Lineaire algebra 2 najaar 2008 Uitwerkingen huiswerk week 6 Opgave( 21. ) a b Zij A = F 2 2. (i) Laat zien dat deta noodzakelijk van de vorm deta = ad bc is (door A op bovendriehoeksvorm te transformeren). (ii) Ga na dat de functie det A = ad bc inderdaad aan de eisen voor de determinant voldoet. Oplossing: (i) Neem eerst aan dat a 0. Dan is det a(d c ab) = ad bc. Als wel a = 0 maar c 0, is det ( ) a b ( ) a b = det 0 d c a b ( ) ( ) 0 b = det = cb = ad bc 0 b (want a = 0). ( ) 0 b Als a = 0 en c = 0, is det = 0 d = 0 = ad bc (want a = c = 0). 0 d ( ) a1 + a (ii) Er geldt det 2 b 1 + b 2 = (a 1 + a 2 )d (b 1 + b 2 )c = a 1 d b 1 c + ( ) ( ) ( ) a1 b a 2 d b 2 c = det 1 a2 b + det 2 λa λb. Verder is det = ( ) a1 b (λa)d (λb)c = λ(ad bc) = λdet 1. Dus is deta lineair in de eerste rij van A. Analoog volgt de lineariteit in de tweede rij van A. Stel nu dat de rijen van A lineair afhankelijk zijn. Als (a,b) = (0,0), volgt rechtstreeks dat deta = 0. Stel dus dat (c,d) = λ(a,b). Dan is det A = a(λb) b(λa) = 0. Dat dete = 1 zal duidelijk zijn. = Opgave 22. Bepaal de determinanten van 2 1 1 0 A = 3 2 1 1 t 1 1 R4 4 en B = 1 t 1 R 3 3 1 1 t 0 0 1 1 waarbij t R een willekeurig getal is.
Oplossing: We brengen A met behulp van elementaire rijtransformaties op bovendriehoeksvorm: det A = det 3 2 1 1 2 1 1 0 = det 0 5 2 0 9 3 2 0 0 1 1 0 0 1 1 5 2 = det 0 1 5 2 0 9 3 2 = det 0 1 6 0 0 8 0 0 1 1 0 0 1 1 5 2 = det 0 1 5 2 0 0 1 1 = det 0 1 0 0 1 1 = 14 6 0 0 8 0 0 0 14 Ook B kunnen we met behulp van elementaire rijtransformaties op bovendriehoeksvorm brengen: 1 1 t 1 1 t det B = det 1 t 1 = det 0 t 1 1 t t 1 1 0 1 t 1 t 2 1 1 t = det 0 t 1 1 t = (t 1)(t 2 + t 2) = (t 1) 2 (t + 2) 0 0 2 t t 2 Opgave 23. Laten A F n n, B F m m en C F n m en zij ( ) A C M := F (n+m) (n+m). 0 B Toon aan dat detm = det A detb. Oplossing: Als A of B niet inverteerbaar zijn, is ook M niet inverteerbaar, in dit geval is dus detm = 0 = det A det B. Stel nu dat A en B inverteerbaar zijn. Met behulp van elementaire rijtransformaties laat zich A op bovendriehoeksvorm A brengen. Door hierbij met het verruilen van rijen en het vermenigvuldigen van rijen met getallen rekening te houden en dit in een factor λ F samen te vatten, geldt deta = λdeta. Maar dezelfde rijtransformaties ( op de bovenste n rijen van M toegepast geven een A matrix M C = ) met detm 0 B = λdet M, want de aanpassingen in de determinant zijn dezelfden als bij de transformatie van A naar A. Analoog kunnen we B door elementaire rijtransformaties op bovendriehoeksvorm B brengen, ook hier geven de aanpassingen van de determinant een factor µ F met detb = µ det B. Dezelfde rijtransformaties ( op de onderste m rijen A van M toegepast geven nu een matrix M C = ) 0 B met detm = µ detm.
Aan de ene kant is nu M een bovendriehoeksmatrix en dus det M = deta detb want det M is het product van de diagonaalelementen van A en van B. Dus geldt detm = λdet A µ detb. Aan de andere kant is detm = µ detm = λµ detm. Dus is λdet A µ det B = λµ detm en dus det M = deta det B, want de factoren λ en µ zijn niet 0. Opgave 24. We weten dat de elementaire rijtransformaties gerealiseerd kunnen worden door vermenigvuldiging van links met zekere inverteerbare matrices, verkregen door dezelfde transformatie op de eenheidsmatrix toe te passen: R1: verruilen van de i-de en j-de rij door de matrix P ij ; R2: vermenigvuldigen van de i-de rij met λ 0: M i (λ); R3: optellen van de µ keer de i-de rij bij de j-de rij (i j): O ij (µ). Iedere van de matrices P ij, M i (λ), O ij (µ) heet een elementaire matrix. (i) Laat zien dat det P ij = 1, det M i (λ) = λ en deto ij (µ) = 1. (ii) Zij B F n n en zij X een elementaire matrix. Laat zien dat det(xb) = det X detb. (iii) Geef voor het geval van een inverteerbare matrix A een alternatief bewijs van de stelling det(ab) = det A detb door gebruik ervan te maken dat A een product van elementaire matrices is en deel (ii) toe te passen. Oplossing: (i) Door de i-de en j-de rij van P ij te verruilen, zien we dat detp ij = det E = 1. Door de i-de rij van M i (λ) door λ te delen volgt detm i (λ) = λdete = λ. Optellen van µ keer de i-de rij bij de j-de maakt van O ij (µ) de eenheidsmatrix. Hierbij verandert de determinant niet, dus is deto ij (µ) = det E = 1. (ii) Verruilen van de i-de en de j-de rij van B maakt van B de matrix P ij B met det(p ij B) = detb. Maar dit is volgens deel (i) juist hetzelfde als det P ij det B. Vermenigvuldigen van de i-de rij van B met λ maakt van B de matrix M i (λ)b met det(m i (λ)b) = λdet B. Dit is hetzelfde als detm i (λ) det B. Optellen van µ keer de i-de rij van B bij de j-de maakt van B de matrix O ij (µ)b met det(o ij (µ)b) = detb. Dit is hetzelfde als det O ij (µ) det B. (iii) Bij het transformeren van A op de eenheidsmatrix m.b.h. van elementaire rijtransformaties zien we dat A een product van elementaire matrices is, want uit E r E r 1...E 2 E 1 A = E volgt A = E1 1 E 1 2...Er 1 1 E 1 r. Voor het gemak schrijven we F i := Ei 1, dan is A = F 1 F 2...F r 1 F r met elementaire matrices F i.
Maar dan is deta = det(f 1 F 2... F r 1 F r ) = det F 1 det(f 2...F r 1 F r ) volgens deel (ii). Door dit te herhalen volgt det A = detf 1 detf 2 det(f 3...F r 1 F r ) =... = detf 1 detf 2 F 3... det(f r 1 F r ) = detf 1 detf 2 F 3... det F r 1 detf r. Hetzelfde argument (d.w.z. deel (ii)) toegepast op het product AB geeft det(ab) = det(f 1 F 2...F r 1 F r B) = det F 1 det F 2... detf r 1 det(f r B) = det F 1 det F 2... detf r 1 detf r det B = det A detb. Oefenopgaven week 6 Opgave XXVI Bepaal de determinanten van de volgende matrices: (i) in R 3 3 : 0 0 1 A 1 = 0 2 3, 2 3 4 A 2 = 5 6 0, 1 2 3 A 3 = 4 5 6, 4 5 6 7 0 0 7 8 9 1 3 2 0 1 1 1 2 3 A 4 = 4 8 1, A 5 = 1 2 5, A 6 = 1 2 5 2 2 5 6 4 3 3 1 2 (ii) in C 3 3 : i 2 1 1 2 + i 3 B 1 = 3 1 + i 2, B 2 = 1 i i 1 2i 1 4 i 3i 2 1 + i (iii) in R 4 4 : 1 0 2 3 1 2 3 12 C 1 = 3 1 1 2 0 4 1 1, C 2 = 5 12 14 19 9 22 20 31 2 3 0 1 4 9 14 15 Opgave XXVII
(i) Voor welke factor λ geldt de vergelijking: 3a 1 3a 2 3a 3 a 1 a 2 a 3 det 3b 1 3b 2 3b 3 = λdet b 1 b 2 b 3? 3c 1 3c 2 3c 3 c 1 c 2 c 3 (ii) Voor welke factor λ geldt de vergelijking: 2a 1 2a 2 2a 3 a 1 a 2 a 3 det 3b 1 + 5c 1 3b 2 + 5c 2 3b 3 + 5c 3 = λdet b 1 b 2 b 3? 7c 1 7c 2 7c 3 c 1 c 2 c 3 (iii) Voor welke factor λ geldt de vergelijking: b 1 + c 1 b 2 + c 2 b 3 + c 3 a 1 a 2 a 3 det a 1 + c 1 a 2 + c 2 a 3 + c 3 = λdet b 1 b 2 b 3? a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 c 1 c 2 c 3 Opgave XXVIII a 1 2 (i) Voor welke a R is 1 1 2 niet inverteerbaar? 0 0 1 a b 0 (ii) Voor welke combinatie van getallen a, b R is 1 0 1 wel inverteerbaar? 0 1 0 Opgave XXIX (i) Zij A F n n en λ F. Laat zien dat det(λa) = λ n deta. (ii) Zij A F n n met rijen A 1,A 2,...,A n. Zij B F n n de matrix met de rijen van A in omgekeerde volgorde, d.w.z. B 1 = A n,b 2 = A (n 1),...,B n = A 1. Geef det B afhankelijk van deta aan. { (iii) Bepaal det A voor A F n n 1 als i + j = n + 1 gegeven door A ij =, 0 anders d.w.z. voor 0 0... 0 1 0 0... 1 0 1 A =..... 1 0 1... 0 0 1 0... 0 0
Opgave XXX Zij A F n n van de vorm t 0 0 0 a 0 1 t 0 0 a 1 A = 0 1 t 0 a 2..... 0 0 0 1 t + a n 1 Laat zien dat deta = t n + a n 1 t n 1 +... + a 2 t 2 + a 1 t + a 0. Webpagina: http://www.math.ru.nl/ souvi/la2 08/la2.html