Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de ruimte 9 Studiewijzer 97
Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS. De stelling vn Pythgors formuleren.. Op onderzoek Vul de tel verder in. driehoek (mm) (mm) (mm) + 8 9 8 6 0 0 0 96 0 0 6 Wt stel je vst ls je de ltste twee kolommen vergelijkt?.. Benmingen in een rehthoekige driehoek Een rehthoekige driehoek estt uit twee rehthoekszijden : en (vormen een rehte hoek) een shuine zijde of hypothenus : 98
.. De stelling vn Pythgors Stelling In een rehthoekige driehoek is de som vn de kwdrten vn de rehthoekszijden gelijk n In symolen: + = (wrij en de rehthoekszijden zijn en de shuine zijde is) Drie ntuurlijke getllen, en (elk vershillend vn 0) die n de voorwrde + = voldoen, noem je Pythgorishe drietllen of Pythgorishe getllen. Het eenvoudigste Pythgorishe drietl is, en. De stelling vn Pythgors geldt ook omgekeerd. Stelling Als in een driehoek de som vn de kwdrten vn de twee kortste zijden gelijk is n het kwdrt vn de lngste zijde, dn is de driehoek. De ---regel Pythgorishe drietllen worden geruikt om een rehte hoek te eplen. Bind op gelijke fstnd knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopfstnden. Vorm met het touw een driehoek wrvn een zijde drie knoopfstnden heeft; een zijde vier knoopfstnden heeft; een zijde vijf knoopfstnden heeft. Zo verkrijg je een rehthoekige driehoek en kun je een rehte hoek uitzetten. Pythgors is georen op het Griekse eilnd Smos, vermoedelijk in 69 v.chr. In 8 v.chr. verliet hij, omwille vn politieke geshillen, zijn geoorteplts. Hij vestigde zih in het Zuid-Itlinse Croton, wr hij zijn eroemde filosofishe shool stihtte. Zijn volgelingen werden mthemtikoi genoemd, of ook wel Pythgoreeërs en vormden een gemeenshp met strenge leefregels. Enkele vn de sisprinipes vn de gemeenshp wren: wiskunde is het wezen vn lles; eplde symolen heen een religieuze wrde; lle leden zweren volledige trouw en geheimhouding; er zijn geen persoonlijke ezittingen; iedereen is vegetrish. De mthemtikoi geloofden dus dt lles met getllen te vtten ws. Enkele wiskundige hoogtepunten vn de Pythgoreeërs: het meetkundig oplossen vn vergelijkingen; de ontdekking vn de irrtionle getllen; studie vn regelmtige veelvlkken. Of de stelling vn Pythgors ooit door hemzelf of een vn zijn volgelingen is ewezen, is twijfelhtig. In elk gevl ws deze eigenshp vn rehthoekige driehoeken l eerder ekend ij de Byloniërs, de Indiërs en de Chinezen. In 08 v.chr. werd de gemeenshp in Croton edreigd en Pythgors vluhtte nr Metpontium, wr hij welliht enkele jren lter overleed. Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS 99
Oefeningen REEKS A Kleur het vk met de pssende lengte vn de shuine zijde zodt de driehoek met zijden, en rehthoekig is. ) m m m 6 m 7 m ) dm dm dm dm dm ) 60 mm 80 mm 90 mm 00 mm 0 mm d) 0 m m 7 m 9 m m e) 9m m m 8m m Formuleer ij de volgende driehoeken, indien mogelijk, de stelling vn Pythgors. ) d) k j l ) e) d e m o f n ) f) g r i h q p 00
Onderzoek of de driehoek met zijden, en rehthoekig is. Zet een vinkje. rehthoekig niet rehthoekig ) 6 m 8 m 0 m ) m m m ) 9mm mm mm d) 0 m 8 m m e) 8 m m 0 m REEKS B Bereken de zijden vn de volgende rehthoekige driehoeken. Geruik een touw met een ntl knopen op gelijke knoopfstnd. knoopfstnd lengte vn de zijden ) rehthoekszijde: stukken vn m rehthoekszijde: stukken vn m shuine zijde: stukken vn m ) rehthoekszijde: stukken vn m rehthoekszijde: stukken vn m shuine zijde: stukken vn m ) rehthoekszijde: stukken vn mm rehthoekszijde: stukken vn mm shuine zijde: stukken vn mm d) rehthoekszijde: stukken vn 7 m rehthoekszijde: stukken vn 7 m shuine zijde: stukken vn 7 m Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS 0
Bewijs zonder te meten. ) Prllellogrm PLAK is een rehthoek. ) Prllellogrm KLAP is een ruit. P L D=6m d=m K 8 m 7 m 0 m P L K m A A 6 Toon n zonder geodriehoek dt. Geruik de ---regel. 7 Bereken de shuine zijde met de ---regel. ) rehthoekszijde: 60 m = 0 m ) rehthoekszijde: dm = rehthoekszijde: 80 m = 0 m rehthoekszijde: 6 dm = shuine zijde: shuine zijde: ) rehthoekszijde: m = d) rehthoekszijde: 90 mm = rehthoekszijde: 0 m = rehthoekszijde: 0 mm = shuine zijde: shuine zijde: 0
8 Onderzoek of de driehoek met zijden, en rehthoekig is. Zet een vinkje. rehthoekig niet rehthoekig ) mm, mm,9 mm ) m 7, m 8, m ) 0, m 0, m 0,7 m d), m,8 m, m e), m,8 m m 9 Onderzoek of de nabc rehthoekig is. Zet een vinkje. zijden rehthoekig niet rehthoekig ) 6 m m 0 m ), m 7, m 6 m ),7 dm,6 dm,8 dm d) 8 m m m e) 78 m 0 m 7 m 0 Los op. ) Om in het prk een voetlpleintje f te kenen, stpt Stijn twintig pssen f in de reedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet heleml en vrgt Stijn eens digonl over het veld te stppen. Stijn telt 67 pssen. Is hun voetlplein rehthoekig? Antwoord: ) P wil een tuinhuis hter in de tuin. Hij grft een rehthoekige kuil vn,6 m ij,8 m voor de grondplt. Om te ontroleren of zijn put wel rehthoekig is, meet hij de digonl. Die is zes meter. Is de kuil rehthoekig? Antwoord: Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS 0
REEKS C Primitieve Pythgorishe drietllen zijn Pythgorishe drietllen die geen ntuurlijke veelvouden zijn vn ndere Pythgorishe drietllen. Vooreeld: 9, en is een Pythgorish drietl, mr niet primitief. Enkele vn de kleinste primitieve Pythgorishe drietllen zijn: 8 7 7 9 0 7 Om zelf primitieve Pythgorishe drietllen op te stellen, g je ls volgt te werk. Kies twee, vn 0 vershillende, ntuurlijke getllen m en n wrij m > n. =mn = m n = m + n Vooreeld Stel m =enn = = = = Controle: Bewijs. gegeven m en n zijn ntuurlijke getllen, vershillend vn 0 en m > n =mn = m n = m + n te ewijzen + = ewijs esluit 0
Stel Pythgorishe drietllen op. erekeningen ) ) 0 ) 0 d) 0 e) 0 Het vermoeden vn De Fermt Er lijken oneindig veel ntuurlijke getllen, en te estn die voldoen n de vergelijking + =. De Frnse wiskundige Pierre de Fermt (60-66) vroeg zih f of er ook vn nul vershillende, ntuurlijke getllen te vinden zijn die voldoen n de formule n + n = n, voor wrden vn n groter dn. Pierre de Fermt Hij vond er geen en shreef in de kntlijn vn een vn zijn oeken dt de vergelijking onoplosr is. De Fermt eweerde een ewijs te heen voor dit theorem, mr dt werd nooit gevonden. Men is dus nooit zeker geweest over het estn vn het ewijs, lt stn over de juistheid ervn. Gedurende 00 jr proeerde men het theorem te ewijzen, zonder sues. Het duurde tot in 99. Toen slgde de Britse wiskundige Andrew Wiles erin om een sluitend ewijs te vinden. Andrew Wiles Pierre de Fermt stond smen met Psl n de wieg vn de knsrekening en is ook ekend door het eginsel vn Fermt. Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS 0
Studiewijzer DE STELLING VAN PYTHAGORAS. De stelling vn Pythgors formuleren KENNEN In een rehthoekige driehoek is de som vn de kwdrten vn de rehthoekszijden gelijk n het kwdrt vn de shuine zijde. Als in een driehoek de som vn de kwdrten vn de twee kortste zijden gelijk is n het kwdrt vn de lngste zijde, dn is de driehoek rehthoekig. De stelling vn Pythgors formuleren.. Meetkundige voorstellingen De stelling vn Pythgors geruiken ij erekeningen vn lengten in meetkundige situties (zijden vn een rehthoekige driehoek, zijden en digonlen vn een vierhoek,...).. De stelling vn Pythgors ewijzen De stelling vn Pythgors ewijzen.. Rekenen met Pythgors De stelling vn Pythgors geruiken in ewijzen en vrgstukken.. Construties De stelling vn Pythgors geruiken in onstruties vn lijnstukken met een eplde lengte..6 Pythgors in de ruimte De stelling vn Pythgors geruiken in ruimtelijke situties (digonlen kuus en lk, hoogte pirmide,...). Contrtwerk