier de grafieken van f en g voor 1 x hoeveel nulpunten heeft f op het interval 1 x? c Bereken de coördinaten van de snijpunten van f en g op decimalen nauwkeurig. d Bereken exact (zonder GRM) het nulpunt van g. e Bereken (met GRM) alle nulpunten van f, op decimalen nauwkeurig. f Bereken de coördinaten van het maximum op 1 x 15 Gegeven is de functie f ( x) sin( x). a Plot en schets de grafiek. Neem 60 x 60 en zorg ervoor dat de rekenmachine in graden rekent. Bepaal aan de hand van de grafiek of de functie even / oneven / geen van eide is. c Los op m..v. de grafiek en de GRM: sin( x) 1
16 f ( x) sin( x) Hieroven staan de grafieken van periodieke functies. Eén grafiek is de grafiek van f ( x) sin( x) Zoek uit wat de functievoorschriften zijn van de andere twee grafieken. 17 f ( x) sin( x) Net als in opdr. 16
Antwoorden Oefening 1 a f ( x) x is even c f ( x) 5x 10x is oneven f ( x) 5x 10x 5? Niet even en niet oneven. x 1 d f( x) is oneven x e f ( x) 10 x is niet even en niet oneven f f ( x) x 5x Oefening a f ( a) a c lijkt oneven maar de functie is niet oneven en niet even! f ( a) ( a) a f ( a) f( a) f ( a) 5a 10a dus f(x) is even f ( a) 5( a) 10 a 5a 10a f ( a) f( a) dus f(x) is niet even f a a a ( ) 5 10 5 f( a) 5( a) 10 a 5 5a 10a 5 f ( a) f( a) dus f(x) is niet even a 1 d f( a) a ( a) 1 a 1 a 1 f( a) a a a e f ( a) 10 a f f ( a) f( a) dus f(x) is niet even f ( x) 10 a 10 a f ( a) f( a) dus f(x) is niet even f ( a) a 5a f ( a) ( a) 5( a) a 5a f ( a) f( a) dus f(x) is niet even Oefening a f ( a) a c f ( a) ( a) a f ( a) f( a) f ( a) 5a 10a dus f(x) is niet oneven. f ( a) 5( a) 10 a 5a 10a f ( a) f( a) dus f(x) is oneven. f a a a ( ) 5 10 5 f( a) 5( a) 10 a 5 5a 10a 5 f ( a) f( a) dus f(x) is niet oneven. a 1 d f( a) a ( a) 1 a 1 a 1 f( a) a a a e f ( a) 10 a f f ( a) f( a) dus f(x) is oneven. f ( x) 10 a 10 a f ( a) f( a) dus f(x) is niet oneven. f ( x) a 5a
f ( a) ( a) 5( a) a 5a f ( a) f( a) dus f(x) is niet oneven. Oefening 4 a f ( a) a a f ( a) ( a) a a a Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. a a f( a) a ( a) a a a f( a) a a Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. c f( a) a 5 f( a) a 5 a 5 Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. d f( a) a 5 f( a) a 5 a 5 Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. Oefening 5 a c d gx ( ) x e gx ( ) x 10 5 x 15 f gx ( ) 10 x 1 x g g x x x x x ( ) 5 5 5 Oefening 6 a gx ( ) ( x 6) d c gx ( ) ( x ) 10 e gx ( ) 10 ( ) x f g( x) x 5x x 5x gx x x gx ( ) 1 x 4 ( ) 5 gx x x ( ) ( 5) 5( 5) gx x x ( ) ( ) 5( ) gx ( ) ( x 1) 4 x Oefening 7 a gx ( ) 4 ( x) 1 8x c gx ( ) (5x 10 x) 10x 0x gx ( ) 4 x x 1 8x 4 d gx ( ) 10 10 x 10 10 x x
Oefening 8 a gx ( ) ( x 4) c d e f hx ( ) ( x 4) kx ( ) ( x 4) 6 zie hiernaast. Bij verschuiven, horizontaal en vertikaal, lijft de vorm van de grafiek gelijk. Bij vermenigvuldigen verandert de vorm van de grafiek meestal. De nulpunten (snijpunten met de X-as) lijven op hun plaats ij verticale vermenigvuldiging. Oefening 9 x 1 a f ( x) ( ) ( x) 9 x x x 1 1 5 f ( x) 5( ) 10( ) 5( x) 10( x) 8 x 5x c f ( x) 4 4x 16x x 10 1 d f ( x) 10 10 10 x Oefening 10
Oefening 11 a f( x) verticaal verm. met 0,5 g( x) gx ( ) verticaal 4 eenheden omhoog schuiven hx ( ) hx ( ) horizontaal eenheden naar re schuiven kx ( ) c d De grafiek van k(x) lijkt op de grafiek van kx x x ( ) ( ) 4( ) 4 kx x x x ( ) 4 4 4 8 4 kx x x x ( ) 4 4 kx ( ) x y x oefening 1 a zie hiernaast kx ( ) x c lx ( ) x d mx ( ) x x Oefening 1 a Vensterinstellingen opschrijven!!
oefening 14 oefening 15 a Vensterinstellingen! oefening 16 a De grafiek van f( x) x 4 ligt helemaal oven de X-as, het is immers een dalparaool. De asoluutstrepen heen dan dus geen invloed! De grafiek van f( x) x 4 ligt gedeeltelijk onder de X-as (ergparaool!!) De grafiek van f x ( ) x 4 gx ( ) x 4 ligt oven de X-as (ehalve de nulpunten). is dus niet gelijk aan gx ( ) x 4.
Oefening 17 a zie hiernaast Vensterinstellingen opschrijven!! De grafiek is eerst afnemend dalend, dan toenemend stijgend, dan afnemend stijgend en tenslotte toenemend dalend. Oefening 18 a zie hiernaast (vensterinstellingen!) De grafiek is steeds afnemend stijgend Oefening 19 a zie hiernaast (.!) De grafiek is eerst afnemend stijgend en dan toenemend dalend. c Tussen de stijging en de daling loopt de grafiek héél kort horizontaal Oefening 0 x 4 1 0 1 4 y 64 7 8 1 0 1 8 7 64 helling 48 7 1 0 1 7 48 Oefening 1 De helling-grafiek van gx ( ) 5x 15x 0 is exact dezelfde als de hellingsgrafiek van f( x) 5x 15x 0. Het verschil tussen f(x) en g(x) is alleen maar een verticale verschuiving van 60 eenheden. De helling van de eide grafieken is niet veranderd!
Oefening
Oefening Oefening 4 Zie afeeldingen hieroven. Grootste helling: Bij het de kruisjes Helling 0 ij de open rondjes.
Oefening 5 5 a f '( x) 4x g'( x) 10 9 x c h'( x) 5x 8x 4 7 Oefening 6 a f '( x) 4 x 1x d f '( x) 4 c f '( x) 150x 9 e 1 f '( x) 6x 6x f f '( x) 1x 0x f '( x) 1x Oefening 7 a f '( x) 4x f '(1) 4 1 4 en f (1) 1 raaklijn: y f '( a) ( x a) f( a) y 4( x 1) y 4x Grafiek plotten (venster!), punt op de grafiek maken, raaklijn laten tekenen en dan helling van de raaklijn meten. Daarna de lijn y 4x erij plotten. 4 Oefening 8 a Grafiek plotten (venster!), punt op de grafiek maken, raaklijn laten tekenen en dan helling van de raaklijn meten. Bij x = 4 is de helling ongeveer 0, Je weet nu f '(4) 0, en f (4) Dus de raaklijn in (4, ) wordt: y 0, ( x 4) dus y 0,x 4, Oefening 9 Gegeven is hx ( ) 0,5x 4x a c h'( x) x 8x 4 h'() 8 54 4 0 Bij x = daalt de grafiek want de helling is negatief. h'(1) 1 8 1 8 6 Bij x = 1 stijgt de grafiek, de helling is immers positief. h'() 8 16 16 0 h(x) daalt niet en stijgt ook niet. De grafiek loopt horizontaal.
Oefening 0 Gegeven is de functie a f '( x) x 4 Precies op de top van de grafiek (ergparaool!) loopt de grafiek horizontaal. De helling is daar dus 0. c f (x) = 0 x 4 0 x 4 x Dus voor x = is f (x) = 0, ofwel de top zit ij x =. d f () 4 4 coördinaten van de top: (, 4) e zie hiernaast.
Oefening Eerste grafiek geeft een periodiek verand weer. Evenwichtsstand y =, Amplitude = en periode = 6 De tweede grafiek is geen periodiek verand. Derde grafiek geeft een periodiek verand weer. Evenwichtsstand y =, Amplitude = en periode = 1 Oefening 4 Evenwichtsstand y = 0, amplitude = 1 en periode = 60 Oefening 5 gx ( ) sin( x) 1 Oefening 6 gx ( ) sin( x) 1 Oefening 7 gx ( ) sin( x) Oefening 8 gx ( ) sin( x 90) Oefening 9 1 gx ( ) sin x sin( x) 0,5 Oefening 40 Evenw.st. y = 0, dus a = 0 amplitude = 1, dus = 1 60 periode = 180 dus c 180 vert. verschuiving = 0 dus d = 0 f ( x) sin( x) Op dezelfde manier ij de andere grafieken: f ( x) sin( x) f ( x) sin(0,5 x) let op de periode is 70!! f ( x) sin( x) f( x) sin( x 100)
Oefening 41 gx ( ) sin( x) hx ( ) sin( x) ix ( ) sin( x)
Uitwerking gemengde oefeningen 1 De grafieken zijn achtereenvolgens oneven, even en geen van eide. De oneven grafiek moet te puntspiegelen zijn in de oorsprong, De even grafiek moet spiegelsymmetrisch zijn in de Y-as. Een grafiek die noch even noch oneven is, mag dus niet aan één van ovenstaande eisen voldoen. a c d f ( a) a 96a f a a a ( ) ( ) 96 ( ) f ( a) f( a) dus niet even f ( a) a 96a f ( a) ( a 96 a) a 96a f ( a) f( a) dus f(x) is oneven. f (0) 0 96 0 0 snijpunt met de Y-as is (0, 0) x 96x 0 xx ( 48) 0 x 0 ( x 48) 0 x 0 of x 48 of x 48 snijpunten met de X-as: (0,0), ( 48,0) en ( 48,0) x 10 8 6 4 0 4 6 8 y 1040 56-144 -56-176 0 176 56 144-56 e f D f f x x g f (x) = 0 h '( ) 6 96 6x 96 0 6x 96 f (4) 4 96 4 56 en f ( 4) 56 x 16 en x 4 x 4 Dus de coördinaten van de toppen zijn (4, 56) en ( 4, 56)
4 a g(1) 4 1 6 1 dus P(1, ) ligt op de grafiek. Met GRM: -plotten, -punt op grafiek maken -raaklijn in dat punt maken -helling meten Zonder GRM: g'( x) 8x 6 g '(1) 8 1 6 helling in P is dus c raaklijn: y g'(1) ( x 1) g(1) 5 a c d y ( x 1) y x 4 gx ( ) 4x 4 gx ( ) 4( x ) 6 gx ( ) (4x 6) 1x 18 x x 1 gx ( ) 4 ( ) 6 4 6 x 6 4 16 4 gx ( ) 4( x 4) 6 8( x 4) 1 e 6 a Productiekosten per CD: 4500 4500 K 0, 5 0, 5 1,15 q 5000 Prijs per CD: p 0,00q 16,5 0,00 5000 16,5 1,5 euro Winst per CD: 1,5 1,15 = 0,10 euro Totale winst is dus 5000 0,10 = 500 euro Winst per CD is : 4500 W p K ( 0, 00q 16, 5) ( 0, 5) q Haakjes wegwerken vereenvoudigen: 4500 W 0,00q 16,5 0,5 q 4500 W 0,00q 16,00 q
c De maximale winst per CD is het maximum van W. GRM, formule invoeren, plotten, grafiek analyseren, maximum. Geeft ( 1.E+,8.64 ) als maximum: Venster: 1 < X < 5000 en 1 < Y < 10 d De maximale winst per CD wordt ehaald ij een productie van 10 CD s. De maximale winst edraagt 8,65 euro. Venster: 1 < X < 5000 en 1 < Y < 17 e f In de grafiek van W is het gewoon het maximum in de grafiek. In de grafieken van p en K is het punt te vinden door de p- grafiek evenwijdig te verschuiven totdat het de raaklijn is geworden aan de grafiek van K. De totale winst is niet maximaal als de winst per CD maximaal is. De winst per CD was maximaal ij een productie van 10 stuks. GRM, formule invoeren, plotten, grafiek analyseren, maximum. Geeft (.67E+,1.68E+4 ) als maximum. De totale winst is dus maximaal ij een productie van 670 stuks. De totale winst is dan 16800 euro.
7 a venster 1,5 < x <,5 en < y < Voor 1,5 < x < 0 is de grafiek afnemend stijgend. Voor 0 < x < 0,8 is de grafiek toenemend stijgend Voor 0,8 < x < 1,47 is de grafiek afnemend stijgend En voor 1,47 < x <,5 is de grafiek toenemend dalend. 8 a venster: 1000 < x < 10000-10000 < y < 100000 de formule is zinvol voor ongeveer 0 < q < 8000 c q = 000, TO = 7000 d q = 001, TO = 70,994 De meeroprengst is dus,994 euro. e Zie afeelding hiernaast. De helling is 4 (euro). De helling is gelijk aan de marginale oprengst f De marginale oprengst is kleiner dan 5 euro voor q > 190
9 a c d Vensterinstellingen: 10 < x < 0 10 < y < 00 zonder GRM: t 7,5t 0 t( t 7,5) 0 t 0 of t 7,5 0 7,5 t 1,5 Dus na 1,5 seconden is de pijl weer op de grond. Maximale hoogte ij t 1,5: 6,5 h 6, 5 7,5 6, 5 117,1875 De maximale hoogte is ongeveer 117 m. snelheid => helling van de grafiek. Helling van de grafiek: Menu, 7: punten en lijnen, : punt op maak punt op de grafiek Menu, 7: punten en lijnen 7: raaklijn raaklijn door punt op de grafiek maken. Menu, 8: meting : helling helling van de getekende raaklijn erekenen Als je het punt over de grafiek eweegt dan zie je dat de helling (= snelheid) het grootst is ij t = 0 N.B. De opdrachten ) en c) mag je ook met de GRM oplossen. 10 a c d x 10x 7 0 D ac 4 10 4 1 7 108 D < 0 dus geen snijpunten met de X-as. 10 xtop 5 ytop f(5) 5 10 5 7 5 50 7 a 1 Dus top: (5, ) nulpunten: x x 0 xx ( ) 0 x = 0 of x = (0, 0) en (, 0) top: xtop 1 y top g( 1) 1 1 1 1 a 1 dus top ( 1, 1) De top is verschoven: 6 eenheden naar links en eenheden naar eneden. Verder is de vorm van de grafiek gelijk geleven, er is dusz niet horizontaal of verticaal vermenigvuldigd. De grafiek is dus ook 6 naar links en omlaag geschoven.
11 a Snijpunt met Y-as: 0 18 f (0),6 0 5 snijpunt (0 ;,6) Snijpunt X-as: x 18 0 x 5 x 18 0 x 9 snijpunt ( 9, 0) x hor asymptoot als x dan y x dus hor. asympt. y = c verticale asymptoot : x + 5 = 0 dus vert. asympt. x = 5 d Tael: x 10 9 7 5 4 0 5 f(x) 0,4 0 k.n. 10 6,6,14,09 1 a Plotten en schetsen van T en van y = 7 venster: 0 < x < 10 en 5< y < 45 snijpunt epalen ( menu, grafiek analyseren snijpunt ) Snijpunt: (5, 7) Dus na 5 uur is de koortsaanval weer over. menu, grafiek analyseren maximum Geeft (, ; 40,7) als maximum. Dus na, uur wordt de maximale temperatuur van 40,7 o C ereikt.
c plot de horizontale lijn y = 40 en epaal de snijpunten met de grafiek. Zorg ervoor dat de GRM de coördinaten nauwkeurig genoeg weergeeft. De kritische tijd duurde van,404 uur tot 4,114 uur. Dat is dus 4,114,404 = 1,71 uur. 0,71 60 = 4,6 De kritische tijd duurde 1 uur en 4 minuten. 1 Deze opgave kan ook zonder GRM gedaan worden. De antwoorden komen echter niet mooi uit (op een examen zonder GRM zal dit niet het geval zijn!). We werken de opgave uit zonder GRM! a x x 0 D 4 1 17 17 17 x 0,56 of x,56 1 1 (0,56 ; 0) (,56 ; 0) xtop 1, 5 ytop f( 1,5) 4,5 a 1 dus top: ( 1,5 ; 4,5) c x x 4x 7 x x 9 0 D 1 4 1 9 7 1 7 1 7 x,541 of x,541 1 1 y g(,541) 1,166 y g(,541),166 (,541 ; 1,166) (,541 ;,166) d 14 a Maak een schetsje om te zien hoe de grafieken lopen. Dalparaool en rechte lijn. Oplossing:,541 < x <,541 Op roosterpapier tekenen wil zeggen dat je een tael moet maken en de grafieken nauwkeurig moet tekenen. Grafiek:
c Op het gegeven interval heeft f(x) twee nulpunten. op drie decimalen nauwkeurig is een aanwijzing dat de uitkomst niet mooi zal zijn, we geruiken dus de GRM Plot en schets: 4 < x < 5 en 6 < y < 6 menu grafiek analyseren en snijpunt geeft als snijpunten: ( 0,414 ;,88) (1, 1) (,414 ; 1,88) d x 0 x x 1, 5 (1,5 ; 0) f menu grafiek analyseren en nulpunt geeft als nulpunten: ( 1,115 ; 0), (1,54 ; 0) en (,861 ; 0). g menu grafiek analyseren en maximum geeft als maximum: ( 0,155 ; 4,079) 15 a 60 < x < 60 en 1 < y < 7 De functie kun je niet spiegelen in de Y-as, hij is dus niet even. Je kunt de functie ook niet (punt)spiegelen in de oorsprong, hij is dus ook niet oneven. De functie is dus geen van eiden. c Plot de lijn y = 1 menu grafiek analyseren en snijpunt geeft dan als snijpunten: ( 18, 1), ( 41,8 ; 1), (, 1) en 18, 1) 16 De oplossing van sin( x) 1 is dus x 18 of x 41,8 of x of x 18 gx ( ) sin( x) hx ( ) sin( x 60) 17 gx ( ) sin( x 90) hx ( ) sin( x)