Tentamen Differentiaalvergelijkingen, (wi1 909TH) woensdag 12 april 2017, uur.

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen Differentiaalvergelijkingen, (wi 909TH) woensdag 2 april 207, uur. Het gebruik van een boek of telefoon is niet toegestaan. Het bijgesloten formuleblad mag wel worden gebruikt evenals een, bij het eindexamen VWO toegestane, rekenmachine waarop géén informatie is opgeslagen. Elk antwoord dient duidelijk gemotiveerd te worden.. Gegeven is het beginwaardeprobleem: (9 t 2 ) y + 2ty = 2t y( 2) = 4 () () (a) Bepaal, zonder het beginwaardeprobleem () op te lossen, een zo groot mogelijk interval waarop dit een oplossing heeft. (4) (b) Los het beginwaardeprobleem () op door een integrerende factor te bepalen. (3) (c) Controleer dat de onder (b) gevonden oplossing ook daadwerkelijk een oplossing van het beginwaardeprobleem () is. Op welk interval is deze oplossing gedefinieerd? Is dit in overeenstemming met hetgeen u onder (a) hebt voorspeld? 2. De functie f : [0, ) R wordt gegeven door f(t) = (t 4)u 2 (t) (t 2)u 3 (t). (3) (a) Teken de grafiek van f en bepaal L{f(t)}. Gegeven is het beginwaardeprobleem: y 4y + 5y = δ(t 2) y(0) =, y (0) = (2) (5) (b) Los het beginwaardeprobleem (2) op. 3. Gegeven is het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen: [ dx dt = α 3 ] x (3) (2) (a) Bepaal de waarden van α, als ze bestaan, waarvoor (0, 0) een instabiel zadelpunt is en de waarden van α waarvoor (0, 0) een asymptotisch stabiel spiraalpunt is van het stelsel differentiaalvergelijkingen (3). (2) (b) Zouden de richtingenvelden in Figuur (zie omme zijde) bij het stelsel differentiaalvergelijkingen (3) kunnen horen? Beargumenteer uw antwoord! Kies α =. (4) (c) Bepaal de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen (3). () (d) Wat is voor deze waarde van α het type en de stabiliteit van (0, 0)? zie ommezijde

2 Figuur. Richtingsvelden bij stelsels differentiaalvergelijkingen 4. Gegeven is het stelsel differentiaalvergelijkingen: dx dt = x( 2 x y) dy dt = y( + x) (4) (2) (a) Bepaal de drie kritieke punten van het stelsel differentiaalvergelijkingen (4). (3) (b) Bepaal bij elk kritiek punt het bijbehorende stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen en klassificeer deze punten (type en stabiliteit). (3) (c) Klassificeer nu de, onder (a) gevonden, kritieke punten (type en stabiliteit) van het stelsel differentiaalvergelijkingen (4). (6) 5. (a) Bepaal alle waarden van λ waarvoor het randwaardeprobleem: y λy = 0 y(0) = 0, y (L) = 0 (L > 0) niet-triviale oplossingen heeft en bepaal daarvoor de algemene oplossing. g(x) is de som van de Fourrierreeks c c n cos( nπx ) en h(x) is de som van de Fourrierreeks 2 n= c n sin( nπx ) op R. 2 n= () (b) Welke van de functies g en h is even? Stel g(x) = x op [0, 2] () (c) Teken de grafiek van g op [ 4, 4]. (4) (d) Bepaal de constanten c 0, c,.... (Hint: gebruik de integratietabel) Cijfer: (aantal behaalde punten + 5)/5 met afronding op halve cijfers.

3 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tabel van Laplace getransformeerden f(t) F(s) = L{f(t)} = 0 f(t) e st dt. s (s > 0) 2. e at (s > a) s a a 3. sin(at) s 2 + a 2 (s > 0) 4. cos(at) 5. t n (n N) 6. t p (p > ) 7. sinh(at) 8. cosh(at) 9. t sin(at) 0. t cos(at) s s 2 + a 2 (s > 0) n! s n+ (s > 0) Γ(p + ) s p+ (s > 0) a s 2 a 2 (s > a ) s s 2 a 2 (s > a ) 2as (s 2 + a 2 ) 2 (s > 0) s 2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 (s > 0). t n e at n! (s a) n+ (s > a) 2. u a (t) e as 3. u a (t)f(t a) e as F (s) 4. e at f(t) F (s a) 5. f(at) 6. t 0 f(t τ) g(τ) dτ 7. δ(t a) e as s (s > 0) a F ( s ) (a > 0) a F (s)g(s) 8. f (n) (t) s n F (s) s n f(0) s n 2 f () (0) f (n ) (0) 9. ( t) n f(t) F (n) (s)

4 Integratietabel f(x) F(x) = f(x) dx. x e ax ax a 2 e ax + C (a 0, C R) 2. x n e ax x n (n N) a eax n x n e ax dx (a 0) a 3. x sin(ax) x a cos(ax) + sin(ax) + C (a 0, C R) a2 4. x cos(ax) 5. x n sin(ax) (n N) xn a cos(ax) + n a 6. x n cos(ax) (n N) x a sin(ax) + cos(ax) + C (a 0, C R) a2 x n a sin(ax) n a x n cos(ax) dx (a 0) x n sin(ax) dx (a 0)

5 >ekr ilc o L <s p. ( a 'J > - Lz \ * -i- L- It H- - Ut *>.> C 9-3 ' C +^ 8 8 )^ i.' vo. ui c \ I u _u PL c. _ h //I - < k ^> 2. c. s4( u It') R i> )U SU ^' az i>\ n ( )- ( C- V ) I, U ye "2: br > \ Ac JL C\ D: _J u r -(.ay J ^) 3:fc L ^) J ) c r / Li 0 tju G Li 0 Ü jf c r ' Jl i a Ü \\ < V) -I- - -I :\- ^) ^( c JL.4) \ i' 9 uu L a L c M J I uu L a J 3 c M ) Q, i < r d- i -G ), -. i r ' Ge _> C-2J -c - < ) > c -( ' J L) xj'c - > Cc - ) A) ) ) 0 i ) 2. IT U / L J< cri ^ ^ f e

6

7 O ) ^( C O ) ^( t L- < ) r) c Lb I/O b a- -n. ) 2. ( -r U d >i ft" >i 2 7 i / / c in a-) ( -2.) ^, r ) Cc 4- Co =c e. ), t ' \- ' ^ -4?> or' IS + i 4- I i ) 7^^4- J s / -+ C s- e S^d - a. I) Ü le u. wx: i J Cost

8 = 2.- ' 00 >' 0 do^ ''';<v?> Co,o) <20>o i/w8(ojbt^ ^\^.^aijl' E> JJ\ ^ 4-l_r I _ rj._l i J JJITLTT V Cb'^^Be-^dle^ pvclöj-s^es ^>julr>v>e/-> Vsvj^ tui 'ÖU^Q/^eiL d^^e^öjnxtffiilöl -J L ^i. \ r r IS.

9 c A - ^ - \ -ij + lo J - i + - \ - il c ^ i V c X L< '[! ) (< -j - IM ) ^ (ió\ c rc- M L (D ) vi DC

10 (2) ^ i I Cop). n,d!l Y L O A v^- L Ó) ^. j - J L J l_.-,l -I -I x-l ^5 o

11 fc,a) -en C ^--HO «5E:Crv oo9. I// O Can OA b ft.a K >V< a n" vi

12 f) Ca) Use cp^^c^sciiwk^v^ <g^q^o Cl ) ' 9» <o \ Ctit) Oi > ^0 ^ r 3 ^ ^ r^tc'y^. ^ I Vi f') zc ^ ; to U c ) 2.x O X -X: DV CA) Li'CÜ.r>LCc,<^ "4)

13 Z 2 C03 n R'->c 4. I I ^ 0 r 0 Lr 4 Co ^ ^ 2^ * to "IT ( nr. ) ^(A^Ci^ IT) f\ CcsCn kir 0- h tr U-TT (i O C ) ) CPS / c 9 /-VI ^ I I