Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)

Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)

Laat A een n n matrix zijn. We willen alle oplossingen bepalen van het stelsel differentiaalvergelijkingen: dx dt = Ax () We hebben gezien: Als x : R R n gegeven door x(t) = e rt ξ een oplossing is van () dan is r is een eigenwaarde van A en ξ is een eigenvector van A bij deze eigenwaarde. Stelling Als x en x 2 oplossingen zijn van () dan is x = c x + c 2 x 2 voor alle constanten c, c 2 (eventueel complex) ook een oplossing van dit stelsel. 6 september 206

Gevolg Als {ξ, ξ 2,..., ξ k } lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn van A bij de eigenwaarden r, r 2,..., r k dan is: x = c e rt ξ + c 2 e r2t ξ 2 +... + c k e r k t ξ k voor alle waarden van c, c 2,..., c k (eventueel complex) ook een oplossing van (). 6 september 206 2

Voegen we aan () de beginvoorwaarden x(0) = x 0 toe dan heeft de vectorvergelijking x(0) = c ξ + c 2 ξ 2 +... + c k ξ k = x 0 altijd precies één oplossing wanneer k = n. Dat is de reden dat we in het vervolg aannemen dat er een verzameling {ξ, ξ 2,..., ξ n } lineair onafhankelijke, eventueel complexe, eigenvectoren van A bestaat (Bekijk 7.8 voor andere gevallen). Verder nemen we aan n = 2 omdat dan ook het fasevlak kan worden getekend. 6 september 206 3

Voegen we aan () de beginvoorwaarden x(0) = x 0 toe dan heeft de vectorvergelijking x(0) = c ξ + c 2 ξ 2 +... + c k ξ k = x 0 altijd precies één oplossing wanneer k = n. Dat is de reden dat we in het vervolg aannemen dat er een verzameling {ξ, ξ 2,..., ξ n } lineair onafhankelijke, eventueel complexe, eigenvectoren van A bestaat (Bekijk 7.8 voor andere gevallen). Verder nemen we aan n = 2 omdat dan ook het fasevlak kan worden getekend. 6 september 206 4

Voorbeeld Los op: dx dt = 2 3 4 x, x(0) = 2 4 Bepaal de eigenwaarden van A. r = 2 en r 2 = 2 Bepaal bijbehorende eigenvectoren. 2 ξ = en ξ 2 = 3 3 Bepaal de algemene oplossing van het stelsel. x(t) = c e 2t 2 3 + c 2e t 4 Leg de beginvoorwaarden op en bepaal c en c 2. c = 6 en c 2 = 4 dus x(t) = 6e 2t 2 3 + 4e t 6 september 206 5

Voorbeeld (vervolg) Teken de oplossing in het fasevlak en de componenten x en x 2 als functie van t. x(t) = 6e 2t 2 3 + 4e t (a) Fasevlak (b) Oplossingen x en x 2 6 september 206 6

Voorbeeld Los op: dx dt = 2 3 2 x, x(0) = 5 6 Bepaal de eigenwaarden van A. r = en r 2 = 2 Bepaal bijbehorende eigenvectoren. ξ = en ξ 2 = 3 3 Bepaal de algemene oplossing van het stelsel. x(t) = c e t 3 + c 2e t 4 Leg de beginvoorwaarden op en bepaal c en c 2. c = en 2 c2 = 9 dus 2 x(t) = 2 e t 2 3 + 9 2 et 6 september 206 7

Voorbeeld (vervolg) Teken de oplossing in het fasevlak en de componenten x en x 2 als functie van t. x(t) = 2 e t 2 3 + 9 2 et (a) Fasevlak (b) Oplossingen x en x 2 6 september 206 8

Voorbeeld Los op: dx dt = 5 4 3 4 3 4 5 4 x, x(0) = 2 4 Bepaal de eigenwaarden van A. r = en r2 = 2 2 2 Bepaal bijbehorende eigenvectoren. ξ = en ξ 2 = 3 Bepaal de algemene oplossing van het stelsel. x(t) = c e 2 t + c 2e 2t 4 Leg de beginvoorwaarden op en bepaal c en c 2. c = 0 en c 2 = 4 dus x(t) = 4e 2 t 6 september 206 9

Voorbeeld (vervolg) Teken de oplossing in het fasevlak en de componenten x en x 2 als functie van t. x(t) = 4e 2 t (a) Fasevlak (b) Oplossingen x en x 2 6 september 206 0

Type en stabiliteit evenwichtsoplossing Als r, r 2 R dan heet de evenwichtsoplossing 0 van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx dt = Ax : een asymptotisch stabiele knoop (put) als 0 > r > r 2, een asymptotisch stabiele zuivere knoop (sterpunt) als 0 > r = r 2, een instabiel zadelpunt als r > 0 > r 2, een instabiele knoop als r > r 2 > 0 en een instabiele zuivere knoop (sterpunt) als r = r 2 > 0. 6 september 206

Opgave 7.5, opgave 30 Het probleem van de communicerende vaten leidt tot het beginwaardeprobleem: du dt = 3 0 40 0 5 waarbij u = Q 42 en u 2 = Q 2 36. (a) Los dit beginwaardeprobleem op., u(0) = 7 (b) Teken de grafieken van u en u 2 als functie van t. 2 (c) Bepaal Q en Q 2 en teken hun grafieken als functie van t. Zie: Maple document webpagina 6 september 206 2

Complexe eigenwaarden Hoe vinden we de algemene oplossing van () als A een complexe eigenwaarde r heeft? Dan heeft A een complexe eigenvector ξ bij r en is x = e rt ξ een complexwaardige oplossing van () Schrijf elke component van x = x(t) als a + ib met a, b R. Dan x(t) = u(t) + iv(t) waarbij u de reële delen van de componenten bevat en v de imaginaire delen. 6 september 206 3

Substitutie in () geeft: dx dt = Ax d(u + iv) dt du dt + i dv dt du dt = A(u + iv) = Au + iav = Au en dv dt = Av en dus zijn u = Re(x) en v = Im(x) twee reëelwaardige oplossingen van (). 6 september 206 4

Voorbeeld Los op: dx dt = 5 3 x, x(0) = 2 0 Bepaal de eigenwaarden van A. r = + i en r 2 = i 2 Bepaal bijbehorende eigenvectoren. 2 + i 2 i ξ = en ξ 2 = 5 5 3 Bepaal de algemene oplossing van het stelsel. 2 cos t sin t cos t + 2 sin t x(t) = c e t + c 2e t 5 cos t 5 sin t 4 Leg de beginvoorwaarden op en bepaal c en c 2. c = 0 en c 2 = 2 dus x(t) = 2e t cos t + 2 sin t 5 sin t 6 september 206 5

Voorbeeld (vervolg) Teken de oplossing in het fasevlak en de componenten x en x 2 als functie van t. x(t) = 2e t cos t + 2 sin t 5 sin t 6 september 206 6

Voorbeeld (vervolg) Teken de oplossing in het fasevlak en de componenten x en x 2 als functie van t. x(t) = 2e t cos t + 2 sin t 5 sin t (a) Fasevlak (b) Oplossingen x en x 2 6 september 206 6

Opgave 7.6, opgave Bepaal de algemene oplossing van: dx dt = 2 3 4 x. Bepaal de eigenwaarden van A. r = + 2i en r 2 = 2i 2 Bepaal bijbehorende eigenvectoren. + i i ξ = en ξ 2 = 3 Bepaal de algemene oplossing van het stelsel. cos 2t sin 2t cos 2t + sin 2t x(t) = c e t + c 2e t cos 2t sin 2t 6 september 206 7

Type en stabiliteit evenwichtsoplossing Als r = λ + iµ, r 2 = λ iµ (λ, µ R) dan heet de evenwichtsoplossing 0 van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx dt = Ax : een asymptotisch stabiel spiraalpunt als λ < 0, een instabiel spiraalpunt als λ > 0 en een stabiel centrumpunt als λ = 0. 6 september 206 8

Als A = a a 2 a 2 a 22 dan: p A (r) = det(a) ri 2 ) = (a r)(a 22 r) a 2 a 2 maar ook: = r 2 (a + a 22 ) r + (a a 22 a 2 a 2 ) }{{}}{{} trace(a) det(a) p A (r) = (r r )(r r 2 ) = r 2 (r + r 2 )r + r r 2 zodat: trace(a) = r + r 2, det(a) = r r 2 en discriminant = trace(a) 2 4 det(a). Hiermee valt het plaatje waarmee we begonnen te verklaren. 6 september 206 9