Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 15
Even voorstellen... Dr. Roelof Koekoek Gebouw EWI Kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 E-mail: R.Koekoek@TUDelft.NL Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 2 / 15
Vak: Docent: Rooster: Differentiaalvergelijkingen Dr. Roelof Koekoek di. 15:45-17:30 uur vr. 13:45-15:30 uur Boek: William E. Boyce & Richard C. DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.) Wiley, 2012, ISBN 978-1-118-32361-8 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 3 / 15
Differentiaalvergelijkingen Definitie: Een differentiaalvergelijking is een vergelijking in een onbekende functie en één of meer van haar afgeleiden Classificatie: Gewone differentiaalvergelijking: functie van één variabele en haar gewone afgeleiden Partiële differentiaalvergelijking: functie van meerdere variabelen en haar partiële afgeleiden Tweedeling: lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen De orde van een differentiaalvergelijking is de orde (hoogte) van de hoogste afgeleide die voorkomt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 4 / 15
Differentiaalvergelijkingen Doel: Het vinden van de (algemene) oplossing, de verzameling van alle oplossingen van de differentiaalvergelijking Dit vak gaat over methoden en technieken om zoveel mogelijk verschillende typen differentiaalvergelijkingen op te lossen De methode hangt af van het type van de differentiaalvergelijking We beginnen met eerste orde differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijkingen zijn veel eenvoudiger dan niet-lineaire We beperken ons eerst tot gewone differentiaalvergelijkingen Later zullen we ook partiële differentiaalvergelijkingen bekijken Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 5 / 15
Eerste orde differentiaalvergelijkingen Algemene vorm: y = F (x, y) of dy dx = F (x, y) Hierbij staat F (x, y) voor een of andere uitdrukking met x en y Hierin is x de onafhankelijke en y de afhankelijke variabele Immers: y is de onbekende functie van de variabele x Kwalitatieve benadering door middel van richtingsvelden: in elk punt (x, y) kunnen we de richtingscoëfficiënt y bepalen We weten dus hoe de grafiek van y = y(x) loopt in dat punt (x, y) Deze richtingen kunnen we aangeven in het (x, y)-vlak (richtingsveld) Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 6 / 15
Richtingsvelden Voorbeeld 1: y = x + y en y(0) = 1 y y (0, 1) 0 1 2 x 0 1 2 x FIGURE 3 Direction field foryª=x+y FIGURE 4 The solution curve through (0, 1) Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 7 / 15
Richtingsvelden Voorbeeld 2: y = x 2 + y 2 1 en y(0) = 0 y 2 y 2 1 1 _2 _1 0 1 2 x _2 _1 0 1 2 x -1-1 _2 _2 FIGURE 5 FIGURE 6 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 8 / 15
Separabele differentiaalvergelijkingen Een eerste-orde differentiaalvergelijking heet separabel als: dy dx Dan volgt: = F (x, y) = g(x)f (y) = g(x) h(y) h(y) dy = g(x) dx = met f (y) = 1 h(y) h(y) dy = g(x) dx Voorbeeld: dy dx = x 2 y (y 0) y dy = x 2 dx y dy = x 2 dx 1 2 y 2 +c 1 = 1 3 x 3 +c 2, c 1, c 2 R 1 2 y 2 1 3 x 3 = C, C R. Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 9 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen Een eerste-orde differentiaalvergelijking heet lineair als deze geschreven kan worden in de vorm dy + P(x)y = Q(x) dx met P(x) en Q(x) continue functies Integrerende factor I (x): I (x) = P(x)I (x) is separabel: I (x)y (x) +P(x)I (x) y(x) = I (x)q(x) }{{} I (x) er kan dus altijd zo n I (x) gevonden worden Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 10 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen dan: I (x)y(x) = I (x)y (x) +P(x)I (x) y(x) = I (x)q(x) }{{} I (x) d [I (x)y(x)] = I (x)q(x) dx (productregel) I (x)q(x) dx = y(x) = 1 I (x) I (x)q(x) dx Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 11 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen Voorbeeld 1: x dy dx + y = 2x, x > 0 Schrijf de differentiaalvergelijking eerst in de standaardvorm: y (x) + 1 y(x) = 2, x > 0 x en vermenigvuldig met een integrerende factor I (x): I (x)y (x) + 1 I (x)y(x) = 2I (x), x > 0 x Nu volgt: I (x) = 1 x I (x) = I (x) = eln x = x, x > 0 d Dus: [x y(x)] = 2x = x y(x) = 2x dx = x 2 + C dx Ten slotte volgt: y(x) = x 2 + C, x > 0 x Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 12 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen Voorbeeld 2: y 2xy = 3x I (x)y (x) 2xI (x)y(x) = 3xI (x) I (x) = 2xI (x) = I (x) = e x2 d [ ] e x2 y(x) = 3xe x2 = e x2 y(x) = 3xe x2 dx = 3 dx 2 e x2 +C Dus: e x2 y(x) = 3xe x2 dx = 3 2 e x2 + C Ten slotte volgt: y(x) = 3 2 + Cex2 Merk op dat y(x) = 3 2 klopt! (C = 0) kennelijk een oplossing is en dat Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 13 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen Andere methode: variatie van de constante dy + P(x)y = Q(x) (1) dx Los eerst de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking op: dy dx + P(x)y = 0 Deze differentiaalvergelijking is separabel en dus altijd oplosbaar De oplossing bevat een willekeurige integratieconstante Vervang de constante door een functie u(x) en substitueer dit in (1) Dan valt u(x) weg en blijft een vergelijking met alleen u (x) over Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 14 / 15
Variatie van de constante Voorbeeld: y 2xy = 3x Los eerst op: y 2xy = 0 = y(x) = ce x2 met c R Neem nu y(x) = u(x)e x2 en substitueer dit in de inhomogene d.v.: u (x)e x2 + 2xu(x)e x2 2xu(x)e x2 = 3x = u (x)e x2 = 3x u (x) = 3xe x2 = u(x) = 3xe x2 dx = 3 2 e x2 + C Dan volgt: y(x) = u(x)e x2 = 3 2 + Cex2 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 15 / 15